GUIA N° 2 MATEMATICA I.

Docentes: Sandra Patricia Loaiza Rodríguez Luis Fernando Arias Ramírez.

GUIA TALLER N° 2 Matemática I

OBJETIVO: Interpretar y aplicar los conceptos de razón y proporcionalidad

PRERREQUISITOS: Aplicación de operaciones con números reales, análisis de problemas cotidianos

SISTEMAS ANALÍTICOS

RAZÓN: CONCEPTO Y DEFINICIÓN

Seguramente en nuestra vida cotidiana, hemos realizado actividades que tienen que ver con

situaciones a las que se debe dar respuesta como la siguiente:

1. Si mi auto consume por cada 105 kms 3 galones de gasolina cuanto galones necesitaré para

recorrer 525 kms?

2. En un aula de clase hay 4 niños por cada 3 niñas. Si se sabe que en esa aula hay 24 niños,

¿Cuántas niñas habrá?

3. La escala en la que esta diseñado un mapa en el libro es de 4 mm. a 10000 metros. Si en el libro

un río mide 56 mm. ¿Cuántos metros de largo tendrá el río en la realidad?

Para resolver la primera situación, elaboremos una tabla,

Así, LA RAZÓN entre el numero de Kilómetros que recorre un auto y el numero de galones de

gasolina que consume es 105 a 3, o 105/3, o 105: 3 o 105 es a 3.

El primer término de una razón recibe el nombre de antecedente y el segundo termino consecuente.

No kms recorridos No galones

105 3

210 6

315 9

420 12

525 15

Al organizar los datos en la tabla. Estamos estableciendo relaciones de comparación entre dos números de magnitudes. Estas comparaciones permiten responder la pregunta formulada. Necesitaré 15 galones de gasolina para recorrer 525 Kms.


TRABAJO INDIVIDUAL N° 1

1. Resuelva elaborando una tabla las situaciones 2 y 3 planteadas al inicio de la guía.

2. Una sala tiene 8 m de largo por 5 m de ancho. si la sala tuviera 48 m de largo, ¿cuántos

metros tendría de ancho?

3. Halle la razón entre la longitud de la diagonal de un cuadrado y la de su lado.

4. Halle la razón entre la altura de un triangulo equilátero y la mitad de su longitud.

PROPORCIÓN:

Una receta indica que se requieren dos pastillas de chocolate para preparar el contenido de 5

pocillos. ¿Cuántas pastillas serán necesarias para preparar 4, 6 10 y 24 pocillos de chocolate?

Si son dos razones iguales, se puede establecer la proporción o a es a b, como c es

a d. que se escribe a:b :: c:d

No de pastillas

No de pocillos

Razón / proporción

2 5 2/5

4 10 4/10 = 2/5

6 15 6/15 = 2/5

10 25 10/25 = 2/5

24 60 24/60 = 2/5

Observemos que en todos los casos se tiene

la misma razón, aunque las cantidades sean diferentes. Proporción es por tanto la igualdad de dos razones.


PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES

1. En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

2. Cada término de una proporción puede expresarse en función de los otros tres

Cuando dos magnitudes están relacionadas, puede ocurrir que, al aumentar una, también lo

haga la otra, en este caso decimos que las magnitudes están directamente correlacionadas.


1. Elabore una tabla donde relacione el área de los cuadrados de lados 1, 2, 3, 4 y 5 cm. Halle

su gráfica en el plano cartesiano.

2. Un fotocopiadora saca 1230 copias cada tres minutos. ¿Cuantas sacará en 25 minutos?

Elabore una tabla de datos donde aparezca la cantidad de copias para 2, 4, 5, 6 minutos.

Haga un grafico de la cantidad de copias en función del tiempo.


CÁLCULO DEL TANTO POR CIENTO

En el porcentaje intervienen dos magnitudes; una llamada base, que equivale a 100 y la otra llamada

porcentaje que representa la fracción que se toma de 100.

Ejemplo: Hallar el 25% de 240 En la tabla se resumen los datos del problema.

Porcentaje 25 x

Base 100 240

FÓRMULA FUNDAMENTAL DEL INTERES

Si se sabe que I = C . r . t

100

Ejemplo: Calcular el interés que produce $12000 al 3% mensual durante un año

C = $12000 r = 3% mensual t = 1año = 12 meses I =?

Aplicando I = C . r . t I = 12000x3x12 = 4320 este será el interés Ganado al cabo de un año.

100 100

Se establece la proporción: Resolviendo la ecuación:

240100

25 x 100 . x = (25)(240) x=

100

240)(25( x=60

I: interés = Capital* rata* tiempo / 100



1. Exprese las siguientes cantidades en términos de: porcentaje, razón y como decimal

50, 18, 98, 25.

