IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Objetivos:Identificar las identidades trigonométricas

fundamentales.

Aplicar las identidades fundamentales, en la demostración y simplificación de expresiones trigonométricas.

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES A PARTIR DEL CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO UNITARIO

Fichas con las que se demostraran las identidades trigonométricas.

x

r=1

𝜃y 𝑠𝑒𝑛𝜃=

𝑦1 =𝑦 𝑐𝑠𝑐 𝜃=

1𝑦 𝑐𝑠𝑐 𝜃=

1𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑠𝑒𝑐𝜃=1𝑥 𝑠𝑒𝑐𝜃=

1𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃=

𝑥1=𝑥

Utilizando el teorema de pitágoras

=1 = 1

𝑡𝑎𝑛𝜃=𝑦𝑥 𝑡𝑎𝑛𝜃=

𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑐𝑜𝑡 𝜃=𝑥𝑦 𝑡𝑎𝑛𝜃=

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑡𝑎𝑛𝜃=1

𝑐𝑜𝑡 𝜃

𝑐𝑜𝑡 𝜃=1

𝑡𝑎𝑛𝜃

Las relaciones deducidas anteriormente reciben el nombre de identidades trigonométricas fundamentales, y son las fichas con las cuales vamos a jugar para simplificar expresiones trigonométricas y demostrar identidades trigonométricas.DEFINICIÓN: Una identidad trigonométrica es una igualdad que se cumple para cualquier valor del ángulo.

DEMOSTRAR una identidad es un proceso de comprobar si una identidad es realmente una identidad, para lo cual se hacen transformaciones, se usan las identidades fundamentales.

SIMPLIFICAR una expresión trigonométricas consiste en convertir la expresión original en otra más simple y elemental.

CONSEJOS AL DEMOSTRAR:

1. Algunas veces, conviene expresar las funciones en términos de seno y coseno.

2. También, realizar operaciones aritméticas y algebraicas(factorización y/o simplificación).

3. Ó utilizar algún artificio si es necesario.4. Trabajar con el miembro más complejo para convertirlo en el

otro.

DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜1 :𝐷𝑒𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑙𝑎𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 9𝑠𝑒𝑐 2𝜃−5 𝑡𝑎𝑛2𝜃=5+4 𝑠𝑒𝑐2𝜃Demostración , ya que

, destruyendo paréntesis Reduciendo términos semejantes

Ordenando

Con lo que hemos demostrado la identidad trigonométrica

ejemplo 2: demuestre la siguiente identidad trigonométrica

DEMOSTRACIÓN

sustituyendo

, cancelando seno nos queda

Con lo que hemos demostrado la identidad trigonométrica

xSecxCscxSenxTan 22

𝑡𝑎𝑛2 𝑥+𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙𝑐𝑠𝑐𝑥=𝑡𝑎𝑛2 𝑥+𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 1𝑠𝑒𝑛𝑥

Ejemplo 3.- Demostrar la siguiente identidad:

Demostración

Factorizando la suma de cubo

Simplificando el factor común

Agrupamos

como , se tiene

Con lo que queda demostrada la identidad trigonométrica.

𝑡𝑎𝑛2𝜃+1𝑡𝑎𝑛𝜃+1

=𝑠𝑒𝑐 2𝜃−𝑡𝑎𝑛𝜃

𝑡𝑎𝑛3𝜃+1𝑡𝑎𝑛𝜃+1

=(𝑡𝑎𝑛𝜃+1)(𝑡𝑎𝑛2𝜃−𝑡𝑎𝑛𝜃 ∙1+12)

𝑡𝑎𝑛 𝜃+1

¿𝑡𝑎𝑛2𝜃− 𝑡𝑎𝑛𝜃+1

¿ (𝑡𝑎𝑛¿¿2 𝜃+1)− 𝑡𝑎𝑛𝜃 ¿¿ 𝑠𝑒𝑐2𝜃−𝑡𝑎𝑛 𝜃

Ejemplo 4.- Demostrar la siguiente identidad:

Demostración:

Multiplicando numerador y denominador por

Resolviendo el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

sustituyendo

Cancelando

Con lo que hemos demostrado la identidad trigonométrica