Contenidos I. Introducción a la Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación...

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  • Contenidos I. Introduccin a la Investigacin de Operaciones II. Modelos de Programacin Matemtica Programacin Lineal Programacin Entera Programacin No- lineal III. Modelos Probabilsticos Procesos Estocsticos y Cadenas de Markov Sistemas de Espera Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • I.1. Introduccin. El principal objetivo de esta rea de conocimientos consiste en formular y resolver diversos problemas orientados a la toma de decisiones. La naturaleza de los problemas abordados puede ser determinstica, como en los Modelos de Programacin Matemtica, donde la teora de probabilidades no es necesaria, o bien de problemas donde la presencia de incertidumbre tiene un rol preponderante, como en los Modelos Probabilsticos. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • Hoy en da, la toma de decisiones abarca una gran cantidad de problemas reales cada ms complejos y especializados, que necesariamente requieren del uso de metodologas para la formulacin matemtica de estos problemas y, conjuntamente, de mtodos y herramientas de resolucin, como los que provee la Investigacin de Operaciones. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • I.2 Elementos de un modelo de optimizacin I.2 Elementos de un modelo de optimizacin. Supongamos que se dispone de determinadas piezas para la elaboracin de dos productos finales. Se dispone de 8 piezas pequeas y 6 piezas grandes, que son utilizadas para elaborar sillas (usando 2 piezas pequeas y 1 pieza grande) y mesas (usando 2 piezas de cada tipo). Interesa decidir cuntas sillas y mesas fabricar de modo de obtener la mxima utilidad, dado un beneficio neto de U$ 15 por cada silla y de U$20 por cada mesa fabricada. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • Posibles soluciones factibles a considerar, esto es soluciones que respetan las restricciones del nmero de piezas disponibles, son por ejemplo, fabricar: 4 sillas, que reportan una utilidad de U$60 1 sillas y 2 mesas, utilidad de U$55 3 mesas, utilidad de U$60 1 mesa y tres sillas, utilidad de U$65 2 sillas y 2 mesas, utilidad de U$70 etc. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • Un modelo matemtico para hallar la mejor solucin factible a este problema tiene tres componentes bsicas: i) Las variables de decisin, que consiste en definir cules son las decisiones que se debe tomar. En el ejemplo, x: nmero de sillas elaboradas. y: nmero de mesas elaboradas. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • ii) La funcin objetivo del problema, que permita tener un criterio para decidir entre todas las soluciones factibles. En el ejemplo, maximizar la utilidad dada por: z = f(x,y) = 15x + 20y Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • iii) Restricciones del problema, que consiste en definir un conjunto de ecuaciones e inecuaciones que restringen los valores de las variables de decisin a aquellos considerados como factibles. En el ejemplo, respetar la disponibilidad de piezas para la fabricacin de sillas y mesas: Piezas pequeas:2x + 2y 8 Piezas grandes :x + 2y 6 Tambin se impone restricciones de no negatividad: x,y 0 Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • En resumen:Max15x + 20y sa:2x + 2y 8 x + 2y 6 x,y 0 El ejemplo corresponde a un modelo de Programacin Lineal. Si adems restringimos los valores de x e y a nmeros enteros, tendramos un modelo de Programacin Entera. Por otra parte, si hubiese retornos crecientes a escala, deberamos emplear una funcin objetivo no lineal como f(x,y) = cx a + dy b con a,b >1, y tendramos un modelo de Programacin No Lineal. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • BIBLIOGRFIA EN INVESTIGACIN DE OPERACIONES 1. Introduccin a la Investigacin de Operaciones, F.S. Hillier y G.J. Lieberman, McGraw Hill, Sexta Edicin, 1997. 2. Investigacin de Operaciones, una introduccin, H.A. Taha, Prentice Hall, Mxico, Sexta Edicin, 1998. 3. Introduction to Management Science, F. Hillier, M. Hillier and G.J. Lieberman. Irwin McGraw-Hill, 1999. 4. Model Operations Research: A practical Introduction. M.W. Carter and C.C.Price. CRC Press, 2000. 5. Practical Management Science: Spreadsheet Modeling and Applications, Winston, W.L., Albright S.C. y Broadie M., International Thomson Publishing Company, 1997. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • Contenidos I. Introduccin a la Investigacin de Operaciones II. Modelos de Programacin Matemtica Programacin Lineal Programacin Entera Programacin No- lineal III. Modelos Probabilsticos Procesos Estocsticos y Cadenas de Markov Sistemas de Espera Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • Temario: II.