NOLAN JARA J.

1

PROBLEMA 1: Sea el sólido definido en R³ por:

||;1;4/),,( 222223 yzyxzyxRzyxS Calcular el volumen del solidó S Solución:

2 2

( ) .................(*)

( , , ) / | | 4 ; ( , ) E

V E dV

E x y z R y z x y x y D

NOLAN JARA J.

2

2 2 2 22 2

2 2

2

2 2 2

3 2 2 2 2

4 ( ) 4 ( )1 1 1 1

1 | | 11 1

4 (

( , ) / 1 1 ; 1 1

( , , ) / | | 4 ; 1 1 ; 1 1

(*) :

( ) ( ( ) ) 2 ( ( ) )

4 ( ( ) )

x y x yx x

x z y x z yy x y x

x

z y

D x y R x y x x

E x y z R y z x y x y x x

en

V E dz dy dx dz dy dx

dz dy dx

22 2

2

)1 1 1 12 2

0 0 0 0

12 2 2 2 2 1

00

4 ( ( 4 ( ) ) )

4 [(1/ 2)[ (4 ) (4 ) ( / ( 4 ))] / 2] |

yx x

x y x y

xy

x

x y y dydx

y x y x arcsen y x y

Como la integración es muy complicada utilizaremos otro método Otra forma: en coordenadas cilíndricas

2

3 2

2 1 4

( ) 0 0 | |

2 1 22 2 3/2 2 1

00 0 0

( ) ( , , ) / | | 4 ;0 1;0 2

( ) | ( , , ) | ( ( ) )

( ( [ 4 | |] ) (1/ 2)[(2 / 3)(4 ) | | ( )] |

(1/ 2) [2 3 |

r

T E r z r sen

rr

T E r z R r sen z x r

V E J r z dv rdz dr d

r r r sen dr d r sen r d

se

2 /2

0 0

/20

| 16 / 3] 2 ((16 / 3) 2 3 )

2[(16 (6 / 3)) / 3 cos ] | 2(((8 3 3 ) / 3) 1)

n d sen d

PROBLEMA 2 Dado el cambio de variables definido por las ecuaciones x = u + v ; y = v – u2. Calcular el determinante jacobino de dicho cambio de variables. Sea T el triangulo del plano UV cuyos vértices son los puntos (0,0) ;(2,0) y (0,2). sea R la imagen en el plano XY del triangulo T . Mediante el cambio de variables dado: Hacer un dibujo de la región R Calcular el área de la región R .

Calcular la integral doble de R yx

dA

1 2

SOLUCIÓN x = u + v ; y = v – u2

uu

vy

uy

vx

ux

vuJ 211211

.

Grafica en UV

NOLAN JARA J.

3

Las líneas que que encierran la superficie T en el plano UV al ser proyectados sobre en el plano XY también encierran otra superficie entonces: u+v=2: u=0: v=0

Grafica en XY

XYXXRyxRxyyxx

sonsproyectadacurvaslasEntoncesyxvcomo

uvvuvvuyx

yxucomouvvuyx

xvux

uu

23

2

2

2222

22

:20/,::0:2

:00

2

00:

22

22

0

22

0 314

2 udxxxdxx

dydxdySx

RR

))3/32arctan()32(arctan(3/)32(2

|)3/)1(2arctan()2/3)(3/4(|)1)3/)1(2(

1)3/4(.1

)1)3/)1(2(341

)1)1(3/4(4/311

4/3)1(11

111

11

11

20

20

2

0 2

2

0

2

0 2

2

0 2

2

0 2

2

0 2

2

0

2

0 222

2

xxdxx

x

dxx

dxx

dxx

dxxx

dxxyx

dxxy yxdy

YXdA

x

xR

x

x

PROBLEMA 3 Sea R la porción acotada del primer cuadrante situada entre las curvas de ecuaciones: R xy = 1 ; xy = 2 ; y = x ; y =4 x Dibujarla y calcular la integral: dAyx

R

22

SOLUCIÓN: Graficando la región R que es limitada por las líneas: xy = 1 ; xy = 2 ; y = x ; y =4 x

NOLAN JARA J.

