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GUIÓN DE REFERENTES NIVEL SECUNDARIO

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Red de Escuelas de Aprendizaje |Nivel Secundario

Matemática Segundo encuentro

Síntesis

Contenidos

Los lineamientos curriculares en la enseñanza de la Geometría en la ES.

Los problemas geométricos: sus propósitos y formas de validación.

Los debates en el aula: pruebas pragmáticas y pruebas intelectuales.

El trabajo argumentativo en la clase de Geometría.

El rol de los instrumentos de geometría en la resolución de problemas.

El uso del Geogebra en la clase de Geometría: sus potencialidades y sus limitaciones

Objetivos

Reflexionar y seguir construyendo entre colegas el rol del referente de matemática en la

escuela.

Ampliar la mirada sobre la enseñanza de la Geometría.

Repensar la gestión de la clase en pos de favorecer el trabajo argumentativo.

Incluir herramientas informáticas a la clase de Geometría.

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PROPUESTA DE TRABAJO

Acerca de la enseñanza de la geometría en la escuela secundaria

Algunas cuestiones previas para pensar en la institución:

¿Cuál es el sentido de enseñar Geometría en la ES?

A la hora de planificar anualmente, ¿los contenidos del eje de Geometría ocupan el mismo

espacio que el eje “Números y operaciones” o “Algebra y funciones”? ¿Por qué?

Algún fundamento para estas cuestiones lo podemos encontrar en Itzcovich, H, (2005).Iniciación al

estudio didáctico de la Geometría, Ediciones del Zorzal.

https://juliobaigorria.files.wordpress.com/2016/04/iniciacic3b3n-al-estudio-didc3a1ctico-de-la-geometrc3ada-horacio-itzcovich.pdf

El autor plantea que es reconocido por quienes tienen un vínculo con la enseñanza de la

matemática, el hecho de que el trabajo geométrico ha ido perdiendo espacio y sentido, tanto

en los colegios como en la formación docente.

Es probable que entre las razones de esta pérdida se encuentren:

La dificultad, por parte de los docentes, de encontrar suficientes situaciones o problemas

que representen verdaderos desafíos. Es decir, si se trata de pensar en un recorrido que

permita a los alumnos iniciarse e involucrarse en el trabajo con las funciones lineales,

podríamos imaginar variados problemas, actividades, situaciones, etc. En geometría, en

cambio, no es muy claro a qué podríamos llamar "problema".

La enunciación de los contenidos que se presentan en las currículas es poco específica. Hay

un predominio de vocabulario y definiciones y pocas veces es claro el sentido que

adquieren los conocimientos geométricos.

Al ser más reconocido el trabajo en otras ramas de la matemática (aritmética, álgebra,

funciones) si algo "se cae" del programa por falta de tiempo es la geometría.

El autor advierte que si esta tendencia continúa, se priva a los alumnos de la posibilidad de

conocer otro modo de pensar, se les quita la oportunidad de vivir la experiencia de

involucrarse con otras formas de razonamiento, que son específicas de este dominio. A su

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vez, la práctica geométrica tiene un alto valor formativo y es por tal motivo que todos los

alumnos tienen derecho a acceder a ella.

No es que se plantea sólo volver a enseñar a los alumnos las definiciones clásicas de la

geometría. No se intenta que conozcan únicamente los teoremas más importantes. Se busca

promover el vínculo de los jóvenes con un modo cultural diferente. Y este modo de trabajo

incluye, entre otras, algunas de las siguientes características:

Los objetos de la geometría (puntos, figuras, cuerpos, etc.) no pertenecen a un espacio

físico real, sino a un espacio teórico, conceptualizado. Esto trae ya un primer problema

didáctico. ¿Cómo ayudar a los alumnos a comprendan que los objetos que trabaja la

geometría son teóricos y no reales?

Los dibujos trazados son representantes de esos objetos teóricos. Es decir, la marca

que deja un lápiz cuando traza un triángulo no hace más que representarlo. Y es bien

conocido que los alumnos asignan a estos dibujos numerosas propiedades o

características que no tienen categoría de tales para la geometría, como la posición en

la hoja. Incluso, los dibujos son "leídos" por los alumnos de una cierta manera que no

siempre es aceptada por la geometría. La pregunta sería entonces: ¿cómo ayudar a los

alumnos a despegarse del trabajo meramente perceptivo o visual?

