Informe de programación lineal - Investigación de operaciones

Toms Chvez, Francisca Micolich Taller 1 Investigacin Operativa 12 de Mayo de 2014

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Taller 1

Investigacin

Operativa Otoo 2014

Toms Chvez y Francisca Micolich


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Introduccin

Muchas ciudades del mundo han recientemente instalado sistemas de bicicletas pblicas, con el

objetivo de estimular a los ciudadanos a incrementar el uso de este medio de transporte, de forma

de estimular el desarrollo sustentable y equitativo, mejorar la calidad de vida de las personas y

reducir los niveles de contaminacin.

Los sistemas de bicicletas pblicas permiten a las personas arrendar bicicletas en distintas

estaciones esparcidas en una ciudad, utilizarlas y luego devolverla en una estacin diferente.

Uno de los factores principales que se debe tomar en cuenta para asegurar el xito de estos

proyectos es que el sistema debe ser capaz de adaptarse a las fluctuaciones de la demanda de

bicicletas y de espacios para dejarlas. Esto se logra manejar a travs de un proceso de reposicin,

en donde se toman cierto nmero de bicicletas de una estacin a otra, haciendo transferencias de

modo de cumplir con las exigencias del pblico.

En el presente trabajo, se nos ha presentado un problema de este tipo, en donde se cuenta con

informacin de la demanda semanal y la tarea de reposicin la realiza un solo camin, el cual

debe cargar y descargar bicicletas en las estaciones existentes.

Dado lo anterior, comenzaremos formulando un modelo matemtico que permita encontrar la

solucin a este problema. Luego, analizaremos lo resultados obtenidos, para despus formular el

mismo problema con una restriccin adicional de tener que establecer el nmero total de

bicicletas. Finalmente, discutiremos los aprendizajes y principales resultados obtenidos.

Desarrollo

a) Formulacin del problema

Como mencionamos anteriormente, en nuestro problema nos pondremos en el lugar de una

pequea ciudad en la cual se ha implementar un sistema de bicicletas pblicas prximamente.

Para esto se han construido I estaciones donde los usuarios pueden buscar una bicicleta durante

el da y devolverlas antes de la hora tope. El uso de las bicicletas es gratuito, pero si el usuario no

la devuelve dentro del mismo da debe pagar una multa considerable, por lo que se puede

considerar que las bicicletas sern siempre devueltas dentro del mismo da. La devolucin no

necesariamente se realiza en la misma estacin que la bicicleta se retir.

Las bicicletas sern colocadas para iniciar el servicio un da lunes en la maana en sus estaciones

iniciales. Todas las noches se pueden reubicar bicicletas entre estaciones para estar disponibles al


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da siguiente. De acuerdo a los estudios previos, el uso en las distintas semanas es similar, por lo

que para nuestro anlisis se considera una nica semana de manera cclica y se repite.

Es importante destacar que el problema debe estar planteado de una manera que la disposicin de

las bicicletas para el primer da del programa (primer Lunes) sea idntica a la de todos los otros

Lunes en la maana, ya que de otra manera, nos podra dar una solucin espiral que vare de

semana a semana (por una clase de efecto domin), lo que en resumidas cuentas hara que al

ingresar el problema al sistema computacional, este no pudiera parar de calcular (pues

reemplazara la solucin de una semana por la de la semana siguiente, y repetira ese ciclo con

esa semana tambin y con las que le sucedieran, quedando en un loop sin salida).

Podemos definir el problema en dos partes:

1. El nmero total de bicicletas sern ubicadas el primer da lunes en sus estaciones

iniciales.

2. Todas las noches se podrn reubicar las bicicletas para cumplir con la demanda de los

usuarios, por lo que se debe definir una estructura de reposicin.

