5 Interpolacion - Diferenciacion e Integracion Numerica

H. Scaletti - Mtodos Numricos: Interpolacin, Diferenciacin e Integracin 5 - 1

5. Interpolacin, Diferenciacin e Integracin Numrica

5.1. Diferencias Finitas

Dadas las abscisas kx , uniformemente espaciadas: hxx kk +=+1 , a las que corresponden valores ( )kk xff , se definen las primeras diferencias finitas hacia adelante como:

kkk fff = +1 . Anlogamente pueden definirse las segundas diferencias:

kkkkkk ffffff +== +++ 1212 2 y en general las diferencias finitas hacia adelante de orden n :

kn

kn

kn fff 111 + =

( ) inkn

i

ik

n finf

+

=

=

0

1

donde: ( )!!!

inin

in

=

Una tabla de diferencias es un arreglo de la forma: k kf kf kf2 kf3 kf4 kf5 kf6 kf7 0 0 0 0 0 1 -5 15 -35 1 0 0 0 1 -4 10 -20 35 2 0 0 1 -3 6 -10 15 3 0 1 -2 3 -4 5 4 1 -1 1 -1 1 5 0 0 0 0 6 0 0 0 7 0 0 8 0

Puede apreciarse como un pequeo error en las kf puede amplificarse en las diferencias finitas altas, lo que puede ser til para identificar posibles errores en una tabla de ( )xf . Las diferencias finitas tienen ciertas propiedades anlogas a las derivadas. As por ejemplo:

( ) kkkk vcucvcuc +=+ 2121 ( ) kkkkkk uvvuvu += +1

1+

=

kk

kkkk

k

k

vv

vuuv

v

u

( ) ( )

=

+

=

=1

0100

1

0

n

iiinn

n

iii vuvuvuvu


En forma similar, pueden definirse diferencias finitas hacia atrs:

1= kkk fff

111

= knknkn fff

y diferencias centrales:

21

21

+= kkk fff

112 2

21

21

++

+== kkkkkk ffffff

.....

21

21

11

+

=k

n

kn

kn fff

Estas diferencias estn relacionadas:

211 ++

==kkk

fff

Y en general:

2nk

n

nkn

kn fff

++==

Para puntos con espaciamiento no uniforme pueden calcularse diferencias divididas:

],[)()(],[ 0110

1010 xx

xx

xfxfxx =

=

20

2110210

],[],[],,[xx

xxxxxxx

=

...

n

nnn

xx

xxxxxxxxxx

=

0

21110210

],,[],,[],,,[ LLL

Por ejemplo: k kx kf [ ] L1, +kk xx 0 0 -5 6 2 1 0 0 1 1 1 12 6 1 0 2 3 25 30 11 1 3 4 55 63 15 4 6 181 108 5 7 289

Para el caso de puntos con espaciamiento uniforme, h , las diferencias divididas pueden relacionarse con diferencias finitas hacia delante:

n

in

niiii hnf

xxxx!

],,,[ 21

=+++ L

y en forma similar con diferencias finitas centrales o hacia atrs.

Si )(xf es un polinomio de grado n , las diferencias finitas (de cualquier tipo) de orden 1+n o superior obtenidas con los )( kk xff = son cero. En el ejemplo anterior )(xf es

un polinomio de tercer grado.


5.2. Interpolacin

Supngase que se tiene una tabla de valores tales como:

nx )( kxf 0 1.000 000

0.1 0.995 004 0.2 0.980 067 0.3 0.955 336 0.4 0.921 061 0.5 0.877 582

Y se requiere calcular )25.0(f . Para ello, )(xf puede aproximarse localmente por una funcin ms simple, )(xg , tal que )()( kk xfxg = . El caso ms comn es aquel en que

)(xg es un polinomio, pero tambin son frecuentes las aproximaciones con funciones trigonomtricas, por ejemplo:

LL ++++++= xbxbxaxaaxg 2sensen2coscos)( 21210 En lo que sigue se hace nfasis en interpolaciones polinmicas. Dados 1+n puntos

)(, kk xfx , slo un polinomio de grado n , ( )xpn , satisface las condiciones )()( kkn xfxp = para todo k . Sus coeficientes, ia , podran obtenerse resolviendo:

=

MMK

K

K

K

K

)()()()(

1111

3

2

1

0

3

2

1

0

33

233

32

222

31

211

0200

xfxfxfxf

a

a

a

a

xxx

xxx

xxx

xxx

pero esto no es prctico. Otros mtodos ms eficientes se revisan a continuacin.

5.2.1 Frmulas de Interpolacin de Newton y Otras Expresiones Anlogas.

Para puntos uniformemente espaciados:

=

++=+1

000 !)1()2()1()(

j

j fjjfhxf L

Esta expresin es fcil de obtener considerando un operador E tal que 1+= kk ffE , es decir +=1E . Como nkkn ffE += , puede escribirse: 000 )1()( ffEhxf +==+ . Generalmente se consideran solo algunos trminos de esta serie.