4

R = R1 R2 R3 *En R1 *En R2 *En R3

22

21

X 122

X 21 x

XYX

41

XY

X21

x

yx 2

dAy 22x

= dAy 22x + dAy 22x

+ dAy 22x

dxdyyx

x

x

22

21

4

1

22 dxdyyx

x

x

1

22

2

1

22

dxdyyxx

x

2

1

2

22

x

x

x

x

x

x

yxyxyx2

2

1

322

1

1

22

324

1

22

21

32

333

dxx

dxxx

dxx

xx

2

1

51

22

22

21

5

338

31

38

31

364

2

1

61

22

22

21

6

183ln8

3ln7

3ln

932

xx xxx

32ln7

181

94

32ln8

32ln7

32ln7

32ln

94

181

uydAxR

22

32ln7

PROBLEMA 4 Calcular el volumen del cuerpo del espacio definido por las ecuaciones

322

222 1,0,1,1yx

zzyxyx

SOLUCIÓN

R3 R2 R1 R

NOLAN JARA J.

5

32 2

3 2

2

1

, / 0 1;1 1

:cos ;

1, / 1;0cos 2

D

V s dAx y

D x y R x x y x

usando transformacion de cordenadas decartesianas a polares dondex r y rsen

T D r R rsen

PROBLEMA 5 Calcular

R

dAyx 33 , siendo R la región contenida en el cuadrante positivo y limitado por

las curvas 2,1,4,2 22222222 yxyxyxyx SOLUCIÓN GRAFICO DE R

12

13 30cos

1

2 20 01

cos

2 20 0

3

1 1,

1 (1 cos )

cos 1 12 2

22

senT

sen

V s J r dA rdr dr r

d sen dr

sen

V s u

422

:

81

81

,

21,42/,8

1,

822

22,

1,,:

21,42,var

21,42/,

222222

2233

3333

2

22

22

22222

vuyxvuyvux

pero

dudvyxdudvxy

yx

dudvvuJyxdAyx

vuRvuTxy

vuJ

xyyx

yx

yv

xv

yu

xu

yxJ

vuJyxJqueSabemos

vyxvuyxu

iablecambiodeHagamosyxyxRyxRregionLa

RTRT

R T

R

R

NOLAN JARA J.

6

GRFICA DE T(R)

2

1

4

2

24

2

32

1

4

2

2222

41281

481

481

vv uRT

uvudvduvududvyu

PROBLEMA 6:

Calcular 2 2 2

................(*)x y z

S

e dv donde S es el conjunto de los puntos 3),,( Rzyx

tales que 0,1222 zzyx Solución: Graficamos 0,1222 zzyx

10;11;11/),,( 22223 yxzxyxxRzyxS Proyeccion de la region S

R

v

dAyx

vvdvv

167

167

61256

81

21256

81

22

2

1

32

1

2

1

2

NOLAN JARA J.

7

Transformando a coordenadas esféricas x=ρcosθsenφ y=ρsenθsenφ z=ρcosφ |J(ρ,θ,φ)| = ρ²senφ Donde la variación de ρ,θ,φ es:

102/0

20

En la integral (*) 2

2

2 /2 12

0 0 0

2 /2 1 2 /22

0 0 0 0 0 0

. | ( , , ) | . . . . .

( . . ) ( 2) ( 2)

. | ( , , ) | . 2 ( 2)

S

S

e J dv e sen d d d

sen e d d d sen e d d e

e J dv e

PROBLEMA 7 Calcular la integral triple 2

s

y dv

Donde S es el sólido

41);/(10/),,/(),,(41,0/),,(

22

22332223

yxyxzRzyxRzyxzyxzRzyxS

Entonces tenemos que S=D1 U D2 pues D1 y D2 son regiones disjuntas 2 2 2

1 2S D D

y dv y dv y dv ...........................(*)

22;)4()1(

)1()4(,)1()4(/),,(22

2222223

xxyx

xyxyxzyxRzyxS

2

1D

y dv : en coordenadas esféricas

NOLAN JARA J.

