IES Juan García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad ... · Tema 1. Límites y continuidad....

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Determina las asíntotas de las siguientes funciones e interpreta gráficamente los resultados:

1) una es )(423)( 3 xfxxxf →+−=

2) 2{)(2

1)( −ℜ=→

−= fDom

xxf

� ASÍNTOTAS VERTICALES

lim

lim

0

1

2

1lim)(lim

2

2

22

x

xx

xf

x

x

xx

==−

=

→

→

→→

+

−

� ASÍNTOTAS HORIZONTALES

Por la izquierda:

−

−∞→−∞→=

∞−=

−= 0

12

1lim)(lim

xxf

xx

Por la derecha: +

=∞+

==+∞→+∞→

011

lim)(limx

xfxx

izquierda lapor ; )( de A.H. es 0y xf=

� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no hay A.O.

García Valdemora Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTASDepartamento de Matemáticas

s asíntotas de las siguientes funciones e interpreta gráficamente los resultados:

asíntotas. tieneno por tanto, y, polinómicafunción una

}2{}02/2 −ℜ==−xx

)( de A.V. es 2

0

1

2

10

1

2

1

xfx =⇒

+∞==−

−∞==−

+

−

ASÍNTOTAS HORIZONTALES

derecha lapor y asíntota la de debajopor está izquierda

Como hay A.H. no hay A.O.

Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

1

s asíntotas de las siguientes funciones e interpreta gráficamente los resultados:

asíntotas.

encima.por está derecha


3) {)(1

)( 2 −ℜ=→−

−= xfDomx

xxf


lim

lim

0

1

1lim)(lim

1

1

211 x

xxf

x

x

xx

==−

−=•

−→

−→

−→−→

+

−

lim

lim

01

1lim)(lim

1

1

211 x

xxf

x

x

xx

=−=−

−=•

→

→

→→

+

−


Por la izquierda:

−∞→−∞→=Ι

∞+∞+=

−−= )(

1lim)(lim

2x

xxf

xx

Por la derecha:

+∞→+∞→=Ι

∞+∞−=

−−= )(

1lim)(lim

2x

xxf

xx




}1,1{}01/ 2 −−ℜ==−xx

)( de A.V. es 1

0

1

1

0

1

1

2

2

xfx

x

xx

x

−=⇒

−∞==−

−

+∞==−

−

−

+

+

−

)( de A.V. es 1

01

1lim

01

1lim

2

2

xfx

x

xx

x

=⇒

−∞=−=−

−

+∞=−=−

−

+

−

+

−


+

−∞→−∞→=

∞−−=−=−

011

limlim2 xx

xxx

−

+∞→+∞→=

∞+−=−=−

011

limlim2 xx

xxx

derecha lapor y asíntota la de encimapor está izquierda



2

debajo.por está derecha


4) {)(3

2)(

2

−ℜ=→−−= fDom

x

xxxf


lim

lim

0

3

3

2lim)(lim

3

32

33 x

xxxf

x

x

xx

=−=−−=

→

→

→→

+

−

� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda:

=Ι∞−∞−=

−−=

−∞→−∞→)(

32

lim)(lim2

x

xxxf

xx

Por la derecha:

=Ι∞+∞−=

−−=

+∞→+∞→)(

3

2lim)(lim

2

x

xxxf

xx

No hay asíntotas horizontales � ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como

ambos lados.

nmxy +=

lim3

2

lim)(

lim

2

=−−

==•∞→∞→∞→ x

x

xx

x

xfm

xxx

131

1lim

3lim)(

3

2lim])([lim

2

−−=

−

−=−

−

=Ι∞∞=

−−=−=•

∞→∞→

∞→∞→

xxx

xx

x

x

xxmxxfn

xx

xx

( de A.O. es 1 Por tanto, fxy −−=

POSICIÓN Izquierda

100

100(2100

yAsíntota

yFunciónx

−=→

−=→⇒−=


}3{}03/{ −ℜ==−xx

)( de A.V. es 3

0

3

3

2lim

0

3

3

2lim

2

2

xfx

x

xx

x

xx

=⇒

−∞=−=−−

+∞=−=−−

+

−

+

−


+∞=−=−=−∞→−∞→

)(limlim2

xx

xxx

−∞=−=−=+∞→+∞→

)(limlim2

xx

xxx

Como )(xf es una función racional, si tiene asíntota oblicua

31

12

lim3

2

lim)(3

2lim

22

2

2

2

2

2

2

=−

−=

−

−=Ι

∞∞=

−−

∞→∞→∞

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

xx

xxxx

110

1

3

2lim

3

2lim)1(

22

−=⇒−=−−

−+−=

+

−−=

−−

∞→∞→

n

x

xxxx

x

xxx

xx

)(x

está )(

991

03,99103

102003100

)100()100 2

xf⇒

=−

≅−

−=−−−−


3

)

, si tiene asíntota oblicua es la misma por

110110 −=⇒−=

−−

m

3lim

3

32

=−

−=

−∞→ x

xxxx

A.O. la de encimapor está


Derecha

100100

)100(2100

yAsíntota

yFunciónx

−−=→

=→⇒=

5) {)(21

)( 2 −ℜ=→−+= xfDom

x

xxf


0

2

2

1lim)(lim 2

22 x

xxf

xx

+−=−+=•

−→−→

0

12

2

1lim)(lim

222 x

xxf

xx=+=

−+=•

→→


por está )(

1011

03,101979800

3100)100() 2

xf⇒

−=−

−≅−=−

−

}2,2{}02/ 2 −−ℜ==−xx

0

12

2lim

0

12

2

1lim

1

22

22 x

x

x

x

x

x

x −=⇒

+∞=+−=−

−

−∞=+−=−+

=+

−−→

+−→

+

−

A.V. es 2

0

12

2lim

0

12

2

1lim

22

22 x

x

x

x

x

x

x =⇒

+∞=+=−

−

−∞=+=−+

=

+→

−→

+

−


4

A.O. la de debajopor

)( de A.V. es 2 xf−

)( de A.V. xf



−∞→−∞→=Ι

∞+∞−=

−+= )(

21

lim)(lim 2x

xxf

xx

Por la derecha:

+∞→+∞→=Ι

∞+∞+=

−+= )(

21

lim)(lim 2x

xxf

xx



6) −ℜ=→++= {)(

21

)( 2 xfDomx

xxf

� ASÍNTOTAS VERTICALES : No tiene


Por la izquierda:

−∞→−∞→=Ι

∞+∞−=

++= )(

21

lim)(lim 2x

xxf

xx

Por la derecha:

+∞→+∞→=Ι

∞+∞+=

++= )(

2

1lim)(lim

2x

xxf

xxx



−

−∞→−∞→=

∞−== 0

11limlim 2 xx

xxx

+

+∞→+∞→=

∞+== 0

11limlim 2 xx

xxx

derecha lapor y A.H. la de debajopor está izquierda


ℜ==+ }02/ 2xx

: No tiene A.V.


−

−∞→−∞→=

∞−== 0

11limlim 2 xx

xxx

+

+∞→+∞→=

∞+== 0

11limlim

2 xx

xxx


5





7) {)(84

)(3

2

−ℜ=→+

−= fDomx

xxxf


lim

lim

0

12

8

4lim)(lim

3

2

22 x

xxxf

x

x

xx

==+

−=

−→

−→

−→−→


Por la izquierda:

−∞→−∞→=Ι

∞−∞+=

+−= )(

8

4lim)(lim

3

2

x

xxxf

xx

Por la derecha:

+∞→+∞→=Ι

∞+∞+=

+−= )(

84

lim)(lim3

2

x

xxxf

xx






}2{}08/{ 3 −−ℜ==+xx

de A.V. es 2

0

12

8

4lim

0

12

8

4lim

3

2

2

3

2

2fx

x

xx

x

xx

−=⇒

+∞==+

−

−∞==+

−

+−

−−

+

−


−

−∞→−∞→=

∞−=== 0

11limlim

3

2

xx

xxx

+

+∞→+∞→=

∞+=== 0

11limlim

3

2

xx

xxx




6


)(x



8) {)(1

)(2

2

−ℜ=→−−= xfDom

xx

xxf


lim

lim

011

lim)(lim

0

0

2

2

00 xx

xxf

x

x

xx

=−=−−=•

→

→

→→

lim)(001

lim)(lim12

2

11 xx

xxf

xxx=Ι=

−−=•

→→→

Observación

1)1(

2)(lim1 =⇒

∃/

=∃→ xf

xfx Discontinuidad evitable (“punto en blanco”)


Por la izquierda:

