Área: Matemáticas Grado: OnceTiempo asignado: 30 Docente: Rocío Zambrano

COMPETENCIA BÁSICA Utilizo el concepto de límite para

determinar la existencia del mismo. Aplico las formulas o procesos

necesarios para quitar la indeterminación del límite en las funciones que se puede.

Analizo el concepto de derivada e identifico la formula correspondiente para derivar una función.

Soluciono problema a través de la derivada.

1. PROPÓSITOS AFECTIVO Valorar las relaciones existentes entre

vecindad, límites y derivadas. COGNITIVO Aprender el concepto de límite y

derivada de funciones. EXPRESIVO, crear y desarrollar

problemas de límites, minimización y maximización de áreas.

2. ENSEÑANZAS Límites y continuidad Definición Limites laterales. Propiedades de los límites Calculo de límites Límite de funciones indeterminadas. Limites infinito y limites en el infinito. CONTINUIDAD Funciones continuas. Continuidad en un punto Continuidad en un intervalo. Discontinuidad Discontinuidad evitable Discontinuidad no evitable.

DERIVADAS Variación de una función Variación media de una función Velocidad media Variación instantánea Velocidad instantánea La recta secante Pendiente de una recta tangente. Derivada de una función Derivada de una función en un punto,

en un intervalo. Regla de derivación Derivadas de las diferentes funciones. Aplicación de las derivadas

3. EVALUACIÓN DESEMPEÑOS

Utilizo el concepto de límites para determinar la existencia del mismo a través de los límites laterales.

Soluciono la indeterminada de los límites ensayando diferentes procesos.

Analizo la continuidad o discontinuidad en las funciones dadas y determino el carácter de removible o esencial.

Derivo las funciones dadas y soluciono problemas de aplicación de derivadas.

TIPOS DE RESPUESTAS: tendremos varias opciones de respuesta; como:

Respuesta de proceso donde verificaremos avances en el proceso y hacemos correcciones de los posibles errores en los que podemos caer.

Respuesta expositiva: Donde el estudiante selecciona todas las herramientas para evidencias su competencia.

Respuesta tipo I de cuatro opciones con única respuesta.

OTRAS CONDICIONES:Se utilizara en el desarrollo de clase lluvia de ideas, exposiciones, videos de aplicación, las guías, el internet, diapositivas.

B. FASE COGNITIVA

Complementa tus sistemas alternativos con el repaso de los casos de: factorización, productos notables, utilización de la fórmula de ecuaciones de segundo grado, conjugado de una expresión (racionalización grado noveno).Consulta el significado de: limite, continuidad, aproximación, vecindad, infinitésimos, derivada. Consigna en tu cuaderno de teoría.

C. FASE EXPRESIVA

ALGORITMO PARA DESARROLLAR PROBLEMAS.

Reemplazo directamente y soluciono con la formula indicada, para hallar el límite

4. DIDÁCTICA A. FASE AFECTIVA

Se orienta la importancia de las

teorías en los videos de aplicación a

diferentes contextos.

La aplicabilidad de las teorías en el contexto, valida la importancia de las matemáticas

para mejorar la calidad de vida y

estructurar el cerebro para lograr seres

humanos competentes

Conocerá los conceptos y las formas

de quitar indeterminaciones con el ensayo de

diferentes procesos que le serían muy útiles en el diario

vivir..

Les permitirá vivir en armonía con la naturaleza y la

sociedad

Las teorías de límites, continuidad y derivadas se ven reflejadas en lo social, laboral, productivo y afectivo de todo ser humano

A4 A3

A2 A1

Si no se puede ensayar, otros procedimientos para llegar a la respuesta, dependiendo de las características de la expresión.

MODELACIÓN

LÍMITES INDETERMINADOS

En ocasiones cuando se evalúan los límites de funciones racionales se encuentran valores no determinados, como son 0, ∞0, ∞, -∞. Cuando esto ocurre es posible 0 ∞

Factorizar o racionalizar la expresión inicial para encontrar una equivalente en la que sea posible calcular el límite.

Para resolver la indeterminación L, calculamos los límites

0laterales, si son iguales la función tiene por límite +∞ 0 -∞ y son diferentes la función no tiene límite.

