LICEO NACIONAL DE LLO LLEO DEPARTAMENTO DE FÍSICA

GUÍA

INERCIA ROTACIONAL

3° MEDIO

Profesor: Víctor Cepeda Cepeda

Inercia de rotación

Es la resistencia de un objeto a los cambios en su movimiento de rotación, es decir, los

objetos en rotación tienden a permanecer en este estado, mientras que los objetos que no

giran tienden a permanecer sin girar.

� Si la mayoría de la masa está ubicada muy lejos del centro de rotación, la inercia de

rotación será muy alta y costará hacerlo girar o detener su rotación.

Si la masa está cerca del centro de rotación de un determinado objeto, la inercia será

menor y será más fácil hacerlo girar.

Momento de Inercia (I)

Es la forma en que se distribuye la masa en torno al eje de giro. Por ejemplo, para una

misma varilla que gira en torno a dos ejes distintos, los momentos de inercia también son

distintos.

Momento de Inercia de algunos objetos de masa m que giran en torno a los ejes

indicados

Cualquier cilindro sólido rueda por una pendiente inclinada con más aceleración que

cualquier otro cilindro hueco, sin importar su masa o su radio. Un cilindro hueco tiene más

resistencia al giro por unidad de masa que un cilindro sólido.

Momento Angular (L)

El momento angular o cantidad de movimiento angular es una magnitud que resulta del

producto entre el momento de inercia(I) y la velocidad angular (w) de un cuerpo en

rotación. Es un vector que se determina con la regla de la mano derecha y su módulo es:

L = I * w

Se relaciona con el hecho de que un objeto en rotación persiste en este tipo de

movimiento. El momento angular produce una cierta estabilidad de giro en el eje de

rotación. Por eso es fácil mantener el equilibrio en una bicicleta en movimiento, ya que al

girar las ruedas se produce este fenómeno.

Torque (τ)

Es la acción rotatoria que resulta de la aplicación de una fuerza perpendicular a cierta

distancia del eje de rotación de un cuerpo.

τ = F·d ; τ = F·r

El torque sirve para que un cuerpo inicie o modifique su rotación.

Conservación del momento angular

Cuando un cuerpo se encuentra girando, su momento angular permanece constante a no ser

que sobre él actúe un torque externo que lo haga modificar su estado de rotación.

Por lo tanto, si el torque externo es cero, el momento angular final (Lf) es igual al momento

angular inicial (Li).

Por lo tanto Lf = Li

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Determine la inercia rotacional de una varilla de 4 m de largo y 2 Kg de mesa si su eje

de rotación es:

a) Un extremo de la varilla

b) El centro de la varilla

- Datos

L = 4 mt

M = 2 Kg

I =

- Cálculo de I

a) Si el eje de rotación es un extremo de la varilla, la inercia rotacional está dada por

I = 1 /3 ML

2

Remplazando los valores, se tiene:

I = 1 /3 •(2 Kg)•(4 m)

2 =

1 /3 • (2 Kg) •(16 m

2) = 10,66 Kgm

2

b) Si el eje de rotación es el centro de la varilla, entonces, ahora se tiene que I = 1 /12 ML

2

Remplazando los valores, se tiene:

I = 1 /12 •(2 Kg)•(4 m)

2 =

1 /12 •(2 Kg)•(16 m)

2 = 2,66 Kgm

2

2) Calcula el momento de inercia de la Tierra, si la masa de ella es 6x1024

Kg y el radio

ecuatorial es 6.370 Km.

1) Datos

L = 6370 Km

M = 6x1024

Kg

I =

2) Cálculo de I

Considerando a la Tierra como una esfera maciza que gira en torno a su eje se tiene que I = 2 /5 ML

2

Remplazando los valores, se tiene:

I = 2 /5 •(6x10

24 Kg)• (6.37x10

6 m)

2 = 9,73 x10

37 Kgm

2

3) Una rueda de 6 kg de masa y de radio de giro de 40 cm rueda a 300 rpm. Encuentre:

a) su momento de inercia, y

b) su Energía Cinética rotacional.

1) Datos

R = 40 cm

M = 6 Kg

f = 300rpm

I =

EC. Rot =

2) Calculo de I

I = M•R2 = (6 kg)(0,4 m)

2 = 0,96 kg m

2

3) Calculo de E

ω = 2π•f= 2π•5 rps = 31,4 rad/s

Ec = 1 /2 I•ω

2 =

1 /2 0,096 Kg m

2 • (31,4 rad/s)

2

EC. Rot = 470 Joule

4) Una esfera uniforme de 500 g y 7 cm de radio gira a 30 rev/s sobre un eje que pasa por

su centro. Encuentre su Energía Cinética rotatoria.