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento. II.2. Resolucin grfica de problemas. II.3. Anlisis de Sensibilidad. II.4. El Mtodo Simplex. II.5. Dualidad en Programacin Lineal. II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. i) Problema de Transporte. El problema consiste en decidir cuntas unidades trasladar desde ciertos puntos de origen (plantas, ciudades, etc.) a ciertos puntos de destino (centros de distribucin, ciudades, etc..) de modo de minimizar los costos de transporte, dada la oferta y demanda en dichos puntos. Se suponen conocidos los costos unitarios de transporte, los requerimientos de demanda y la oferta disponible. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. Por ejemplo, suponga que una empresa posee dos plantas que elaboran un determinado producto en cantidades de 250 y 450 unidades diarias, respectivamente. Dichas unidades deben ser trasladadas a tres centros de distribucin con demandas diarias de 200, 200 y 250 unidades, respectivamente. Los costos de transporte (en $/unidad) son: Gestin de Investigacin de Operaciones C.Dist. 1C.Dist.2C.Dist.3 Planta 1212515 Planta 2281319
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. Diagrama: Gestin de Investigacin de Operaciones Planta 1 Planta 2 C.D.2 C.D.1 C.D.3 X 11 X 12 X 21 X 22 X 13 X 23 Orgenes Destinos
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. Variables de decisin: x ij = Unidades transportadas desde la planta i (i=1,2), hasta el centro de distribucin j (j=1,2,3) Funcin Objetivo: Minimizar el costo total de transporte dado por la funcin: 21x 11 +25x 12 +15x 13 +28x 21 +13x 22 +19x 23 Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. Restricciones del problema: 1) No Negatividad:x ij 0 2) Demanda: CD 1 : x 11 +x 21 = 200 CD 2 : x 12 +x 22 = 200 CD 3 : x 13 + x 23 = 250 Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. 3) Oferta : P 1 : x 11 + x 12 + x 13 250 P 2 : x 21 + x 22 + x 23 450 Las variables de decisin deben aceptar soluciones como nmeros reales para tener un modelo de P.L. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. ii) Problema de la dieta: este consiste en determinar una dieta de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer ciertos requerimientos nutricionales. Supongamos que se tiene la siguiente informacin: Gestin de Investigacin de Operaciones Leche (galon) Legumbre (1 porcin) Naranjas (unidad) Requerimientos Nutricionales Niacina3,24,90,813 Tianina1,121,30,1915 Vitamina C3209345 Costo20,20,25
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. Variables de decisin: x 1 : galones de leche utilizados en la dieta. x 2 : porciones de legumbre utilizadas en la dieta. x 3 : unidades de naranja utilizadas en la dieta. Funcin Objetivo: Minimizar el costo total de la dieta, dado por: 2 x 1 + 0.2 x 2 + 0.25 x 3 Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. Restricciones del problema: Requerimientos mnimos de los nutrientes considerados: 3.2 x 1 + 4.9 x 2 + 0.8 x 3 13 1.12 x 1 + 1.3 x 2 + 0.19 x 3 15 32 x 1 + + 9 x 3 45 x 1 0 ; x 2 0 ; x 3 0 Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. iii) Problema de dimensionamiento de lotes: este consiste en hallar una poltica ptima de produccin para satisfacer demandas fluctuantes en el tiempo, de modo de minimizar costos de produccin e inventario, considerando la disponibilidad de diversos recursos escasos. Supongamos que una fabrica puede elaborar hasta 150 unidades en cada uno de los 4 periodos en que se ha subdividido el horizonte de planificacin y se tiene adicionalmente la siguiente informacin: Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. Supuestos adicionales: 1) Existe un inventario inicial de 15 unidades. 2) No se acepta demanda pendiente o faltante (es decir, se debe satisfacer toda la demanda del periodo). Gestin de Investigacin de Operaciones PeriodosDemandas (unidades) Costo Prod. (US$/unidad) Costo de Inventario (US$/unidad) 113062 28041 312582.5 419593
