Integral Multiple Resuelto
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NOLAN JARA J.
1
PROBLEMA 1: Sea el slido definido en R por:
|}|;1;4/),,{( 222223 yzyxzyxRzyxS Calcular el volumen del solid S Solucin:
2 2
( ) .................(*)
{( , , ) / | | 4 ; ( , ) }E
V E dV
E x y z R y z x y x y D
-
NOLAN JARA J.
2
2 2 2 22 2
2 2
2
2 2 2
3 2 2 2 2
4 ( ) 4 ( )1 1 1 1
1 | | 11 1
4 (
{( , ) / 1 1 ; 1 1}
{( , , ) / | | 4 ; 1 1 ; 1 1}
(*) :
( ) ( ( ) ) 2 ( ( ) )
4 ( ( ) )
x y x yx x
x z y x z yy x y x
x
z y
D x y R x y x x
E x y z R y z x y x y x x
en
V E dz dy dx dz dy dx
dz dy dx
22 2
2
)1 1 1 12 2
0 0 0 0
12 2 2 2 2 1
00
4 ( ( 4 ( ) ) )
4 [(1/ 2)[ (4 ) (4 ) ( / ( 4 ))] / 2] |
yx x
x y x y
xy
x
x y y dydx
y x y x arcsen y x y
Como la integracin es muy complicada utilizaremos otro mtodo Otra forma: en coordenadas cilndricas
2
3 2
2 1 4
( ) 0 0 | |
2 1 22 2 3/2 2 1
00 0 0
( ) {( , , ) / | | 4 ;0 1;0 2 }
( ) | ( , , ) | ( ( ) )
( ( [ 4 | |] ) (1/ 2)[(2 / 3)(4 ) | | ( )] |
(1/ 2) [2 3 |
r
T E r z r sen
rr
T E r z R r sen z x r
V E J r z dv rdz dr d
r r r sen dr d r sen r d
se
2 /2
0 0
/20
| 16 / 3] 2 ((16 / 3) 2 3 )
2[(16 (6 / 3)) / 3 cos ] | 2(((8 3 3 ) / 3) 1)
n d sen d
PROBLEMA 2 Dado el cambio de variables definido por las ecuaciones x = u + v ; y = v u2. Calcular el determinante jacobino de dicho cambio de variables. Sea T el triangulo del plano UV cuyos vrtices son los puntos (0,0) ;(2,0) y (0,2). sea R la imagen en el plano XY del triangulo T . Mediante el cambio de variables dado: Hacer un dibujo de la regin R Calcular el rea de la regin R .
Calcular la integral doble de R yx
dA
1 2
SOLUCIN x = u + v ; y = v u2
uu
vy
uy
vx
ux
vuJ 211211
.
Grafica en UV
-
NOLAN JARA J.
3
Las lneas que que encierran la superficie T en el plano UV al ser proyectados sobre en el plano XY tambin encierran otra superficie entonces: u+v=2: u=0: v=0
Grafica en XY
XYXXRyxRxyyxx
sonsproyectadacurvaslasEntoncesyxvcomo
uvvuvvuyx
yxucomouvvuyx
xvux
uu
23
2
2
2222
22
:20/,::0:2
:00
2
00:
22
220
22
0 314
2 udxxxdxxdydxdyS
x
RR
))3/32arctan()32(arctan(3/)32(2
|)3/)1(2arctan()2/3)(3/4(|)1)3/)1(2(
1)3/4(.1
)1)3/)1(2(341
)1)1(3/4(4/311
4/3)1(11
111
11
11
20
20
2
0 2
2
0
2
0 2
2
0 2
2
0 2
2
0 2
2
0
2
0 22 22
xxdxx
x
dxx
dxx
dxx
dxxx
dxxyx
dxxy yxdy
YXdA
x
xR
x
x
PROBLEMA 3 Sea R la porcin acotada del primer cuadrante situada entre las curvas de ecuaciones: R xy = 1 ; xy = 2 ; y = x ; y =4 x Dibujarla y calcular la integral: dAyx
R
22
SOLUCIN: Graficando la regin R que es limitada por las lneas: xy = 1 ; xy = 2 ; y = x ; y =4 x
-
NOLAN JARA J.