Ejemplo Calcular los siguientes límites:

a. lim x + 7x + 10 b. lim x - 2 x + 5 x – 4

Solución

a. lím x2 + 7x + 10 x +5

Si remplazamos x por -5, se obtiene la indeterminación 0, por

0tanto debemos factorizar para poder calcular el límite.

lim x2+7x+10 = lim (x+5) (x+2) = lim (x+2) = -5+2 = -3 x + 5 x + 5

lim x – 2 x - 4

Si remplazamos x por 4, vemos que se obtiene la indeterminación 0, por tanto debemos racionalizar, para eliminarla. 0

lim x – 2 = lim ( x – 2) ( x – 2) = lim x – 4 = x – 4 (x – 4) ( x + 2) (x – 4) ( x + 2)

lim 1 = 1 = x + 2 2 + 2

En ocasiones no se puede eliminar la indeterminación y entonces el límite no existe.

Algebraicas Función Derivada Función Derivada

y=a, a R y, = 0 y= u . v y, = u,v + uvy= ax y, = a y= a, a

R u

y, = -av v2

y= axn y, = anxn-1 y= u v

y, = u,v – uv v

y=f+g y, = f , + g,

y= x y, = 1 2 x

y= Un y, = unn-

1u,

Exponenciales y logaritmos Funció

nDerivad

aFunció

nDerivada

y= ln x y, = 1 x

y= eu y, = u,eu

y= ln u y, = u,

uy= au y, = u,au lna

y= ex y, = ex y= uv y, = uv v,ln u + v u,

u

Trigonométricas Funció

nDerivada Funció

nDerivada

y= sen y, = cos x y= cot x

y, = -csc2 x

y= sen y, = u, cos u y= cot u

y, = u, csc2 u

y= cos y, = - sen x y= sec x

y, = sec x tan x

y= cos y, = -u, senu y= sec u

y, = u, sec u tan u

y= tan y, = sec2 x y= csc x

y, = -csc x cot x

y= tan y, = u, sec2

uy= csc u

y, = -u, csc u cot u,

La modelación está en el libro introducción al cálculo de editorial Santillana pág., 90 – 200.

ALGEBRA DE FUNCIONES CONTINUAS

Si f y g son dos funciones que son continuas en el número a, entonces:

f + g es continua en a. f – g es continua en a. f x g es continua en a.

f es continua en a, suponiendo que g(a) ≠ 0.

Ejemplo

Sea f(x)= x+3y g(x) = 2x2. Prueba que f + g es continua en 2.

Solución

Como f y g son continuas en 2, basta probar que f+g es continua. (f + g)(x) = (x+3) + (2x2) = 2x2 + x + 3

Probemos que (f + g)(x) es continua en 2.

(f + g)(2) = 13

(i) f(2) = 13 (ii) lim (2x2 + x + 3) = 13

(iii) lim (f + g) = (f + g)

Por tanto f + g es continua en 2.

Continuidad de composición de funciones

Si lim g(x) = b y si la función f es continua en b,

lim (f o g)(x) = f (b) si y sólo si lim f(g(x)) = f(lim g(x))

x- -5 x- -4

x- -5

x- -5 x- -5 x- -5

x- -4

x- -4 x- -4 x- -4

x- -4

x- -2

x- -2

x- -2

x- -2 x- -2 x- -2

En particular si g es continua en c y f es continua en g(c) entonces la composición f o g es continua en c.

Ejemplo

Prueba que h(x) = [x2 – 3x + 6] es continua para todo número real.

Solución

Sea f(x) = [x] y g(x) = x2 – 3x + 6. Estas dos funciones f y g son continuas para todo número real, así que también lo será su composición.

h(x) = f(x)) = [x2 – 3x + 6]

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO

Se dice que una función es continua en un intervalo abierto si y sólo si es continua en todo número de dicho intervalo.