8

2/,20,21/),,()1(21,0cos/),,()1(

41,0cos/),,()1(

3

3

23

RDTRDTRDT

x=ρcosθsenφ y=ρsenθsenφ z=ρcosφ |J(ρ,θ,φ)| = ρ²senφ

2 22 2 4 2 3

1 /2 0 12 2

2 3 5 2 2 21

/2 0 0 /2

( ) . . . . . .

. . / 5 | . . (31/ 5) (1 cos ) cos .

(62 /15)

D

sen sen sen d d d sen sen d d d

sen sen d d sen d d

2

2D

y dv : en coordenadas cilíndricas

20,21,/10/),,()2(41,/10/),,()2(

23

223

rrzRzrDTrrzRzrDT

x=rcosθ y=rsenθ z=z J(r,θ,z)=r

2 2 22 2 1/ 2 2

0 1 0 0 12

2 2 21

0

( ) . . . . .

. / 2 | . (3 / 2)

r

rsen r dz dr d rsen dr d

sen r d

En (*) : )2/315/62(2 vys

NOLAN JARA J.

9

2

3 2 2 2 2

Problema nro 8

Calcular la integral dv.SiendoSel recintosolido

definido por:

( , , ) / 1, 0 4

::

s

z

S x y z x y y z x y

solucionGraficamos el volumen S

Hallando la region D sobreel plano xy

NOLAN JARA J.

10

2 22

3 2 2 2

41 12 2

1 0

( , , ) / 0 4 , 1 1,0 1

( ( ) )

Vemosquemediantecoordenadascartesianaselcalculodela integralsecomplica,hacemosuncambiodevariblemediantecoordenada

x yx

s x y z y

S x y z y z x y x y x

z dv z dz dy dx

3 2

scilindricas tenemos

T(s)= (r, ,z) / 4 ; 0 ;0 1rsen z r r

2

2

( )

2

1 42 2

0 0

( , , ) ( , ,

: ( , , ; ( , , ) ( , , )

( ( ) )

s T s

r

s r z r se n

z d v F r z J r z d v

s i J r z r f x y z F r z z

z d v z d z rd r d

241 3

2

0 0

1 32 2 3 32

0 0

1 132 2 2 3 32

0 0

1 15 42 2 32

0 00

( ) )3

1 ( ( 4 ) )3

1 1 ( 4 ) ( 4 ) )3 2

1 1 ( 4 )3 2 4

r

s r r s e n

s r

s r o r

s

zz d v r d r d

z d v r r s e n r d r d

z d v r d r s e n r d r d

rz d v r s e n d

2 5 5 3

0 0

32 5 5

0

1 1( 3 4 )6 1 2

1 1( 3 4 ) (c o s )6 1 2 3

s

s

z d v d se n d

c o sz d v

2 5 5 31 1( 3 4 )

6 9s

z dv u

NOLAN JARA J.

11

PROBLEMA 9: Sea Ω el recinto comprendido entre el interior de un paraboloide 223 yxz y el interior de un elipsoide 94 222 zyx , calcular zdv

Resolución: Grafica del paraboloide:

Corte en los ejes coordenados

2/30:

30:

30:

yzxyxzyxzyxz

corte en los planos coordenados Para el plano xy

elipseyxz

.....340

22

Para el plano xz

parabolaxzxz

y

....33

0

2

2

Para el plano YZ

parabolayzyz

x

...34430

2

2

Para : z=k(//planoXY)

elipsesdeconjuntokyx ......34 22 Grafica de una elipsoide

94 222 zyx

Corte en los ejes coordenados

2/30:30:30:

yzxyxzyxzyxz

Corte en los ejes coordenados Para el plano XY

elipseyxz

...940

22

Para el plano XZ

elipsezxy

...90

22

22 43 yxz

NOLAN JARA J.

12

Para el plano YZ

elipsezyx

...940

22

Para : z=k(//planoXY)

elipsesdeconjuntokyxyxk

.....94

94222

222

GRAFICA DE LA INTERSECCION DEL PARABOLOIDE Y EL ELIPSOIDE

Otra vista:

NOLAN JARA J.