Muchos problemas geométricos pueden ser, en un comienzo, explorados

empíricamente, analizando diferentes dibujos que resultan sumamente útiles (como

se verá más adelante) o recurriendo a mediciones. Estas experiencias permiten la

obtención de resultados, la formulación de propiedades que, a esta altura del trabajo,

adquirirán estatus de conjeturas. ¿Cómo se decide la verdad o falsedad de la conjetura

planteada? ¿Cómo se va instalando la idea de que la decisión acerca de la verdad o

falsedad de una respuesta, de una nueva relación o de una propiedad no se establece

empíricamente, por intermedio de dibujos o de la medición, sino que se apoya en las

propiedades de los objetos geométricos? ¿Cómo se van generando condiciones que

les permitan a los alumnos ingresar a un trabajo de características deductivas?

En el trabajo geométrico, los enunciados, relaciones y propiedades son generales, y se

establece un dominio de validez, es decir, se explicitan las condiciones a partir de las

cuales una colección de objetos (los triángulos rectángulos, por ejemplo) cumplen una

cierta propiedad o relación. Adquieren un cierto nivel de convencionalidad en la

formulación apelando a un vocabulario mínimo necesario para poder socializarlas. En

consecuencia, ¿cómo acompañar a los alumnos en la producción de estas

generalidades, cuando en numerosas oportunidades el trabajo geométrico se realiza

apoyando los razonamientos en dibujos particulares, tratados por quienes saben

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geometría como casos generales? ¿El vocabulario y la formalidad constituyen una

necesidad previa, simultánea o posterior al trabajo geométrico?

La preocupación principal gira en torno a cómo generar condiciones que permitan a los

alumnos involucrarse en la producción de conocimientos geométricos, no sólo de aquellos

que son reconocidos en el sistema educativo con nombre y apellido (Teorema de Pitágoras,

Suma de los ángulos interiores del triángulo, etc.) sino también de aquellos referidos al tipo

de tarea que se despliega, a esa racionalidad propia del trabajo geométrico, pocas veces

explicitada, pocas veces reconocida como parte troncal del "saber geometría" y que

podríamos sintetizar con la siguiente frase: "inferir, a partir de los datos y con el apoyo de las

propiedades, relaciones que no están explicitadas y que llevarán a establecer el carácter

necesario de los resultados de manera independiente de la experimentación" .

El trabajo geométrico permite, en cierta medida, comenzar a identificar las particularidades

que debería tener una situación para poder ser designada con el tinte de "problema

geométrico". Entre ellas, vale la pena destacar las siguientes:

Para resolver el problema se ponen en juego las propiedades de los objetos

geométricos.

El problema pone en interacción al alumno con objetos que ya no pertenecen al

espacio físico sino a un espacio conceptualizado; las figuras-dibujos trazadas por este

sujeto no hacen más que representarlo.

La función que cumplen los dibujos en la resolución del problema no es la de permitir

arribar a la respuesta por simple constatación sensorial.

La validación de la respuesta dada al problema —es decir, la decisión autónoma del

alumno acerca de la verdad o falsedad de su respuesta— no se establece

empíricamente, sino que se apoya en las propiedades de los objetos geométricos. Las

argumentaciones a partir de las propiedades conocidas de los cuerpos y figuras

producen nuevo conocimiento sobre los mismos.

De esta manera, se inicia un análisis del trabajo de construcciones geométricas, partiendo de

la premisa de que, bajo ciertas condiciones, las construcciones con los instrumentos clásicos

de la geometría permiten explorar, identificar, conjeturar y validar propiedades de las figuras.

Arsac (1992) plantea que la práctica geométrica consiste en un ida y vuelta constante entre

un texto y un dibujo. En consecuencia, analizar los datos con los que se debe construir una

figura, determinar si la construcción es posible o no, establecer relaciones entre los datos

conocidos y el dibujo a obtener, etc., resultan una experiencia sumamente útil en el camino

hacia entender a una figura como el conjunto de relaciones que la caracterizan y que pueden

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ser enunciadas en un texto. Y el dibujo debe ser sólo un representante. En este sentido, la

presencia de una figura de análisis comienza a ser un referente importante.