)(1

lim)(lim2

2

=Ι∞+∞+=

−−=

−∞→−∞→ xxx xx

xxf

Por la derecha:

)(1

lim)(lim2

2

=Ι∞+∞+=

−−=

+∞→+∞→ xxx xx

xxf

)( de A.H. es 1 xfy =


}1,0{}0/ 2 −ℜ==− xxx

)( de A.V. es 0

011

lim

011

lim

2

2

0

2

2

0xfx

xx

x

xx

x

=⇒

+∞=−=−−

−∞=−=−−

−

+

+

−

121

121lim

)1()1)(1(

lim11

xx

x

xx

xxx

=⇒=+=+=−

+−→

Discontinuidad evitable (“punto en blanco”)

HORIZONTALES

11limlim2

2

==−∞→−∞→ xx x

x

11limlim2

2

==+∞→+∞→ xx x

x


7

)

)( de A.V. es NO xf


POSICIÓN

Izquierda 100

Asíntota

Funciónx

→

→⇒−=

Derecha 100

yAsíntota

yFunciónx

→

→⇒=


� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay A.H. no


(

1

99,0101009999

)100()100(1)100(

2

2

xf

y

y⇒

=→

==−−−−−=→

por está )(

1

01,19900

9999

100)100(

1)100(2

2

xf

y

y⇒

=

==−

−=




8

A.H. la de debajopor está )x

A.H. la de encimapor



9) )(2

12)(

2

ℜ=→+

−−= fDomx

xxxf


09

212

lim)(lim2

22 x

xxxf

x

x

xx

==+

−−=−→−→


Por la izquierda:

Ι∞−∞+=

+−−=

−∞→−∞→(

2

12lim)(lim

2

x

xxxf

xx

Por la derecha:

∞+∞+=

+−−=

+∞→+∞→(

212

lim)(lim2

x

xxxf

xx


ambos lados.

nmxy +=

212

lim)(

lim

2

=+−−

==•+∞→∞→ x

x

xx

x

xfm

xx

5)5(lim5

lim

22

lim])([lim2

−=⇒−=−=−=

+−=−=•

∞→∞→

∞→∞→

nx

x

x

xxmxxfn

xx

xx

( de A.O. es 52 Por tanto, fxy −=

POSICIÓN Izquierda

100(2

100(2100

yAsíntota

yFunciónx

−=→

−=→⇒−=


}2{−−ℜ

A.V. es 2

09

212

lim

09

212

lim

2

2

2

2x

x

xx

x

xx

x

x −=⇒

+∞==+

−−

−∞==+

−−

+−→

−−→

+

−


−∞===Ι−∞→−∞→

)2(lim2

lim)2

xx

xxx

+∞===Ι+∞→+∞→

)2(lim2

lim)(2

xx

xxx


22lim2

lim)(2

12lim 2

2

2

2

===Ι∞∞=

+−−=

∞→∞→∞→ x

x

xx

xxxxx

5

lim2

4212lim2

21 22

−

=

+−−−−=

−−

∞→∞→ x

xxxxx

xxx

)(x

)(

2055)100

09,20598

200992100

1)100()100 2

xf⇒

−=−

−≅−

=+−

−−−


9

)( de A.V. xf

tiene asíntota oblicua es la misma por

22 =⇒ m

)(3

15lim =Ι

∞∞=

−−−

∞ x

x

A.O. la de debajopor está )


Derecha

)100(2100

)100(2100

yAsíntota

yFunciónx

=→

=→⇒=

10) )()2(

3)( 2 −ℜ=→

−−= fDom

xxf


lim

lim

0

1

)2(

3lim)(lim

0

2

202 xxf

x

x

xx

=−=−−=

→

→

→→


Por la izquierda:

−

−∞→−∞→=

∞+−=

−−= 0

3

)2(

3lim)(lim

2xxf

xx


por está )(

1955)

09,195102

19899

2100

1)100()2

xf⇒

=−

≅=+

−−

}2{}02/{}0)2/({ 2 −ℜ==−−ℜ==− xxxx

( de A.V. es 2

0

3

)2(

3lim

0

3

)2(

3lim

2

22

xfx

x

x=⇒

−∞=−=−−

−∞=−=−−

+

+

+

−


−


10

A.O. la de encimapor

}

)x


Por la derecha:

+∞→+∞→=

∞+−=

−−= 0

3

)2(

3lim)(lim 2x

xfxx

izquierda lapor tanto; )( de A.H. es 0y xf=

� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay

11) {)()1(

2)(

2

2

−ℜ=→+−= fDom

x

xxf


lim

lim

0

1

)1(

2lim)(lim

1

1

2

2

11 x

xxf

x

x

xx

==+−=

−→

−→

−→−→


Por la izquierda:

2lim

)1(

2lim)(lim

22

2

+=

+−=

−∞→−∞→−∞→ xxx xx

xxf


−0

estáfunción la derecha lapor como izquierda


}1{}01/{}0)1/({ 2 −−ℜ==+−ℜ==+ xxxx

( de A.V. es 1

0

1

)1(

2lim

0

1

)1(

2lim

2

2

1

2

2

1

xfx

x

x

x

x

−=⇒

+∞==+−

+∞==+−

+

+

+

−


11limlim)(12 2

22

−=−=−=Ι∞+∞−=

++−

−∞→−∞→ xx x

x

x

x


11

A.H. la de debajopor

}

)x


Por la derecha:

2lim

)1(2

lim)(lim 22

2

+=

+−=

+∞→+∞→+∞→ xxx xx

xxf

)( de A.H. es 1 xfy −=

POSICIÓN

Izquierda 100

Asíntota

Funciónx

→

→⇒−=

Derecha 100

yAsíntota

yFunciónx

→

→⇒=

izquierda lapor ; )( de A.H. es 1y xf−=



11limlim)(12

22

22

−=−=−=Ι∞+∞−=

++−

+∞→+∞→ xx x

x

x

x

está )(

1

02,19801

9998

)1100(

)100(22

2

xf

y

y⇒

−=→

−=−=+−

−−=→

por está )(

1

98,010201

9998)1100()100(22

2

xf

y

y⇒

−=

−=−=+

−=




12

A.H. la de debajopor está




12) {)()1(

)(2

3

−ℜ=→+

= fDomx

xxf


lim

lim

0

1

)1(lim)(lim

2

3

11 x

xxf

x

x

xx

=−=+

=

−→

−→

−→−→


=Ι∞+∞−=

+=

−∞→−∞→ x

xxf

xx)(

)1(lim)(lim 2

3

Por la derecha:

=Ι∞+∞+=

+=

+∞→+∞→ x

xxf

xx)(

)1(lim)(lim 2

3


ambos lados. nmxy +=

12lim)(

lim2

3

=++==•∞→∞→ x

xx

x

x

xfm

xx

2lim)(

12

2lim

2lim])([lim

2

2

2

3

−=Ι∞∞=

++−−=

+=−=•

∞→∞→

∞→∞→

xxx

xx

xx

xmxxfn

xx

xx

( de A.O. es 2 Por tanto, xfxy −=

POSICIÓN

Izquierda 100

Asíntota

Funciónx

→

→⇒−=


}1{}01/{}0)1/({ 2 −−ℜ==+−ℜ==+ xxxx

de A.V. es 1

0

1

)1(lim

0

1

)1(lim

2

3

1

2

3

1

fx

x

x

x

x

−=⇒

−∞=−=+

−∞=−=+

+−

+−

+

−


−∞===++

=−∞→−∞→−∞→

xx

x

xx

xxxxlimlim

12lim 2

3

2

3

+∞===++

=+∞→+∞→+∞→

xx

x

xx

xxxxlimlim

12lim 2

3

2

3


11limlim)(2

lim 3

3

23

3

⇒===Ι∞∞=

++ +∞→∞→∞→ x

x

xxx

xxxx

22)2(lim2

lim12

lim11

2

2

2

3

2

3

−=⇒−=−=

−=

−

++=

−

+

∞→

∞→∞→

nx

x

x

xxx

xx

xx

x

x

xx

)x

debajopor está )(

1022)100.(

02,102)1100(

)100(2

3

xf

y

y⇒

−=−−=→

−≅+−

−=→


13

)(x

es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por

1=⇒ m

12

2 23

=

++−−

x

xxx

A.O. la de debajo


Derecha 100

yAsíntota

yFunciónx

→

→⇒=

13) )(25

7)( 2 −ℜ=→

−= fDom

xxf


lim

lim

07

257

lim)(lim255 x

xf

x

x

xx

==−

=•

→

→

−→−→

lim

lim

0

7

25

7lim)(lim

5

5

255 xxf

x

x

xx

==−

=•

→

→

→→

+

−


está )(

982100

03,9810201

1000000)1100(

)100(2

3

xf

y

y⇒

=−=

≅=+

=

}5,5{}025/{ 2 −−ℜ==−xx

de A.V. es 5

07

257

lim

07

257

lim

25

25

fx

x

x −=⇒

−∞==−

+∞==−

−−→

+−→

+

−

)( de A.V. es 5

0

7

25

7lim

0

7

25

7lim

2

2

xfx

x

x =⇒

+∞==−

−∞==−

+

−

+

−


14


)(xf



Por la izquierda:

+

−∞→−∞→=

∞+=

−= 0

7

25

7lim)(lim

2xxf

xx

Por la derecha:

+

+∞→+∞→=

∞+=

−= 0

7

25

7lim)(lim

2xxf

xx

izquierda lapor tanto; )( de A.H. es 0y xf=


14) −ℜ=→+

= {)(4

)(2

4

xfDomx

xxf



Por la izquierda:

=Ι∞+∞+=

+=

−∞→−∞→ 2

4

)(4

lim)(limx

xxf

xxx



+

+

encimapor está )( derecha lapor como izquierda xf


ℜ==+ }04/ 2xx

: No tiene A.V.