Por ejemplo, despreciando las diferencias de orden 3 o superior: =+++ kkkk fffhxf 221 )1()(

21 2)1()2(

2)2()1(

++

++

= kkk fff

Considerando los valores numricos:

k kx )( kxf 2 0.2 0.980 067 3 0.3 0.955 336 4 0.4 0.921 061


(para los que 1.0=h ), el valor de )25.0(f podra obtenerse con 5.0= :

( ) )921061.0(2

)5.0()5.0()955336.0()5.1()5.0()980067.0(2

)5.1()5.0(5.02

++

=+ hxf

de donde ( ) 895968.025.0 f (el valor exacto es 912968.0 ) La expresin anterior es la frmula de interpolacin de Newton con diferencias finitas hacia adelante. Similarmente puede escribirse la frmula de Newton con diferencias hacia atrs:

=

++++=+1 !

)1()2()1()(j

n

jnn fj

jfhxf L

o la frmula de Newton con diferencias divididas:

[ ] [ ][ ] L++

+++=

)()()(,,,)()(,,)(,)(

2103210

102100100

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxfxf

Esta ltima expresin es vlida tambin para puntos con espaciamiento no uniforme.

Considrese por ejemplo la tabla de diferencias divididas: i

ix if [ ]1, +ii xx [ ]2, +ii xx L [ ]3, +ii xx L [ ]4, +ii xx L -1 0. 1.000 000 -0.099 667 -0.492 113 0.037 106 0.039 670 0 0.2 0.980 067 -0.247 301 -0.477 270 0.060 908 0.037 594 1 0.3 0.955 336 -0.342 755 -0.452 907 0.079 705 2 0.4 0.921 061 -0.478 627 -0.421 025 3 0.6 0.825 335 -0.604 934 4 0.7 0.764 842

+++= )3.025.0()2.025.0()477270.0()2.025.0()247301.0(980067.0)25.0(f 968914.0)4.025.0()3.025.0()2.025.0()060908.0( =++ L

(Este es el resultado con 5 trminos, con 3 trminos se obtiene 0.968 895) Otra alternativa es interpolar con diferencias centrales:

L+++++=+++ 2

121

3612

21 )1()1()1()(

kkkkkffffhxf

L++++++=+ 2

121

3612

21 )1()1()1()(

kkkkkffffhxf

Estas son las frmulas de Gauss. Promediando las dos expresiones se obtiene la frmula de Stirling:

( ) L+

+

++

++=+

++ 21

21

21

21

332

22

12)1(

22 kkkkkkkffffffhxf

5.2.2. Frmula de Interpolacin de Lagrange

Esta frmula es ms adecuada para anlisis tericos que para el cmputo prctico. El polinomio de interpolacin se obtiene como:

=

=

m

iii fxgxp

0

)()(


Los polinomios )(xg i se obtienen multiplicando n binomios: ( )( )

=

=

m

ijj ji

ji

xx

xxxg

0

)( .

Ntese que ijji xg =)( . El siguiente ejemplo es ilustrativo:

k kx kf 0 0. -5. 1 1. 1. 2 3. 25.

)34()30()10()3()1()( 2310 +=

= xxxx

xg

)3()31()01()3()0()( 2211 xx

xxxg +=

=

)()13()03()1()0()( 2612 xx

xxxg =

=

542)()( 22

0

+===

xxfxgxpi

ii

5.2.3. Interpolacin de Hermite.

En algunos casos es conveniente trabajar con los valores de la funcin, ( )xf y un cierto nmero de sus derivadas ( ) )(),(),(),( xfxfxfxf mK . Dados los valores

( )mkkkk ffff K,,, en n puntos de abscisas kx , es posible determinar un polinomio ( )xp

de grado ( ) 11 + nm que satisfaga: ( ) ( )

1,1,0,1,0)()(

=

==

njmixfxp jiji

K

K

La interpolacin de una funcin cuando una o ms de sus derivadas son conocidas en cada punto se llama interpolacin de Hermite. ( )xp puede obtenerse utilizando la frmula de Newton con diferencias divididas y considerando que:

[ ] ( ) )()()(

, 001

0100

01xf

xx

xfxfLimxx

xx

=

=

[ ] [ ]( )10100

100,)(

,,

xx

xxxfxxx

=

Tambin podran usarse las expresiones de Lagrange, considerando primero puntos a una distancia pequea, , y luego identificando a las derivadas con los lmites de diversas expresiones para 0 .

El siguiente ejemplo es ilustrativo. Se trata de determinar un polinomio ( )xp de grado 3, tal que:

( )( )( )( ) B

A

B

A

Lpp

vLpvp

=

=

=

=

0

0


k kx kf [ ]1, +kk xx [ ]21 ,, ++ kkk xxx [ ]321 ,,, +++ kkkk xxxx 0 0 Av A LL

vv AAB

2 ( )

23

2LL

vv BAAB ++

1 0 Av Lvv AB

2Lvv

LABB

2 L Bv B 3 L Bv

Se han tomado datos de esta tabla siguiendo una trayectoria horizontal.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )LxxLL

vvx

LLvv

xvxp BABAAABAA

++

+

++= 2232

2 0200

( ) ( ) ( ) ( ) LLvvxp BABA +++= 1123231)( 223232 donde Lx= .