Una función f es continua a la derecha del número a si y sólo si se cumple:

i) f(a) existe. ii) lim f(x) existe

iii) lim f(x) = f(a)

Una función f es continua a la izquierda del número a si y sólo si se cumple:

i) f(a) existe ii) lim f(x) existe.

iii) lim f(x) = f(a)

Una función cuyo dominio incluye el intervalo semiabierto por la derecha [a, b) se dio que es continua en [a, b) si y solo si es continua en el intervalo (a, b) y se continua derecha de a.

Una función cuyo dominio incluye el intervalo semiabierto por la izquierda (a, b] se dio que es continua en (a, b] si y solo si es continua en el intervalo (a, b) y se continua a izquierda de b.

Una función cuyo dominio incluye el intervalo cerrado [a, b] si dice que es continua de [a, b] si y sólo si es continua en el intervalo (a, b) y continua a la derecha de a y a la izquierda de b.

Ejemplo Dada la función f definida por:

F(x) = 2 – x

a. Determinar el dominio de f. b. Determinar si f es continua o descontinua en el intervalo (-8, -5].

Solución

a. Dom f= {x R x ≤ 2}b. La función f incluye al intervalo (-8, -5] en su dominio y además lim f(x) = 2 + 5 = 7 = f(-5)

por tanto f es continua en (-8, -5].

DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Si f(x) = sen x entonces f(x) = cos x Si f(x) = cos x entonces f(x) = -sen xSi f(x) = tan x entonces f(x) = sec2 xSi f(x) = cot x entonces f(x) = -csc2 xSi f(x) = sec x entonces f(x) = sec x tan x Si f(x) = csc x entonces f(x) = -csc x cot x

Ejemplo Determina la derivada de g(x) = (2 tan 3x) (5 sen2 x).

Solución Como g(x) es un producto de funciones, tenemos: g(x) = (2 tan 3x) (5 sen2 x) + (2 tan 3x) (5 sen2x) = (2 sec2 3x) (3) (5 sen2 x) + (2 tan 3x) (10 sen x) (cos x) =(30 sec2 3x) (sen2 x) + (20 tan 3x) (sen x cos x) = 10 sen x (3 sec2 3x sen x + 2 tan 3x cos x)

Ejemplo Probar que si f(x) = sen x entonces f(x) = cos x F(x) = lim sen (x + Δx) – sen x =

Δxlim sen x cos Δx + sen Δx cos x – sen x =

Δx

lim sen x (cos Δx + 1) + sen Δx cos x = Δx

lim sen x lim (cos Δx - 1) + lim sen Δx lim cos x =

Δx ΔxSen x x 0 + 1 cos x = cos x

Luego f(x) = cos x

Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales

Derivadas de las funciones exponenciales La derivada de una función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base.

Si f(x) = ax, con a > 0, entonces f (x) = ax in a. Si v es una función de xy f(x) = y = eu dv

dxDerivada de las funciones exponenciales

Si f(x) = loga x1 f(x) = 1 loga e donde e es la base de los

xLogaritmos neperianos.

Si f(x) = ln x, f(x) 1 x

Si f(x) = loga u(x), f(x) = 1 loga e x u (x). u(x)

Si f(x) = ln u(x), f(x) = u1(x) u(x)

Propiedades de los logaritmos

Si y = loga x entonces ay =x, o, x = alogax,

para todo x > 0 Loga a= 1 Loga 1 = 0

ln e = 1 ln 1 = 0 loga (u.w) = loga u + loga w loga u = loga u - loga w

x- -2

x- -2

x- -2

x- -2

x- -2

x- -0

x- -0

x- -0

x- -0 x- -0 x- -0 x- -0

w Loga un = n loga u, n RLas tres últimas propiedades se cumplen igual para logaritmos neperianos.

Ejemplo Calcula la derivada de y = 5x ln (x + 1).

Solución Aplicamos la fórmula para calcular la derivada del producto de funciones:

Sea f(x) = 5x y g(x) = (x + 1), entonces F(x) = 5x ln 5 y g(x) = 1 X + 1

y1 (x)=f(x)xg(x)+f(x)x g(x) = 5x ln 5 x ln (x + 1) + 5x 1

x + 1

y1 (x) = 5x ln (x + 1) ln 5 + 5x

x + 1

Máximos y mínimos

Sea c un punto del dominio s de f. Decimos que tiene un valor máximo relativo en c, si existe un intervalo (a, b) que contenga c, en el cual f está definida tal que f(c) ≥ f(x) para todo x del intervalo. Análogamente, f tiene un valor mínimo relativo en c, si existe un intervalo (a, b) que contenga a c, en el cual f está definida tal que f(c) ≤ f(x) para todo x del intervalo.

