U3 integracion numerica

Programa Desarrollado

Unidad 3. Integración Numérica

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías 1

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

Análisis Matemático I

7° cuatrimestre


Clave:

050930726




Contenido 3.- Integración Numérica .................................................................................................... 3

Presentación de la unidad ................................................................................................. 3

Propósitos de la unidad ..................................................................................................... 5

Competencia específica ..................................................................................................... 5

3.1 Métodos de Newton-Cotes ........................................................................................... 5

3.1.1. Regla del trapecio ............................................................................................... 6

3.1.2 Regla de Simpson ............................................................................................... 9

Actividad 1. Solución de integrales por métodos de Newton-Cotes .................................. 12

3.2 Cuadratura de Gauss ................................................................................................. 12

3.2.1 Cuadratura de Gauss ........................................................................................ 13

Actividad 2. Solución de integrales mediante la cuadratura de Gauss ............................. 17

Actividad 3. Contraste de métodos. ................................................................................. 19

Autoevaluación ................................................................................................................ 19

Evidencia de aprendizaje. Integración Numérica ............................................................. 20

Autorreflexiones ............................................................................................................... 21

Para saber más ............................................................................................................... 21

Bibliografía ....................................................................................................................... 21




3.- Integración Numérica

Presentación de la unidad

Conforme hemos desarrollado los conceptos de esta asignatura se han aplicado métodos

más precisos para resolver problemas específicos utilizando sistemas lineales para

determinar raíces de funciones.

Pasamos de conocer los problemas más comunes en la modelación matemática, como la

representación y solución de sistemas lineales, hasta los de interpolación, cabe

mencionar que los problemas que se presentan en la práctica común no suelen ser

lineales. Conforme la investigación científica y matemática avanzase observa que existen

más fenómenos no lineales que lineales.

En esta unidad resolveremos problemas no lineales por medio de la obtención de raíces

y la integral de una función. Uno de los grandes logros de las matemáticas es la

construcción de los números reales, que respondía a problemas prácticos concretos y se

fue desarrollando hasta ser la disciplina que conocemos como el cálculo diferencial.

Muchos de los problemas en la ingeniería y economía usan los conceptos del Cálculo

Infinitesimal para dar respuesta a los problemas planteados, particularmente el de la

integral.

Determinar el número real que especifica el área bajo la curva descrita por una función

es un problema con gran variedad de aplicaciones, muchas de ellas englobadas bajo

el teorema fundamental del cálculo.

Se considera que no es suficiente obtener una expresión simbólica que nos indique la

forma general de la función que determina al área bajo la curva , por lo que la forma de

trabajo en el análisis numérico más adecuado es la de identificar un número específico

para un problema determinado. .

Entonces el problema planteado en la integración numérica (o cuadratura numérica)

es la de estimar el número que responde a:

∫

Este problema lo abordamos cuando la función a integrar es difícil para hacerlo

simbólicamente o la integral está definida por una cantidad finita de puntos, así que

conviene seguir estrategias que hacen una suma finita sobre los puntos conocidos..

Lo que haremos es aproximar la expresión de la integral mediante un polinomio de grado

menor o igual a k




∫

∑

La expresión anterior indica que el valor de (integral de f entre a y b) se obtiene a

través de la combinación lineal de las y más un término de error (o residuo)

donde las se denominan pesos y las abscisas o nodos que cumplen con ser los

puntos bajo los cuales toma valores.

Si nuestro término de error está acotado o es pequeño entonces podemos considerar que:

∑

Esta expresión es conocida como regla de cuadratura donde los pesos se determinan

con interpolantes (como el de Lagrange o Newton) y los valores , (valores que toma

en los puntos observados), es decir, esperamos obtener: como

Para ilustrar esta última idea, el valor de lo determinaremos a partir de la

combinación lineal de y :

Donde representa los valores que toma el interpolador de Lagrange en el punto

, es decir, con es el Polinomio de Lagrange en el punto .

Una medida de error o grado de precisión asociada a las fórmulas de cuadratura es un

número que verifica que:

[ ]

Para todos los polinomios cuyo grado es , a partir del polinomio cuyo grado es

[ ] .