5.2.4. Interpolacin Inversa.

En la solucin de 0)( =xf pueden obtenerse aproximaciones a una raz, x , por interpolacin de una funcin inversa con ordenadas kx para abscisas de espaciamiento no uniforme, )( kxf . Considrese, por ejemplo:

kx )( kxf 1. 1.76 2. 0.41 3. -0.16 4. -0.32

Usando la frmula de Lagrange con 4 puntos:

)16.032.0()41.032.0()76.132.0()4()16.00()41.00()76.10(

)32.016.0()41.016.0()76.116.0()3()32.00()41.00()76.10(

)32.041.0()16.041.0()76.141.0()2()32.00()16.00()76.10(

)32.076.1()16.076.1()41.076.1()1()32.00()16.00()41.00(

+

++

+

++

+++

+++

++

++x

37.2x

5.2.5. Generalizacin a Varias Dimensiones.

Las expresiones anteriores pueden fcilmente generalizarse para "mallas" de ms dimensiones. As, si se tienen puntos con coordenadas kji zyx ,, ( lkmjni LLL 0;0;0 === ) las frmulas de Lagrange resultan:

= = =

=

n

i

m

j

l

kijkzyx fzgygxgzyxp kji

0 0 0

)()()(),,(

donde ( )( )=

=

n

irr ri

r

xixx

xxxg

0

)( y expresiones similares en las direcciones zy, .

Frecuentemente los puntos estn uniformemente espaciados: xxx ii +=+1 yyy ii +=+1 zzz ii +=+1


La figura muestra una zona de una malla bidimensional con espaciamiento uniforme. Las coordenadas de un punto en la proximidad de A pueden definirse por dos parmetros , (coordenadas relativas medidas en unidades yx , ).

O

x

E

D C B

A

HGF

y x

yP

Usando la frmula de Stirling, e incluyendo diferencias centrales hasta de 2 orden inclusive, se obtiene:

( ) +

=

+

=

=++1

1

1

100 ,

i jijji fbayyxxf

donde: ( )1211 = a ( )1211 = b

22 1 =a

22 1 =b

( )1213 += a ( )1213 += b y es igualmente fcil desarrollar expresiones anlogas considerando un nmero mayor o menor de puntos en cada direccin. La presencia de bordes curvos introduce algunas dificultades (no es posible seguir teniendo un espaciamiento uniforme). Sin embargo, en muchos casos es necesario trabajar con mallas no regulares, como la mostrada en la figura siguiente. Las diferencias finitas no son entonces la herramienta ms adecuada. El concepto de elementos finitos es til y permite un tratamiento ms simple. La regin en estudio se divide en subregiones o elementos, conectados en un nmero finito de nudos con los elementos adyacentes.

El valor de una funcin, f , en un punto en el interior de un elemento se obtiene interpolando los valores de la funcin en los nudos del elemento:

i

N

ii fzyxNzyxf =

=1

),,(),,(


Las funciones de interpolacin deben satisfacer:

ijjjji zyxN =),,( ( jjj zyx ,, son las coordenadas del nudo j )

1),,(0

==

N

ii zyxN

Esto ltimo es evidente si se supone cf i = para todo j y entonces czyxf =),,( . Adicionalmente, las iN deben ser tales que se mantenga la continuidad de f (y en algunos casos la continuidad de una o ms derivadas) en los bordes entre elementos. Es relativamente fcil construir estas funciones para elementos bidimensionales rectangulares.

Por ejemplo, para un elemento con 4 nudos (con referencia al centroide):

4,3,2,11141),( =

+

+= i

by

by

a

x

a

xyxN iii

b

4

1

a

3

2

a

bX

Y

4

1b

b

a a

Y

2

3

X8 6

7

5

Y para un elemento con 8 nudos (con referencia al centroide):

+

+

+= 111

41

by

by

a

x

a

x

by

by

a

x

a

xN iiiii 4,3,2,1=i


+

=

by

by

a

xN ii 1121 2

7,5=i

+=

2

1121

by

a

x

a

xN ii 8,6=i

Estos son los dos elementos ms simples de la familia de Serendip.

Las funciones de interpolacin para los correspondientes elementos tridimensionales son similares.

En subregiones triangulares las funciones de interpolacin resultan ms simples si se escriben en coordenadas de rea, L1, L2, L3.. Un punto en el interior de un tringulo permite definir tres tringulos parciales, cuyas reas divididas entre el rea total del tringulo son justamente las Li:

AA

L ii =

En consecuencia:

1321 =++ LLL .