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. Variables de decisin: x t : nmero de unidades elaboradas en el periodo t. I t : nmero de unidades de inventario al final del periodo t. Funcin objetivo: Consiste en minimizar los costos de produccin y el costo de mantenimiento de inventario. 6x 1 + 4x 2 + 8x 3 + 9x 4 + 2I 1 + I 2 + 2.5I 3 + 3I 4 Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. Notar que en el ptimo I 4 va a ser 0, as que incluso podramos no incluirla, pero de todos modos la consideramos. Restricciones del problema: 1) Restricciones de cotas, que reflejan la capacidad de produccin. x t 150 Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. 2) Restricciones de no negatividad x t 0 3) Restricciones de demanda x 1 + I 0 I 1 = 130 Periodo 1 I 0 =15 x 2 + I 1 I 2 = 80Periodo 2 x 3 + I 2 I 3 = 125 Periodo 3 x 4 + I 3 I 4 = 195Periodo 4 Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. iv) Problema de planificacin financiera: Supongamos que un banco dispone de $250 millones para destinar a 4 tipo de crditos ofrecidos, los cuales tienen las siguientes, tasas de crdito: Primer crdito corriente :12% Segundo crdito corriente :16% Crdito para el hogar :16% Crdito personal :10% Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. La asignacin de estos crditos, debe satisfacer la siguiente poltica utilizada por la institucin: El monto asignado a los PCC, debe ser al menos, el 55% del monto asignado a los crditos corrientes, y al menos un 25% del total del dinero prestado. El SCC, no puede exceder el 30% del total del dinero prestado, por polticas tributarias el inters recibido por el banco no debe exceder a un retorno del 14% sobre el capital prestado. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. Cunto asignar a cada tipo de crdito, de la manera ms eficiente, respetando la poltica del banco? Variables de decisin: x 1 :Monto asignado al PCC. x 2 : Monto asignado SCC. x 3 : Monto asignado al crdito para el hogar. x 4 : Monto asignado al crdito personal. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. Funcin Objetivo: Se propone maximizar los retornos recibidos en la asignacin, dados por: 0.12 x 1 + 0.16 x 2 + 0.16 x 3 + 0.10 x 4 Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. Restricciones del problema: x 1 0.55 ( x 1 + x 2 ) x 1 0.25 ( x 1 + x 2 +x 3 + x 4 ) x 2 0.30 ( x 1 + x 2 +x 3 + x 4 ) (0.12x 1 +0.16x 2 +0.16x 3 +0.10x 4 ) 0.14 ( x 1 + x 2 +x 3 +x 4 ) Adicionalmente: x 1 + x 2 +x 3 + x 4 250 Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. v) Problema de mezcla de productos: en este problema una refinera produce 4 tipos de gasolina (gas 1, gas 2, gas 3 y gas 4). Dos caractersticas importantes de cada gasolina son su nmero de performance (NP) y su presin de vapor (RVP), que estn dados por: Gestin de Investigacin de Operaciones NPRVPBarriles diarios gas 110753814 gas 29382666 gas 38744016 gas 4108211300
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. Estas gasolinas pueden ser vendidas directamente a un precio de $2483 por barril o bien mezcladas para obtener gasolinas de aviacin (avgas A y avgas B). La calidad de estas dos ltimas junto con sus precios de venta son: Gestin de Investigacin de Operaciones NPRVPrecio por barril (US$) avgas AAl menos 100A lo ms 726,45 Avgas BAl menos 91A lo ms 625,91
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. El NP y RVP de cada mezcla es un promedio de los respectivos NP y RVP de las gasolinas empleadas. Se desea obtener un plan de venta de las distintas gasolinas que maximice los retornos. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. Variables de decisin: x j : cantidad de barriles del gas j que son vendidos sin mezclar, con j = 1, 2, 3, 4. x A : cantidad de barriles de avgas A. x B : cantidad de barriles de avgas B. x jA : cantidad de gas j usado en avgas A. x jB : cantidad de gas j usado en avgas B. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. Funcin objetivo: Max 24,83 (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) + 26,45x A + 25,91x B Restricciones:x 1 + x 1A + x 1B = 3814 x 2 + x 2A + x 2B = 2666 x 3 + x 3A + x 3B = 4016 x 4 + x 4A + x 4B = 1300 x 1A + x 2A + x 3A + x 4A = x A x 1B + x 2B + x 3B + x 4B = x B Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. NP, avgas A: NP, avgas B: RVP, avgas A: RVP, avgas B: Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. vi) Problema de expansin de la capacidad de un Sistema de Potencia Elctrica: En este problema se desea planificar la expansin de la capacidad de un sistema elctrico para los siguientes T aos. La demanda (estimada) para el ao t corresponde a d t MW para t = 1, 2,..., T. La capacidad existente del sistema corresponde a c t MW para el ao t = 1, 2,..., T. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. Existen 2 alternativas para la expansin de la capacidad del sistema: Usar plantas trmicas a petrleo. Usar plantas trmicas a gas. Se requiere una inversin p t por MW instalado de una planta a petrleo que est operativa al comienzo del ao t, y el correspondiente costo para una planta a gas es g t. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. Por razones polticas y de seguridad, se ha decidido que no ms del 30% de la capacidad instalada, corresponda a plantas a gas (nuevas). Cada planta a petrleo tiene una vida de 20 aos y una planta a gas una vida de 15 aos. Se desea proponer un plan de expansin al mnimo costo posible. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. Variables de decisin: x t : cantidad de MW expandidos en planta a petrleo al inicio del ao t, con t = 1, 2,..., T. y t : cantidad de MW expandidos en planta a gas al inicio del ao t, con t = 1, 2,..., T. z t : cantidad total de MW disponible en plantas nuevas a petrleo al inicio del ao t. w t : cantidad total de MW disponible en plantas nuevas a gas al inicio del ao t. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. Funcin Objetivo: Restricciones: Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • Temario: II.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento. II.2. Resolucin grfica de problemas. II.3. Anlisis de Sensibilidad. II.4. El Mtodo Simplex. II.5. Dualidad en Programacin Lineal. II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.2. Resolucin grfica de problemas. Consideremos el siguiente problema a resolver grficamente: Max z = 3x 1 + 5x 2 sa: x 1 4 2x 2 12 3x 1 + 2x 2 18 x 1,x 2 0 Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.2. Resolucin grfica de problemas. Gestin de Investigacin de Operaciones Curvas de Nivel Regin de puntos factibles 9 6 2 4 46 x2x2 x1x1 x*x* x * Solucin Optima
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  • II.2. Resolucin grfica de problemas. En primer lugar, se debe obtener la regin de puntos factibles en el plano, obtenida por medio de la interseccin de todos los semi - espacios que determinan cada una de las inecuaciones presentes en las restricciones del problema. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.2. Resolucin grfica de problemas. Enseguida, con el desplazamiento de las curvas de nivel de la funcin objetivo en la direccin de crecimiento de la funcin (que corresponde a la direccin del vector gradiente de la funcin, z(x 1,x 2 ) = (3,5) T ), se obtiene la solucin ptima del problema en la interseccin de las rectas: 2x 2 = 12 y 3x 1 +2x 2 = 18 (restricciones activas). Esto es: x 1 * = 2 x 2 * = 6 z * = 3 x 1 * + 5 x 2 * = 36 Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.2. Resolucin grfica de problemas. Notar que se pueden dar otras situaciones en la bsqueda de una solucin ptima para esta clase de problemas: 1) La solucin ptima exista pero haya ms de una. En el ejemplo, considere la nueva funcin objetivo: z = 6x 1 +4x 2. 2) El problema no tenga solucin, dada una regin de puntos factibles no - acotada. En el ejemplo, reemplace cada desigualdad por una. 3) El problema no tenga solucin, porque no existen puntos factibles. En el ejemplo, suponga que agregamos la restriccin: x 1 5. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • Temario: II.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento. II.2. Resolucin grfica de problemas. II.3. Anlisis de Sensibilidad. II.4. El Mtodo Simplex. II.5. Dualidad en Programacin Lineal. II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.3. Anlisis de sensibilidad. Gestin de Investigacin de Operaciones 3 4 64
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  • II.3. Anlisis de sensibilidad. A partir de la resolucin grfica del problema se tiene: Solucin ptima : x 1 * = 2 ; x 2 * = 2 Valor ptimo : z = z(2,2) = 70 El anlisis de sensibilidad permite responder, entre otras, las siguientes preguntas: Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.3. Anlisis de sensibilidad. 1) Cul es el intervalo de variacin de algn coeficiente de la funcin objetivo, de modo que la actual solucin siga siendo la ptima? Sea z = c 1 x 1 +c 2 x 2 La solucin ptima de la nueva funcin, seguir siendo: x 1 * = 2 ; x 2 * = 2 ssi: Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.3. Anlisis de sensibilidad. Tambin podemos estudiar el intervalo de un slo coeficiente, dejando el resto de los parmetros fijos: Para C 1 : Para C 2 : Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.3. Anlisis de sensibilidad. 2) Cul es la variacin del actual valor ptimo de la funcin objetivo, si cambamos en una unidad algn coeficiente del lado derecho de las restricciones ? Estudiaremos por separado las variaciones de cada uno de los coeficientes del lado derecho de las restricciones, de modo preservar la geometra del problema, esto es, que se conserven las mismas restricciones activas de la solucin ptima inicial. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.3. Anlisis de sensibilidad. Primera restriccin. La mayor variacin del coeficiente del lado derecho se alcanza en x 1 = 0 y x 2 = 4, de donde se obtiene: z(0,4) = 15 x 0 + 20 x 4 = 80 y b 1 * = 0 + 2 x 4 = 8 La menor variacin del coeficiente del lado derecho se alcanza en: x 1 = 4 ; x 2 = 0, de donde se obtiene: z(4,0) = 15 x 4 + 20 x 0 = 60 y b 1 = 4 + 2 x 0 = 4 Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.3. Anlisis de sensibilidad. De aqu, se calcula el precio sombra 1, que indica la razn o tasa de cambio de la funcin objetivo con respecto al cambio en una unidad del lado derecho: Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.3. Anlisis de sensibilidad. Segunda restriccin. La mayor variacin del coeficiente del lado derecho se alcanza en x 1 = 6 y x 2 = 0, de donde se obtiene: z(0,4) = 15 x 6 + 20 x 0 = 90 y b 1 * = 2 x 6 + 2 x 0 = 12 La menor variacin del coeficiente del lado derecho se alcanza en: x 1 = 0 ; x 2 = 3, de donde se obtiene: z(4,0) = 15 x 0 + 20 x 3 = 60 y b 1 = 2 x 0 + 2 x 3 = 6 Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.3. Anlisis de sensibilidad. De aqu, se calcula el precio sombra P 2, que indica la razn o tasa de cambio de la funcin objetivo con respecto al cambio en una unidad del lado derecho: Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • Temario: II.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento. II.2. Resolucin grfica de problemas. II.3. Anlisis de Sensibilidad. II.4. El Mtodo Simplex. II.5. Dualidad en Programacin Lineal. II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.4. El Mtodo Simplex. En lo que sigue consideremos el siguiente problema de programacin lineal en su forma estndar. Minc 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n saa 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2......... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m x i 0, i = 1, 2,..., n y m n Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.4. El Mtodo Simplex. Matricialmente escrito como: Minc T x saAx = b x 0 No existe prdida de la generalidad al suponer que un problema viene dado en la forma estndar. En efecto, si tuvisemos el siguiente problema: Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.4. El Mtodo Simplex. P)Max9u + 2v + 5z sa4u + 3v + 6z 50 u + 2v + 3z 8 2u 4v + z = 5 u,v 0 z IR Es posible reformular de manera equivalente el problema anterior usando que: Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.4. El Mtodo Simplex. 1) Siempre es posible llevar un problema de maximizacin a uno de minimizacin. Si f(x) es la funcin objetivo a maximizar y x * es la solucin ptima: f(x * ) f(x), x factible - f(x * ) - f(x), x factible x * es tambin mnimo de - f(x) Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.4. El Mtodo Simplex. 2) Cada restriccin del tipo puede ser llevada a una ecuacin de igualdad usando una (nueva) variable de holgura no negativa, con un coeficiente nulo en la funcin objetivo. 3) De igual modo, cada restriccin del tipo puede ser llevada a una ecuacin de igualdad usando una variable de exceso no negativa. 4) Siempre es posible escribir una variable libre de signo como la diferencia de dos variables no negativas. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.4. El Mtodo Simplex. En resumen el problema P) puede ser escrito de manera equivalente como: Min - 9x 1 - 2x 2 - 5x 3 + 5x 4 + 0x 5 + 0x 6 sa: 4x 1 + 3x 2 + 6x 3 - 6x 4 + x 5 =50 x 1 + 2x 2 - 3x 3 + 3x 4 - x 6 = 8 2x 1 - 4x 2 + x 3 - x 4 = 5 x i 0, i=1,2,3,4,5,6. Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 67
  • II.4. El Mtodo Simplex. Con u = x 1 v = x 2 z = x 3 - x 4 s 1 = x 5 (HOLGURA) s 2 = x 6 (EXCESO) La bsqueda de la solucin ptima se restringe a encontrar un vrtice ptimo y cada vrtice del conjunto de las restricciones del problema, llamado regin de puntos factibles, corresponde a una solucin bsica factible del sistema Ax = b. Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 68
  • II.4. El Mtodo Simplex. Esta solucin bsica factible, corresponde a su vez a aquellas soluciones que resultan de resolver el sistema para exactamente m variables, fijando las restantes n-m en cero, llamadas respectivamente variables bsicas y no-bsicas, que adems deben satisfacer condiciones de no-negatividad. Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 69
  • II.4. El Mtodo Simplex. Teorema Fundamental de la Programacin Lineal: Si un problema tiene solucin ptima, tiene una solucin bsica factible ptima. Dada una matriz B de m x m invertible, esta induce una particin de las variables y parmetros del modelo como lo muestra la siguiente diapositiva. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.4. El Mtodo Simplex. Gestin de Investigacin de Operaciones BD A = m n m n-m B : es llamada una matriz de base x B :variables bsicas. x D :variables no bsicas. c B :costos bsicos. c D :costos no bsicos.
  • Diapositiva 71
  • II.4. El Mtodo Simplex. Criterio de Optimalidad: Gestin de Investigacin de Operaciones valor actual de la funcin obj. vector de costos reducidos.