13

Grafica de la ecuación (3) 34 22 yx

2 22

2 22

2 2 2

3 2 2 2 2 2 2

9 4( 3 )/23

3 4 3( 3 )/2

( , ) / 3 / 2 3 / 2; 3 3

( , , ) / 4 3 9 4 ; 3 / 2 3 / 2; 3 3

( )x yx

x z x yy x

D x y R x y x x

x y z R x y z x y x y x x

V zdv zdzdydx

Notamos que la integración es muy operativa, por eso utilizaremos coordenadas cilíndricas.

),(;)49(34/),,( 22223 DyxyxzyxRzyxz

En coordenadas cilíndricas: x=rcosθ 2y=rsenθ z=z

)9(3

))4(9(3422

2222

rzr

yxzyx

De (3):

20;50

0;554

2

22

rrryx

)3.......(..............................540)4(6)4(2

:)2.().1.(

)2.......(..........).........4(9)1.....(..........34:21

22

22222

222

22

yxyxyx

endoreemplazan

yxzyxzSS

NOLAN JARA J.

14

Además: J(r,θ,z) = r/2 2

2

2 5 9

( ) 0 0 3

2 5 5 3

( ) 0 0

26 4 5

00

2

02

0

( ) ( , , ) ( / 2)

( 5 )( ) ( , , ) (1/ 4)

( ) (1/ 4) ( / 6 (5 / 4) | )

( ) (1/ 4) (125 /12)

( ) (1/ 4)(125 /12) |

r

T r z r

T r

r

V J r z zdv r zdzdrd

r r drdV J r z zdv

V r r d

V d

V

( ) (125 / 24)V

PROBLEMA 10 Consideremos el recinto del primer octante de R3

baconyxzbxyabxyaRzyx 0,,,;,, 22223 Calcular el volumen de Ω y hallar

dvyxxy 33

SOLUCIÓN Hallaremos el volumen:

D

zdADV

Definiremos la región D

b

au

b

av

b

au

b

av

DT

abdudvdudvyx

yxV

emplazando

dudvvuJyxV

IIbabvabuaRvuDT

yxvuJxy

yxxy

yv

xv

yu

xu

yxJ

dondevuJyxJxyvxyu

iabledecambiounalizandoIbabxyabxyaRyxD

222

22

22

2

2222

22

222

21

21

21

Re

,

0,,/,

21,22

22,

1,,,varRe

0,,/,

NOLAN JARA J.

15

b

au

b

av

DTDT

DD

abuvdudv

dudvyx

uvyxdudvvuJuvyx

IIendefinidoestaDTyIendefinidoestaDComo

dAxyxyyxdAyxxyzdvyxxy

Hallando

222

222222

22223333

81

21

21,

)()()(

PROBLEMA 11: Calcular el volumen del sólido definido por las desigualdades x²+y²+z² 24a , z aa, >0, mediante coordenadas esféricas y coordenadas cilíndricas. SOLUCIÓN:

En coordenadas esfericas: T(s)= (ρ,θ,φ)є R³/ 0 2,2 24a , aa,cos >0 T(s)= (ρ,θ,φ)є R³/ 0 ,2 sec,22 aa T(s)= (ρ,θ,φ)є R³/ 0 ,2 3/0,2sec aa x=ρcosθsenφ y=ρsenθsenφ z=ρcosφ |J(ρ,θ,φ)| = ρ²senφ Se tiene :

2 /3 2 2

0 0 sec. . .

a

asen d d d

NOLAN JARA J.