Las coordenadas yx, se relacionan con las coordenadas de rea mediante:

xxLi

ii ==

3

1

yyLi

jj ==

3

1

Por otro lado si el origen de coordenadas yx, est en el centroide del tringulo:


yA

cx

Ab

L iii 2231

++=

donde: kji yyb =

jki xxc =

kji ,, son permutaciones cclicas de 3,2,1 .

Para un elemento con 3 nudos, el valor de una funcin, ),( yxf , puede obtenerse por interpolacin lineal de los tres valores nodales 321 ,, fff :

=

=

3

1

),(i

ii fLyxf

es decir, ),(),( yxLyxN ii = . En forma similar, para un elemento con 6 nudos (nudos adicionales al centro de cada lado), ),( yxf puede obtenerse por interpolacin cuadrtica de los valores nodales.

( )12 = iii LLN 3,2,1=i

136

325

214

444

LLNLLNLLN

=

=

=

(Los elementos triangulares de mayor orden son en general poco tiles). Pueden escribirse fcilmente expresiones anlogas para los correspondientes elementos tridimensionales.

1

2

3

1

3

26

4

5

Para elementos ms complejos, la construccin de funciones de interpolacin puede simplificarse si se efecta previamente un "mapeo" adecuado.

Por ejemplo, para el hexaedro de Serendip con 20 nudos:


( )=

=

20

1

,,),,(i

ii fNf

( )( )( )( )211181 +++++= iiiiiiiN 8,1 L=i ( ) ( ) ( )iiii gggN ,,,= 20,9 L=i

donde: ( )iig += 1),( 21 si 1=i ( )21),( =ig si 0=i .

Las coordenadas zyx ,, pueden asociarse con las ,, usando las mismas funciones de interpolacin:

( ) ii

i xNx ,,20

1

=

=

( ) ii

i yNy =

=

20

1

,,

( ) ii

i zNz =

=

20

1

,,

en tal caso se dice que el elemento es isoparamtrico. Tambin puede hablarse de elementos sub-paramtricos o hiper-paramtricos, segn las funciones utilizadas en el mapeo sean de grado menor o mayor que aquellas con que se interpola la funcin, f . Ntese que tambin es posible hacer mapeos con las coordenadas de rea.

5.3. Derivacin

Dados )()(),( 2211 nn xffxffxff K puede obtenerse una aproximacin, )(xg , a la funcin )(xf , tal que )()( ii xfxg = para ni K,2,1= . Este es el problema de interpolacin considerado en la seccin 5.2. Entonces, las derivadas de )(xf podran aproximarse, localmente, por aquellas de )(xg . Sin embargo, debe tenerse presente que pequeos errores en los valores de la funcin pueden amplificarse enormemente al calcular las derivadas. A mayor orden de la derivada, mayores son las probabilidades de errores de cancelacin.

En lo que sigue se considera el caso de abscisas nxxx K,21 , con espaciamiento uniforme, h . Para h suficientemente pequeo:

K++= )()()()()( 361221 iiiii xfhxfhxfhxfhxf K+= )()()()( 221 iiii xfhxfhxfxfh

de donde, con la notacin )()()( immi xff = :

)()(1 hOhfhO

hfff iiii +

=+

=+

y en forma similar se tienen:

)(1 hOh

fff iii +

=


)( 22121 hOh

fff iii +

=+

Incluyendo puntos ms alejados pueden obtenerse expresiones del tipo:

)( 3261

121

131

hOh

fffff iiiii ++

=++

Pero las expresiones ms simples son las ms frecuentemente utilizadas.

Considrese por ejemplo los valores ( xcos ):

kx )( kxf )( kxf hf k

hff kk

211 +

0. 1.000 000 0. 0.049 958 0.1 0.995 004 0.099 833 0.149 376 0.099 667 0.2 0.980 067 0.198 669 0.247 301 0.198 338 0.3 0.955 336 0.295 520 0.342 755 0.295 028 0.4 0.921 061 0.389 418 0.434 784 0.388 770 0.5 0.877 582 0.479 426

Igualmente, )(xf puede ser aproximada por diferencias finitas de segundo orden:

( ) ( )2222 11 2)( hOfhOhffffxf iiiiii +=+

+==

+

Por ejemplo, para la funcin de la tabla precedente:

97925.0)1.0(955336.0)980067.0(2995004.0)2.0( 2

+f

El valor exacto es 980067.0)2.0(sen = y las derivadas de orden superior pueden ser aproximadas por las correspondientes diferencias finitas.

Por ejemplo: m

im

m

i hff )(

m

im

m

i hff )(

Cuando se tienen 2 o ms variables independientes, Ltyx ,, y mallas ortogonales de puntos uniformemente espaciados, las derivadas parciales pueden aproximarse por diferencias finitas trabajando separadamente con cada variable. As por ejemplo, para

hyx == , el Laplaciano:

2

2

2

22

yu

x

uu

+

=

en un punto de coordenadas ji yx , puede aproximarse por:

21,,1,

2,1,,12

522h

uu

huuu

ujijujijijiji

ij+++ ++

+=

con un error de ( )2hO Ntese que en u2 y iju25 el smbolo no es el operador para diferencias hacia atrs.