Para comenzar, tenemos que los parmetros dados por el problema son:

= Conjunto de estaciones i

Capacidad de la estacin i

Bicicletas que los usuarios toman desde la estacin i y las dejan en la estacin j el da d

Capacidad del camin

Costo por parar en la estacin i

Costo por descargar una bicicleta en la estacin i desde el camin

Costo por cargar una bicicleta desde la estacin i al camin

Nmero total de bicicletas

Luego, definiremos nuestras variables de decisin como las siguientes:


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{

; toma valor 1 si el camin se detiene en la estacin i el da d, 0 si no se detiene a la

reposicin

Nmero de bicicletas a cargar en el camin desde la estacin i el da d

Nmero de bicicletas a descargar del camin a la estacin i el da d

Definiremos tambin, como forma de complementar la formulacin del modelo, ciertas

variables auxiliares y de estado:

Nmero de bicicletas que hay en la estacin i al comienzo del da

Nmero de bicicletas que hay en la estacin i luego que haya pasado el camin la noche

del da d

Nmero de bicicletas que transporto desde la estacin i a la siguiente estacin.

RESTRICCIONES

1. Asignacin inicial del da lunes

a. Se debe cumplir con la demanda

b. No se debe sobrepasar la capacidad de las estaciones

c. No se debe superar la capacidad de la estacin durante el da, cuando los usuarios

saquen y dejen bicicletas.


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2. Asignacin de semana tipo Todas las noches se podrn reubicar las bicicletas con

un camin.

1. Cada estacin es visitada a lo ms una vez en el da

2. Las bicicletas que transporte desde i deben respetar la capacidad del camin

3. Las bicicletas cargadas o descargadas no deben superar la capacidad del camin

4. La cantidad de bicicletas en la estacin i del da d deben ser igual a las bicicletas que

haba al comienzo del da, ms las cargadas menos las que han sido descargadas, ms

las que han sido dejadas por los usuarios provenientes de cualquier origen menos las

que han sido tomadas hacia cualquier destino.

( )

(

)

5. La dotacin inicial no debe superar la capacidad de la estacin.

6. La dotacin final no debe superar la capacidad de la estacin.

7. La dotacin inicial de la estacin debe cumplir con la demanda del da.

8. Lo que quede al final del da d, luego de la reposicin ser la dotacin inicial del da

siguiente.

( )

9. Al principio del da, todas las bicicletas se encontrarn ubicadas en las estaciones.


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10. Al final del da, todas las bicicletas se encontrarn ubicadas en las estaciones.

11. Se podrn cargar en el camin a lo ms lo disponible en la estacin, es decir, lo que

haba inicialmente ms las bicicletas dejadas por los usuarios menos las que se han

llevado hacia otras estaciones

12. Se podrn descargar en la estacin a lo ms lo que permita el espacio residual, dado

por las bicicletas que estn en la estacin en el momento.

(

)

13. Todas las bicicletas cargadas, son eventualmente descargadas.

14. No se puede llegar a una estacin sin cargar ni descargar una bicicleta.

15. Lo que lleva el camin desde la estacin i ser igual a todo lo que ha cargado hasta

esa estacin, menos lo que ha descargado.

( ) ( ) { }

16. Al inicio del recorrido, el camin est descargado, por lo que no tiene bicicletas para

descargar.

17. Al final del recorrido, el camin est descargado, por lo que no lleva ninguna

bicicleta hacia otra estacin, ni tampoco puede cargar bicicletas


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Nota: Conjunto D es ordenando circular o cclicamente, es decir si d=1, d-1=7, ya que la #D=7.

18. Naturaleza de las variables

{ }

Finalmente, el objetivo del problema es minimizar los costos de parar en las estaciones; costo

que lleva asociado un costo suplementario por cargar o descargar bicicletas. Por ende, nuestra

funcin objetivo ser la siguiente:

( )

Lo anterior, sujeto a las restricciones planteadas anteriormente, nos debera llevar al resultado

ptimo.

b) Resultados Obtenidos

Utilizando el software de Open Solver, pudimos llegar a una asignacin eficiente de nuestras

variables de decisin. (Anexo)

A partir de los valores encontrados, podemos ver que la funcin objetivo que busca minimizar

los costos del sistema de reposicin de las bicicletas pblicas, nos da un valor de $562. Es decir,

es el mnimo costo que se puede pagar si se cumple con todas las condiciones expuestas en el

punto anterior.