La forma general de truncamiento es

[ ] (1)

Para alguna constante, es el grado de precisión del polinomio en algún punto donde

se pueda evaluar la función.

Dentro de los métodos de integración numérica que estudiaremos en esta unidad están

las fórmulas de Newton-Cotes, desarrolladas por Isaac Newton y Roger Cotes.

Las fórmulas de Newton-Cotes son sencillas e incluso intuitivas ya que, de manera

general, lo que hacen es incrustar un polígono dentro de la curva cuya integral queremos

conocer pero cuya área sea más sencilla de determinar.




Dentro de las fórmulas de Newton-Cotes podemos encontrar la regla del rectángulo,

del trapecio y la de Simpson. En esta unidad sólo desarrollaremos la del trapecio y la

de Simpson.

Cabe mencionar que la cuadratura de Gauss es una generalización sobre estos métodos

pero cuyo funcionamiento es esencialmente el mismo.

Propósitos de la unidad

Utilizar los métodos de integración numérica para obtener la derivada o su

inversa

Obtener la aproximación a integrales definidas en alguna área

Competencia específica

Utilizar algoritmos para calcular la integral definida por medio de la interpolación

polinómica.

3.1 Métodos de Newton-Cotes

La forma en la que se calcula la integral de una función es aproximando el área bajo la

curva de dicha función mediante la construcción de rectángulos a los cuales les medimos

su área para después aproximar la base de estos rectángulos a cero y determinar el límite

de la suma de dichas áreas, llamada integral de la función.

La estrategia utilizada en las fórmulas de Newton-Cotes es la misma, en la cual se

construyen diferentes polinomios donde es más sencillo calcular su área que el de la

función original.

Figura 1 Ejemplo de cómo se calcula el área usando la regla del rectángulo.




Suponiendo que: { } son nodos igualmente

espaciados y con esta consideración usamos cada una de las siguientes reglas de

integración, se observa que dentro de los índices está el 0 y n, lo que quiere decir que los

intervalos son cerrados, es decir, incluyen los extremos, es por esta razón que

consideramos que las fórmulas de Newton-Cotes son cerradas.

Concluimos que siempre que la integral incluya los extremos del intervalo de integración

la fórmula es cerrada porque estamos trabajando en un intervalo cerrado.

En la figura 1 puedes observar un ejemplo de una regla que no mostraremos

analíticamente ya que su construcción es muy sencilla y su aplicación trivial.

La fórmula para la regla del rectángulo consiste en evaluar la función a integrar en

algún extremo del intervalo y construir el rectángulo usando como base el largo del

intervalo para medir su área como lo expresa la figura 1, el área de los rectángulos en el

intervalo [ ] se aproxima mediante la expresión:

∫

Que indica la forma en la que aplicaremos las reglas de integración, usando la función a

integrar y evaluarla en los límites de integración, después multiplicar esa altura por el

ancho de la base (distancia entre los extremos del intervalo).

En la figura el intervalo total está dividido en dos intervalos más pequeños.

3.1.1. Regla del trapecio

La fórmula de Newton-Cotes es la regla del trapecio.

Como su nombre lo indica, vamos a aproximar la integral a partir de construir trapecios

con intervalos equidistantes en la base, la regla es:

∫

(2)

Donde y es el tamaño del intervalo ∫

.

∫

donde el término error corresponde a:




Siendo un número perteneciente al intervalo [a,b].

∫ [

]

El bosquejo de esta regla se presenta a continuación:

Figura 2. Regla del trapecio.

El grado de precisión para esta fórmula está dado por:

[ ]

Lo que implica que la función debe tener una segunda derivada para poder obtener este

término.

Considerando que los intervalos son continuos, entonces se debe integrar sobre todo un

intervalo [ ] dividido de tal forma que

∫ ∫

∫ ∫




Entonces

∫

[

] (3)

A esta regla de cuadratura se le conoce como la regla del trapecio compuesto

Ejemplo

Considera la función

Y 5 nodos igualmente espaciados para integrarla en el intervalo [ ], es decir,

{ }.entonces

( )

0.0000 2.0000 0.9016

0.5000 1.6065 0.7436

1.0000 1.3679 0.6478

1.5000 1.2231 0.5896

2.0000 1.1353 0.5544

2.5000 1.0821 0.5330

3.0000 1.0498 0.5200

3.5000 1.0302

La integral de la función intervalo a intervalo la puedes identificar en la tercera columna,

pero la integral sobre todo el intervalo viene dada por (3) y su valor es

Ejemplo

Considera la integral

∫

Para integrarla usando 6 nodos igualmente espaciados. Por lo tanto los intervalos son

{ } lo que implica que .