Al utilizar elementos finitos, las derivadas se obtienen operando exactamente con las

funciones de interpolacin. As, si: in

ii fzyxNf

=

=

1

),,( se tiene: in

i

i fx

Nx

f

=

=

1

.

Algunos comentarios adicionales relativos al uso de elementos isoparamtricos son aqu necesarios. Para elementos isoparamtricos las funciones de interpolacin iN estn expresadas como funcin de L ,, :

( ) in

ii fNf

=

=

1

,,

y las coordenadas L ,, estn relacionadas con las Lzyx ,, mediante las mismas funciones de interpolacin, v.g.:

( ) in

ii xNx

=

=

1

,, Excepto para casos particulares de geometra muy simple, es prcticamente imposible obtener expresiones explcitas para las L ,, en funcin de las Lzyx ,, y lo mismo puede decirse de las funciones de interpolacin, ( ) ,,iN . Como consecuencia, en general es fcil obtener derivadas con relacin a las L ,, , pero comparativamente difcil obtener expresiones explcitas para las L,,,

z

fyf

x

f

. Su evaluacin numrica

es, sin embargo, muy simple. Teniendo en cuenta que:

=

z

fyfx

f

zyx

zyx

zyx

f

f

f

O en notacin ms compacta: r

Jx

=

ff

. Los elementos de la matriz J y de r

f se

obtienen con expresiones e la forma:

i

n

i

i

i

n

i

i

zNz

xNx

=

=

=

=

1

1

M

Por otro lado, al obtenerse la matriz J puede hacerse el cambio de variables:

ddddzdydx = )det( J lo que facilita enormemente las integrales, ya que los lmites de integracin son en cada caso 1 y 1+ .

5.4. Ecuaciones de Diferencias

Una frmula de recursin del tipo: ( )nyyyyfy knnnnkn ,,,,, 121 ++++ = K se denomina ecuacin de diferencias de orden k . La solucin de ecuaciones de diferencias tiene cierta analoga con la solucin de ecuaciones diferenciales ordinarias.


La ecuacin

011 =+++++ +++ nkjknjknkn yayayay KK

es una ecuacin de diferencias lineal, homognea, de orden k , con coeficientes constantes. Esta ecuacin queda satisfecha por jj cry = . Los posibles valores de r corresponden a las races de la ecuacin caracterstica:

0)( 12211 =+++++= kkkkk ararararrp K . Si la ecuacin caracterstica tiene k races distintas krrr K,, 21 la solucin general de la ecuacin de diferencias (lineal, homognea, con coeficientes constantes) puede escribirse:

jkk

jjjj rcrcrcrcy K+++= 332211

Lo cual puede probarse por simple sustitucin. Si en cambio se tiene una raz de multiplicidad m , deben considerarse trminos jrjq )( , donde )( jq es un polinomio de orden 1m . En cualquier caso la solucin tiene k constantes independientes.

Considrese por ejemplo: 065 12 =+ ++ nnn yyy , con condiciones iniciales 00 =y , 11 =y . Por recursin con nnn yyy 65 12 = ++ se obtienen:

5)0)(6()1)(5(2 ==y 19)1)(6()5)(5(3 ==y

65)5)(6()19)(5(4 ==y 211)19)(6()65)(5(5 ==y

Por otro lado, la ecuacin caracterstica es en este caso 0652 =+ rr , cuyas races son 21 =r , 32 =r . La solucin general es:

nnn ccy 32 21 += y dadas las condiciones

iniciales:

0=n 021 =+ cc

1=n 132 21 =+ cc se obtienen: 11 =c y 12 =c , es decir

nnny 23 = .

Por ejemplo, 651681)2()3( 444 ===y . En cambio, 043 23 =+ ++ nnn yyy tiene la ecuacin caracterstica 043

23=+ rr

cuyas races son 11 =r , 232 == rr , y su solucin general es entonces: nn

n ncccy )2)(()1( 321 ++= . La frmula de recursin para los polinomios de Tchebicheff:

0)()(2)( 11 =+ + xTxxTxT nnn

es tambin una ecuacin de diferencias lineal, homognea, de orden 2, con coeficientes constantes (porque 1, -2x, 1 no son funcin de n). Su ecuacin caracterstica es:

0122 =+ rxr , con races 21 xixr = . Haciendo el cambio de variable = cosx se tiene: == ieir sencos . La solucin general de la ecuacin de diferencias es

( ) ( ) + +=+= ininninin ececececT 2121 . Con las condiciones iniciales 1)(0 =xT , == cos)(1 xxT se obtienen 2121 == cc y finalmente =+= neexT ininn cos)( 2121 ,

donde xcosarc= .