4
R = R1 R2 R3 *En R1 *En R2 *En R3
22
21
X 122
X 21 x
XYX
41 X
YX
21
xyx 2
dAy
22x = dAy22x + dAy
22x + dAy22x
dxdyyx
x
x
22
21
4
1
22 dxdyyx
x
x
1
22
2
1
22
dxdyyxx
x
2
1
2
22
x
x
x
x
x
x
yxyxyx2
2
1
322
1
1
22
324
1
22
21
32
333
dxx
dxxx
dxx
xx
2
1
51
22
22
21
5
338
31
38
31
364
2
1
61
22
22
21
6
183ln8
3ln7
3ln
932
xx xxx
32ln7
181
94
32ln8
32ln7
32ln7
32ln
94
181
uydAxR
22
32ln7
PROBLEMA 4 Calcular el volumen del cuerpo del espacio definido por las ecuaciones
322222 1,0,1,1
yxzzyxyx
SOLUCIN
R3 R2 R1 R
-
NOLAN JARA J.
5
32 2
3 2
2
1
, / 0 1;1 1
:cos ;
1, / 1;0cos 2
D
V s dAx y
D x y R x x y x
usando transformacion de cordenadas decartesianas a polares dondex r y rsen
T D r R rsen
PROBLEMA 5 Calcular
R
dAyx 33 , siendo R la regin contenida en el cuadrante positivo y limitado por
las curvas 2,1,4,2 22222222 yxyxyxyx SOLUCIN GRAFICO DE R
12
13 30cos
1
2 20 01
cos
2 20 0
3
1 1,
1 (1 cos )
cos 1 12 2
22
senT
sen
V s J r dA rdr dr r
d sen dr
sen
V s u
422
:
81
81
,
21,42/,8
1,
822
22,
1,,:
21,42,var
21,42/,
222222
2233
3333
2
22
22
22222
vuyxvuyvux
pero
dudvyxdudvxy
yx
dudvvuJyxdAyx
vuRvuTxy
vuJ
xyyx
yx
yv
xv
yu
xu
yxJ
vuJyxJqueSabemos
vyxvuyxu
iablecambiodeHagamosyxyxRyxRregionLa
RTRT
R T
R
R
-
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6
GRFICA DE T(R)
2
1
4
2
24
2
32
1
4
2
2222
41281
481
481
vv uRT
uvudvduvududvyu
PROBLEMA 6:
Calcular 2 2 2
................(*)x y zS
e dv donde S es el conjunto de los puntos 3),,( Rzyx
tales que 0,1222 zzyx Solucin: Graficamos 0,1222 zzyx
}10;11;11/),,{( 22223 yxzxyxxRzyxS Proyeccion de la region S
R
v
dAyx
vvdvv
167
167
61256
81
21256
81
22
2
1
32
1
2
1
2
-
NOLAN JARA J.
7
Transformando a coordenadas esfricas x=cossen y=sensen z=cos |J(,,)| = sen Donde la variacin de ,, es:
102/0
20
En la integral (*) 2
2
2 /2 12
0 0 0
2 /2 1 2 /22
0 0 0 0 0 0
. | ( , , ) | . . . . .
( . . ) ( 2) ( 2)
. | ( , , ) | . 2 ( 2)
S
S
e J dv e sen d d d
sen e d d d sen e d d e
e J dv e
PROBLEMA 7 Calcular la integral triple 2
s
y dv
Donde S es el slido
}41);/(10/),,/(),,{(}41,0/),,{(
22
22332223
yxyxzRzyxRzyxzyxzRzyxS
Entonces tenemos que S=D1 U D2 pues D1 y D2 son regiones disjuntas 2 2 2
1 2S D D
y dv y dv y dv ...........................(*)
}22;)4()1(
)1()4(,)1()4(/),,{(22
2222223
xxyx
xyxyxzyxRzyxS
2
1D
y dv : en coordenadas esfricas
-
NOLAN JARA J.