+∞==−∞→−∞→

22

4

limlim xx

xxx


15

A.H. la de encima


Por la derecha:

=Ι∞+∞+=

+=

+∞→+∞→ 2

4

)(4

lim)(limx

xxf

xx

No tiene A.H.

� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como

ambos lados.

nmxy +=

lim4lim)(

lim2

4

=+==∞→+∞→∞→ xx

x

x

x

xfm

xxx

ordenadas de eje del

tanto tiene)()(lim

)(lim

xf

x

xf

xf

x

x

⇒

∞=

∞=

±∞→

±∞→

15) {)(16

24)(

2

2

−ℜ=→−

−= fDomx

xxf


028

1624

lim)(lim 2

2

44 x

xxf

xx=−=

−−=•

−→−→


+∞==+∞→+∞→

22

4

limlim xx

xxx


hay nolimlim)(4 3

4

3

4

⇒∞===Ι∞∞=

+ ∞→∞→x

x

x

xx

xxx

OY) (eje ordenadas

rama una derecha lapor como izquierda lapor

}4,4{}016/{ 2 −−ℜ==−xx

A.V. es 4

028

1624

lim

028

1624

lim

2

2

4

2

2

4x

x

x

x

x

x

x −=⇒

+∞=−=−

−

−∞=−=−

−

−−→

+−→

+

−


16

tiene asíntota oblicua es la misma por

A.O.hay

dirección laen parabólica rama

)( de A.V. xf


lim

lim

0

28

16

24lim)(lim

2

2

44 x

xxf

x

x

xx

=−=−

−=•→→


Por la izquierda:

1624

limlim)(lim2

2

+−=

−−==

−∞→−∞→−∞→ xxx x

xxf

Por la derecha:

)(16

24lim)(lim

2

2

=Ι∞+∞−=

−−=

+∞→+∞→ xx x

xxf

)( de A.H. es 2 xfy −=

POSICIÓN

Izquierda 100

Asíntota

Funciónx

→

→⇒−=

Derecha 100

yAsíntota

yFunciónx

→

→⇒=

lapor tanto; )( de A.H. es 2y xf−=



de A.V. es 4

0

28

16

24lim

0

28

16

24lim

2

2

4

2

2

4x

x

x

x

x

x

x =⇒

−∞=−=−

−

+∞=−=−

−

+→

−→

+

−


2)2(lim2

lim)(2

2

−=−=−=Ι∞+∞−

−∞→−∞→ xx x

x

2)2(lim2

lim2

2

−=−=−=+∞→+∞→ xx x

x

(

2

003,2998419996

16)100()100(24

2

2

xf

y

y⇒

−=→

−=−=−−

−−=→

está )(

2

003,29984

19996

16)100(

)100(242

2

xf

y

y⇒

−=

−=−=−

−=

debajopor está derecha lapor como izquierda la



17

)( xf

A.H. la de debajopor está )x


A.H. la de debajo


16) ℜ=→++

−= )(32

1)(

2fDom

xx

xxf

2

12420322 −±−=⇒=++ xxx



Por la izquierda:

−∞→−∞→ ∞+∞−=

++−= (

321

lim)(lim 2 xx

xxf

xx

Por la derecha:

+∞→+∞→ ∞+∞+=

++−= (

32

1lim)(lim

2 xx

xxf

xx




ℜ==++−ℜ }032/{ 2 xxx

realsolución 12 ∃/⇒

: No tiene A.V.


−

−∞→−∞→===Ι 0

1limlim)( 2 xx

xxx

+

+∞→+∞→===Ι 0

1limlim)(

2 xx

xxx




18



17) )(32

)(2

ℜ=→−+

= fDomxx

xxf


0

1

32lim)(lim

211 xx

xxf

xx

==−+

=•→→

0

3

32lim)(lim

213 xx

xxf

xx=−=

−+=•

→−→


Por la izquierda:

−∞→−∞→ ∞+∞−=

−+= (

32lim)(lim

2 xx

xxf

xx

Por la derecha:

+∞→+∞→ ∞+∞+=

−+= (

32lim)(lim 2 xx

xxf

xx




}3,1{}032/{ 2 −−ℜ==−+−ℜ xxx

de A.V. es 1

0

1

32lim

0

1

32lim

21

21x

xx

xxx

x

x

x =⇒

+∞==−+

−∞==−+

+→

−→

+

−

A.V. es 3

0

3

32lim

0

3

32lim

23

23x

xx

xxx

x

x

x −=⇒

+∞=−=−+

−∞=−=−+=

−−→

+−→

+

−

HORIZONTALES

−

−∞→−∞→===Ι 0

1limlim)(

2 xx

xxx

+

+∞→+∞→===Ι 0

1limlim)( 2 xx

xxx




19

)( de xf

)( de A.V. xf



18) )(2

5)(

2

2

ℜ=→−+

−= fDomxx

xxf


0

4

2

5lim)(lim

2

2

11 xx

xxf

xx

=−=−+

−=•→→

0

1

2

5lim)(lim

2

2

22 xx

xxf

xx=−=

−+−=•

−→−→


Por la izquierda:

lim2

5lim)(lim

2

2

==−+

−=−∞→−∞→−∞→ xxx xx

xxf

Por la derecha:

(2

5lim)(lim

2

2

Ι∞+∞+=

−+−=

+∞→+∞→ xx xx

xxf



}2,1{}02/{ 2 −−ℜ=−+− xxx

de A.V. es 1

0

4

2

5lim

0

4

2

5lim

2

2

1

2

2

1x

xx

x

xx

x

x

x =⇒

−∞=−=−+

−

+∞=−=−+

−

+→

−→

+

−

A.V. es 2

0

1

2

5lim

0

1

2

5lim

2

2

2

2

2

2x

xx

x

xx

x

x

x −=⇒

+∞=−=−+

−

−∞=−=−+

−

−−→

+−→

+

−


11limlim)(2

2

===Ι∞+∞+=

−∞→−∞→ xx x

x

11limlim)2

2

===+∞→+∞→ xx x

x


20

)( de xf

)( de A.V. xf


POSICIÓN Izquierda

1

100((

100

yAsíntota

yFunciónx

=→−

=→⇒−=

Derecha 100

yAsíntota

yFunciónx

→

→⇒=



19) −ℜ=→+−= {)(2

2)(

2

2

fDomx

xxxf

� ASÍNTOTAS VERTICALES : No tiene A.V.


está )(0098,1

98989995

2)100()1005)100(

2

2

xf⇒≅=

−−+−−

está )(

1

99,010098

9995

2)100()100(

5)100(2

2

xf

y

y⇒

=

≅=−+

−=

derecha lapor y A.H. la de encimapor está izquierda


ℜ==+ }02/{ 2xx

No tiene A.V.