Los valores de la integración quedan como:

0.00000 0.00000 0.00628

0.11220 0.11196 0.01876




0.22440 0.22252 0.03101

0.33660 0.33028 0.04287

0.44880 0.43388 0.05419

0.56100 0.53203 0.06482

0.67320 0.62349 0.07465

0.78540 0.70711

Al igual que en el ejemplo anterior, en la tercera columna observa la integral intervalo a

intervalo. Para obtener la integral del intervalo [ ] hay que ocupar (3) por lo que el

resultado queda:

[

]

.

3.1.2 Regla de Simpson

La regla de Simpson está dada por:

∫

(4)

El polinomio que se usa para construir esta regla es:

[ ] [

]

El cual describe una parábola que pasa exactamente por el punto medio entre y . Sólo

tenemos que integrar este polinomio para llegar a la expresión (3).

El grado de precisión de esta fórmula está dada por:

[ ]

En la figura 3. Se observa un bosquejo de en qué curva se está calculando el área e

identifica que pasa por el punto medio entre [ ]..




Figura 3. Bosquejo de la parábola usada para interpolar en la regla de Simpson

Con esta regla de cuadratura puedes alcanzar mayor precisión ya que al pasar una

parábola entre los puntos extremos del intervalo, el error en el que se incurre es menor.

Igual que en la regla del trapecio, no podemos sumar los valores de cada intervalo

integrado, en este caso es importante tomar en cuenta que el punto intermedio se

convertirá en punto extremo en la siguiente aplicación y por lo tanto habrá toda una

sección doblemente considerada.

Explícitamente la integración del intervalo [ ] usando la regla de Simpson queda de la

siguiente forma:

∫ ∫

∫ ∫

( )

( )

( )

Obteniendo: ∫

[( ) ( )

( )] (5)

En conclusión: para aproximar una integral por la regla de cuadratura de Simpson hay

que: sumar los extremos más la suma de los índices impares multiplicada por 4 más la

suma de los índices pares multiplicada por 2 y el resultado multiplicado por .

A esta regla se le llama la regla de Simpson compuesta.

Ejemplo.




Usando la misma función que en el ejemplo anterior hay que obtener la integral

aproximada de . Igual que en el ejemplo pasado el intervalo es de y en la tabla

siguiente se observan los valores de la aproximación

1 0.0000 2.0000 1.63233368

2 0.5000 1.6065 1.38352976

3 1.0000 1.3679 1.23262256

4 1.5000 1.2231 1.14109272

5 2.0000 1.1353 1.08557706

6 2.5000 1.0821 1.05190511

7 3.0000 1.0498

8 3.5000 1.0302

El valor de la aproximación en este intervalo es de:

[

]

Ejemplo

Aproximar

∫ (√ )

En el intervalo [ ] se usan 11 nodos equidistribuidos aplicando la regla de Simpson.

Entonces (11 nodos implican 10 intervalos). Las aproximaciones las

puedes ver a continuación

1 1 2.90929743 2.62833328

2 1.5 2.63815764 2.30829351

3 2 2.30807174 1.98473174

4 2.5 1.97931647 1.69113865

5 3 1.68305284 1.44457779

6 3.5 1.4353041 1.25273531

7 4 1.2431975 1.11753178

8 4.5 1.10831775 1.03724133

9 5 1.0287222 1.00784089

10 5.5 1.0002414

11 6 1.01735756




Usando (5) obtenemos que la aproximación es 8.18301549.

Este valor también lo puedes obtener sumando los números que están en rojo en la

cuarta columna. La razón es porque los intervalos considerados en la regla de Simpson

contienen tres puntos dentro de cada intervalo, entonces no podemos simplemente sumar

cada intervalo calculado ya que estaríamos considerando doble cada subintervalo, es por

esto que únicamente sumamos intervalos ajenos.