La solucin de una ecuacin de diferencias lineal no homognea puede obtenerse sumando a la solucin de la correspondiente ecuacin homognea una solucin particular. Los ejemplos siguientes son ilustrativos: Considrese: nnn ayy =+ 21 , con la condicin inicial 10 =y . La correspondiente ecuacin homognea, 021 =+ nn yy , tiene la ecuacin caracterstica 02 =r y su solucin es entonces nn cy )2(= . Para la solucin particular puede tantearse una solucin de la forma nn ay = , de donde

nnn aaa = + 21 y por lo tanto ( ) 12 = a (esto es, suponiendo que 2a ). La solucin general es: ( ) nnn caay )2(2 += . Con la condicin inicial se halla ( ) 121 = ac y finalmente ( ) ( )222 += aay nnnn (para 2a ). Para 2=a la regla de L' Hospital da: 122 += nnn ny . Para la ecuacin de diferencias nnnn nyyy )1(3265 12 +=+ ++ puede considerarse la solucin particular: ncbany )1(++= . Sustituyendo esta expresin en la ecuacin e identificando coeficientes se obtienen: 1=a , 23=b , 41=c . Por otro lado, la ecuacin caracterstica es: 0652 =+ rr con races 21 =r , 32 =r . La solucin general resulta entonces nnnn ccny )3()2()1( 214123 ++++= .

5.5. Integracin Numrica (Cuadratura) La evaluacin de una integral definida:

b

a

dxxf )(

en forma explcita es a veces muy difcil o prcticamente imposible. En tales casos puede hacerse una aproximacin numrica tal como las que se mencionan en esta seccin.

5.5.1 Regla de los Trapecios, Regla de Simpson y otras frmulas interpolatorias.

Una posible forma de resolver el problema es aproximando, localmente, la funcin, ( )xf , por otra, ( )xg , ms simple de integrar. En la Regla de los Trapecios se aproxima ( )xf con segmentos de recta y entonces:

( ) [ ] +1

0)()()( 100121

x

x

xfxfxxdxxf

Esta expresin puede generalizarse para un intervalo [ ]nxx ,0 . Considerando abscisas con espaciamiento uniforme hxx ii += 1 , para los que se tiene valores de la funcin

)( ii xff = puede hacerse interpolaciones lineales en cada subintervalo [ ]1, +ii xx para obtener:

( ) ( ) +++++= nx

xnn fffff

hhTdxxf0

1210 2222)( K

El error de truncacin puede estimarse ms fcilmente considerando primero el sub-intervalo [ ]2,2 hh + para el cual (siendo h pequeo):

K+++++= )0()0()0()0()0()( 4241361221 IVfxfxfxfxfxf e integrando:

+

+++=2

2

)0(1920

)0(24

)0()(53h

h

IVfhfhfhdxxf L


Por otro lado:

( ) L++= )0(384

)0(48

)0(8

)0(2

2432

0IVfhfhfhfhfhf

+

+

=

2

2

)0(480

)0(12222

)(53h

h

IVfhfhhfhfhdxxf K

Si h es pequeo el error local de truncacin es de ( )3hO . Sin embargo, para integrar entre lmites a y b se requieren ( ) hab subintervalos (este nmero es inversamente proporcional a h ) y el error global es entonces de ( )2hO . En la Regla de Simpson la aproximacin local se hace interpolando con parbolas de 2 grado. Considerando puntos con abscisas uniformemente espaciadas:

( ) +++=20

)(90

43

)( 15

210

x

x

IV xfhfffhdxxf K

y en general, considerando un nmero par de subintervalos:

( ) ( ) +++++++++= nxx nnn hOffffffffhdxxf0 41243210 4224243)( K Esta frmula es exacta cuando )(xf es un polinomio de hasta tercer grado.

Considrese por ejemplo: 912437609.15Ln51

== xdx

Para la funcin x

xf 1)( = se obtienen los valores siguientes:

x )(xf x )(xf 1.00 1. 3.25 0.3076 9231

1.25 0.8 3.50 0.2857 1429 1.50 0.6666 6667 3.75 0.2666 6667 1.75 0.5714 2857 4.00 0.25 2.00 0.5 4.25 0.2352 9412 2.25 0.4444 4444 4.50 0.2222 2222 2.50 0.4 4.75 0.2105 2632 2.75 0.3636 3636 5.00 0.2 3.00 0.3333 3333

y utilizando la regla trapezoidal se obtienen aproximaciones a 5

1 x

dx.

Por ejemplo con 1=h :

( ) ( )[ ] KK 8336.12.025.0333.05.02.11215

1=++++ x

dx

y en forma similar h ( )hT

1.0 1.683 333 0.5 1.628 968

0.25 1.614 406 ....