16

/32 /3 23 3 3 3

sec0 00

/33 /3 3 30 0

/33 3 2

0/33 3

0

. / 3 . . 2 [ (8 sec ) / 3. ]

2 [8 / 3 ( cos ) | / 3 .sec . ]

2 [(8 / 3) .( 1/ 2) / 3 tan .sec . ]

2 [(8 / 3) .( 1/ 2) / 3 tan . tan ]

2 [(4 / 3)]

| a

asen d d sen a a d

a a sen d

a a d

a a d

3 3 2 /30

3

( / 3) tan (1/ 2) |

(5 / 3)

a aa

En coordenadas cilíndricas: T(s)=(r,θ,z) є R³/ )4(,30,20 22 razaar x= rcosθ y= rsenθ z= z J(r,θ,z)=r

3

30

230

2/322

3

0

3

0

22222223

0

2

0

223

0

2

0

)4(3

0

2

0

)3/5(

]||)4(3/2[

])4([))4(()2/1(

))4((...22

a

arra

drarraddrara

drdararddrdzr

aa

a aa

ara

a

a

PROBLEMA 12: Sea S el sólido limitado, inferiormente por la parte superior del cono 222 44 zyx Y superiormente por la esfera zzyx 2222 Calcular la integral (1 )

s

x dv

SOLUCIÓN: Graficamos:

NOLAN JARA J.

17

2 2 21

2 2 22

3 2 2 2 2

1 2

2 2 2 2

2 22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

sea:4x +4y =z .......x +y +z =2z.....S

: , , / 2 1 ( ) 1, ( , ): S

Entonces interceptamos estas dos superficies:

2 1 ( ) 1

2 1 1 ( )

4 1 4 1 ( )

5 4

S

S x y z x y z x y x y DD S

x y x y

x y x y

x y x y x y

x y x

2 2

2 2 16 4....25 5

y

x y circunferencia de radio R

Graficando la región D:

NOLAN JARA J.

18

21

2

3

3 2

Transformando a coordenadas cilindricas:

cos

2 1 ........De la region Dsededuce:

0 2 ..........40 ............5

De α,β,δ,tenemos:4( ) : ( , , ) / 2 1 ;0 ;0 25

( , , )

x ry rsenz z

r z r

r

T S r z r z r r

J r z r

2

2

s

42 15

s 0 0 24

2 51

20 0

42 5

2

0 0

42 5

2 2 2 2 3

0 0

(1+x)dv ( , ) ( , , )

(1+x)dv. (1 cos )

( (1 cos ) ) )

( (1 cos ) ( 1 2 ) )

( ( 1 2 cos 1 cos 2

s

r

r z r

r

rr

r

r

f x y J r z dv

r rdzdrd

r r z dr d

r r r r dr d

r r r r r r

3

2 2 32 3 42 2 32 5

0 02

0

s

) )

2(1 ) 1 4 coscos (1 ) 2

8 8 3 3

cos arctan(1/ 3) 47 2cos4 16 250 25

4(1+x)dv.25

r

dr d

r r r rarcsenr r r

d

PROBLEMA 13: Calcular el plano tangente P a la superficie de ecuación 033 yxzxxz en el punto (1,3,1). Sean A,B,C los puntos en los que el plano P corta a los ejes coordenados. Calcular mediante una integral triple el volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen y los puntos A,B y C.

NOLAN JARA J.

19

Hallando el plano tangente P(t): Sea : 03),,( 3 yxzxxzzyxF Punto de tangencia: )1,3,1(),,( 000 zyx Ecuación del plano tangente

063:)()1().4.().3(),2.(

)4..(..............................).........,,()3.....(..............................).........,,(

)2........(..........).........6,1,3()1,3,1()33,1,13(),,(

),,(...)1........(0),,()(:)(

0000

23000

000

0000

zyxtPenydoreemplazan

zyxPzyxP

FxxzzzzyxF

zyxFgradienteelhallandozyxFpptP

Hallando los puntos de corte del plano P(t) con los ejes coordenados: En x:Hacemos y=z=0A: x=2 En y:x=z=0B:y=-6 en Z:x=y=0C:z=6

3

( )

( , , ) / 0 3 6;( , ) S

V s dv

S x y z R z y x x y D

NOLAN JARA J.