21

A.H. la de encimapor está





lim2

2lim)(lim

2

2

++==

+−=

−∞→−∞→−∞→ xxx x

xxxf

Por la derecha:

)(2

2lim)(lim

2

2

=Ι∞+∞+=

+−=

+∞→+∞→ xx x

xxxf


POSICIÓN Izquierda

2

(

100(2100

yAsíntota

yFunciónx

=→−

−=→⇒−=

Derecha 100

yAsíntota

yFunciónx

→

→⇒=





22lim2

lim)(2

2

===Ι∞+∞+

−∞→−∞→ xx x

x

22lim2

lim2

2

===+∞→+∞→ xx x

x

está )(0096,2

10002

20100

2)100

)100()1002

2

xf⇒≅=

+−−−

está )(

1

99,11000219900

2)100()100()100(2

2

2

xf

y

y⇒

=

≅=+

−=




22





20) /{)(1

3)(

2

−ℜ=→−

= xfDomx

xxf


1

3lim

1

3lim

0

3

1

3lim)(lim

1

12

11 x

x

x

xxf

x

x

xx

−

−==−

=

→

→

→→

+

−


Por la izquierda:

=Ι∞+∞+=

−=

→−∞→−∞→lim)(

1

3lim)(lim

2

x

xxf

xxx

Por la derecha:

=Ι∞−∞+=

−=

→+∞→+∞→lim)(

1

3lim)(lim

2

x

xxf

xxx


ambos lados.

nmxy +=

1

3lim1

3

lim)(

lim

2

−=−==•

∞→+∞→∞→ xx

x

x

xfm

xxx

33)3(lim3

lim

(1

3lim])([lim

2

−=⇒−=−=−

=

−

−=−=•

∞→∞→

∞→∞→

nx

x

x

xmxxfn

xx

xx

de A.O. es 33 Por tanto, fxy −−=

POSICIÓN

Izquierda 100

Asíntota

Funciónx

→

→⇒−=


}1{}01/ −ℜ==− x

)( de A.V. es 1

0

3

0

3

2

2

xfx

x

x =⇒

−∞==

+∞==

−

+


+∞=−=− −∞→−∞→

)3(lim3

lim2

xx

xx

−∞=−=− +∞→+∞→

)3(lim3

lim2

xx

xx

Como )(xf es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por

3)3(lim3

lim)(3

2

2

2

2

=⇒−=−=−

=Ι∞∞=

− ∞→∞→m

x

x

x

xxx

1

333lim3

1

3lim)3(

222

=

−−+

+

−=

−

∞→∞→ x

xxxx

x

xx

xx

)(xf

está )(

2973)100(3

03,297101

30000

)100(1

)100(3 2

xf

y

y⇒

=−−−=→

≅=−−

−=→


23


3−=

)(1

3lim =Ι

∞∞=

−=

∞→ x

xx



Derecha 100

yAsíntota

yFunciónx

→

→⇒=

21) )(642

256)(

2

4

=→−−

−= fDomxx

xxf

−−→=−− 320642 22:2 xxxx


0

255

642

256lim)(lim

2

4

11 xx

xxf

xx

−=−−

−=•−→−→

0

175

642

256lim)(lim

2

4

33 xx

xxf

xx

−=−−

−=•→→


por está )(

3033)100(3

03,30399

30000

)100(1

)100(3 2

xf

y

y⇒

−=−−=

−≅−

=−

=

}3,1{}0642/{ 2 −−ℜ==−−−ℜ xxx

−==

=±=+±=⇒=1

3

2

162

2

124203

x

xx

0

255

642

256lim

0

255

642

256lim

0

255

2

4

1

2

4

1x

xx

x

xx

x

x

x =⇒

+∞=−=−−

−

−∞=−=−−

−

=

−−→

+−→

+

−

3

0

175

642

256lim

0

175

642

256lim

175

2

4

3

2

4

3x

xx

x

xx

x

x

x =⇒

−∞=−=−−

−

+∞=−=−−

−

=

+→

−→

+

−


24

A.O. la de debajopor

)( de A.V. es 1 xf−=

)( de A.V. es xf



Por la izquierda:

∞+∞+=

−−−=

−∞→−∞→ 2

4

642

256lim)(lim

xx

xxf

xx

Por la derecha:

∞+∞+=

−−−=

+∞→+∞→ 2

4

642

256lim)(lim

xx

xxf

xx

No tiene A.H.


ambos lados.

nmxy +=

642

256

lim)(

lim2

4

=−−−

==∞→∞→ x

xx

x

x

xfm

xx

ordenadas de eje del

tanto tiene)()(lim

)(lim

xf

x

xf

xf

x

x

⇒

∞=

∞=

±∞→

±∞→



+∞===Ι∞∞

−∞→−∞→

22

4

2

1lim

2lim)( x

x

xxx

+∞===Ι∞∞

+∞→+∞→

22

4

2

1lim

2lim)( x

x

xxx


2lim

2lim)(

642

256lim

3

4

23

4

==Ι∞∞=

−−−=

∞→∞→∞→

x

x

x

xxx

xxxx

OY) (eje ordenadas

rama una derecha lapor como izquierda lapor


25


A.O.hay no2

⇒∞=x

dirección laen parabólica rama


22) )(9

23)(

2

3

ℜ=→−

−−= fDomx

xxxf


0

20

9

23lim)(lim

2

3

33 x

xxxf

xx

−=−

−−=•−→−→

0

16

9

23lim)(lim

2

3

23 x

xxxf

xx==

−−−=•

−→→


Por la izquierda:

∞+∞−=

−−−=

−∞→−∞→ x

xxxf

xx(

9

23lim)(lim

2

3

Por la derecha:

∞+∞+=

−−−=

+∞→+∞→ x

xxxf

xx(

9

23lim)(lim

2

3


ambos lados.

nmxy +=

9

23

lim)(

lim2

3

=−−−

==•+∞→∞→ x

x

xx

x

xfm

xx

lim6

lim)(9

6lim

9

3lim])([lim

22

2

3

==Ι∞∞=

−−=

−−=−=•

∞→∞→∞→

∞→∞→

x

x

x

xx

x

xxmxxfn

xxx

xx

)( de A.O. es Por tanto, xfxy =


}3,3{}09/{ 2 −−ℜ==−−ℜ xx

es 3

0

20

9

23lim

0

20

9

23lim

20

2

3

3

2

3

3x

x

xx

x

xx

x

x −=⇒

+∞=−=−

−−

−∞=−=−

−−

=

−−→

+−→

+

−

A.V. es 3

0

16

9

23lim

0

16

9

23lim

2

3

3

2

3

3x

x

xx

x

xx

x

x =⇒

+∞==−

−−

−∞==−

−−

+→

−→

+

−

HORIZONTALES

−∞===Ι−∞→−∞→

xx

xxxlimlim)(

2

3

+∞===Ι+∞→+∞→

xx

xxxlimlim)(

2

3


11limlim)(9

23lim

3

3

3

3

⇒===Ι∞∞=

−−−=

∞→∞→∞→ x

x

xx

xxxxx

006

lim

3lim

9

23lim1

9

2 3

2

3

=⇒=

−−

−

−−−=

−−

∞

∞→∞→

nx

x

xxx

x

xxx

xx


26

)( de A.V. es xf

)( de xf


1=⇒ m

9

922

3

=

−+−− xx


POSICIÓN Izquierda

100

(

100(100

yAsíntota

yFunciónx

−=→

−=→⇒−=

Derecha

100

100(

)100(100

3

yAsíntota

yFunciónx

=→

=→⇒=

23) )(2)( 1

1

==→= − yDomfDomxf x


2lim

2lim22lim)(lim

1

1

1

1

1

10

1

1

1

11xf

x

x

x

xx

xx

===−

→

−

→−→→

+

−


(06,100

9991

999702

9)100(

2)100(3)1002

3

f⇒−≅−=

−−−−−

está )(06,100

9991

999698

9)100

2)100(32 xf⇒

≅=−

−−

}1{1

1 −ℜ=

−=

x

por )( de A.V. es 1

22

022

0

1

1

0

1

1

xfx =⇒

+∞===

===

∞+

∞−

+

−


27

A.O. la de debajopor está )(x


derecha lapor


en punto" 1)1(

0)(lim1 =⇒

∃/

=∃−→ x

f

xfx


Por la izquierda:

222lim)(lim 01

1lim

1

1

=== −−−∞→−∞→

−∞→ xx

xx

xxf

Por la derecha:

222lim)(lim 01

1lim

1

1

=== −−+∞→+∞→

+∞→ xx

xx

xxf


POSICIÓN

Izquierda 100Asíntota

Funciónx

→→⇒−=

Derecha 100yAsíntota

yFunciónx

→→⇒=




blanco"en


1=

1=

debajopor está )(1

99,022 101

1

1100

1

xfy

y ⇒=→

≅==→ −−−

encimapor está )(1

007,122 99

1

1100

1

xfy

y ⇒=

≅== −




28

A.H. la de debajo

A.H. la de encima



24) /{)(1)( 2 =→−= xxfDomxxf



Por la izquierda:

=−=−∞→−∞→−∞→

(lim1lim)(lim 22 xxxfxxx

Por la derecha:

=−=+∞→+∞→+∞→

(lim1lim)(lim 22 xxxfxxx

A.H. tieneNO )( xf � ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como

Por la izquierda: nmxy +=

1)(lim

)(lim

2

=−

−−==•

+∞→−∞→ x

x

x

xfm

xx

[[ ]

1

1lim

1

1lim

lim)(1lim

1lim])([lim

22

22

2

2

−−=

+−−−=

=Ι∞−∞=−−

−=−=•

+∞→+∞→

+∞→+∞→

−∞→−∞→

xxx

xx

xx

xmxxfn

xx

xx

xx

izquierda lapor A.O. es Por tanto, xy −=

POSICIÓN

100(

100(100

yAsíntota

yFunciónx

−−=→−=→

⇒−=

Por la derecha: nmxy +=

1lim

)(lim

2

++=−==•

+∞→+∞→ x

x

x

xfm

xx


),1[]1,(}012 +∞∪−−∞=≥−x

: No tiene A.V.