8
}2/,20,21/),,{()1(}21,0cos/),,{()1(
}41,0cos/),,{()1(
3
3
23
RDTRDTRDT
x=cossen y=sensen z=cos |J(,,)| = sen
2 22 2 4 2 3
1 /2 0 12 2
2 3 5 2 2 21
/2 0 0 /2
( ) . . . . . .
. . / 5 | . . (31/ 5) (1 cos ) cos .
(62 /15)
D
sen sen sen d d d sen sen d d d
sen sen d d sen d d
2
2D
y dv : en coordenadas cilndricas
}20,21,/10/),,{()2(}41,/10/),,{()2(
23
223
rrzRzrDTrrzRzrDT
x=rcos y=rsen z=z J(r,,z)=r
2 2 22 2 1/ 2 2
0 1 0 0 12
2 2 21
0
( ) . . . . .
. / 2 | . (3 / 2)
r
rsen r dz dr d rsen dr d
sen r d
En (*) : )2/315/62(2 vys
-
NOLAN JARA J.
9
2
3 2 2 2 2
Problema nro 8
Calcular la integral dv.SiendoSel recintosolido
definido por:
( , , ) / 1, 0 4
::
s
z
S x y z x y y z x y
solucionGraficamos el volumen S
Hallando la region D sobreel plano xy
-
NOLAN JARA J.
10
2 22
3 2 2 2
41 12 2
1 0
( , , ) / 0 4 , 1 1,0 1
( ( ) )
Vemosquemediantecoordenadascartesianaselcalculodela integralsecomplica,hacemosuncambiodevariblemediantecoordenada
x yx
s x y z y
S x y z y z x y x y x
z dv z dz dy dx
3 2scilindricas tenemos
T(s)= (r, ,z) / 4 ; 0 ;0 1rsen z r r
2
2
( )
2
1 42 2
0 0
( , , ) ( , ,
: ( , , ; ( , , ) ( , , )
( ( ) )
s T s
r
s r z r se n
z d v F r z J r z d v
s i J r z r f x y z F r z z
z d v z d z rd r d
241 3
2
0 0
1 32 2 3 32
0 0
1 132 2 2 3 32
0 0
1 15 42 2 32
0 00
( ) )3
1 ( ( 4 ) )3
1 1 ( 4 ) ( 4 ) )3 2
1 1 ( 4 )3 2 4
r
s r r s e n
s r
s r o r
s
zz d v r d r d
z d v r r s e n r d r d
z d v r d r s e n r d r d
rz d v r s e n d
2 5 5 3
0 0
32 5 5
0
1 1( 3 4 )6 1 2
1 1( 3 4 ) (c o s )6 1 2 3
s
s
z d v d se n d
c o sz d v
2 5 5 31 1( 3 4 )
6 9sz dv u
-
NOLAN JARA J.
11
PROBLEMA 9: Sea el recinto comprendido entre el interior de un paraboloide 223 yxz y el interior de un elipsoide 94 222 zyx , calcular zdv
Resolucin: Grafica del paraboloide:
Corte en los ejes coordenados
2/30:
30:
30:
yzxyxzyxzyxz
corte en los planos coordenados Para el plano xy
elipseyxz
.....340
22
Para el plano xz
parabolaxzxz
y
....33
0
2
2
Para el plano YZ
parabolayzyz
x
...34430
2
2
Para : z=k(//planoXY)
elipsesdeconjuntokyx ......34 22 Grafica de una elipsoide
94 222 zyx
Corte en los ejes coordenados
2/30:30:30:
yzxyxzyxzyxz
Corte en los ejes coordenados Para el plano XY
elipseyxz
...940
22
Para el plano XZ
elipsezxy
...90
22
22 43 yxz
-
NOLAN JARA J.
12
Para el plano YZ
elipsezyx
...940
22
Para : z=k(//planoXY)
elipsesdeconjuntokyxyxk
.....94
94222
222
GRAFICA DE LA INTERSECCION DEL PARABOLOIDE Y EL ELIPSOIDE
Otra vista:
-
NOLAN JARA J.