3.2 Cuadratura de Gauss

Las fórmulas de Newton-Cotes pueden incurrir en errores, como el cambio de los signos

en los pesos (alturas de los rectángulos) que podrían cambiar de signo haciendo que la

suma de varios de ellos presente cancelación catastrófica o escoger los nodos separados

equidistantemente, con lo que podría existir una distribución de nodos que lleve a cabo un

cálculo más aproximado.

Actividad 1. Solución de integrales por métodos de Newton-Cotes

En esta actividad practicarás la forma de aproximar numéricamente el valor de una

integral usando los métodos de Newton-Cotes, regla del trapecio y regla de

Simpson.

Instrucciones

1. Descarga el archivo “Act 1. Solución de Integrales por NC

2. Lee el contenido del documento, atendiendo principalmente los tips que se

mencionan.

3. Anota en un documento de texto, los resultados de las operaciones realizadas y

una brevísima explicación de cada una.

4. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la

nomenclatura MANU2_U3_A1_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu

primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu

apellido materno.

5. El peso del archivo no debe exceder los 4 MB.

6. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a).




En el caso que abordaremos ahora, en la cuadratura de Gauss, podemos integrar

funciones del tipo:

∫

∫

(4)

Donde

(5)

Se observa que los pesos de las funciones ya no son escalares, como en el caso de las

fórmulas de Newton-Cotes donde se fijaban para ser un múltiplo de .

En el caso de la regla de cuadratura de Gauss-Legendre, esto no será una restricción, es

decir, el valor del peso por el que multiplicaremos cada función variará y su valor

específico será determinado para cada caso. Las denominaremos, funciones de peso.

Este método de cuadratura también se conoce como cuadratura de Gauss-Legendre.

3.2.1 Cuadratura de Gauss

Las fórmulas de Newton-Cotes transforman una integral difícil de evaluar en una

expresión polinómica más sencilla, de un grado k y un error que sea

derivable en [ ].

Este procedimiento parece bueno excepto cuando tenemos funciones cóncavas donde el

polinomio escogido incurre en un error cuando cambia de signo o el área de la

función no está considerada por el polígono para aproximar el área.

Sin embargo, es una buena opción generalizar el método de Newton-Cotes escogiendo

otros nodos que no sean los extremos para que la aproximación sea mejor, se requiere

que la función a integrar cumpla con ser como lo expresan (4) y (5) de tal forma que

podamos convertir la función en un polinomio fácilmente integrable pero esta vez con

pesos variables que puedan hacer que el error incurrido sea menor pero tomando

únicamente puntos fijos, es decir necesitamos que:

∫

∑

(6)

A diferencia de las fórmulas de Newton-Cotes, con la cuadratura gaussiana buscamos

aproximar ∫

donde el integrando sea del tipo para algún valor de cerca

de a, donde , o bien ó pueden ser infinitos.

Queremos que los nodos que determinen la integral sea exactos, esto significa que:




∑

(7)

Siempre que esté bien aproximada por un polinomio de grado o menor.

Esto significa que:

∫ ∑

(8)

Para construir la regla general de cuadratura gaussiana empezaremos ejemplificando su

funcionamiento con el caso hipotético específico de calcular ∫

con dos nodos

únicamente donde:

∫

(9)

Y a le vamos a pedir que sea un polinomio de grado 3 y exacta (lo que significa que

su resultado es un polinomio con raíces en los nodos de la integral) como lo expresa

(7).La figura 1 es un bosquejo del área que queremos calcular usando dos nodos

únicamente.

Figura 4. Bosquejo de la cuadratura de Gauss con abscisas y

Una recta tiene una ecuación general de la forma:

Que en nuestro caso es la pendiente determinada por ( – ) ⁄ y

. La ecuación de la recta con estos valores a partir de es la recta:

(( – ) ⁄ )




El área del trapecio es

y se puede deducir a partir de la

figura 5.

Figura 5. Esquema para obtener el área del trapecio cuando se tienen los datos presentados..

En la expresión (8) aparecen cuatro términos que necesitamos encontrar: los pesos

, dentro del intervalo[ ] de tal forma que sean una mejor aproximación de

lo que con la regla del trapecio se puede lograr.