Con la regla de Simpson se obtienen:


h ( )hS 0.5 1.610846

0.25 1.609552 0.125 1.609446

Las frmulas de los trapecios y de Simpson corresponden al grupo de frmulas de Newton - Cotes de intervalo cerrado. Algunas otras frmulas de este grupo son la regla de Simpson de los 83 :

( ) ( )73210 3383)(30 hOffffhdxxf

x

x

++++=

y la regla de Bode:

( ) ( )943210 73212327452)(40 hOfffffhdxxf

x

x

+++++=

Tambin pueden obtenerse frmulas que utilizan puntos uniformemente espaciados pero no incluyen los valores de la funcin en uno o en los dos lmites de la integral. Estas son las frmulas de Newton - Cotes de intervalo abierto. Por ejemplo:

( ) ( )32123)(30 hOffhdxxf

x

x

++=

( ) ( )5321 2234)(40 hOfffhdxxf

x

x

++=

5.5.2. Extrapolacin de Richardson y el Mtodo de Romberg

Si ( )hT es la aproximacin de b

a

dxxf )( obtenida de la aplicacin de la regla de los trapecios con intervalo h , puede escribirse:

++++=b

a

hahahadxxfhT K634221)()(

( ) ( ) ( ) ++++=b

ahahahadxxfhT K634221 222)()2(

y entonces:

+++=

b

ahahadxxfhThT K6342)(3

)2()(4

es decir ( ))2()(431 hThT es una aproximacin a b

a

dxxf )( con un error de truncacin de

( )4hO , menor que el de ( )hT o ( )hT 2 . En forma similar, para la regla de Simpson: ++++=

b

ahahahadxxfhS K846342)()(

++++=b

ahahahadxxfhS K846342 )2()2()2()()2(

y entonces:

( )( ) +++=

b

ahahadxxfhShS K84634

4

)(12

)2()(2


es una aproximacin mejor a la integral, con un error global de ( )6hO . Estos son dos ejemplos de la extrapolacin de Richardson.

Para la integral 5

1 x

dx considerada anteriormente:

( ) 333683.10,1 =T ( ) 968628.15,0 =T ( ) ( )( ) ( )5.0846610.10.15.0431 STT == ( ) 406614.125,0 =T ( ) ( )( ) ( )25.0552609.15.025.431 STT ==

Obsrvese que estos resultados coinciden con los obtenidos de la regla de Simpson.

El mtodo de Romberg considera inicialmente los resultados jT .1 , de aplicar la regla de los trapecios con distintos grados de subdivisin, ( ) jj abh 2= . Estas aproximaciones tienen errores de truncacin de ( )2jhO . No es necesario rehacer todos los clculos para cada nueva subdivisin, pudindose emplear la expresin:

( )

==

++=12

21

1,121

,1

j

ii

jjjj ihafhTT

Usando la extrapolacin de Richardson se obtienen nuevas aproximaciones con errores de ( )22 +ijhO :

( )( ) 12

22

,1,2

,1

=+

+ ijiji

i

jiTT

T

Considrese nuevamente la integral: 5

1 x

dx. Con la regla de los trapecios se obtienen:

j jjh 24

= ( )

=

=

+12

12

j

ii

jhiaf jT ,1

0 4. 2.4 1 2. 0.333 333 1.866 667 2 1. 0.75 1.683 333 3 0.5 1.574 603 1.628 968 4 0.25 3.199 689 1.614 406 5 0.125 6.427 862 1.610 686

Y de las sucesivas extrapolaciones:

j jT ,2 jT ,3 jT ,4 jT ,5 jT ,6 0 1 1.688 889 2 1.622 222 1.617 777 3 1.610 847 1.610 088 1.609 966 4 1.609 552 1.609 466 1.609 456 1.609 454 5 1.609 446 1.609 439 1.609 438 1.609 438 1.609 438

Las cifras subrayadas coinciden con las de la solucin exacta.


5.5.3. Integracin con puntos no equidistantes

Las frmulas de integracin con puntos equidistantes consideradas en la seccin 5.5.1:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )mmba

xfcxfcxfcxfcdxxf ++++ L332211

con m puntos de integracin y m parmetros mccc L21 , permiten integrar exactamente polinomios de grado 1m (y excepcionalmente de grado m , como en la regla de Simpson). Si en cambio se toman puntos no equidistantes, para m puntos de integracin se tienen m2 parmetros: mwww L21 , y mxxx L21 , lo que permite integrar exactamente polinomios hasta de grado 12 m . Esta forma de integracin numrica se denomina de Gauss.