13
Grafica de la ecuacin (3) 34 22 yx
2 22
2 22
2 2 2
3 2 2 2 2 2 2
9 4( 3 )/23
3 4 3( 3 )/2
{( , ) / 3 / 2 3 / 2; 3 3}
{( , , ) / 4 3 9 4 ; 3 / 2 3 / 2; 3 3}
( )x yx
x z x yy x
D x y R x y x x
x y z R x y z x y x y x x
V zdv zdzdydx
Notamos que la integracin es muy operativa, por eso utilizaremos coordenadas cilndricas.
}),(;)49(34/),,{( 22223 DyxyxzyxRzyxz
En coordenadas cilndricas: x=rcos 2y=rsen z=z
)9(3
))4(9(3422
2222
rzr
yxzyx
De (3):
20;50
0;554
2
22
rrryx
)3.......(..............................540)4(6)4(2
:)2.().1.(
)2.......(..........).........4(9)1.....(..........34:21
22
22222
222
22
yxyxyx
endoreemplazan
yxzyxzSS
-
NOLAN JARA J.
14
Adems: J(r,,z) = r/2 2
2
2 5 9
( ) 0 0 3
2 5 5 3
( ) 0 0
26 4 5
00
2
02
0
( ) ( , , ) ( / 2)
( 5 )( ) ( , , ) (1/ 4)
( ) (1/ 4) ( / 6 (5 / 4) | )
( ) (1/ 4) (125 /12)
( ) (1/ 4)(125 /12) |
r
T r z r
T r
r
V J r z zdv r zdzdrd
r r drdV J r z zdv
V r r d
V d
V
( ) (125 / 24)V
PROBLEMA 10 Consideremos el recinto del primer octante de R3
baconyxzbxyabxyaRzyx 0,,,;,, 22223 Calcular el volumen de y hallar
dvyxxy 33
SOLUCIN Hallaremos el volumen:
D
zdADV
Definiremos la regin D
b
au
b
av
b
au
b
av
DT
abdudvdudvyx
yxV
emplazando
dudvvuJyxV
IIbabvabuaRvuDT
yxvuJxy
yxxy
yv
xv
yu
xu
yxJ
dondevuJyxJxyvxyu
iabledecambiounalizandoIbabxyabxyaRyxD
222
22
22
2
2222
22
222
21
21
21
Re
,
0,,/,
21,22
22,
1,,,varRe
0,,/,
-
NOLAN JARA J.
15
b
au
b
av
DTDT
DD
abuvdudv
dudvyx
uvyxdudvvuJuvyx
IIendefinidoestaDTyIendefinidoestaDComo
dAxyxyyxdAyxxyzdvyxxy
Hallando
222
222222
22223333
81
21
21,
)()()(
PROBLEMA 11: Calcular el volumen del slido definido por las desigualdades x+y+z 24a , z aa, >0, mediante coordenadas esfricas y coordenadas cilndricas. SOLUCIN:
En coordenadas esfericas: T(s)= {(,,) R/ 0 2,2 24a , aa,cos >0} T(s)= {(,,) R/ 0 ,2 sec,22 aa } T(s)= {(,,) R/ 0 ,2 3/0,2sec aa } x=cossen y=sensen z=cos |J(,,)| = sen Se tiene :
2 /3 2 2
0 0 sec. . .
a
asen d d d
-
NOLAN JARA J.