+∞=∞+=− )12

+∞=∞+=− )12

Como )(xf no tiene A.H. puede que tenga A.O.

limlim)(1

lim22

−=

−=Ι

∞−∞+=

−−=

+∞→+∞→+∞→

x

x

x

x

xxxx

] [ ] [

001

1

1

)1(lim

1

)1)(1(

1)(lim1lim)1(1

2

22

2

22

22

=⇒=∞+

−=

+

+−−=

+−+−−−

−−=+−=−−

+∞→

+∞→−∞→

nx

x

x

xx

xxxx

xxxx

x

xx

)( de izquierda xf

A.O. la de debajopor está )(100)100

9,991)100 2

xf⇒=

≅−

11limlimlim)(2

=⇒===Ι∞∞

+∞→+∞→+∞→m

x

x

x

xxxx


29

11lim −=⇒−=− +∞→

mx

xx

])

)(1

2

=

+−

=−+

x

x

x

A.O.


[

1

1lim

1

1lim

1

)1)(1(lim

1lim])([lim

22

22

2

22

2

−−=

+−−−=

=

+−+−−−=

−=−=•

+∞→+∞→

+∞→

+∞→+∞→

xxx

xx

xx

xxxx

xmxxfn

xx

x

xx

derecha lapor A.O. es Por tanto, xy =

POSICIÓN

100

)100(100

yAsíntota

yFunciónx

=→=→

⇒=

25) /)(1

)(=→

−=

xxfDom

x

xxf


1lim

1lim)(lim

111 x

x

x

xxf

xxx −=

−=

→→→ +++


] [ ] [ ]

001

1

1

1

))1(lim

1lim1lim11

2

222

22

=⇒=∞+

−=

+

=

+−−−=

=−−=−−=−

+∞→

+∞→+∞→

nx

xx

xx

xxxxx

x

xx

)( de derecha xf

A.O. la de debajopor está )(9,991)2

xf⇒≅−

),1(]0,(01

+∞∪−∞=≥

−x

x

( de A.V. es 10

1

1xfx =⇒+∞=∞+== +


30

)( =Ι∞−∞=

A.O.

derecha lapor )x



lim1

lim)(lim−

−=−

=+∞→−∞→−∞→ xx

xxf

xxx

lim)(1

lim)( =−−=Ι

∞−∞−=

−−−∗

∞→+∞→ xx x

x

x

x

Por la derecha:

lim1

lim)(lim−

=−

=+∞→+∞→+∞→ x

x

x

xxf

xxx

limlim)(1

lim)( ==Ι∞+∞+=

−∗

+∞→∞→+∞→ xxx x

x

x

x

)( de A.H. es 1y xf= POSICIÓN

Izquierda 100

Asíntota

Funciónx

→

→⇒−=

Derecha 100

Asíntota

Funciónx

→

→⇒−=





111

lim1 )(

==−−

−=−

−∗+∞→ x

x

x

xx

11lim ==+∞→x

111 )(

==− ∗

x

11lim =+∞

debajopor está )(

1

995,01100

100xf

y

y⇒

=→

≅−−

−=→

encimapor está )(

1

005,11100

100xf

y

y⇒

=→

≅−

=


Como )(xf tiene A.H. no tiene A.O.


31

A.H. la de debajo

A.H. la de encima



26) )0,1[)(1

)( −=→+= fDomx

xxf

1/{Dominio1 +=→+=• xxxy

ℜ=→=• Dominioxy denominado al anula 0 que ya 0≠x


lim

lim

0

11lim)(lim

0

0

00 x

xxf

x

x

xx

==+=

→

→

→→

+

−


Por la izquierda: No hay pues Dom

Por la derecha:

→+∞→+∞→=

∞+∞+=+= lim

1lim)(lim

x

xxf

xxx

derecha lapor )( de A.H. es 0y xf=


),0() +∞∪

),1[}01 +∞−=≥

rdenominado

)( de A.V. es 0

0

11

0

11

xfx

x

x

x

x

=⇒

+∞==+

−∞==+

+

−

ASÍNTOTAS HORIZONTALES ),0()0,1[)( +∞∪−=fDom

+∞→+∞→

−

+∞→+∞→+∞→==== lim

1limlimlimlim

2

12

12

1

x

xx

x

x

xxxxx

asíntota la de encimapor estáfunción lay derecha


32

+=∞+

= 011

x


� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Por la izquierda: No hay pues Dom

Por la derecha: Como )(xf tiene A.H. no tiene A.O.

27) −ℜ=→+

−= {)(1

)1()(

2

2

fDomx

xxf

� ASÍNTOTAS VERTICALES : No


lim1

)1(lim)(lim

2

2

2 −=+

−=−∞→−∞→−∞→ xxx x

x

x

xxf

Por la derecha:

lim1

)1(lim)(lim

2

2

2 −=+

−=+∞→+∞→+∞→ xxx x

x

x

xxf



),0()0,1[)( +∞∪−=fDom

tiene A.H. no tiene A.O.

ℜ==+ }01/{ 2xx

: No tiene A.H.


11limlim)(1

122

2

2===Ι

∞+∞+=

++−

−∞→−∞→ xx x

x

x

x

11limlim)(1

122

2

2===Ι

∞+∞+=

++−

+∞→+∞→ xx x

x

x

x


33


POSICIÓN

Izquierda 100

Asíntota

Funciónx

→

→⇒−=

Derecha 100

yAsíntota

yFunciónx

→

→⇒=



28) }0{)(3

1)(

2

−ℜ=→

= fDomxfx


lim

lim

3

1

3

1lim)(lim

0

00

22

00xf

x

xx

xx

=

=

=

→

→

→→

+

−

en punto" 0)0(

0)(lim0 =⇒

∃/

=∃+→ x

f

xfx


3

1

3

1lim)(lim

2lim

2

=

=

=−∞→

−∞→−∞→

xx

xx

x

xf


por está )(

1

02,110001

10201

1)100(

)1100(2

2

xf

y

y⇒

=→

≅=+−

−−=→

debajopor está )(

1

98,010001

9801

1)100(

)1100(2

2

xf

y

y⇒

=

≅=+

−=



}

es 0

03

1

3

1

3

1

33

1

3

1

3

1

0

22

0

22

xx

x

=⇒

=

=

=

+∞==

=

=

∞+

∞+∞−

+

−

blanco"en


13

10

=

=


34




izquierda lapor )( de A.V. es xf


Por la derecha:

3

1

3

1lim)(lim

2lim

2

=

=

=+∞→

+∞→+∞→

xx

xx

x

xf


POSICIÓN

Izquierda 100

Asíntota

Funciónx

→

→⇒−=

Derecha 100

yAsíntota

yFunciónx

→

→⇒=




13

10

=

de encimapor está )(

1

02,13

1 100

2

xf

y

y ⇒

=→

≅

=→−

la de debajopor está )(

1

98,03

1 100

2

xf

y

y ⇒

=

≅

=




35

A.H. la de

A.H.



29) ℜ=→= − )(2)(21 fDomxf x



+−∞−

−∞→−∞→=== 022lim)(lim

21 x

xxxf

Por la derecha: +−∞−

+∞→+∞→=== 022lim)(lim

21 x

xxxf

lapor y tanto )( de A.H. es 0 xfy =


30) ),0()(ln

)( +∞=→= fDomx

xxf


0

lnlim)(lim

00 x

xxf

xx⇒−∞=∞−== +→→ ++




: No tiene A.V.


estáfunción la derecha lapor como izquierda


derecha lapor )( de A.V. es 0 xfx =⇒


),0()( +∞=fDom


36



Por la derecha:

0)(ln

lim)(lim)(x

xxf

xx=Ι

∞+∞+== +

∗+∞→+∞→

(*) Las potencias de x son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.