Con propsitos ilustrativos, considrese la frmula de integracin de Gauss con 3 puntos:

( ) ( ) ( ) ( )332211 xfwxfwxfwdxxfba

++

Esta expresin ser exacta si )(xf es un polinomio de grado igual o menor que 5 (es decir, 2(3)-1) Cules deben ser las abscisas 321 ,, xxx ? Esto se considera brevemente en lo que sigue. El polinomio ( ) ( )( )( )321 xxxxxxxg = , cuyas races son precisamente las abscisas de integracin, es de tercer grado. En consecuencia la integracin:

0)()()()( 332211 =++= xgwxgwxgwdxxgb

a

es exacta. Lo mismo puede decirse de las integrales de los polinomios )(xgx y )(2 xgx (que son de grado 4 y 5, respectivamente):

0)()()()( 333222111 =++= xgxwxgxwxgxwxdxgxb

a

0)()()()( 3233222212112 =++= xgxwxgxwxgxwxdxgxb

a

Es decir, 321 ,, xxx son los 3 ceros del polinomio ( )xg que satisface las condiciones de ortogonalidad:

=

=

=

b

a

b

a

b

a

dxxgx

dxxgx

dxxg

0)(

0)(

0)(

2

Con el cambio de variable ( ) ( )abzabx ++= 2121 se tiene que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3322111

1zFwzFwzFwdzzFdxxf

b

a

++== +

y en tal caso las abscisas iz son los ceros del polinomio que satisface las condiciones:


+

+

+

=

=

=

1

13

2

1

13

1

13

0)(

0)(

0)(

dzzPz

dzzPz

dzzP

)(3 zP es el polinomio de Legendre de grado 3. En general, cuando se consideran m puntos de integracin las iz son los ceros del polinomio de Legendre de grado m ,

)(zPm . En la tabla siguiente se indican algunos de estos polinomios y sus ceros: m )(zPm iz

1 z 0. 2 ( )13 221 z K57735.0 3 ( )zz 35 321 0., K77459.0 4 ( )33035 2481 + zz K33998.0 , K86113.0 5 ( )zzz 157063 3581 + 0., K53846.0 , K90617.0

para estos polinomios: 0)()()12()()1( 11 =+++ + zPnzzPnzPn nnn . Para determinar los "pesos" correspondientes mwww L21 , puede considerarse que:

0)()()()( 22111

1=+++=

+

mm zFwzFwzFwdzzF K

debe ser exacta para 1)( =zF , zzF =)( ,... 1)( = mzzF . En general:

)()1(2

2imi

izPz

w

= .

Las races, iz , de )(zPm y los correspondientes pesos, iw , pueden hallarse en tablas de Abramovitz y Segn1 u otras similares. Por ejemplo, para m=5:

iz iw

0. 0.56888 88888 88889 K056839310153846.0 0.47862 86704 99366 K386649845990617.0 0.23692 68850 56189

Siendo conocidas estas abscisas y pesos:

[ ] +++=b

amm xfwxfwxfwabdxxf )221121 ()()()()( K

donde: )()( 2121 abzabx ii ++=

Estas son las frmulas de integracin de Gauss - Legendre.

Considrese por ejemplo 47186931.02Ln21

== xdx

. En este caso 2,1 == ba ,

2/)3( += ii zx y se tiene:

1 Vase: "Handbook of Mathematical Functions".- M. Abramowitz e I.A. Segun, editores. Dover Publications

Inc., N.Y. 1965


i iz ix ( )ixf iw 1 0. 1.5 0.666667 0.568889 2 -0.538469 1.230766 0.812502 0.478629 3 0.538469 1.769235 0.565216 0.478629 4 -0.906180 1.046910 0.955192 0.236927 5 0.906180 1.953090 0.512009 0.236927

y finalmente =

=

2

1

5

1211 4693147.0)()12(

iiix xfwdx .

Algunas de las mltiples variantes de integracin Gaussiana se mencionan a continuacin (las correspondientes abscisas, ix , y pesos, iw , tambin pueden hallarse en tablas):

Frmula de Radau:

( ) +

=

+

1

1

1

12 )1(

2)(n

iii xfwf

ndxxf

Las abscisas son los ceros de ( )( )xxPxP nn

+

+

1)()(1

y los pesos: 21 ))((

)1(in

ii

xnPx

w

=

Frmula de Lobatto:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) +

=

++

1

1

1

1

111

2)(n

iii xfwff

nndxxf

La abscisa ix es el ( )01i cero de )(1 xPn y los pesos ( )[ ] ( )[ ] 21112 = ini xPnnw . Integracin de Gauss - Laguerre:

=

n

iii

x xfwdxxfe10

)()(

Las abscisas son los ceros de los polinomios de Laguerre, )(xLn Los pesos resultan: ( ) ( ) ( )[ ] 212 1! ++= inii xLnxnw . Integracin de Gauss - Tchebicheff:

( ) +

=

1

1 121

)( n

iixf

ndx

x

xf pi

En este caso se tienen abscisas ( )n

ixipi

21cos = .

5.5.4. Generalizacin a dos o ms dimensiones.

Hasta el momento solo se ha considerado la integracin en una dimensin. El proceso para evaluar numricamente integrales mltiples es anlogo al proceso analtico, es decir, se integra en una variable a la vez y en cada una de estas etapas las otras variables se consideran como constantes. Por ejemplo:

= = =

n

i

n

i

m

jjijiii yxfwwdyyxfwdydxyxf

1 1 1

),(),(),(

5 Interpolacion - Diferenciacion e Integracion Numerica

Documents

Transcript of 5 Interpolacion - Diferenciacion e Integracion Numerica