En segundo lugar, proponer y analizar algunas situaciones que implican un trabajo vinculado a

la producción de argumentos deductivos. Es decir, conociendo algunas propiedades, se busca

obtener respuestas a preguntas sobre las figuras, como así también poder argumentar sobre

las respuestas obtenidas. En ese sentido, la comparación o la determinación de áreas,

longitudes, ángulos, ocupan un lugar privilegiado, ya que, como señala Serres (1996), "la

geometría resulta de un ardid, de un sesgo, en el cual la ruta indirecta permite acceder a

aquello que no consigue una práctica inmediata", y se podría agregar que la geometría

también se preocupa por explicar los motivos por los cuales el resultado es el obtenido y no

otro.

En tercer lugar, plantear actividades que favorecen la entrada de los alumnos en un trabajo

de una naturaleza diferente. Esto es, se busca establecer condiciones para que una propiedad

sea cierta, a partir de otras conocidas. Se pone en el centro de atención una exploración

exhaustiva de dominios de validez de ciertos enunciados. Una vez más, las figuras de análisis

juegan un papel importante en esta tarea. Pero también se incluye el problema de la

búsqueda de razones y argumentos que sostengan la validez de la propiedad estudiada así

como argumentos que expliquen el dominio para el cual es válido el enunciado.

En cuarto término, proponer algunos problemas que buscan establecer relaciones entre el trabajo geométrico y el trabajo algebraico. En este punto se prioriza el vínculo entre las construcciones geométricas y los recursos algebraicos que aparecen y son necesarios en función de intentar explicar y dar cuenta de la validez de las construcciones realizadas.

A su vez, ciertas expresiones algebraicas ayudan a anticipar las condiciones de los dibujos que

se pueden obtener.

La intención es mostrar la posibilidad de conjugar estas diferentes modalidades y ponerlas

todas al servicio de un trabajo más organizado, planificado y secuenciado.(…)

La exploración, la conjetura, la argumentación y la validación en la clase de Geometría Actividad 1:

Primera parte:

En lo posible, debe tratar de realizar la primera parte de la actividad en una plaza, un parque,

un patio, por un lado un ámbito externo al aula predispone al alumno de otra manera, y por

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otro lado si el alumno forma parte de la actividad, en muchos casos, se la apropia. De no ser

posible adecuar los materiales para que la realicen en una cartulina o papel afiche.

Consigna de trabajo: En grupos de cuatro integrantes, discutan y resuelvan el problema que se presenta a continuación con los elementos entregados, tratando de simular la situación en esta primera parte.

Materiales

Dos piedras, o algún elemento que las represente (por ejemplo dos bollos de papel, pelotas de tenis, etc.).

Un banderín o semejante para representar la palmera. Cuerdas, sogas, hilos o piolines Para utilizar a modo de compás. Un trozo de cartón con un ángulo recto, una madera, o un libro (no escuadra convencional)

En lo posible para utilizar de escuadra (sin hacer explícita su finalidad) debe entregarse a los grupos un elemento distinto (es más si se le dá a un grupo la cantidad necesaria de soga, puede determinar ángulo recto sin este tipo de “escuadras”)

Una hoja en blanco y un lápiz para anotar por grupo

Estacas o banderines para que puedan marcar las cruces. Un cofre, caja o elemento que haga las veces de tesoro.

A cada grupo se hace entrega de los materiales y el siguiente enunciado:

El tesoro del Pirata Morgan:

Cuenta la leyenda que el conocido Pirata Morgan llegó a una remota isla, perseguido por

galeones españoles, en la que encontró una palmera y dos piedras. Él caminó en línea recta

de la palmera hasta la primera piedra, giró 90° a la derecha y avanzó de frente igual distancia,

se detuvo y marcó una X en la arena. Retornó a la palmera, caminó en línea recta hasta la

segunda piedra, giró 90° a su izquierda y caminó de frente la distancia entre la palmera y la

segunda piedra, aquí marcó otra X. En el punto medio entre las dos X enterró el botín que

llevaba a bordo, fruto de sus abordajes.