Se dice que f(c) es el valor máximo absoluto de la función f si c está en el dominio de f y si f (c) ≥ f(x) para todos los valores de x en el dominio Se dice que f(c) es el valor máximo absoluto de la función f si c está en el dominio de f y si f(c) ≥ f(x) para todos los valores de x en el dominio de f. análogamente, se dice que f(c) es el valor mínimo absoluto de la función f si c está en el dominio de f y si f(c) ≤ f(x) para todos los valores de x en el dominio de f. Si la función f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo se dice que tiene un extremo relativo. Criterios de la primera derivada

Los puntos x para los cuales o f(x) no existe, se llaman puntos críticos.

Sea f una función continua en el intervalo (a, b), tal que c (a, b) y supóngase que f existe en todos los puntos de (a, b).

Si f(x) > 0 para todo x (a, c) y si f(x) < 0 para todo x (c, b), entonces f tiene valor máximo relativo en c.

Si f(x) < 0 para todo x (a, c) y si f(x) > 0 para todo X (c, d), entonces f tiene valor mínimo relativo en c.

Si f1 (x) no varía en c, f(c) no es ni mínimo, ni máximo.

Ejemplo

Dada f(x) = x2 – 6x2 + 9x 1, encontrar los extremos relativos de f, aplicando el criterio de la primera derivada. Determina los mínimos y máximos relativos si existen los intervalos en los cuales f es creciente y/o decreciente.

Solución

determinemos f1, f1(x) = 3x2 – 12x + 9 Encontremos los puntos críticos, es decir

los x para los cuales f(x) = 0 o en donde f(x) no existe.

F(x) = 3x2 – 12x + 9 3x2 – 12x + 9 = 0 3(x2 – 4x + 3) = 0 (x – 3) (x – 1) = 0

Por lo cual tenemos que los puntos críticos son x = 3 y x = 1 Veamos cómo se comporta la función f y f1

para valores cercanos a estos números.

Trazo de gráficas Una aplicación de las derivadas en las

matemáticas se da en el trazado de gráficas de una función f. Pasos para graficar una función utilizando las derivadas Sea f la función a graficar.

1. Derivamos f. 2. Hallamos los puntos críticos,

puntos donde f1(x) = 0 o puntos donde f1(x) no existe.

3. Utilizando f1 (x) determinamos si f es creciente o decreciente.

4. Determinamos f2(x) 5. Determinamos los puntos en los cuales se

da un máximo o un mínimo. 6. Hallamos los puntos de inflexión. 7. Determinamos los intervalos para los

cuales f2 > 0 y f2 < 0 y así vemos donde f es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.

8. graficamos

Ejemplo Traza la gráfica de la función y = f(x) = x3 – 3x2 + 2.

Solución 1. Primera derivada: f(x) = 3x2 – 6x 2. Hallamos f(x) = 0 o f(x) donde no exista

3x2 – 6x = 0, 3x (x-2) = 0 donde x = 0 y x =2.

3. Intervalos donde la función f es creciente o decreciente:

f1 > 0 f creciente 3x-f1 < 0 f decreciente x – 2 -

+-

++

+ 0 -2 +

La función f crece en (-∞, 0) y (2, ∞) y decrece en (0, 2).

4. Segunda derivada: f18x) = 6x – 6 5. Máximos y mínimos: los puntos críticos se

dan en x = 0 y x = 2 (numeral 2). F2 (0) = -6 y f2 (2) = 6, entonces en el punto (0, 2) se da un máximo relativo y

en (2, -2) se da un mínimo relativo. 6. Puntos de inflexión: 6x -6 = 0 de

donde x = 1, por tanto el punto (1, 0) es un punto de inflexión.

7. Concavidad: 6x -6 > 0 para x > 1 y 6x – 6 < 0 para x < 1, por tanto es

cóncava hacia arriba en el intervalo (1, ∞) y cóncava hacia abajo en el intervalo (-∞, 1).