1) Datos

M = 500gr

R = 7 cm

f = 30 rps

EC. Rot =

2) Calculo de EC. Rot =

I = 2 /5M•R

2 =

2 /5 (0,5 kg)(0,07 m)

2 = 0,00098 kg m

2

Ahora se debe calcular la rapidez angular:

ω = 2π•f= 2π•30 rps = 188 rad/s

La energía cinética rotacional:

Ec = 1 /2 I•ω

2 =

1 /2 (0,00098 Km

2 • (188 rad/s)

2

EC. Rot = 17 Joule

5) Se coloca una tuerca con una llave como se muestra en la figura. Si el brazo r es igual a

30 cm y el torque de apriete recomendado para la tuerca es de 30 Nm, ¿cuál debe ser el

valor de la fuerza F aplicada?.

1) Datos

r = 30 cm

τ = 30Nm

F =

2) Calculo de F

τ = r x F

30Nm= 0,3 m x F

F = 100 N

6) Determinar el torque generado por la fuerza de 130N respecto al pasador A indicado en

la figura.

1) Datos

F = 130 N

r = 80 cm

τ =

2) Calculo de τ

El caso indicado corresponde a la condición más simple en el cálculo del torque ya que se

trata de la aplicación directa de la formula fuerza por brazo, es decir:

τ = r x F

Donde F representa el valor de la fuerza y r representa el brazo de giro que corresponde a la

distancia perpendicular desde el eje de giro o pivote hasta la recta de acción de la fuerza, en

este caso se tiene:

τ = 0,8 * 130

τ = 104 Nm

7 ) Determinar el momento de la fuerza de 130N, indicada en la figura, respecto al pivote A

Solución:

En este caso la recta de la fuerza de 130N no forma un ángulo de 90º con la barra, y por lo

tanto se debe trazar el brazo.

Calculo del brazo de giro (b)

Observando la figura anterior es fácil notar que el brazo b corresponde al cateto opuesto del

ángulo de 60º, por lo tanto su valor corresponde a la hipotenusa del triangulo rectángulo

multiplicada por el seno del ángulo de 60º, es decir:

b = 80 cm sen 60°

b = 0,6928 mt

Calculo del torque o momento

Como ahora se conoce el valor de la fuerza y su brazo, solo hay que aplicar la formula que

cuantifica el valor del torque, es decir:

τ = b* F

τ = 0,6928 * 130

τ = 90,06 Nm

8) Dos esferas iguales de masas 6 kg y 20 cm de radio están montadas como se indica en

la figura, y pueden deslizar a lo largo de una varilla delgada de 3 kg de masa y 2 m de

longitud. El conjunto gira libremente con una velocidad angular de 120 rpm respecto a un

eje vertical que pasa por el centro del sistema. Inicialmente los centros de las esferas se

encuentran fijos a 0.5 m del eje de giro. Se sueltan las esferas y las esferas deslizan por la

barra hasta que salen por los extremos. Calcular:

a) La velocidad angular de rotación cuando los centros de las esferas se encuentran

en los extremos de la varilla.

b) Hallar la energía cinética del sistema en los dos casos.

1) Datos

m1 = 6 kg

r1 = 5 cm

r = 20 cm

mv = 3 kg

L = 2 mt

f = 120 rpm

w =

EC. Rot =

2) Cálculo de w

I1=

* 3*2

2 + 2(

*6*(0,2)

2 + 6*(0,5)

2) = 4,192 kgm

2

w1 = 120*2*π/60 = 4π rad/seg

I2=

* 3*2

2 + 2(

*6*(0,2)

2 + 6*(1)

2)

Por la conservación de la cantidad del momento angular

Li = Lf

I1*w1 = I2*w2

w2 =

w2 = 1,27 rad/seg

3) Cálculo de la Energía cinética

EC. Rot 1 =

I1*w1

2 EC. Rot1=

* 4,192*4π

2

EC. Rot1 = 330,99 J

EC. Rot2 =

I2*w2

2 EC. Rot2=

* 13,192*1,27π

2

EC. Rot2= 105,20 J

9) Dos niños de 25 kg de masa cada uno están situados en el borde de un disco de 2.6 m de

diámetro y 10 kg de masa. El disco gira a razón de 5 rpm respecto del eje perpendicular al disco y

que pasa por su centro.

¿Cuál será la velocidad angular del conjunto si cada niño se desplaza 60 cm hacia el centro

del disco?.

Calcular la variación de energía cinética de rotación del sistema, y explica la causa del

incremento de energía.