En un principio, el programa Open Solver nos deca que no poda encontrar una solucin optima.

Esto quera decir que tal como estaba planteado el problema en ese momento, no aceptaba una

solucin factible, pues al ser de naturaleza lineal, se tena el 100% de certeza que no exista una

solucin. Dado esto, se tuvo que revisar cada una de las restricciones para ver si se encontraban

errores (tanto de traduccin algebra-excel como de concepcin algebraico-matemtica del

problema en si), y tambin se concluy que de ser errores menores (es decir, no haba una


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traduccin que estuviese completamente mal, como poner la relacin de igualdad al revs en una

restriccin), entonces el problema constaba con restricciones bastante apretadas, lo que

significaba que probablemente el espacio de soluciones factibles era pequeo.

Hay que entender que los espacios de soluciones factibles para problemas que tienen variables

discretas son finitos, por lo que si bien el problema podra contar con un espacio existente, de

tener restricciones lo suficientemente ajustadas, estas podran dejar un espacio vaco a la hora

de considerar variables discretas. Es imaginarse un polgono sobre un plano cartesiano, y este

polgono se encuentra dentro de un cuadrado de intersecciones, pero realmente no toca

ninguna interseccin de enteros, por lo que para fines discretos, el polgono no existira.

Una vez comprendido lo recin expuesto, se tuvo especial cuidado con revisar las restricciones

del problema, a modo de que estas estuvieran correctamente planteadas, pues al ser un problema

de naturaleza discreta, las probabilidades de que un error eliminara cualquier solucin factible

eran mucho mayores.

c) Adicin de Restriccin de nmero de bicicletas a utilizar.

En esta seccin consideraremos el mismo modelo planteado inicialmente, sin embargo, el

nmero de bicicletas a utilizar ser ahora tambin una de las incgnitas a optimizar.

Consideraremos que por cada bicicleta que se considera, se incurre en un costo semanal y por

cada da que se utilice el camin para reubicar bicicletas se debe pagar un costo fijo.

En este caso tendremos el siguiente modelo matemtico:

DEFINICIN DE VARIABLES

Parmetros

Costo semanal por cada bicicleta considerada en la flota

Costo diario fijo por usar el camin.

Variables de decisin

{

; toma valor 1 si se utiliza el camin el da d, y 0 si no.

Nmero total de bicicletas a utilizar en la flota (ya no es parmetro)

FUNCIN OBJETIVO

( )


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RESTRICCIONES NUEVAS

1. Uso del camin

a. Si se usa el camin, se podr parar en alguna estacin.

b. No usar el camin sin la necesidad de hacerlo.

2. Flota

a. Se debe asegurar tener espacio para toda la flota.

b. Las bicicletas deben ser suficientes para la demanda.

3. Naturaleza de las variables

{ }

Nota: Hay que entender que todas las restricciones anteriores que incluyeran N se ven

afectadas, pues ahora el N es una variable. Sin embargo, la estructura algebraica no cambia

pues sigue cumpliendo los requisitos de un modelo de programacin lineal.

Finalmente, resolviendo el modelo anterior con Open Solver, pudimos obtener que el valor de la

funcin objetivo, en donde se busca minimizar el costo de la reposicin, el resultado ptimo es

$1.253.218.

Conclusiones

Este trabajo ha buscado formular y resolver un problema tanto de operacin del sistema de

bicicletas pblicas como de inventario a determinar para cumplir con las exigencias de la

demanda de este servicio. En un primer lugar analizamos un problema el cual tena el nmero de

bicicletas como un parmetro dado y en donde tuvimos que definir la forma optima de asignar


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las bicicletas a las estaciones y determinar el nmero de transferencias a realizar por el camin

entre las estaciones. Luego, formulamos el mismo problema pero con la diferencia que se deba

tambin asignar el total de bicicletas a adquirir para implementar el proyecto de bicicletas

pblicas.