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  • II.4. El Mtodo Simplex. La ecuacin que define cada uno de los costos reducidos es: Donde j es el ndice de variable no-bsica y A j la respectiva columna en A de esa variable. La actual solucin bsica factible es ptima ssi r j j, existe una variable no bsica x p con costo reducido negativo, que entra a la nueva base. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.4. El Mtodo Simplex. Para decidir quin deja la base, es necesario calcular el mayor valor que puede tomar la variable entrante que garantiza la factibilidad de la nueva solucin bsica, con: y se debe calcular: Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.4. El Mtodo Simplex. Ejemplo. Resolver el siguiente problema de P.L. Max40x + 60y sa:2x + y 70 x + y 40 x + 3y 90 x,y 0 Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.4. El Mtodo Simplex. Se deben agregar 3 variables de holgura ( x 1, x 2, x 3 var.bsicas), y llevar a forma estndar (x 4 = x y x 5 = y). Min -40x 4 60x 5 sa:x 1 + 2x 4 + x 5 = 70 x 2 + x 4 + x 5 = 40 x 3 + x 4 + 3x 5 = 90 x i 0, i = 1, 2, 3, 4, 5 Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • II.4. El Mtodo Simplex. Tabla inicial: Gestin de Investigacin de Operaciones x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 1002170 0101140 0011390 000-40-600
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  • II.4. El Mtodo Simplex. Usamos como variable entrante a la base x 5 (pues r 5 0 tal que para todo t [0, [ y h > 0, se tiene: IP(N t+h N t =1) = h +o(h) IP(N t+h - N t 2) = o(h) Si {N t } t 0 es un proceso de Poisson, entonces para todo t 0, la variable aleatoria N t es una variable aleatoria Poisson de parmetro t, esto es Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 296
  • V.2. Proceso de Poisson. IP(N t = k) = -e t ( t) k / k ; k= 0,1,2,3,..., donde es la tasa de ocurrencia de eventos por unidad de tiempo. De aqu entonces que IE (N t ) = t Var(N t ) = t Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 297
  • V.2. Proceso de Poisson. Ejemplo. Para un proceso de Poisson a tasa, se sabe que entre 0 y t han ocurrido n eventos. Hallar la probabilidad de que en un subintervalo de longitud h haya ocurrido exactamente k de esos eventos. Sea {N t } t 0 dicho proceso, entonces Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • V.2. Proceso de Poisson. IP(N h =k / N t =n) = IP(N h =k, N t =n) / IP(N t =n) = IP(N h =k, N t N h = n - k) / IP(N t =n) = IP(N h =k)IP(N t N h = n - k) / IP(N t =n) = IP(N h =k)IP(N t-h = n - k) / IP(N t =n) = e - h ( h) k / k e - (t-h) ( (t-h)) n-k / (n-k) / e - t ( t) n / n = Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 299
  • V.2. Proceso de Poisson. Ejemplo. Suponga que llegan pasajeros a un terminal de buses de acuerdo a un proceso de Poisson {N t } t 0 a tasa =3 pas./min. En el instante t=0 acaba de salir un bus y no deja ningn pasajero en la fila, suponga adems que cada bus tiene una capacidad suficiente para no dejar pasajeros esperando en el terminal. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • V.2. Proceso de Poisson. Sea T el tiempo que transcurre hasta la prxima salida de un bus, este corresponde a una v.a. uniforme en el intervalo (9 min, 11 min) y es independiente del proceso {N t } t 0. Se desea calcular el nmero esperado de pasajeros que aborda cada bus. Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 301
  • V.2. Proceso de Poisson. Solucin Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • V.2. Proceso de Poisson. Interesa estudiar sistemas en los cuales ocurren determinados eventos a travs del tiempo. Hemos utilizado un proceso de Poisson {N t } t 0 para el nmero de eventos que ocurran hasta un instante t, asociado a este proceso tambin existen v.a. continuas T 1, T 2,..., T i,... que indican el instante de ocurrencia del i-simo evento y v.a. continuas S 1 = T 1, S 2 = T 2 - T 1,... que representan el tiempo transcurrido entre eventos sucesivos. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • V.2. Proceso de Poisson. Gestin de Investigacin de Operaciones Nmero de eventos Tiempo 1 2 3 4 0 5 6 NtNt T1T1 T2T2 T3T3 T4T4 T5T5 S1S1 S2S2 S3S3 S4S4 S5S5
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  • V.2. Proceso de Poisson. Teorema. Si {N t } t 0 es un proceso de Poisson a tasa, las v.a. S 1, S 2, S 3,... de los tiempos entre eventos sucesivos, son i.i.d. con distribucin exponencial de parmetro. Es decir, para t 0 F(t) = IP (S i t) = 1 e - t f(t) = e - t son sus respectivas funciones de distribucin y densidad. Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 305
  • V.2. Proceso de Poisson. Ejemplo. Sea {N t } t 0 un proceso de Poisson a tasa, que cuenta el nmero de veces que se ha reemplazado una ampolleta en una lmpara determinada. Si la primera ampolleta lleva s horas funcionando, calcular la probabilidad de que complete ms de s + t horas funcionando. Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 306
  • V.2. Proceso de Poisson. Denotamos por T 1 la v.a. correspondiente al tiempo transcurrido hasta que se produce el primer reemplazo. Entonces T 1 Exp( ), luego Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 307
  • V.2. Proceso de Poisson. Lo anterior quiere decir que el funcionamiento de la ampolleta durante las siguientes t horas no depende de cuantas horas lleva funcionando, esta propiedad es conocida como la falta de memoria de la distribucin exponencial. Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 308
  • V.2. Proceso de Poisson. Ejemplo. Suponga que en un proceso productivo se tiene dos mquinas que trabajan en paralelo elaborando un mismo producto. Sean N t 1 y N t 2 procesos de Poisson independientes a tasas 1 y 2 que cuentan el nmero de fallas hasta el instante t de la mquina 1 y 2 respectivamente. Calcular la probabilidad de que la mquina 2 falle por primera vez antes de que la mquina 1 falle por primera vez. Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 309