Como es un polinomio cúbico del tipo podemos distribuir la

integral en cada término de en el intervalo y considerando que es exacta para

{ } entonces quiere decir que podemos pedir que las siguientes condiciones se

cumplan.

∫

∫

∫

∫

Entonces esto plantea un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro variables que son las

siguientes:




Dividiendo por obtenemos:

Ya que por definición .

Por y usando este resultado vemos que:

Más aún, por

(10)

Sólo falta determinar el valor específico de .

Usando obtenemos:

A partir de este resultado podemos concluir que:

√

√ (11)

Con (10) y (11) hemos determinado los pesos y nodos donde debemos evaluar la función

para aproximar la integral únicamente con dos nodos.

Para poder calcular este resultado tuvimos que encontrar una función específica para

aproximar .

Esta construcción se hizo en el intervalo [ ], para poder trasladar la integración al

intervalo [ ] se puede hacer el siguiente cambio de variable.

Suponiendo que ya tenemos los nodos { } así como los pesos { }

y el cambio

de variable:

Aplicándola en nuestra integral obtenemos:

∫

∫ (

)

Obtenemos la regla de cuadratura siguiente:




∫

∑ (

)

(12)

Concretando: la regla de cuadratura de Gauss para se obtiene por:

∫

∑

Donde (

) y (

) para nodos espaciados arbitrariamente

dentro del intervalo [ ]. Los pesos{ } se obtienen de una tabla de valores

precalculados.

En esta unidad trabajaremos únicamente con dos nodos, cuyos pesos ya los conocemos.

Si quisiéramos usar más nodos y pesos se puede consultar una preconstruida con 64

nodos y abscisas en la siguiente liga:

http://processingjs.nihongoresources.com/bezierinfo/legendre-gauss-values.php

o en libros especializados de Cuadratura Numérica.

Usualmente estos valores como ya están fijos se encuentran precalculados y

almacenados en las bibliotecas de cálculo numérico pero el procedimiento para encontrar

más nodos y pesos es el mismo que acabas de estudiar.

Ejemplo

Utilizando dos nodos aplicaremos la regla de Gauss-Legendre para aproximar:

∫

Su valor real es y

.

Entonces, como

√ sus evaluaciones son

(

√ )

(

√ )

Actividad 2. Solución de integrales mediante la cuadratura de Gauss

En esta actividad practicarás como aproximar numéricamente el valor de una integral

usando la cuadratura de Gauss

http://processingjs.nihongoresources.com/bezierinfo/legendre-gauss-values.php




Ejemplo

Aproximar:

∫ (√ )

Usando la cuadratura de Gauss-Legendre con dos nodos y la expresión (12) para

mapear la integración al intervalo deseado.

Nuestra función a integrar es (√ ) y el intervalo es [ ].

El peso por el que hay que multiplicar cada polinomio es 1 y los nodos en los que se

evalúa la función son

√ y

√ , por lo tanto sustituyendo todo esto en (12)

tenemos que

:

y

.

Al sustituir los valores y la función en (12) obtenemos que [

√

√ ] que es una aproximación mucho mejor que la obtenida con el

método del trapecio.

Instrucciones

1. Descarga el archivo “Act2.Solución de Integrales por GL”

2. Lee el contenido del documento, atendiendo principalmente los tips que se

mencionan.

3. Anota en un documento de texto, los resultados de las operaciones realizadas y

una brevísima explicación de cada una.




apellido materno.


6. Espera la retroalimentación de tu docente en línea.




Actividad 3. Contraste de métodos.

En esta actividad practicarás cómo aproximar numéricamente el valor de una integral

usando la cuadratura de Gauss

Instrucciones

1. Resuelve ∫

con métodos simbólicos y numéricos.

2. Contrasta los resultados de cada método y la cantidad de pasos que te llevaron a

ese resultado.

3. Anota en un documento de texto todos los pormenores y la conclusión de la

discusión del punto anterior. Explica en un documento qué método es mejor y por

qué..




apellido materno.

5. Espera la retroalimentación de tu Facilitador (a).

Autoevaluación

Para verificar los conocimientos adquiridos en la unidad, deberás ingresar a la

Autoevaluación y responder las preguntas que ahí se te plantean.