En primer lugar, con respecto a la naturaleza del problema, podemos observar cmo la

reposicin eficiente de las bicicletas juega un rol fundamental en el funcionamiento de este tipo

de sistemas pblicos. Tambin debemos mencionar que al problema se le pueden agregar un

mayor nmero de variables e incorporar factores dinmicos y temporales, como por ejemplo,

inclusin de las rutas que tomar el camin o la fluctuacin entre de las horas del da y la

demanda, entre otras.

Para nosotros fue un problema difcil de plantear, tanto por el hecho que la distribucin de los

das funciona de forma cclica y tambin porque el problema cuenta con un nmero considerable

de restricciones que deben cumplirse para que funcione ptimamente el servicio.

Tambin se tuvo que tener cuidado con plantear muy bien las restricciones ya que al ser un

problema con variables discretas, la posibilidad de que un error hiciera vaca la regin de

soluciones factibles era mucho mayor.

Finalmente, comparando el planteamiento B con el C, nos damos cuenta que el uso del camin se

vuelve ms intensivo en el C, dado que se tienen menos bicicletas, por lo que se hace necesario

trasladarlas de un lugar a otro para poder suplir la demanda, cosa que no sucede al tener 500

bicicletas (B), pues se tienen bicicletas de sobra, por lo que si bien una estacin puede perder

bicicletas un da, an as esta quedar con bicicletas suficientes como para cumplir los

requerimientos de das futuros. Es por esto que en la parte C suben los costos relacionados al uso

del camin (considerando que estos costos variables existiesen para el planteamiento en B).

Algo similar sucede al comparar los costos de la flota de bicicletas en ambos problemas. Si

suponemos que el costo variable por bicicleta existiese en la parte B, estos seran

considerablemente ms altos que en la parte C, pues la cantidad de bicicletas que se emplean en

C es alrededor de 2/3 de lo que se usa en B (500 bicicletas para B).

Es as como podemos ver que si bien C aumenta sus costos relacionados al uso del camin, esto

no se compara con los costos que implica tener una flota tan grande de bicicletas en B. Dicho de

otra manera, es ms el beneficio que trae disminuir sustancialmente la flota de bicicletas (an

cuando esto signifique aumentar en 3 das el uso del camin para cada semana, es decir, usarlo

de Lunes a Domingo) dado en la parte C, que tener una flota extremadamente grande (500

bicicletas en B) a modo de poder disminuir el uso del camin (solo 4 das por semana). Esta

comparacin se explicita en el anexo 3.

Anexos


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Anexo 1.

Resultados variables de decision parte a)