  • V.2. Proceso de Poisson. Sean T 1 y T 2 los tiempos transcurridos hasta que se produce la primera falla en la mquina 1 y 2 respectivamente. Entonces, T 1 Exp( 1 ) y T 2 Exp ( 2 ) y se pide calcular IP(T 2
  • V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. Ejemplo 1. Considere una tienda que mantiene un inventario de un producto dado para satisfacer una demanda (aleatoria). La demanda diaria D, tiene la siguiente distribucin: IP (D = 0) = 1/4, IP (D = 1) = 1/2, IP (D = 2) = 1/4, IP (D >= 3) = 0 Sea X n el nivel de inventario al inicio del da n y suponga que la tienda tiene la poltica de mantencin de inventario (s, S), que consiste en que si al final del da se posee menos de s, se Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. hace una orden de pedido que al inicio del da siguiente eleva las existencias al nivel S y en caso contrario, no se pide nada. Asuma que la demanda no satisfecha es demanda perdida y que al inicio del horizonte de planificacin hay S unidades en inventario con s = 1 y S = 2. Se tiene que: X n {1, 2}; n = 0, 1, 2,... Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 325
  • V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 326
  • V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. Entonces la matriz de probabilidades de transicin en una etapa corresponde a: Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. Ejemplo 2. Suponga que en el sistema de las AFP existen solo 2; las AFP A y las AFP B. Sea N el nmero de personas afiliadas al sistema; la superintendencia est preocupada de que las cuentas individuales estn al da. Para ello ha establecido un sistema de control basado en el siguiente procedimiento: al final de cada mes escoge una persona al azar de los N existentes en el sistema. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. Si la AFP a la cual pertenece la persona no tiene su cuenta individual al da; la persona es traspasada de inmediato a la otra AFP, en caso contrario la deja en la AFP en la que estaba. Suponga que la probabilidad de que un afiliado en la AFP A tenga su cuenta al da es P 1 y que esta probabilidad para la AFP B es P 2. Se desea estudiar la movilidad de los clientes en cada AFP en cada mes del horizonte de planificacin. Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 329
  • V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. Se tiene: X n : el nmero de personas en la AFP A al final del mes n; con n = 0, 1, 2,..., n x n {0, 1, 2,..., N} Calculemos las probabilidades de transicin en una etapa (mes) Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 330 0 y que se obtiene como la solucin nica del sistema: Gestin de Investigacin de Operaciones">
  • V.4. Clasificacin de los est. y distribucin lmite. Proposicin. Sea {X n } n=0,1,2 una cadena de Markov irreducible con estados recurrentes positivos aperidicos, entonces existe una distribucin estacionaria, tal que > 0 y que se obtiene como la solucin nica del sistema: Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 343
  • V.4. Clasificacin de los est. y distribucin lmite. Ejemplo. Se desea calcular las probabilidades estacionaria j, que tambin representan la fraccin del tiempo que el sistema esta en el estado j en el largo plazo Gestin de Investigacin de Operaciones 1 2 3 1/2 1/3 2/3
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  • V.4. Clasificacin de los est. y distribucin lmite. Sistema que corresponde a las siguientes ecuaciones: Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • V.4. Clasificacin de los est. y distribucin lmite. Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 346
  • V.4. Clasificacin de los est. y distribucin lmite. Ejemplo: Una compaa esta considerando emplear cadenas de markov para analizar los cambios en las preferencias de los usuarios por tres marcas distintas de un determinado producto. El estudio ha arrojado la siguiente estimacin de la matriz de probabilidades de cambiarse de una marca a otra cada mes: Gestin de Investigacin de Operaciones 123 10.80.1 20.030.950.02 30.20.050.75
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  • V.4. Clasificacin de los est. y distribucin lmite. En la actualidad los porcentajes de mercado son 45%, 25% y 30%, respectivamente. Cuales sern los porcentajes de mercado de cada marca en dos meses ms? x n {1,2,3}: marca que adquiere un cliente cualquiera en el mes n=0,1,2,3,... Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • V.4. Clasificacin de los est. y distribucin lmite. Al trmino del mes siguiente: Y dos meses despus: Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 349
  • V.4. Clasificacin de los est. y distribucin lmite. De aqu las cuotas de mercado en dos meses a cambiado de un 45% a un 40.59%; de un 25% a un 33.91% y de un 30% a un 25.50%, para las marcas 1,2 y 3 respectivamente. Cul es la cuota de mercado en el largo plazo para cada una de las marcas? La cadena resultante es irreducible con estados recurrentes positivos y aperidicos. Denotando por =( 1, 2, 3 ) T, las probabilidades estacionarias de largo plazo, las cuales satisfacen: Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • V.4. Clasificacin de los est. y distribucin lmite. =P T i = 1 ; i = 1,2,3. 1 =0.8 1 + 0.03 2 +0.20 3 2 =0.10 1 + 0.95 2 +0.05 3 3 =0.10 1 + 0.02 2 +0.75 3 1 + 2 + 3 =1 Cuya solucin resulta: 1 = 0.2373 2 = 0.6184 3 = 0.1443 Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • V.4. Clasificacin de los est. y distribucin lmite. De aqu que la cuotas de mercado en el largo plazo resultan ser 23.73%, 61.84% y 14.43% para las marcas 1,2 y 3 respectivamente. Notar que las actuales cuotas difieren significativamente de las cuotas obtenidas en el largo plazo lo cual puede implicar que de alguna manera deban ser corregidas las probabilidades de transicin. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • Temario: V.1. Introduccin. V.2. Proceso de Poisson. V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto. V.4. Clasificacin de los estados y distribucin lmite. V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Se desea estudiar el comportamiento de sistemas que dependen en forma continua del tiempo: X t : nmero de ambulancias disponibles en el instante t. X t : nmero de personas esperando ser atendidas en el banco o en el supermercado en el instante t. X t : nmero de mquinas funcionando correctamente en un taller en el instante t. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Propiedad Markoviana: Propiedad Estacionaria, no depende de t, slo de s. Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 355
  • V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Una realizacin posible del proceso estocstico es: Gestin de Investigacin de Operaciones t 43214321 XtXt
  • Diapositiva 356
  • V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Cmo representar el proceso? - Se necesitan las probabilidades de que ocurra un salto de un estado a otro. - La distribucin de los tiempos de permanencia en un estado. Se necesita explicitar: i) Probabilidades de transicin p ij (asumiendo p ii =0) ii) Tasas v i de los tiempos exponenciales T i de permanencia en el estado i. Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 357
  • V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Distribucin de X t : Estas probabilidades satisfacen: Si existe una distribucin estacionaria: Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 358
  • V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. La ecuacin diferencial anterior provee el siguiente sistema de ecuaciones para las probabilidades estacionarias (de existir): O equivalentemente el sistema: Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 359
  • V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Ejemplo : En el puerto de Valparaso existen N trenes encargados de traer cargas de contenedores desde los buques hasta una unidad de descarga. En esta unidad existen c gras ( c < N) para descargar los trenes. El tiempo que le toma a una gra descargar un tren es exponencial a tasa. Un tren deja la unidad de descarga cuando la gra termina de atenderlo y vuelve con una nueva carga despus de un tiempo exponencial de tasa. Formular un modelo que nos permita obtener en el largo plazo : Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 360
  • V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. - Nmero medio de trenes esperando ser atendidos en la cuidad de descarga - Nmero medio de gras que se encuentran atendiendo trenes - Fraccin del tiempo en que hay al menos una grya desocupada X t : El nmero de trenes que estn en la unidad de descarga (X t {0,1,2,...,N}) Si existen 0 j c trenes en la unidad de descarga v j = j + (N j) Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 361
  • V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Es decir, el tiempo que transcurre con j trenes en la unidad de descarga es una v.a. Exponencial correspondiente al mnimo entre los tiempos que transcurren hasta que se descarga completamente un tren de los j existentes en dicha unidad y los tiempos que transcurren hasta que retorna uno de N j trenes que vuelve con carga. Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 362
  • V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Adems, las nicas posibles transiciones son: p j,j-1 = j / (j + (N j ) ) j > 0 p j,j+1 =( N- j ) / (j + (N j ) ) Esto es, las probabilidades que se termine de descargar un tren antes de que vuelva uno con carga y viceversa. Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 363
  • V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Anlogamente si c < j N estos parmetros resultan: v j = c + (N j) p j,j-1 = c / (c + (N j ) ) p j,j+1 =( N - j ) / (c + (N j ) ) ( j N ) Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 364
  • V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. En este caso las ecuaciones que determinan las probabilidades estacionarias : Resultan ser las siguientes: N 0 = 1 [ + ( N 1 )] = N 0 + 2 2... [c + ( N c ) ] C = (N ( c 1)) c-1 + c C+1... [c + ] N-1 = 2 N-2 + c N Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 365
  • V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. c N = N-1 1 + 1 +...+ N = 1 As, el nmero de trenes esperando ser atendidos en la unidad de descarga es : El nmero promedio de gras atendiendo trenes Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Y la fraccin de tiempo en que hay al menos una gra desocupada es : Gestin de Investigacin de Operaciones
  • Diapositiva 367
  • BIBLIOGRFIA EN MODELOS PROBABILSTICOS 1. Introduction to Probability Models, Ross, S.M. Academic Press, New York, 1980. 2. Applied Probabability Models with Optimization Applications, Ross, S.M. Dover Publications, Inc. New York, 1992. 3. Modelos Estocsticos para la Gestin de Sistemas, Gazmuri, P. Ediciones Universidad Catlica, Santiago, 1995. 4. Simulation Modeling and Analysis, Law, A.M. Kelton, W.D. Mc.Graw Hill, New York, Third Edition, 2000. Gestin de Investigacin de Operaciones
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  • DIRECCIONES ELECTRNICAS EN MODELOS PROBABILSTICOS Seccin de simulacin en INFORMS: http://www.informs-cs.org/ Simulation Education Homepage: : http://www.acs.ilstu.edu/faculty/wjyurci/nsfteachsim/indexnew.html Gestin de Investigacin de Operaciones