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Sucesión Numerica :

Una sucesión numérica es un conjunto ordenado de números. Todasucesión tiene una propiedad o ley de formación de sus elementos.

Ejemplos de sucesiones:

A: 2,4,6,8,... es una sucesión infinita, el primer término es 2 comoley de formación los siguientes se obtiene sumando 2 en cadacada paso.

B: 0,5,4,2,9,8,6,7,3,1. Es una sucesión finita. Se trata de las cifrasnuméricas ordenadas alfabéticamente.

C: 1,2,3,4,5,... es la sucesión infinita de los números naturales. Esla sucesión fundamental, pues nos sirve para ordenar las demás.

D: 1,4,9,16,25,... es la sucesión de los cuadrados de los númerosnaturales.

E: 1,1,2,3,5,8,13,... esta se llama Sucesión de Fibonacci. El primery segundo elementos son 1,1. Los siguientes se obtienen sumandolos dos anteriores.

F: 4,2,1, 0'5, 0'25, ... es una sucesión infinita en que el primerelemento es el cuatro y cada uno de los siguientes se obtienedividiendo por 2 el anterior.

G: 3,3,4,6,5,4, ... es una sucesión infinita. Cada elemento es elnúmero de letras que tiene la palabra que designa alcorrespondiente número natural.

Hay sucesiones numéricas de muchos tipos, dependiendo de laley de formación. Puedes ponerte ejemplos tú mismo: primero piensa enla ley de formación y en el primer término y luego vete obteniendo otrostérminos.

Para designar los términos de una sucesión cualquiera utilizaremos

la misma letra con subíndices a1, a2, a3, a4,...,an, indicando que a1 es elprimer término, a2 es el segundo, ... y an es el término de orden n -n escualquier número natural- o término general de la sucesión. Porejemplo, en la sucesión 2,4,6,8,... pondremos a1=2, a2=4, a3=6,a4=8, ... , an=2n.

A veces el término general de una sucesión se puede expresar enfunción de los términos inmediatamente anteriores. Por ejemplo, en la

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sucesión E de Fibonacci, se verifica an = an-2+an-1. Estas sucesiones sellaman recurrentes.

Otras veces no es posible encontrar un expresión para el términogeneral y debemos conformarnos con la descripción de la sucesión; por

ejemplo, las sucesiones B y G.

Notación Sigma:

Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden sernaturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si lasuma tiene un número infinito de términos, se conoce como serieinfinita.

Dada una sucesión:

Ésta se puede representar como la suma de los primeros términos conla notación de sumatoria o notación sigma. El nombre de esta notación

se denomina de la letra griega (sigma mayúscula, que corresponde anuesta S de "suma" ). La notación sigma es de la siguiente manera:

La ecuación anterior se lee la "suma de desde hasta ." Latetra k es el índice de la suma o variable de la sumatoria y sereemplaza k en la ecuación después de sigma, por los enteros

, y se suman las expresiones que resulten, con lo queresulte del lado derecho de la ecuación.

Series numéricas

Los problemas de secuencias numéricas (llamadas normalmente series,aunque el término no sea muy correcto) son clásicos en las matemáticasrecreativas. Se trata normalmente de averiguar cómo continúa una sucesiónde números enteros de la que nos dan los primeros términos.

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El índice de un término de la secuencia es el número de orden queocupa. Normalmente se empieza a contar desde el 1, aunque a veces seempieza por el 0. Si la sucesión se llama s, el término de índice n seescribe s(n) o sn. Hay varias formas de definir una secuencia:

• Mediante una regla que nos dice cómo formar un término a partir

de los anteriores. El primer o primeros términos pueden serarbitrarios, dando origen a distintas alternativas de la serie. Aestos términos iniciales se les puede llamar semilla.

• Mediante una regla que nos dice cómo formar un término a partirde su índice.

• Mediante una regla que, dado un número, nos permite comprobarsi pertenece o no a la serie. Estas series se suelen escribir pororden creciente.

• Algunas series se puede decir que tienen «existencia previa». Porejemplo 1, 4, 1, 4, 2, 1, 3, 5, 6,... es la secuencia de los dígitos de

la raíz cuadrada de 2 (A002193). 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31,...es la secuencia de la duración en días de los meses de un año nobisiesto (en este caso es una serie finita, con sólo 12 términos).Otras se construyen a partir de otra secuencia previa.

Serie infinita

En matemáticas, la expresión 1 − 2 + 3 − 4 + · · · es una serie infinita cuyos términos son los números enteros positivos, que van alternando sus signos. Utilizando notación matemática para sumatorias, la suma delos primeros m términos de la serie se expresa como:

Convergencia

Una serie ∑an se dice que es convergente (o que converge) si lasucesión SN de sumas parciales tiene un límite finito. Si el límite de SN es

infinito o no existe, se dice que la serie diverge. Cuando este límiteexiste, se le llama suma de la serie.

Si todos los an son cero para n suficientemente grande, la serie se puedeidentificar con una suma finita. El estudio de la convergencia de series,

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se centra en las propiedades de las series infinitas que incluyen infinitostérminos no nulos. Por ejemplo, el número periódico

tiene como representación decimal, la serie

.

Dado que estas series siempre convergen en los números reales (por lapropiedad de completición de los números reales), no hay diferenciaentre este tipo de series y los números decimales que representan. Porejemplo, 0.111… y 1/9; o bien 1=0,9999...

Serie de Funciones :

Una serie de funciones es un par ordenado de sucesiones de

funciones relacionadas por la condición de que para

cada es:

Para cada , el término n-ésimo de la primera sucesión , recibe el

nombre de término n-ésimo de la serie; , recibe el nombre de sumaparcial n-ésima de la serie. Por ello, decimos que una serie de funciones

converge puntualmente a una función en un conjunto S, si lo hace

la sucesión de sus sumas parciales. En tal caso, la función es lasuma de la serie en el conjunto S.

Por ejemplo la serie de funciones converge puntualmente en (-1,1) y su suma es la función:

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, sí .

Sea una sucesión de funciones definidas sobre A, y sea

una función también definida en A. Entonces recibe el nombre de

límite uniforme de sobre a si dado existe algún N tal que

para todo si , entonces , En otras

palabras

converge uniformemente hacia sobre A ouniformemente sobre A.

 

 Teorema de la convergencia uniforme. Si es una sucesión de funcionescontinuas que convergen uniformemente hacia la función, entoncestambién es continuo.

Esto es importante, en la convergencia puntual de funciones continuasmuchas veces no se garantiza la continuidad de la función por el límite,como la imagen lo ilustra.

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Estamos interesados en funciones definidas mediante series en forma deecuaciones así:

Donde es una función por ejemplo . Entonces esuna sucesión de funciones; la cual cada x obtenemos una sucesión de

números y es la suma de esta sucesión.

Recordemos que cada suma: es pordefinición el límite de la sucesión:

Si definimos una nueva

sucesión de funciones mediante

entonces podemos sintetizar a:

en lugar de funciones dadas como sumas infinitas.

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República Bolivariana de Venezuela

Ministerio Del Poder Popular Para La Educación

Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”

Barcelona – Edo. Anzoátegui

Ingeniería Civil

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MATEMATICAS IV

Barcelona, 01 de febrero del 2012

Bachiller:

-Francisco PeineroCI.: 19.168.896 

-María G. RuanoCI.: 21.174.461

-Verónica NúñezCI.: 21.398180 

-Jean CupamoCI.: 20.341.605 

-Rodolfo MarreroCI.: 18.981.926 

Profesor:

José Rojas