Muchos años después, Indiana encontró un pergamino en el cual figuraba el proceso realizado

por el pirata para enterrar su tesoro, Indiana encontró la isla, encontró las dos piedras, pero

de la palmera no existía ni el rastro. ¿Cómo encuentra el tesoro?

De vuelta al aula el docente coordinará la puesta en común acerca de a qué conjeturas

arribaron. Y abrirá el diálogo, en esta instancia, acerca de los materiales entregados y su

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finalidad. El objetivo es tomar conciencia acerca del para qué utilizar el compás, qué función

tiene una regla, cuál es la utilidad de contar con una escuadra.

Para abordar el tema de los instrumentos de geometría se sugiere la lectura del artículo

“Los instrumentos de Geometría y los problemas de construcción” Mendom@tic@ Revista

digital de matemática. Revista Nº 21 – Octubre 2010 – Sección Temas de Matemática

www.mendomatica.mendoza.edu.ar, se puede acceder a través del siguiente link.

http://www.mendoza.edu.ar/wp-content/uploads/2017/04/TEMAS-DE-MATEM%C3%81TICA-Los-instrumentos-ge%C3%B3metricos-y-los-problemas-de-construcci%C3%B3n.pdf

Segunda parte:

Se solicita a los alumnos que ahora simulen la situación en Geogebra. Y luego verifiquen si se

cumple o no la conjetura formulada anteriormente.

En este momento es oportuno tener en cuenta ¿qué es validar en matemática? ¿Qué aporta

el GeoGebra al trabajo en geometría en el aula?

Algunos aportes para estas preguntas los encontraran en los siguientes links:

https://revistasuma.es/IMG/pdf/58/025-040.pdf

http://www.sinewton.org/numeros/numeros/95/Geogebra.pdf

https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=5454195

http://blogs.mat.ucm.es/catedramdeguzman/wp-content/uploads/sites/30/2017/12/EnunciadosGeo-1.pdf

¿Cómo realizar la construcción en GeoGebra?

En el siguiente link encontraran un video que explica la construcción paso a paso.

https://drive.google.com/file/d/12wK63Gfp5GYK1fhipE5cJWH6CHvUom3q/view?usp=sharing

Si la situación piensa trabajarse en sexto año, puede realizarse la demostración utilizando vectores: Para ello establecemos un sistema cartesiano en el que el eje de abscisas es la recta que pasa por R1 y R2 y el eje de ordenadas la perpendicular a la anterior pasando por M, punto medio de R1 y R2:

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Usando vectores,

y el perpendicular con el mismo

módulo (en sentido contrario a las agujas del reloj) es

Por otro lado,

y el perpendicular con el mismo módulo (en

el sentido de las agujas del reloj) es .

Por tanto, los vectores de posición de los puntos correspondientes a las estacas son,

respectivamente,

, coordenadas cartesianas del

punto , y

, coordenadas cartesianas del punto

Evidentemente, el punto medio de y será M(0,−a) , punto de localización del tesoro. Claramente se ve que su situación solo depende de la de la palmera y la de la roca.

Para llevar al aula, otra actividad que permita la exploración y la validación, continuando el

trabajo con lugares geométricos, proponemos:

Decidan si el enunciado que se propone a continuación es verdadero o falso. Argumenten

sus respuestas:

“El triángulo RST es isósceles con RS=ST y tiene dibujada la bisectriz correspondiente al ángulo

S. ¿Es cierto que RA=AT? ¿Por qué?”

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En referencia al problema resuelto en la primera parte, determinen cuáles de los siguientes

argumentos dados por los estudiantes son correctos y cuáles no. Expliquen por qué.

Matías:

Es verdadera, porque a simple vista ves que los segmentos son iguales.

Betina:

No se puede saber si es verdadera, porque no se conocen las medidas de los lados RS

y RT; en consecuencia, no se puede calcular cuánto miden los segmentos RA y AT.

Laura:

Es verdadera, porque el triángulo RSA puede plegarse sobre el triángulo SAT y se

superponen con total exactitud.