8. Graficar

Problemas de máximos y mínimos

Ejemplo 1 Un granjero va a cercar un campo rectangular que limite con una carretera y va a utilizar dos clases de material de alambre, el que coloca paralelo a la avenida cuesta $1.800 el metro y el que va perpendicular a la carretera a $1.200 el metro. Determina las dimensiones del campo de mayor área posible, si el granjero sólo tiene $32.000 para invertir en el alambre.

SoluciónSea x la longitud de un lado perpendicular a la carretera y y la longitud del lado paralelo a la carretera. Por tanto, el área del campo se define como A = x y (ecuación 1).

De acuerdo con los costos del material, para los lados que son perpendiculares, se gastan $1.200x por cada uno y para los lados paralelos a la carretera $1.800y por cada uno. El costo total se describe mediante la expresión:1.200x + 1.200x + 1.800y = 32.000 (ecuación 2).

Para poder calcular el área máxima, debemos despejar A = x y en términos de una sola variable, por ejemplo y en la ecuación 2 y la sustituimos en la ecuación 1.

1.200x + 1.200x + 1.800y = 32.000 y = 32.000 – 2.400x

1.800y = 160 – 12x

9Sustituyendo: A(x) = xy = x 160 – 12x = 160 x – 4 x2, por tanto

9 9 3

A(x) = 160 x – 4 x2 9 3

A1(x) = -8 x + 160 3 9

Para encontrar los números críticos hacemos A1(x) = 0, por tanto -8 x + 160 = 0 3 9tiene que x = 20 = 6,67 m; aproximadamente.

6

Además se tiene que A2(x) = -8, por tanto A2

20 < 0, 3 6

Por tanto en x = 20 hay un máximo relativo. 6

Sustituyendo en y = 160 – 12x, se tiene que y = 40

9 3

Respuesta: las dimensiones del rectángulo con mayor área posible que puede ser cercado con $32.000 bajo las condiciones dadas, son 20 m de ancho y 40 de largo.

3 3

SIMULACIÓN1. Dada la función signo sgn(x) =

a. Determina si sgn es una función contínua en todos los reales.

b. Determina si g(x) = sgn (x) es continua o discontinua evitable.

c. Determina intervalos para los cuales sgn es continua.

2. Luis Angulo es propietario de varios buses intermedios y buses ejecutivos de servicio urbano en Bogotá. La ganancia que obtiene en cada bus intermedio es de 200 pesos por pasajero, mientras que es de $300 por pasajero en daca bus ejecutivo

La tarifa diurna para un bus intermedio es de $400 y la tarifa nocturna es de $450, mientras que la tarifa diurna de un bus ejecutivo es de $450, mientras que la

tarifa diurna de un bus ejecutivo es de $450 y la tarifa nocturna es de $500.

a. ¿De qué dependen las ganancias mensuales de Luis Angulo?

b. Escribe una función que represente la ganancia mensual de Luis por cada uno de sus buses ejecutivos.

c. Escribe una función que represente la ganancia mensual de Luis por cada uno de sus buses intermedios.

d. Determina si las funciones que obtuviste son continuas. Justifica tu respuesta.

3. Las siguientes gráficas corresponden a ciertas funciones.

a. Determina el dominio y el rango de cada una.

b. Determina las asíntotas verticales. c. Determina si son funciones continuas en

los reales. En caso que no lo sean, determina intervalos de continuidad.

-1 si x < 0 0 si x = 0 1 si x > 0

4. Las siguientes son las gráficas de dos funciones f y g:

a. Determina si las funciones f y g son continuas en todos los reales. Justifica tu respuesta.

b. Traza la gráfica de 3g(x) y determina si es continua.

c. Si r(x) =

Traza la gráfica de r. Determina si r es continua, discontinua

evitable o discontinua no evitable.