16
/32 /3 23 3 3 3
sec0 00
/33 /3 3 30 0
/33 3 2
0/33 3
0
. / 3 . . 2 [ (8 sec ) / 3. ]
2 [8 / 3 ( cos ) | / 3 .sec . ]
2 [(8 / 3) .( 1/ 2) / 3 tan .sec . ]
2 [(8 / 3) .( 1/ 2) / 3 tan . tan ]
2 [(4 / 3)]
| aasen d d sen a a d
a a sen d
a a d
a a d
3 3 2 /3
0
3
( / 3) tan (1/ 2) |
(5 / 3)
a aa
En coordenadas cilndricas: T(s)={(r,,z) R/ })4(,30,20 22 razaar x= rcos y= rsen z= z J(r,,z)=r
3
30
230
2/322
3
0
3
0
22222223
0
2
0
223
0
2
0
)4(3
0
2
0
)3/5(
]||)4(3/2[
])4([))4(()2/1(
))4((...22
a
arra
drarraddrara
drdararddrdzr
aa
a aa
ara
a
a
PROBLEMA 12: Sea S el slido limitado, inferiormente por la parte superior del cono 222 44 zyx Y superiormente por la esfera zzyx 2222 Calcular la integral (1 )
s
x dv
SOLUCIN: Graficamos:
-
NOLAN JARA J.
17
2 2 21
2 2 22
3 2 2 2 2
1 2
2 2 2 2
2 22 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
sea:4x +4y =z .......x +y +z =2z.....S
: , , / 2 1 ( ) 1, ( , ): S
Entonces interceptamos estas dos superficies:
2 1 ( ) 1
2 1 1 ( )
4 1 4 1 ( )
5 4
S
S x y z x y z x y x y DD S
x y x y
x y x y
x y x y x y
x y x
2 2
2 2 16 4....25 5
y
x y circunferencia de radio R
Graficando la regin D:
-
NOLAN JARA J.
18
21
2
3
3 2
Transformando a coordenadas cilindricas:
cos
2 1 ........De la region Dsededuce:
0 2 ..........40 ............5
De ,,,tenemos:4( ) : ( , , ) / 2 1 ;0 ;0 25
( , , )
x ry rsenz z
r z r
r
T S r z r z r r
J r z r
2
2
s
42 15
s 0 0 24
2 51
20 0
42 5
2
0 0
42 5
2 2 2 2 3
0 0
(1+x)dv ( , ) ( , , )
(1+x)dv. (1 cos )
( (1 cos ) ) )
( (1 cos ) ( 1 2 ) )
( ( 1 2 cos 1 cos 2
s
r
r z r
r
rr
r
r
f x y J r z dv
r rdzdrd
r r z dr d
r r r r dr d
r r r r r r
3
2 2 32 3 42 2 32 5
0 02
0
s
) )
2(1 ) 1 4 coscos (1 ) 2
8 8 3 3
cos arctan(1/ 3) 47 2cos4 16 250 25
4(1+x)dv.25
r
dr d
r r r rarcsenr r r
d
PROBLEMA 13: Calcular el plano tangente P a la superficie de ecuacin 033 yxzxxz en el punto (1,3,1). Sean A,B,C los puntos en los que el plano P corta a los ejes coordenados. Calcular mediante una integral triple el volumen del tetraedro cuyos vrtices son el origen y los puntos A,B y C.
-
NOLAN JARA J.
19
Hallando el plano tangente P(t): Sea : 03),,( 3 yxzxxzzyxF Punto de tangencia: )1,3,1(),,( 000 zyx Ecuacin del plano tangente
063:)()1().4.().3(),2.(
)4..(..............................).........,,()3.....(..............................).........,,(
)2........(..........).........6,1,3()1,3,1()33,1,13(),,(
),,(...)1........(0),,()(:)(
0000
23000
000
0000
zyxtPenydoreemplazan
zyxPzyxP
FxxzzzzyxF
zyxFgradienteelhallandozyxFpptP
Hallando los puntos de corte del plano P(t) con los ejes coordenados: En x:Hacemos y=z=0A: x=2 En y:x=z=0B:y=-6 en Z:x=y=0C:z=6
3
( )
{( , , ) / 0 3 6;( , ) }S
V s dv
S x y z R z y x x y D
-
NOLAN JARA J.