Pablo:

Es verdadera, porque se puede probar que los triángulos RSA y SAT son congruentes y,

a partir de ello, deducir que los segmentos RA y AT tienen igual longitud.

Sabiendo que un problema geométrico puede caracterizarse del siguiente modo:

“*Para resolverlo, se deben poner en juego las propiedades de los objetos geométricos.

*El problema pone en interacción al alumno con objetos que ya no pertenecen al espacio físico

sino a un espacio conceptualizado en el que las figuras dibujos trazadas por este sujeto no

hacen más que representarlo.

*En la resolución del problema, los dibujos no permiten arribar a la respuesta por simple

constatación sensorial.

*La validación de la respuesta dada al problema – es decir la decisión autónoma del alumno

acerca de la verdad o falsedad de su respuesta – no se establece empíricamente, sino que se

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apoya en las propiedades de los objetos geométricos. Las argumentaciones a partir de las

propiedades conocidas sobre cuerpos y figuras, producen nuevo conocimiento acerca de los

mismos. “(Sessa, C. 1998)

Les proponemos que a la luz de esta caracterización, reflexionen sobre las posibles respuestas

de los alumnos en ambas instancias de resolución y cómo podrían intervenir en ese

intercambio.

Luego, analicen las respuestas dadas a la luz de las ideas que se encuentran en el siguiente

texto:

Extractos de: Enseñar a demostrar: ¿Una tarea posible? Graciela Chermello y Ana Lía Crippa

“Tipos de prueba”

Si, como estrategia central de enseñanza, los estudiantes son enfrentados a un trabajo con

problemas y deben "hacerse cargo" de la resolución, tendrán que controlar su producción

para asegurarse de que su respuesta a la pregunta planteada y el procedimiento utilizado

para obtenerla son válidos, es decir, deben responsabilizarse matemáticamente de sus

producciones. Esto implica que los alumnos deben involucrarse en la elaboración de pruebas.

Las pruebas producidas por los alumnos - igual que las producidas en la historia de la

matemática- son de naturaleza muy diversa. Desde el punto de vista de la actividad

matemática, Balacheff (1987) identifica dos tipos de pruebas: pruebas pragmáticas y pruebas

intelectuales.

En las pruebas pragmáticas, la justificación de la actividad está asociada a su eficacia para la

resolución de la cuestión planteada. Son pruebas íntimamente ligadas a la acción y a la

experiencia de los que las producen.

En las pruebas intelectuales, la justificación de la actividad es conocer la verdad. Son pruebas

en las que sus autores tomaron distancia de la acción. Dentro de las pruebas intelectuales, se

ubica la demostración. (...)

Las pruebas pragmáticas se fundan en propiedades usadas implícitamente y comprobadas en

la acción. Los conocimientos funcionan como conocimientos prácticos. Se expresan con el

lenguaje de la familiaridad; la acción explicitada por este lenguaje lleva la marca del tiempo,

de quien actúa y de su contexto de acción.

El desarrollo de pruebas intelectuales exige un cambio de posición, la acción se vuelve objeto

de reflexión. Los conocimientos también son objeto de reflexión. El lenguaje pasa a ser

funcional, despersonalizado, descontextualizado y destemporalizado. (...)

Según Balacheff (1995), el paso de las pruebas pragmáticas a las pruebas intelectuales es una

"confrontación entre la eficiencia y el rigor".

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Para la clase, es necesario tener en cuenta que el abandono de las pruebas pragmáticas por

parte de los alumnos es una cuestión compleja y que de ningún modo implica que deban

producir todos los ejemplos de prueba propuestos, de modo secuenciado.

También debemos considerar que en una misma clase pueden coexistir diferentes tipos de

pruebas y también que un mismo alumno puede utilizar diferentes tipos de pruebas de

acuerdo con el contexto del problema y los conocimientos que involucra su resolución.

Gestionar un avance en la producción de pruebas intelectuales por parte de los alumnos no

significa un abandono total de prácticas empíricas en la clase de matemática. La elaboración

de conjeturas, como dijimos, se apoya en prácticas de esta naturaleza aunque la validación de

éstas requiera de un trabajo intelectual cuando su dominio de validez es infinito. (...)