20

Graficando la ecuación D

2

06

230

6

2

0

6

3/)6(0

20

6

3/)6(

0

0

6

3/)6(

0

63

0

2

12)(

|)3663/)(6/1()3612()6/1()(

|)6)2/3(()63()(

06;3/)6(0/),(

udvsV

yyydyyysV

dyxxyxdxdyxydzdxdydvsV

yyxRyxD

S

yy

y

yx

y

y

xS y

y

x

xy

z

PROBLEMA 14: Calcular usando coordenadas esféricas 2 2 2( / ( ))

S

xyz x y z dv siendo S el recinto

limitado en el primer octante por la esfera 4222 zyx Solución:

40;40;20/),,( 2223 yxzxyxRzyxS

NOLAN JARA J.

21

Convirtiendo a coordenadas esféricas: x=ρcosθsenφ y=ρsenθsenφ z=ρcosφ intervalos de variación:

2/020

2/0

Operando

2

2 /2 /2 2 /2 /24 2 2 4

0 0 0 0 0 0

2

(( cos )( )( cos )( ) / )

1/ 4 ( 2 )( 2 ) 1/ 4 ( 1/ 2) 2 . . ( 2. 2 )

(( cos )( )( cos )( ) / )

1/

s

s

sen sen sen sen dv

sen sen sen d d d sen sen sen

sen sen sen sen dv

2 /2 2 /2 2

2 4 4 2 4

0 0 0 0 0

24

0

4 ( 1/ 2) 2 . . .( 2) 1/ 4 ( 2 . . ) 1/ 4 (1/ 2)

1/ 8( ) 32 / 40

sen sen d d sen sen d d

d

NOLAN JARA J.

22

PROBLEMA 15: Calcular el volumen del sólido.

yxyxyxR zzyxS2222223 1;

410/,,

Usando coordenadas esféricas y cilíndricas: SOLUCIÓN:

S

dV

Haciendo una transformación de coordenadas a coordenadas cilíndricas: x= rcos ; y= rsen ; z= z Donde el jacobiano J(r, )=r

2 2 2 2 22 2 21 10 ( ( 0 : 14 2) cos ) cosr zrsen r sen senr r r

3 21( , , ) / 0 2 : 0 : 12

S r z r r zR r

21 1

31 32 2 22 22 32

0 0 0 0 0

1 21 0.753 31

r

rdz rdr d r rdr d dr ur r

En coordenadas esféricas: x= rcosθsenф ; y= rsenθsenф ; z= rcosф Donde el jacobiano J(r,θ, ф)=r2senф:

senrsensenrsenrsensenr

senrsensenr

r2222

22

coscos

cos

1cos

410

NOLAN JARA J.

23

4

0.20:210/),,( 3 rrS R

ur dddsendddrsendVS

32

0

2

0

4

0

2

0

4

0

21

0

2 76.0221

12221

61

2444

PROBLEMA 16: Siendo 363694/,, 2223 zyxRzyxS Calcular usando un cambio de variable adecuado, la integral

S

dvzyx 2632

SOLUCIÓN Usando coordenadas esféricas

2

0 0

1

0

22

222

22

3

2

2

2

2

2

2

2222

coscos216

6coscos6632

coscos6632

0,20,10/,,

.2.3,,

cos2

cos3

123363694

dddrsenrsensensenr

ddrdsenrsensensenrdvzyx

sensensenrzyx

rRrSTdonde

senrrJ

rz

senrseny

senrx

zyxzyx

r

S ST

45

216cos23

25

216

cos225

216

2

0

2

0 0

3

dsensen

ddsensensensensensen

S

zyx 5

864632 2

PROBLEMA 17:

NOLAN JARA J.

24

Hallar el volumen del sólido situado en el exterior del paraboloide z=x2+y2 que lo limita el semiplano 0z y en el interior del cilindrox2+y2 =2x

SOLUCIÓN El volumen del sólido encerrado es:

32

0

20

42

0

cos2

0

32

2

22

222

23322

44

4cos222

22,cos20/,

22

cos;cos2cos2cos

,:cos

11/,

usensen

dddrrdrdrrV

rRrDT

tenemos

positivoserdebecomorrrsenr

rrJrsenyrxpolaresscoordenadapasandoa

yxRyxD

dondezdAV

rDT

D