5. Describe el proceso que se sigue para obtener los siguientes limites, si existen:

a. Lim x2 – 16 b. lim xh + h2x2 + 5h x – 4 h

6. Si f(x) = 3x2 – 2 calcula: a. F(x + h) b. f(x + h) – f(x) c. lim f(x+ h) – f(x)

h1. Una partícula se mueve a través de una

curva recorriendo un espacio dado por s(t) = -4t2 – 2t + 40, en donde s se da en milímetros y t en segundos.

a. ¿qué altura máxima alcanza? b. ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar dicha

altura? c. Realiza el bosquejo de la curva que

describe el desplazamiento de la partícula.

d. Determina la función de la velocidad instantánea.

e. Determina la velocidad instantánea que lleva en el cuarto segundo.

2. Una pelota es lanzada verticalmente sin velocidad inicial y se desplaza según la expresión s(t) = t(5 – t), donde s es la altura en metros sobre el punto de partida y t es el tiempo en segundos.

a. Encuentra la velocidad de la pelota después de 2 segundos

b. Encuentra la altura máxima que alcanza la pelota

c. Si la velocidad inicial fuera de 30 m/s, ¿cuál sería la velocidad de la pelota después de 2 segundos de ser lanzada?

3. Examinando sólo la gráfica y teniendo en cuenta que la derivada de una función en un punto representa la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto, contesta las preguntas.

a. ¿en qué puntos de la función, la derivada es cero? ¿qué se puede afirmar de la recta tangente a la curva en este punto?

b. ¿En qué intervalos la función f es positiva?

c. ¿En qué intervalos la función f es negativa?

4. Explica el significado de cada igualdad:

a. f 1 = 3 c. f (-1) = 10 2 4

b. f (0) = 0 d. f(5) = 0

5. Las siguientes funciones f representan las derivadas de ciertas funciones. Relaciona dos funciones f para que se cumpla que f es su respectiva derivada.

a. Si f(x) = 0 dos posibles funciones f son f(x) = ______________ y f(x) = _________________.

b. Si f(x) = 3x2 dos posibles funciones f son F(x) = ______________ y f(x) = _________________.

c. Si f(x) = cos x dos posibles funciones f son F(x) = ______________ y f(x) = _________________.

d. Si f(x) = 2x - 5 dos posibles funciones f son F(x) = ______________ y f(x) = _________________.

e. Si f(x) = 5x2 + 3x2 - 6 dos posibles funciones f son

5F(x) = ______________ y f(x) = _________________.

f. Si f(x) = x2 + x dos posibles funciones f son F(x) = ______________ y f(x) = _________________.

6. Un cuerpo se desplaza a lo largo de una línea recta de acuerdo con la función posición s(t) = 8 – t3, donde s denota la distancia recorrida en metros por el cuerpo desde el origen a los t segundos. Determina:

a. Un bosquejo de la gráfica de la curva que describe el desplazamiento del cuerpo.

b. La velocidad instantánea a los t segundos. c. La velocidad instantánea a los t segundos. d. La aceleración instantánea a los t

segundos. e. La aceleración instantánea a los 8

segundos. f. Después de que hayan transcurrido 5

segundos se puede afirmar que la posición del cuerpo es ______________, su velocidad instantánea es _________ y su aceleración instantánea es _____________.

7. Plantea una función cuya recta tangente a la curva en el punto 1 sea paralela al eje x.

8. Determina si la función f(x) = x es derivable en 0. Justifica tu respuesta.

9. Plantea un problema donde se pida calcular velocidad media, velocidad instantánea y aceleración instantánea.

Responde las preguntas 1 y 2 sabiendo que f es una función cuadrática que tiene como raíces a -1 y 3.

1. Si la ordenada en el origen de f es positiva, en ningún caso se puede afirmar que:

a. La función f se creciente para el intervalo (-∞; -1).

b. La función f corta al eje x en los puntos (-1, 0) y (3, 0).

c. La función f tiene un máximo en x=1.

g(x) – f(x) si x < 0f(x) – g(x) si x ≥ 0

x- -2x- -2

x- -2

d. La función f tiene un mínimo en (0, 0).