Asimismo, no se espera que todas las propiedades trabajadas en la escuela secundaria

ameriten la producción en clase de una prueba intelectual, pero esto no significa que por ello

no se las enseñe. Por ejemplo, la propiedad de completitud de los números reales no se

prueba intelectualmente en este nivel y, sin embargo, debe ser objeto de enseñanza”.

Más actividades

Primera parte:

En grupos de dos docentes resuelvan la siguiente situación y registren sus conclusiones para

ser compartidas en la puesta en común.

Construyan un cuadrado

a) En hoja cuadriculada usando solamente regla b) En hoja lisa usando solamente una escuadra y una regla. c) En hoja lisa usando solamente un transportador y una regla. d) En hoja lisa usando solamente un compás y una regla no graduada. e) en Geogebra, sin utilizar el comando polígono regular de forma tal que al mover los

puntos libres no se “desarme”.

¿En qué se diferencian cada una de las construcciones anteriores? ¿Por qué piensan que se

fue cambiando el tipo de papel y los instrumentos de construcción permitidos?

Luego, comparen las validaciones que realizaron en papel (geometría estática) con la hecha

con Geogebra (geometría dinámica).

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Segunda parte:

Resuelvan el siguiente problema utilizando el programa Geogebra:

Sea ABCD un cuadrilátero cualquiera; E, F, G y H los puntos medios de cada uno de sus lados.

¿Qué clase de cuadrilátero es EFGH?¿Por qué?

Tener en cuenta qué intervenciones realizarían para posibilitar que los alumnos se alejen de

la actividad realizada con Geogebra para validar sus procedimientos y resultados.

Una posible secuencia de actividades la encontraran en el libro:

En el capítulo 2 a partir de la página 26, muchas de las actividades pueden construirse en

GeoGebra permitiendo trabajar en la línea propuesta, en función de las decisiones que teme

el docente en la gestión de la clase.

El siguiente link introduce en el trabajo con GeoGebra y la Geometría:

https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1445430290/contido/ud1/in

dex.html

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Si el propósito es trabajar puntos notables del triángulo proponemos los siguientes recursos: https://www.geogebra.org/m/NKCCWWDj

https://www.geogebra.org/m/jqnK4876

Si el propósito es trabajar clasificación de los cuadriláteros un posible recurso es:

https://www.geogebra.org/m/jT6ykW6P

Actividades y acuerdos para el próximo encuentro

Planificar una secuencia para llevar al aula en algún año de la ES que incluya la Geometría, la

tarea de conjeturar, argumentar, verificar y validar y el uso de GeoGebra.

Luego, analizar colaborativamente en el equipo lo ocurrido.

Para la planificación se requiere:

a) Enunciar los contenidos que se proponen tratar y los propósitos.

b) Determinar los momentos en los que se realizarán las puestas en común y en qué

consisten cada una de ellas.

c) Indicar sobre qué cuestiones se discutirá con los estudiantes.

d) ¿Qué se institucionalizaría?

e) Explicitar lo que podría quedar registrado en las carpetas de los chicos.

Para la presentación final incluir:

a. Algunas producciones orales o escritas de los alumnos que considere significativas para

compartir y analizar (videos, fotos, etc.) Recordar que si se incluyen fotos o videos con los

alumnos, deben constar en la institución las autorizaciones correspondientes.

b. El análisis de lo sucedido en clase a modo de reflexión teniendo en cuenta si se cumplieron

los propósitos pensados y ¿qué modificaciones harían si tuvieran que volver a tratar la

misma propuesta?

Recordar instalar en los celulares la aplicación Photomath para el próximo encuentro.

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Bibliografía

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Arsac, G. y otros. (1992) En Iniciación al pensamiento deductivo, Presses Universitaires de

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Aires,((2007) Diseño Curricular para la E.S. 1

Dirección General de Cultura y Educación , Gobierno de la Provincia de Buenos

Aires,((2006) Diseño Curricular para la E.S. 2

Dirección General de Cultura y Educación , Gobierno de la Provincia de Buenos

Aires,((2006) Diseño Curricular para la E.S. 3

Dirección General de Cultura y Educación , Gobierno de la Provincia de Buenos

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