20
Graficando la ecuacin D
2
06
230
6
2
0
6
3/)6(0
20
6
3/)6(
0
0
6
3/)6(
0
63
0
2
12)(
|)3663/)(6/1()3612()6/1()(
|)6)2/3(()63()(
}06;3/)6(0/),{(
udvsV
yyydyyysV
dyxxyxdxdyxydzdxdydvsV
yyxRyxD
S
yy
y
yx
y
y
xS y
y
x
xy
z
PROBLEMA 14: Calcular usando coordenadas esfricas 2 2 2( / ( ))
S
xyz x y z dv siendo S el recinto
limitado en el primer octante por la esfera 4222 zyx Solucin:
}40;40;20/),,{( 2223 yxzxyxRzyxS
-
NOLAN JARA J.
21
Convirtiendo a coordenadas esfricas: x=cossen y=sensen z=cos intervalos de variacin:
2/020
2/0
Operando
2
2 /2 /2 2 /2 /24 2 2 4
0 0 0 0 0 0
2
(( cos )( )( cos )( ) / )
1/ 4 ( 2 )( 2 ) 1/ 4 ( 1/ 2) 2 . . ( 2. 2 )
(( cos )( )( cos )( ) / )
1/
s
s
sen sen sen sen dv
sen sen sen d d d sen sen sen
sen sen sen sen dv
2 /2 2 /2 2
2 4 4 2 4
0 0 0 0 0
24
0
4 ( 1/ 2) 2 . . .( 2) 1/ 4 ( 2 . . ) 1/ 4 (1/ 2)
1/ 8( ) 32 / 40
sen sen d d sen sen d d
d
-
NOLAN JARA J.
22
PROBLEMA 15: Calcular el volumen del slido.
yxyxyxR zzyxS2222223 1;
410/,,
Usando coordenadas esfricas y cilndricas: SOLUCIN:
S
dV
Haciendo una transformacin de coordenadas a coordenadas cilndricas: x= rcos ; y= rsen ; z= z Donde el jacobiano J(r, )=r
2 2 2 2 22 2 21 10 ( ( 0 : 14 2) cos ) cosr zrsen r sen senr r r
3 21( , , ) / 0 2 : 0 : 12
S r z r r zR r
21 1 31 32 2 22 2
2 32
0 0 0 0 0
1 21 0.753 31r
rdz rdr d r rdr d dr ur r
En coordenadas esfricas: x= rcossen ; y= rsensen ; z= rcos Donde el jacobiano J(r,, )=r2sen:
senrsensenrsenrsensenr
senrsensenr
r2222
22
coscos
cos
1cos
410
-
NOLAN JARA J.
23
4
0.20:210/),,( 3 rrS R
ur dddsendddrsendVS
32
0
2
0
4
0
2
0
4
0
21
0
2 76.0221
12221
61
2444
PROBLEMA 16: Siendo 363694/,, 2223 zyxRzyxS Calcular usando un cambio de variable adecuado, la integral
S
dvzyx 2632
SOLUCIN Usando coordenadas esfricas
2
0 0
1
0
22
222
22
3
2
2
2
2
2
2
2222
coscos216
6coscos6632
coscos6632
0,20,10/,,
.2.3,,
cos2
cos3
123363694
dddrsenrsensensenr
ddrdsenrsensensenrdvzyx
sensensenrzyx
rRrSTdonde
senrrJ
rz
senrseny
senrx
zyxzyx
r
S ST
45
216cos23
25
216
cos225
216
2
0
2
0 0
3
dsensen
ddsensensensensensen
S
zyx 5
864632 2
PROBLEMA 17:
-
NOLAN JARA J.
24
Hallar el volumen del slido situado en el exterior del paraboloide z=x2+y2 que lo limita el semiplano 0z y en el interior del cilindrox2+y2 =2x SOLUCIN El volumen del slido encerrado es:
32
0
20
42
0
cos2
0
32
2
22
222
23322
44
4cos222
22,cos20/,
22
cos;cos2cos2cos
,:cos
11/,
usensen
dddrrdrdrrV
rRrDT
tenemos
positivoserdebecomorrrsenr
rrJrsenyrxpolaresscoordenadapasandoa
yxRyxD
dondezdAV
rDT
D