1) Datos

m = 25 kg

d= 2,6 m

md = 10 kg

f = 5 rpm

d2 = 1,4 mt

w2 =

∆Ec Rot =

2) Calculo de w2

Conservación del momento angular

I 1 =

10⋅(1.3)

2 +2(25⋅(1.3)

2 ) ω 1 =5⋅2π/60 =π/6  rad/s

I 2 =

10⋅(1.3)

2 +2(25⋅(0.7)

2 )

I 1 ω 1 =I 2 ω 2 ω 2 =1.48 rad/s

Variación de la energía cinética

ΔE=E c2 − E c1 =

I 2 ω 2

2 -

−

I 1 ω1

2

ΔE =23.36 J

Ejercicios propuestos

1) Una fuerza tangencial de 200 N actúa sobre el perímetro de una rueda de 25 cm de

radio. Encuéntrese: a) el torque, b) repítase el cálculo si la fuerza forma un ángulo

de 40º con respecto a un rayo de la rueda. a) 50 Nm, b) 32 Nm.

2) Cierta rueda de 8 kg tiene un radio de giro de 25 cm. A) ¿cuál es su momento de

inercia?, b) ¿de qué magnitud es el torque que se requiere para darle una

aceleración angular de 3 rad/s2? A) 0,5 kg m2, b) 1,5 N m.

3) Determínese el torque constante que debe aplicarse a un volante de 50 kg con un

radio de giro de 40 cm, para darle una rapidez angular de 300 rpm en 10 s. 25 Nm.

4) Una rueda de 4 kg y radio de giro de 20 cm está rotando a 360 rpm. El torque

debido a la fuerza de fricción es de 0,12 Nm. Calcúlese el tiempo necesario para

llevar a la rueda hasta el reposo. 50,2 s.

5) Determínese la energía cinética rotacional de una rueda de 25 kg que se encuentra

rotando a 6 rev/s, si su radio de giro es de 22 cm. 860 J.

6) Una cuerda de 3m de longitud está enrollada en el eje de una rueda. Se tira de la

cuerda con una fuerza constante de 40 N. Cuando la cuerda termina de

desenredarse, la rueda sigue girando a 2 rev/s. Determínese el momento de inercia

de la rueda y del eje. Despréciese el roce. 1,52 kgm2.

7) Una rueda de 500 gr que tiene un momento de inercia de 0,015 kgm2 se encuentra

girando inicialmente a 30 rev/s. Alcanza el reposo después de 163 rev. ¿De qué

magnitud es el torque que la va frenando? 0,26 N m.

8) Cuando se aplican 100 J de trabajo sobre un volante, su rapidez angular se

incrementa de 60 rpm a 180 rpm. ¿Cuál es su momento de inercia? 0,63 kgm2.

9) Un hombre se encuentra colocado sobre una plataforma con libertad de girar. Con

sus brazos extendidos su rapidez de giro es de 0,25 rps, pero cuando contrae sus

brazos hacia él, su rapidez es de 0,8 rps. Encuentre la relación entre el momento de

inercia en el primer caso respecto al segundo.

10) Un disco con momento de inercia I1 gira con una rapidez angular w1. En un

momento se deja caer, sobre el primer disco, un segundo disco, que no gira, con

momento de inercia I2. Los dos quedan girando después, como una unidad.

Determine la rapidez angular final del sistema.

11) Un disco con momento de inercia I = 0,015 kgm2 está girando a 3 rps. Se deja

escurrir un hilo de arena dentro del disco a una distancia de 20 cm del eje, con lo

cual se forma un anillo de 20 cm de radio de arena sobre él. ¿Qué tanta arena se

dejó caer sobre el disco para que su rapidez haya disminuido a 2 rps?

12) Una rueda de 8 kg tiene un radio de giro de 25 cm. Determine su momento de

inercia.

13) Determine la energía cinética rotacional de una rueda de 25 kg que se encuentra

rotando a 6 rps, si su radio de giro es de 22 cm.

14) Un disco sólido de 20 kg rueda sobre una superficie horizontal a razón de 4 m/s.

Determine su energía cinética total.

15) Se hace girar, en círculo horizontal, una pequeña pelota atada al extremo de una

cuerda que pasa a través de un tubo que está vertical. Si se tira de la cuerda a través

del tubo hacia abajo, ¿qué ocurre con la rapidez de la pelota? Si la pelota está

inicialmente girando a razón de 2,8 m/s describiendo una circunferencia de radio

0,3m, ¿cuál será la rapidez tangencial de la pelota si se tira la cuerda hasta que el

radio de la circunferencia se reduce a 0,15 m?