Por la derecha: Como )(xf tiene A.H. no tiene A.O.

31) 1()1,0()(ln

)( ∪=→= fDomx

xxf


lnlim

lnlim

0

1

lnlim)(lim

1

1

11

x

xx

x

x

xxf

x

x

xx

===

→

→

→→

+

−



Por la derecha:

)(ln

lim)(limx

xxf

xx+∞=Ι

∞+∞+==

+∞→+∞→

Las potencias de x son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.


asíntota

función lay derecha lapor )( de A.H. es 0 xfy =⇒

son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.

),0()( +∞=fDom

tiene A.H. no tiene A.O.

),1+∞

)( de A.V. es 1

0

10

1

xfx =⇒

+∞==

−∞==

+

−

ASÍNTOTAS HORIZONTALES ),1()1,0()( +∞∪=fDom

derecha lapor de A.H. tieneNO )(xf⇒+∞



37

la de encimapor estáfunción





Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya A.O.

limlnlim)(

lim ===•+∞→+∞→+∞→ xx

x

x

x

xfm

xxx

lapor tiene)(0

)(lim

)(lim

xf

x

xf

xf

x

x

⇒

=

+∞=

+∞→

+∞→

32) ( ) /{)(4ln)( 2 =→−= xfDomxxf


0ln()4ln(lim)(lim 2

22xxf

xx=−=•

−→−→ −−

)0ln()4ln(lim)(lim 2

22xxf

xx=−=• +

→→ ++


)4ln()4)ln(()( 22 =−=−−=− xxxf

)4ln(lim)(lim 2xxfxx

⇒+∞=−=±∞→±∞→


),1()1,0()( +∞∪=fDom

no hay A.H. puede que haya A.O.

por A.O.hay NO01

ln

1lim

ln⇒=

∞+==

⋅ +∞→ xxx

xx

dirección laen parabólica rama una derecha la

),2()2,(}04/ 2 +∞∪−−∞=>−x

izquierda lapor )( de A.V. es 2)0 xfx −=⇒−∞=+

derecha lapor )( de A.V. es 2) xfx =⇒−∞=


en que mismo el es

comportamisu por tanto, y, PAR es )()(

∞+⇒= xfxf

A.H. tieneNO )(xf


38

derecha lapor

OX) (eje abscisas de eje deldirección

izquierda

derecha

en entocomportami ∞−


� ASÍNTOTAS OBLICUAS :

)4ln()4)ln(()( 22 =−=−−=− xxxf

)4ln(lim

)(lim

2

x

x

x

xfm

xx=−==•

+∞→+∞→

Las potencias de x son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica.

ambospor tiene)(0

)(lim

)(lim

xf

x

xf

xf

x

x

⇒

=

+∞=

±∞→

±∞→

33) ℜ=→= − )()(2

fDomexf x



()()(22)( ⇒===− −−− xfxfeexf xx

0lnlim)(lim2

eexf x

xx⇒=== +−∞−

±∞→±∞→

� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Como hay


en que mismo el es

comportamisu por tanto, y, PAR es )()(

∞+⇒= xfxf

.A.O tieneNO )(0)( xf⇒=Ι∞+∞+


dirección laen parabólica rama una lados ambos

: No tiene A.V.


en entocomportamisu por tanto, y, PAR es )x

lados ambospor

por estáfunción lay ;)( de H. A. es 0 xfy =⇒

: Como hay A.H. no hay A.O.


39

en entocomportami ∞−



en que mismo el es en ∞+∞−

por asíntota la de encimapor


34) →=⇒⋅= − )()(2

2 Dome

xxfexxf

xx



0lim)(lim

2

ee

xxf

xxx=∞+=∞+== +∞−−∞→−∞→

Por la derecha:

+

∗+∞→+∞→=

∞+∞+== 0lim)(lim

)(

2

xxx e

xxf

(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia

de x. derecha lapor )( de A.H. es 0 xfy =

� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Por la izquierda: Como no hay A.H. puede que haya A.O.

nmxy +=

limlim)(

lim

2

x

x

xe

x

x

xfm

x

x

xx===•

+∞→+∞→+∞→


de x.


ℜ=)( fDom

: No tiene A.V.


izquierda lapor A.H. tieneNO )(xf⇒+∞


A.H. la de encimapor estáfunción lay derecha

Como no hay A.H. puede que haya A.O.

A.O tieneNO )(0)(lim)(

2

xfe

x

e

xxxx

⇒=Ι∞+∞+==

⋅ ∗+∞→



40


.A.O



lapor tiene)(0

)(lim

)(lim

xf

x

xf

xf

x

x

⇒

=

+∞=

+∞→

+∞→

Por la derecha: Como hay A.H. no hay A.O.

35) ℜ=→⋅= )()( fDomexxf x


� ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda:

izquierda lapor )( de A.H. es 0

lim)(0lim)(lim

xfy

exxfx

x

xx

=⇒

=Ι∞⋅=⋅=→−∞→−∞→

(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia de x.


dirección laen parabólica rama una derecha la

hay A.H. no hay A.O.

: No tiene A.V.


asíntota la de debajopor estáfunción lay izquierda

1limlim

0lim

)(lim

´

)(

ee

xe

x

e

x

xxHôpitalLxx

xx

x

−=

==Ι

∞+∞−=

−−∞→−−∞→

−

∗−−∞→

−−∞→



41


asíntota

01

)(1 =

∞−=

+∞−=

−



Por la derecha:

)()(lim)(lim exxf x

xx+∞⋅+∞=⋅=

+∞→+∞→


Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O.

Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya A.O.

nmxy +=

limlim)(

limx

ex

x

xfm

x

x

xx=⋅==•

+∞→+∞→+∞→

lapor tiene)()(lim

)(lim

xf

x

xf

xf

x

x

⇒

+∞=

+∞=

+∞→

+∞→

36) )(1

)( →=⇒⋅= Domx

exfe

xxf

xx


lim

lim

01

lim)(lim

0

0

00

x

e

x

e

x

exf

x

x

x

xx

xx

=

====

→

→

→→

+

−


derecha lapor A.H. tieneNO )() xf⇒+∞=



derecha lapor A.O. tieneNO )(xfeex ⇒+∞== ∞+

dirección laen parabólica rama una derecha lapor

}0{)( −ℜ=fDom

)( de A.V. es 0

01

01

xfx =⇒

+∞=

−∞=

+

−


42

derecha

OY) (eje ordenadas de eje deldirección



00

lim)(lime

x

exf

x

xx=

∞−=

∞−==

+−∞

−∞→−∞→

Por la derecha:

)(lim)(lime

x

exf

x

xxΙ

∞+∞+=

∞+==

+∞

−∞→+∞→


de x.

� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O.Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya A.O.

nmxy +=

limlim)(

lim2x

e

xx

e

x

xfm

x

x

x

xx===•

+∞→+∞→+∞→


de x.

lapor tiene)()(lim

)(lim

xf

x

xf

xf

x

x

⇒

+∞=

+∞=

+∞→

+∞→



asíntota la de debajopor está

y izquierda lapor )( de H. A. es 00 xfy =⇒−

derecha lapor A.H. tieneNO )())(

xf⇒∞+=∗


hay A.H. no hay A.O. Como no hay A.H. puede que haya A.O.

lapor A.O. tieneNO )()()(2

xfx

⇒∞+=Ι∞+∞+=

∗




43

función lay


derecha la




37) →=⇒⋅= − )()( Dome

xxfexxf

xx



0lim)(lim

ee

xxf

xxx−∞=∞−=∞−== +∞−−∞→−∞→

Por la derecha:

+

+∞→+∞→=

∞+∞+== 0lim)(lim

xxx e

xxf

(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia de x.

derecha lapor )( de A.H. es 0 xfy =

� ASÍNTOTAS OBLICUAS : Por la izquierda: Como no hay A.H. puede que haya A.O.

nmxy +=

limlim)(

limx

x

xe

x

x

xfm

x

x

xx ⋅===•

−∞→−∞→−∞→

lapor tiene)()(lim

)(lim

xf

x

xf

xf

x

x

⇒

+∞=

+∞=

−∞→

−∞→

Por la derecha: Como hay A.H. no hay A.O.