Instrucciones. Elige la respuesta correcta a la pregunta planteada:

1. Usamos métodos numéricos para resolver integrales cuando

a) La integral es muy complicada para determinar su forma simbólica o tiene una

cantidad de singularidades finitas

b) Tenemos una forma simbólica para calcularla exactamente y queremos

comprobar su resultado

c) No sabemos la función a integrar

d) La integral no está definida

2. Para poder integrar numéricamente las integrales estudiadas requerimos poder

expresar la función a integrar …

a) como un polinomio de grado ponderado por un conjunto de n pesos más un

término de error cuyo grado es

b) como una función continua en el mismo intervalo

c) como un polinomio de grado no acotado

d) como una combinación lineal de funciones trigonométricas




3. En las fórmulas de Newton-Cotes existe un término comúnmente denominado

que representa

a) El tamaño del subintervalo en el que está dividido el intervalo de integración

[ ]

b) El error de integración

c) El grado máximo del polinomio con el que aproximamos la función.

d) La variable de la función

4. La fórmula de integración del trapecio es: (considera que ):

a) ⁄

b)

c)

d)

5. El método de cuadratura de Gauss revisado hace un mapeo de la función en el

intervalo [ ] para después calcular los siguientes cuatro números:

a) Dos nodos y dos pesos

b) Cuatro nodos

c) Cuatro pesos

d) Dos nodos, los pesos siempre valen 1.

Es necesario comparar tus respuestas, para ello revisa el documento

Respuestas_autoevaluación_U3, ubicada en la pestaña material de apoyo de la unidad

3

Retroalimentación

1-3 aciertos. Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar

nuevamente el contenido de la unidad.

4-5 aciertos. Tienes un conocimiento claro de los conocimientos de la Unidad, sigue

adelante.

Evidencia de aprendizaje. Integración Numérica

Para desarrollar la evidencia de aprendizaje realiza los siguientes pasos:

Instrucciones:

1. Descarga el documento “EA. Integración Numérica”.

2. Resuelve los problemas planteados.

3. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura MANU2_U3_EA_XXYZ.

Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu




Autorreflexiones

Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de Autorreflexión para realizar el ejercicio

correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que

también se toman en cuenta para la calificación final.

Para saber más

Franco, A. (2000) "Integracion Numerica" en "Procedimientos numéricos en lenguaje

Java". En línea

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/numerico/integracion/integracion.htm

Negrón, P. "Reglas del Trapezoide y Simpson" en "Notas de Análisis Numérico". En línea:

http://mate.uprh.edu/~pnm/notas4061/

"NumericalIntegration" en "Finite Math & Applied Calculus". En línea

http://www.zweigmedia.com/RealWorld/integral/numint.html

Weisstein, Eric W. "Numerical Integration." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

http://mathworld.wolfram.com/NumericalIntegration.html

Weisstein, Eric W. "Legendre-Gauss Quadrature." From MathWorld--A Wolfram Web

Resource. http://mathworld.wolfram.com/Legendre-GaussQuadrature.html

Wolfram-Alpha.http://www.wolframalpha.com/

Keisan Online Calculator. http://keisan.casio.com/menu/system/000000000980

Bibliografía

Burden, R. L. (2011). Análisis numérico, Novena edición. México: Cengage Learning

Editores.

Chapra, S. C. (2011). Métodos numéricos para ingenieros.México: McGraw-Hill.

apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.


5. Espera la retroalimentación de tu Facilitador (a).

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/numerico/integracion/integracion.htm

http://mate.uprh.edu/~pnm/notas4061/

http://www.zweigmedia.com/RealWorld/integral/numint.html

http://mathworld.wolfram.com/NumericalIntegration.html

http://mathworld.wolfram.com/about/author.html

http://mathworld.wolfram.com/

http://mathworld.wolfram.com/Legendre-GaussQuadrature.html

http://www.wolframalpha.com/

http://keisan.casio.com/menu/system/000000000980




Conte, S.D., de Boor, Carl (1974) Análisis Numérico, McGraw-Hill. 2ª ed. México

Mathews, J., Fink K. (2007). Numerical methods using MATLAB.4ª ed. Pearson Prentince

Hall.

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