1 2 3 4 5 6 7

1 0 0 1 0 1 0 0

2 0 0 0 0 0 0 0

3 0 0 1 0 0 0 0

4 0 1 0 0 0 1 0

5 0 1 0 0 0 1 0

6 0 1 0 0 0 0 0

7 0 1 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0 1 0

9 0 1 0 0 1 1 0

10 0 0 0 0 1 0 0

11 0 0 0 0 1 0 0

12 0 0 0 0 0 1 0

13 0 0 0 0 1 0 0

14 0 1 0 0 0 0 0

15 0 1 0 0 0 1 0

1 2 3 4 5 6 7

1 0 0 11 0 20 0 0

2 0 0 11 0 20 0 0

3 0 0 0 0 20 0 0

4 0 27 0 0 20 2 0

5 0 41 0 0 20 12 0

6 0 57 0 0 20 12 0

7 0 26 0 0 20 12 0

8 0 26 0 0 20 0 0

9 0 51 0 0 29 4 0

10 0 51 0 0 28 4 0

11 0 51 0 0 27 4 0

12 0 51 0 0 27 8 0

13 0 51 0 0 0 8 0

14 0 55 0 0 0 8 0

15 0 0 0 0 0 0 0

1 2 3 4 5 6 7


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1 0 0 11 0 20 0 0

2 0 0 0 0 0 0 0

3 0 0 0 0 0 0 0

4 0 27 0 0 0 2 0

5 0 14 0 0 0 10 0

6 0 16 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0 0 0

9 0 25 0 0 9 4 0

10 0 0 0 0 0 0 0

11 0 0 0 0 0 0 0

12 0 0 0 0 0 4 0

13 0 0 0 0 0 0 0

14 0 4 0 0 0 0 0

15 0 0 0 0 0 0 0

1 2 3 4 5 6 7

1 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0 0

3 0 0 11 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0 0 0

5 0 0 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0 0

7 0 31 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0 12 0

9 0 0 0 0 0 0 0

10 0 0 0 0 1 0 0

11 0 0 0 0 1 0 0

12 0 0 0 0 0 0 0

13 0 0 0 0 27 0 0

14 0 0 0 0 0 0 0

15 0 55 0 0 0 8 0

1 2 3 4 5 6 7


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1 27 28 29 33 32 14 15

2 17 19 22 24 18 23 24

3 31 34 25 32 32 31 33

4 42 42 25 26 27 29 41

5 19 26 14 15 19 17 12

6 28 26 18 30 28 27 28

7 41 41 52 30 25 26 28

8 46 42 40 44 54 54 59

9 26 34 30 36 38 34 39

10 64 57 53 53 55 55 55

11 32 30 28 15 15 26 32

12 48 49 48 57 56 51 51

13 22 19 23 20 25 41 17

14 19 30 30 37 36 39 28

15 38 23 63 48 40 33 38

1 2 3 4 5 6 7

1 28 29 33 32 14 15 27

2 19 22 24 18 23 24 17

3 34 25 32 32 31 33 31

4 42 25 26 27 29 41 42

5 26 14 15 19 17 12 19

6 26 18 30 28 27 28 28

7 41 52 30 25 26 28 41

8 42 40 44 54 54 59 46

9 34 30 36 38 34 39 26

10 57 53 53 55 55 55 64

11 30 28 15 15 26 32 32

12 49 48 57 56 51 51 48

13 19 23 20 25 41 17 22

14 30 30 37 36 39 28 19

15 23 63 48 40 33 38 38


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Anexo 2.

Resultado variables de decisin parte c)