ℜ=)( fDom

: No tiene A.V.


izquierda lapor A.H. tieneNO )(xf⇒−∞


A.H. la de encimapor estáfunción lay derecha


tieneNO )(0

111lim xf

eee

xxxx

⇒+∞====⋅ +∞−−∞→

dirección laen parabólica rama una izquierda lapor



44


.izquierda lapor A.O. tiene



38) }0{)()(1

−ℜ=→⋅= fDomexxf x


derecha lapor )( de A.V. es 0

lim

lim

lim

0lim)(lim 0

0

0

11

00

xfx

eexxf

x

x

x

x

xx

=⇒

=

•

•

=⋅=⋅=

→

→

→

→→+

−

en punto" 0)0(

0)(lim0 =⇒

∃/

=∃+→ x

f

xfx


Por la izquierda:

)(lim)(lim1 1

eexxf x

xx=⋅−∞=⋅= ∞−

−∞→−∞→


}

derecha

lim1

1

lim

lim))((000lim

00000lim

1

0

2

1

2

0

0

0

11

0

11

ee

x

ex

eeex

eeex

x

xrSimplifica

x

x

x

x

+∞====−

⋅−

=Ι+∞⋅=⋅=⋅=⋅

=⋅=⋅=⋅=⋅

∞+

→→

→

+∞+++

−+−∞−−−

++

+

+

+

−

−

blanco"en


A.H. tieneNO )(1)()( 0 xfe ⇒−∞=⋅−∞=⋅−∞=


45

1lim

´

1

x

eHôpitalL

x

=∞+∞+=

+

izquierda lapor A.H.


Por la derecha:

)(lim)(lim1 1

eexxf x

xx=⋅+∞=⋅= ∞+

+∞→+∞→


Por la izquierda: Como no hay A.H. puede que haya

nmxy +=

limlim)(

lim

1

=⋅==•−∞→−∞→−∞→ x

ex

x

xfm

x

x

xx

1lim1

1

lim

lim])([lim

01

2

1

2

1

⇒===−

⋅−=

−⋅=−=•

−∞→−∞→

−∞→−∞→

ee

x

ex

exmxxfn

x

x

x

x

x

xx

izquierda lapor A.O. es 1 Por tanto, xy +=

POSICIÓN

100

100100yAsíntota

yFunciónx

−=→−=→⇒−=

Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya

nmxy +=

limlim)(

lim

1

=⋅==•+∞→+∞→+∞→ x

ex

x

xfm

x

x

xx

1lim1

1

lim

lim])([lim

01

2

1

2

1

⇒===−

⋅−=

−⋅=−=•

+∞→+∞→

+∞→+∞→

ee

x

ex

exmxxfn

x

x

x

x

x

xx

derecha lapor A.O. es 1 Por tanto, xy +=


A.H. tieneNO )(1)()( 0 xfe ⇒+∞=⋅+∞=⋅+∞=


1101

=⇒==−∞

meex

1

11

lim)(0)()1(lim

11

=⇒

−=Ι⋅−∞=−⋅=

−

−∞→−∞→

n

x

eexx

x

x

x

x

)( de izquierda xf

la de debajopor está )(991

005,99100

1

xfe ⇒−=+

−≅⋅ −


1101

=⇒==+∞

meex

1

11

lim)(0)()1(lim

11

=⇒

−=Ι⋅+∞=−⋅=

−

+∞→+∞→

n

x

eexx

x

x

x

x

)( de derecha xf


46

derecha lapor A.H.

)(0

01´

=Ι=HôpitalL

A.O. la

)(0

01´

=Ι=HôpitalL


POSICIÓN

1100

100100100

1

yAsíntota

eyFunciónx

+=→⋅=→⇒=

39) ),0()(ln)( +∞=→⋅= fDomxxxf


)( de A.V. es NO 0

)((0lnlim)(lim00

xfx

xxxfxx

=⇒

Ι−∞⋅=⋅= +

→→ ++

en punto" 0)0(

0)(lim0 =⇒

∃/

=∃+→ x

f

xfx

A.V. tieneNO )(xf

� ASÍNTOTAS HORIZONTALESPor la izquierda: No hay ya que Dom


A.O. la de encimapor está )(101

005,101100

1

xf⇒=

≅

)

lim1

1

lim)(1

lnlim)

0

2

0´´0

x

x

x

xxxHôpitalLx

=−

=Ι∞+∞−==Ι

→→→ +++

blanco"en

ASÍNTOTAS HORIZONTALES ),0()( +∞=fDom


47

A.O.

0)(lim0

2

xx

xx

=−=− −

→ +


Por la derecha:

()(lnlim)(lim xxxfxx

+∞⋅+∞=⋅=+∞→+∞→


Por la izquierda: No hay ya que Dom


nmxy +=

limln

lim)(

limx

xx

x

xfm

xxx=⋅==•

+∞→+∞→+∞→

lapor tiene)()(lim

)(lim

xf

x

xf

xf

x

x

⇒

+∞=

+∞=

+∞→

+∞→

40) ,0()(ln)( 2 +∞=→⋅= fDomxxxf


)( de A.V. es NO 0

)((0lnlim)(lim 2

00

xfx

xxxfxx

=⇒

−∞⋅=⋅= +

→→ ++

A.V. tieneNO )(xf

en punto" 0)0(

0)(lim0 =⇒

∃/

=∃+→ x

f

xfx




derecha lapor A.H. tieneNO )() xf⇒+∞=+∞

),0()( +∞=fDom


derecha lapor A.O. tieneNO )(lnlim xfx ⇒+∞=+∞


)+∞

lim2

1

lim)(1

lnlim))(

0

3

0´´

2

0

x

x

x

xxxHôpitalLx

=−

=Ι∞+∞−==Ι

→→→ +++

blanco"en

HORIZONTALES ),0()( +∞=fDom


48

derecha


02

lim2

lim2

0

3 x

x

xx

=

−=− −

→ ++


Por la derecha:

()(lnlim)(lim 2 xxxfxx

+∞⋅+∞=⋅=+∞→+∞→




nmxy +=

limln

lim)(

lim2

x

xx

x

xfm

xxx=⋅==•

→+∞→+∞→

lapor tiene)()(lim

)(lim

xf

x

xf

xf

x

x

⇒

+∞=

+∞=

+∞→

+∞→


derecha lapor A.H. tieneNO )() xf⇒+∞=+∞

),0()( +∞=fDom


tieneNO )()()(lnlim xfxx ⇒+∞=+∞⋅+∞=⋅+∞→



49

derecha

derecha lapor A.O. tiene



Determina las asíntotas de las siguientes funciones e interpreta gráficamente los resultados:

1)

>

≤=

0 1

0 )(

xsix

xsixxf Dom

ASÍNTOTAS VERTICALES

A.V. es 01lim

0lim

)(lim

0

0

0x

x

x

xf

x

x

x=⇒

+∞=

==

+

−

→

→

→

ASÍNTOTAS HORIZONTALES • Por la izquierda:

tienenolim)(lim ⇒−∞==−∞→−∞→

xxfxx

• Por la derecha:

y 011

lim)(limx

xfxx

⇒=∞+

==+

+∞→+∞→

ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: función una es )(xf

• Por la derecha: Como hay A.H. no hay A.O.


etermina las asíntotas de las siguientes funciones e interpreta gráficamente los resultados:

ℜ=)( fDom

)( de derecha lapor A.V. xf

izquierda lapor A.H. tiene

encimapor está )(y derecha lapor A.H. es 0 xf=

izquierda lapor A.O.hay noconstantefunción ⇒



50

etermina las asíntotas de las siguientes funciones e interpreta gráficamente los resultados:

A.H. la de encima


2)

≥

<+=

− 0 2

0 1

)(

xsi

xsix

x

xfx

Dom


122lim

0

11lim

)(lim0

0

0

0=⇒

==

−∞==+=

−

→

−→→

+

−xx

x

xfx

x

x

x


lim)(1

lim)(lim =Ι∞−∞−=+=

→−∞→−∞→ x

xxf

xxx

Posición: 100Asíntota

Funciónx

→

→⇒−=

• Por la derecha:

222lim)(lim )(xf x

xx==== −∞+∞−−

+∞→+∞→

ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O.



ℜ=)( fDom

izquierda lapor A.V. es 0=

A.H. es 1111

1

11

lim

1

lim =⇒==+

=+

−∞→−∞→yx

x

xxx

x

x

debajopor está )(1

99,0100

1100xf

y

y⇒

=→

=−

+−=→

está )(y derecha lapor A.H. es 00 xfy =⇒= +




51

izquierda lapor A.H.

