MÉTODOS NUMÉRICOSExactitud Numérica

Carlos Alonso Gómez Cornelio

Gerardo López García

Andrés Correa García

Iván Fernando Jiménez López

Aproximaciones

Los métodos numéricos constituyen procedimientos alternativos

provechosos para resolver problemas matemáticos para los cuales

se dificulta la utilización de métodos analíticos tradicionales y,

ocasionalmente, son la única opción posible de solución.

Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático es

resuelto usando solamente operaciones aritméticas, … tediosos

cálculos aritméticos.

Son técnicas sistemáticas cuyos resultados son aproximaciones del

verdadero valor que asume la variable de interés; la repetición

consistente de la técnica, a lo cual se le denomina iteraciones, es lo

que permite acercarse cada vez más al valor buscado.

Aproximaciones

Aproximación numérica

Se entiende por aproximación numérica X* una cifra que

representa a un número cuyo valor exacto es X. En la

medida en que la cifra X* se acerca más al valor exacto

X, será una mejor aproximación de ese número

Ejemplos:– 3.1416 es una aproximación numérica de , – 2.7183 es una aproximación numérica de e,

– 1.4142 es una aproximación numérica de 2,

– 0.333333 es una aproximación numérica de 1/3.

Cifras significativas

El número de cifras significativas es el número de dígitos t, que se pueden usar, con confianza, al medir una variable; por ejemplo, 3 cifras significativas en el velocímetro y 7 cifras significativas en el odómetro.

Los ceros incluidos en un número no siempre son cifras significativas; por ejemplo, los números 0.00001845, 0.001845, 1845 y 184500 aparentemente tienen 4 cifras significativas, pero habría que conocer el contexto en el que se está trabajando en cada caso, para identificar cuántos y cuáles ceros deben ser considerados como cifras significativas.

El manejo de cifras significativas permite desarrollar criterios para detectar qué tan precisos son los resultados obtenidos, así como evaluar los niveles de exactitud y precisión con que son expresados algunos números tales como , e ó 2.

Alternativamente al número de cifras significativas, está el número n de dígitos en la mantisa, que indica el número de cifras a considerar, después del punto decimal. En operaciones manuales, el número de dígitos en la mantisa sigue teniendo vigencia, aunque ha sido desplazado poco a poco por el número de cifras significativas que, por diseño, manejan calculadoras y computadoras.

Exactitud y precisión.

La precisión se refiere al número de cifras significativas que representa una cantidad.

La exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor numérico que se supone representa.

Ejemplo: es un número irracional, constituido por un número infinito de dígitos; 3.141592653589793... es una aproximación tan buena de , que tal podría considerarse que es su valor exacto. Al considerar las siguientes aproximaciones de :

= 3.15 es impreciso e inexacto.

= 3.14 es exacto pero impreciso.

= 3.151692 es preciso pero inexacto.

= 3.141593 es exacto y preciso.

Los métodos numéricos deben ofrecer soluciones suficientemente exactas y precisas. El término error se usa tanto para representar la inexactitud como para medir la imprecisión en las predicciones.

Convergencia y estabilidad

Se entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que, al realizar un “buen número” de iteraciones, las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado.

En la medida en la que un método numérico requiera de un menor número de iteraciones que otro, para acercarse al valor deseado, se dice que tiene una mayor rapidez de convergencia.

Tipo de problema

Modelo matemático

Método numérico

Selección de alternativas

“Software”– Desarrollo de programas:

lenguaje “C”“Basic”“Fortran”Otro.

– Utilización de software matemático:“Maple”,“MatLab”,“MathCad”,“Mathematica”.

– El manejo de hojas de cálculo en PC:ExcelLotus

– Manejo expedito de una calculadora graficadora

Es altamente recomendableque el ingeniero sepa programaren por lo menos un lenguaje, sepautilizar algún software matemático,y manejar muy eficientemente unahoja de cálculo y una calculadoragraficadora