4.2 INTEGRACIN NUMRICA El objetivo de esta seccin es aproximar la integral definida de una funcin (x) en un intervalo [a, b] es decir Los mtodos de integracin numrica se usan cuando (x) es difcil o imposible de integrar analticamente, o cuando (x) esta dada como un conjunto de valores tabulados. La estrategia acostumbrada para desarrollar frmulas para la integracin numrica consiste en hacer pasar un polinomio por puntos definidos de la funcin y luego integrar la aproximacin polinomial de la funcin. 4.2.1 REGLA DEL TRAPECIO Considrese la funcin en el intervalo [a, b], con los puntos (a, (a)) y (b, (b)) se construye el polinomio de Lagrange de grado uno. (x) = P1(x) + E, donde E es el error en la aproximacin ahora, si h = b - a La expresin que aproxima el valor de la integral se conoce como regla del trapecio, porque geomtricamente se puede interpretar que se aproxima el rea bajo la curva por el rea bajo un polinomio de grado uno P1(x) y la figura que resulta es un trapecio. Ver figura 4.3 4.2.2 REGLA DE SIMPSON Una forma evidente de mejorar la aproximacin de una integral es con una mejor aproximacin para el integrando (x). Esto se puede lograr con un polinomio de grado 2. Ver figura 4.4 Considrese la funcin (x) en el intervalo [a, b] y x0 = a, x1 = x0 + h, x2 = b, donde . Con los puntos (x0, (x0)), (x1, (x1)) y (x2, (x2)) se construye el polinomio de Lagrange de grado 2, ahora La integral del polinomio se resuelve por partes y resulta: reemplazando x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h resulta: Luego ,Por lo tanto.

Esta expresin se conoce como regla de simpson. El error en la aproximacin es Ejemplo. Aproximar usando: i) La regla del trapecio ii) La regla de Simpson Encuentre tambin una cota para el error en cada aproximacin. Solucin: i) Para la regla del trapecio. entonces ii) Para la regla de Simpson , a = x0 = 0, b = x2 = 2, x1 = x0 + h = 1 El valor real de la integral esObservaciones La regla del trapecio es exacta para funciones lineales (f(x) = mx + c) ya que el trmino de error contiene f''(z) y este caso f''(x) = 0 y el error sera cero. La regla de Simpson es exacta para funciones polinmicas de grado menor o igual a 3, ya que el error contiene y la cuarta derivada de un polinomio de grado menor o igual que 3 es cero. Una manera de mejorar la aproximacin de una integral definida de una funcin fen un intervalo [a,b], consiste en dividir el intervalo [a,b] en varios subintervalos y aplicar en cada subintervalo la regla del trapecio o la regla de Simpson. Estos mtodos se conocen como regla compuesta o extendida del trapecio y de Simpson respectivamente. 4.2.3 REGLA COMPUESTA DEL TRAPECIO Supngase que se quiere aproximarPrimero se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos de igual longitud y luego se aplica la regla del trapecio en cada subintervalo. Ver figura 4.5 Cada una de las integrales del lado derecho se puede aproximar usando la regla del trapecio, A esta frmula se la conoce como regla compuesta del trapecio. Para hallar el error E en la aproximacin , se deben tener en cuenta los errores en cada subintervalo , es decir: (1) a < z1 < x1, x1 < z2 < x2, ..., xn-1 < zn < bxi-1< zi < xi para i = 1, 2, ..., n Si la segunda derivada de f es continua en [a,b], entonces por el teorema del valor extremo f tiene un valor mximo y un valor mnimo en [a,b], y se cumple: mn f''(x) f''(z1) mx f''(x),x [a, b] mn f''(x) f''(z2) mx f''(x),[x1, x2] : :

mn f''(x) f''(zn) mx f''(x),[xn-1, xn] En los n subintervalos se tiene que: Por el teorema del valor intermedio existe un (a,b) tal que Si esta expresin se reemplaza en el error de la frmula compuesta del trapecio resulta: Como:, y reemplazando este valor en el error, se tiene que:4.2.4 REGLA COMPUESTA DE SIMPSON Si se quiere aproximar primero se selecciona un entero n par, luego se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos y se aplica la regla de Simpson en cada par consecutivo de subintervalos. Ver figura 4.6 Cada una de las integrales del lado derecho se puede aproximar usando la regla de simpson. A esta frmula se la conoce como regla compuesta de Simpson. El error en la aproximacin esta dado por: (2) x0 < z1 < x2, x2 < z2 < x4, ..., xn-2 < zn/2 < xnx2i-2< zi < x2ipara i = 1, 2, 3,...,n/2 Si la cuarta derivada de f en [a,b] es continua, entonces por el teorema del valor extremo f tiene un valor mximo y un valor mnimo en [a,b]. Con un procedimiento similar al expuesto en el error de la regla compuesta del trapecio se muestra que: Por el teorema del valor intermedio existe un (a,b) tal que: Si esta expresin se reemplaza en el error de la frmula compuesta de Simpson, entonces resulta: Por lo tanto el error en la regla compuesta de Simpson es: Ejercicio 1 Aproximar usando la regla compuesta del trapecio con n = 4. Halle una cota para el error en la aproximacin. Solucin: El error en la aproximacin es Ejercicio 2 Determine los valores de n y h que se requieren para aproximarcon un error no mayor de 10-4 usando la regla compuesta de Simpson. Solucin: , como el error debe ser menor o igual a 10-4 entonces:se puede tomar