A.H. la de



3)

≥−

<+=

1 1

1 3

1

)(2

xsix

x

xsix

xf Dom


3

1lim

3

1lim

0

1

3

1lim)(lim

3

3

33

+

+==+

=

−→

−→

−→−→

+

−

x

xx

xf

x

x

xx


01

31

lim)(limx

xfxx

⇒=∞−

=+

= −

−∞→−∞→

• Por la derecha:

)(1

lim)(lim2

=Ι∞+∞+=−=

+∞→+∞→ x

xxf

xxx


• Por la derecha: Como no hay A.H. puede que hayanmxy +=

lim

1

lim)(

lim

2

=

−

==+∞→+∞→+∞→ x

x

x

x

xfm

xxx

1lim])([lim

2

−=−=+∞→+∞→ x

xmxxfn

xx

derecha lapor A.O. es Por tanto, xy =

Posición: 100

yAsíntota

yFunciónx

→

→⇒=


}3{)( −−ℜ=fDom

A.V. es 3

0

1

3

0

1

3 −=⇒

+∞==

−∞==

+

−

x

por está )(y izquierda lapor A.H. es 0 xfy =⇒

derecha lapor A.H.hay no limlim2

⇒+∞==+∞→+∞→

xx

xxx



11limlim)(1

lim 2

2

2

2

=⇒===Ι∞+∞+=−

+∞→+∞→+∞m

x

x

x

xxx

1lim

1lim1

222

=

−−=

−−=

−

+∞→+∞→ x

xxx

x

xx

xx

)( de derecha xf

de debajopor está )(

100

99,99100

11002

xf

y

y⇒

=

=−=


52


derecha

1

001

lim =⇒=−=+∞→

nxx

A.O. la de


4)

≥−

<<−

−<+

−

=

1 2

12 2

2 3

)(2

xsix

x

xsi

xsix

x

xf


lim

lim

0

3

3lim)(lim

3

3

33

+−+

−

==+

−=•

−→

−→

−→−→

+

−

x

xx

x

x

xxf

x

x

xx

2lim

2lim

04

2lim)(lim

2

2

2

22

22

−

−==−

=•

→

→

→→

+

−

x

x

x

x

x

xxf

x

x

xx


lim)(3

lim)(lim =Ι∞−∞+=

+−=

→−∞→−∞→ x

xxf

xxx


Funciónx

→

→⇒−=


}2,2,3{)( −−−ℜ=⇒ fDom

A.V. es 3

0

3

3

0

3

3 −=⇒

+∞==

−∞==

+

−

xx

x

A.V. es 2

04

2

0

4

2 =⇒

+∞==

−∞==

+

−

x

lapor A.H. es 111limlim −=⇒−=−=−−∞→−∞→

yx

xx

por está )(1

03,197

1003100)100(

xfy

y⇒

−=→

−≅−

=+−

−−=→


53

izquierda la



• Por la derecha:

lim)(2

lim)(lim2

=Ι∞+∞+=

−=

→+∞→+∞→ x

xxf

xxx



lim2lim)(

lim

2

=−==+∞→+∞→+∞→ x

x

x

x

xfm

xxx

222lim2

lim

2lim])([lim

2

=⇒===

−

−=−=

+∞→+∞→

+∞→+∞→

nx

x

x

xmxxfn

xx

xx

lapor A.O. es 2 Por tanto, xy +=

Posición: 100

yAsíntota

yFunciónx

→

→⇒=


derecha lapor A.H.hay nolimlim2

⇒+∞==+∞→+∞→

xx

xx



11limlim)(2 2

2

2

2

⇒===Ι∞+∞+=

− +∞→+∞→+∞m

x

x

xx

xxx

2

2lim

2lim1

222

=

−+−=

−

−=

−

+∞→+∞→ x

xxxx

x

xx

xx

)( de derecha la xf

por está )(

1022100

04,10298

100002100

1002

xf

y

y⇒

=+=

≅=−

=


54

derecha

1=

)(2

2lim =Ι

∞+∞+=

−=

+∞→ x

xx



5) 0

43

0 993

)(

2

2

⇒

>−

≤−+

= Dom

xsix

xsix

x

xf


(lim)(

0

0

9

93lim)(lim

3233=Ι=

−+=•

−→−→−→ xx

xxf

xxx

Observación

discontinu 3)3(

21

)(lim3 −=⇒

−∃/

−=∃−→ x

f

xfx

3lim

3lim

03

43

lim)(lim

22

22

222

−

−==−

=•

→

→

→→

+

−

x

xx

xf

x

x

xx


lim)(9

93lim)(lim

2x

xxf

xxxΙ

∞+∞−=

−+=

→−∞→−∞→

• Por la derecha:

03

43

lim)(lim 2xxf

xx=

∞+=

−= +

+∞→+∞→


• Por la derecha: Como hay A.H. no hay


}2,3{)( −−ℜ=fDom

)(lim2

1

3

3lim

)3)(3

)3(333

−=⇒−=−

=+−

+−→−→

xfxxx

xxx

)blanco"en punto(" evitable idaddiscontinu

.A.V es 2

03

43

0

3

4

3

=⇒

+∞==−

−∞==−

+

−

x

debajopor está

por A.H. es 0033

lim3

lim2

yxx

xx

=⇒=∞−

== −

−∞→−∞→

por está )(y derecha lapor A.H. es 0 xfy =⇒




55

A.V. es NO 32

1 −=⇒− x

A.H. la de

)(y izquierda lapor xf



6) 0

1

0 1

)(2

2

⇒

≥−

<−

= Dom

xsix

x

xsix

x

xf


01

01

lim

011

lim)(lim

2

0

20

0⇒

=−

=−

+∞==−

=•

+

−

→

+→

→x

x

x

x

x

xf

x

x

x

1lim

1lim

0

1

1lim)(lim

2

1

2

12

11

=−

=−==

−=•

→

→

→→

+

−

x

x

x

x

x

xxf

x

x

xx


lim)(1

lim)(lim2x

xxf

xxx=Ι

∞+∞+=−=

→−∞→−∞→

• Por la derecha:

lim)(1

lim)(lim2

=Ι∞+∞+=

−=

→+∞→+∞→ x

xxf

xxx



}1{)( −ℜ=fDom

izquierda lapor A.V. es 0=x

A.V. es 1

0

1

0

1

=⇒

+∞==

−∞==

+

−

x

encimapor

A.H. es 0011

limlim2

yxx

xx

=⇒=∞−

−=−=− +

−∞→−∞→

derecha lapor A.H.hay no limlim2

⇒+∞==+∞→+∞→

xx

xx



56

A.H. la de

está )(y izquierda lapor A.H. xf

derecha



lim1lim)(

lim

2

=−==+∞→+∞→+∞→ x

x

x

x

xfm

xxx

111limlim

1lim])([lim

2

=⇒===

−

−=−=

+∞→+∞→

+∞→+∞→

nx

x

x

xmxxfn

xx

xx

lapor A.O. es 1 Por tanto, xy +=

Posición: 100

yAsíntota

yFunciónx

→

→⇒=

7) 0

1

0 3

1

)(

2

⇒

>+

≤+−

= Dom

xsix

x

xsix

x

xh



11limlim)( 2

2

2

2

=⇒===Ι∞+∞+=

− +∞→+∞→m

x

x

xx

xxx

lim1

lim1

lim1222

=

−+−=

−

−=

−

→+∞→+∞→ x

xxxx

x

xx

xxx

)( de derecha la xf

por está )(

1011100

01,10199

100001100

1002

xf

y

y⇒

=+=

≅=−

=

}3{)( −−ℜ=fDom


57

1

)(1

lim =Ι∞+∞+=

−+∞→ x

x




31

lim

31

lim

04

31

lim)(lim

3

3

33

+−+−

==+−=

−→

−→

−→−→

+

−

x

xx

x

x

xxf

x

x

xx

011

lim

31

31

lim)(lim

20

0

0=⇒

+∞==+

=+−

=

+→

→

→

+

−

x

x

xx

x

xf

x

x

x


lim)(3

1lim)(lim

x

xxf

xxx=Ι

∞+∞+=

+−=

→−∞→−∞→


Funciónx

→

→⇒−=

• Por la derecha:


lim)(1

lim)(lim2x

xxf

xxx=Ι

∞+∞+=+=

→+∞→+∞→

ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: Como hay A.H. no hay



A.V. es 3

04

3

04

3 −=⇒

+∞==

−∞==

+

−

xx

x

derecha lapor A.V. es 0=

izquierda lapor A.H. es 1 )1(limlim yx

xx

−=⇒−=−−∞→−∞→

por está )(1

04,197

101

3100

)100(1xf

y

y⇒

−=→

−≅−

=+−

−−=→

por A.H. es 0011

limlim2

yxx

xx

=⇒=∞+

== +

+∞→+∞→




58

)(y izquierda xf


está )(y derecha lapor xf

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