1 2 3 4 5 6 7

1 0 0 1 0 1 0 1

2 1 0 1 0 1 0 1

3 0 0 1 0 0 0 1

4 1 1 0 0 0 1 0

5 1 0 1 1 0 0 1

6 0 0 1 1 0 1 0

7 1 1 1 0 0 1 0

8 1 1 1 0 0 1 1

9 1 1 0 1 0 0 0

10 0 1 1 0 0 1 1

11 0 1 0 0 0 1 1

12 0 0 1 1 1 1 1

13 0 0 0 1 1 1 1

14 0 0 1 1 0 1 1

15 1 1 1 1 0 1 0

1 2 3 4 5 6 7

1 0 0 16 0 11 0 4

2 11 0 13 0 0 0 7

3 11 0 9 0 0 0 0

4 8 12 9 0 0 20 0

5 22 12 11 3 0 20 5

6 22 12 25 0 0 25 5

7 12 0 0 0 0 41 5

8 0 4 11 0 0 31 0

9 3 26 11 13 0 31 0

10 3 22 12 13 0 4 29

11 3 21 12 13 0 0 33

12 3 21 1 11 9 20 21

13 3 21 1 3 0 21 10

14 3 21 11 5 0 23 0

15 0 0 0 0 0 0 0


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1 2 3 4 5 6 7

1 0 0 16 0 11 0 4

2 11 0 0 0 0 0 3

3 0 0 0 0 0 0 0

4 0 12 0 0 0 20 0

5 14 0 2 3 0 0 5

6 0 0 14 0 0 5 0

7 0 0 0 0 0 16 0

8 0 4 11 0 0 0 0

9 3 22 0 13 0 0 0

10 0 0 1 0 0 0 29

11 0 0 0 0 0 0 4

12 0 0 0 0 9 20 0

13 0 0 0 0 0 1 0

14 0 0 10 2 0 2 0

15 0 0 0 0 0 0 0

1 2 3 4 5 6 7

1 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 3 0 11 0 0

3 0 0 4 0 0 0 7

4 3 0 0 0 0 0 0

5 0 0 0 0 0 0 0

6 0 0 0 3 0 0 0

7 10 12 25 0 0 0 0

8 12 0 0 0 0 10 5

9 0 0 0 0 0 0 0

10 0 4 0 0 0 27 0

11 0 1 0 0 0 4 0

12 0 0 11 2 0 0 12

13 0 0 0 8 9 0 11

14 0 0 0 0 0 0 10

15 3 21 11 5 0 23 0


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1 2 3 4 5 6 7

1 26 27 28 27 26 17 18

2 14 5 8 13 7 23 24

3 31 34 25 25 25 24 26

4 24 27 25 26 27 29 23

5 19 12 14 13 14 12 17

6 23 21 29 27 28 27 23

7 25 35 27 30 25 26 12

8 34 42 36 29 39 39 42

9 26 31 30 36 25 30 39

10 35 28 28 27 29 28 55

11 28 26 25 12 12 22 32

12 35 36 35 55 56 42 26

13 22 19 23 20 33 31 6

14 17 28 32 29 26 29 16

15 35 23 29 25 22 15 35

1 2 3 4 5 6 7

1 27 28 27 26 17 18 26

2 5 8 13 7 23 24 14

3 34 25 25 25 24 26 31

4 27 25 26 27 29 23 24

5 12 14 13 14 12 17 19

6 21 29 27 28 27 23 23

7 35 27 30 25 26 12 25

8 42 36 29 39 39 42 34

9 31 30 36 25 30 39 26

10 28 28 27 29 28 55 35

11 26 25 12 12 22 32 28

12 36 35 55 56 42 26 35

13 19 23 20 33 31 6 22

14 28 32 29 26 29 16 17

15 23 29 25 22 15 35 35

1 2 3 4 5 6 7

1 1 1 1 1 1 1 1


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N Nmero de bicicletas

394

Anexo 3.

Comparacin Resultados parte a) y c)

Costos parte B

NG $ 1,500,000

RdF $ 40,000

Parte B Parte C

Original $ 562 <

<

<

>

>

$ 1,253,218 Original

PiXi + BiYLid + CiYUid $ 562 $ 1,218 PiXi + BiYLid + CiYUid

PiXi + BiYLid + CiYUid + RdF $ 40,562 $ 71,218 PiXi + BiYLid + CiYUid + RdF

PiXi + BiYLid + CiYUid + NG $ 1,500,562 $ 1,183,218 PiXi + BiYLid + CiYUid + NG

PiXi + BiYLid + CiYUid + RdF +

NG

$ 1,540,562 $ 1,253,218 PiXi + BiYLid + CiYUid + RdF +

NG

Bibliografa

Tal Raviv, Michal Tzur, Iris A. Forma (2013), Static Repositioning in a Bike-Sharing System:

Models and Solution Approaches, Industrial Engineering Department

Jia Shu, Mabel C. Chou, Qizhang Liu, Chung-Piaw Teo , I-Lin Wang (2013), Models for

Effective Deployment and Redistribution of Bicycles within Public Bicycle-Sharing Systems

Rickenberg, Tim A., Gebhardt, Andreas, Breitner, Michael H., A DECISION SUPPORT

SYSTEM FOR THE OPTIMIZATION OF CAR SHARING STATIONS , University of Hannover

Costos parte C

$ 1,182,000 NG

$ 70,000 RdF

Informe de programación lineal - Investigación de operaciones

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