2. Entonces la ecuación que relaciona a y con x está dada por:

a. X + y = 5 b. –x2 + 5 = y c. –x2 + y2 – 3 = 5 d. –x2 + 2x + 3 = y

3. Si f está definida por f(x) = x2 – x – 2, podemos afirmar que f:

a. Decrece en el intervalo (2, ∞) y crece en el intervalo (-1, 2)

b. Decrece en el intervalo (-1, 2) y crece en el intervalo (2, ∞)

c. Decrece en (-∞, 0) y crece en (0, ∞). d. Corta al eje en los puntos -1 y 2.

4. Si f es una función lineal, entonces: I. f es una constante. II. f, donde m es la pendiente de la recta de f.

a. sólo la opción 1 es verdadera. b. Sólo la opción 2 es verdadera. c. Ninguna de las dos es verdadera. d. Ambas son verdaderas.

5. Se desea construir una caja rectangular abierta a partir de una pieza de cartón de 8 pulgadas de ancho y 15 pulgadas de largo. Doblando un cuadrado en cada esquina y los lados hacia arriba, tal que el volumen sea máximo. Por tanto las dimensiones de largo, ancho y alto son:

a. 35, 15, 5 c. 2, 15, 35. 3 3 3 3 3 3

b. 35, 5, 14, d. 28, 6, 8 3 3 3 3 3 3

Responde las preguntas 6 y 7 utilizando la siguiente información: Una compañía determinó que los ingresos totalmente son una función del precio cobrado por su producto, por tanto la función de ingresos totales es: p = f(p) = -25p2 + 875p, donde p es el precio.

6. Halla el precio p que permite obtener ingresos máximos totales.

7. Halla el máximo ingreso total que obtiene la compañía.

8. La segunda derivada de toda función cúbica es:

a. Una función cuadrática b. Una función lineal. c. Una función constante. d. No se puede determinar

9. El valor aproximado del aumento en el área de una bomba de jabón cuando su radio aumenta en 0,025 pulgadas es:

a. 2,865 al r = 3. b. 1,815 si r = 3c. 2,815 si r = 6. d. 1,65 si r = 4.

10. Si f y g son dos funciones tales que f(x) = g(x) para todo x0 si f(x) = (x + 2) entonces g puede ser la función:

a. G(x) = (x + 5) (x – 3) b. G(x) = (x – 3) (x + 5) c. G(x) = (x + 4) (x + 5)

SIMULACIÓN

Talleres en grupo que se entregarán en fotocopias más las actividades del libro mencionado y se desarrollaran en clase

EJERCITACIÓN: Desarrollar las prácticas de la unidades 3, 4, 5 y 6 del libro “Introducción al cálculo” Ed. Santillana (Esta en biblioteca). Resolver dos numerales de cada punto.

5. RECURSOS: La guía conceptual, los libros de biblioteca, sala de informática, internet, videos.

El docente del área, el grupo de trabajo en equipo, los demás grupos, el profesor virtual, el padre de familia.

6. GLOSARIO: Toda palabra que no se conozca el significado entrara a formar parte del glosario al finalizar, esta será una actividad del estudiante que corresponde a las competencias laborales.

7. WEBGRAFIA. http://www.matemagia.com/

Matemagia juegos, test de lógica y matemáticas recreativas.

http://www.mitareanet.com/mates1.htm Ayuda en matemáticas, álgebra, cálculo diferencial, cálculo integral, ecuaciones diferenciales, diccionario.

http://www.terra.es/personal/iftjft/ home.htm Cálculo diferenciales ordinarias. Historia de las matemáticas. Descripción, teoría y problemas de álgebra. Análisis. Aritmética y geometría. Biografías e historia de las categorías.

http://www.juegosdelogica.com/ portal.htm Directorio de juegos de lógica e ingenio, acertijos, magia y matemáticas recreativas.

http://www.xtec.es/-jcorder1/entreten.htm Entretenimientos. Juegos matemáticos. En este apartado agrupan una serie de ocurrencias y retos matemáticas.

http://www.elosiodelosantos.com/ sergiman/ Selecciona un tema. Fórmulas y tablas. Aritmética. Algebra. Trigonometría. Geometría analítica. Cálculo. Estadística. Economía. Física. Matemática.

http://www.euler.us.es/-libros/ El legado de los matemáticos de Euclides a Newton.

http://www.cimat.mx/ Centro de investigación de matemáticas.