2. Por la compra al contado de una camiseta de $ 34000 descuentan el 8%. ¿Cuanto se debe

pagar por la camiseta? ¿cuál es el valor del descuento?

3. A un empleado le descuentan $12.500 por retención en la fuente, lo cual equivale al 6% de su

sueldo ¿cual es su sueldo?

4. En un colegio de 4200 estudiantes, 210 perdieron el año ¿Qué porcentaje perdieron el año?

5. Cuando un banco presta dinero se debe pagar cierto interés. Hallar el interés producido por

$250000 prestados al 18% anual durante dos años y dos meses.

6. A un artículo se le descuenta el 20% pero días después se incrementa el 20%. ¿En cuanto se

rebaja o incrementa?

7. Una persona compra un tiquete de viaje cuyo precio es de $285075 y por pagarlo en 6 cuotas

mensuales le recargan el 14%. ¿Cuánto deberá pagar mensualmente? ¿Cuándo ha pagado

las tres primeras cuotas, decide pagar el resto en un solo contado, por lo cuál le rebajan 14%

del saldo. ¿Cuál es, en definitiva, el precio que pago por el pasaje?

8. Para que al cabo de 24 meses se produzcan $45000 de interés. ¿Cuánto capital se debe

colocar al 2.04% mensual?

9. Un Tour hotelero para una persona cuesta $1280000 a crédito con financiación de 5% sobre

saldo. Si la cuota inicial fue 30%. ¿Cuánto se pagó de interés en el primer mes?


REGLA DE TRES COMPUESTA

La proporcionalidad compuesta se presenta cuando se plantean proporciones en las que intervienen

más de dos magnitudes. Ejemplo terminar una obra de construcción depende del numero de días,

horas y trabajadores asignados.

Ejemplo: Se contratan 5 secretarias que trabajan 8 horas diarias y copian 600 páginas. ¿Cuántas

horas deben trabajar 8 secretarias para copiar un libro de 1200 páginas?

SOLUCIÓN: La tabla en la que se relacionan las magnitudes es:

secretarias Horas

Diarias

paginas

5 8 600

8 x 1200

Es decir 8 secretarias deben trabajar 10 horas diarias para copiar 1200 páginas.

La magnitud horas diarias es inversamente proporcional a la magnitud secretarias y directamente proporcional a paginas por tanto:

1200

600

5

88x

x x= 10

600*8

1200*5*8



1. Si 9 obreros pintan 3 casas en 4 días, ¿cuánto demoraran 15 obreros en pintar 5 casas bajo

las mismas condiciones?

2. Una secretaria escribe 240 páginas en 20 días, trabajando 8 horas diarias, ¿cuántas páginas

escribirá en 10 días trabajando 10 horas diarias en las mismas condiciones?

3. Un grupo de 7 excursionistas tiene comida para 5 días comiendo 3 raciones diarias. ¿Para

cuántos días alcanzara el alimento si se quedan 4 excursionistas y comen solo dos raciones al

día?

4. Se requieren 30 obreros trabajando 8 horas diarias para terminar una obra en 3 meses.

¿Cuántos se necesitaran para terminar la obra en 2 meses trabajando 6 horas diarias?

5. En 18 días, 20 maquinas harán un terreno de 60 hectáreas. ¿Cuántas maquinas iguales harán

un terreno de 36 hectáreas en 12 días?

6. 10 estudiantes desarrollan 20 ejercicios de algebra en 15 minutos. Al mismo ritmo, ¿cuánto

tardaran 12 estudiantes en resolver 40 ejercicios?

7. 4 niñas atletas consumen 10 litros de agua en 2 días. ¿Cuántas niñas consumirán 15 litros en

3 días?

8. 5 perros consumen en 10 días 7 kg de concentrado. ¿Cuántos kg consumirán 20 perros en 14

días?

9. Se pagaron en total $6264 a 15 obreros que trabajaron 12 días a razón de 8 horas diarias.

¿Cuánto se les debe pagar a 20 obreros que trabajaron 16 días a razón de 6 horas diarias?


REPARTOS PROPORCIONALES

Proceso mediante el cual se reparte una cantidad en forma directa o inversa a ciertos números

previamente acordados.

Ejemplo: La cantidad de dinero de un premio entre el orden de llegada de los competidores o una

herencia de acuerdo con la edad de los herederos.

DEFINICIÓN: Repartir una cantidad A en partes directamente proporcionales a los números m , n

y t es hallar otras cantidades p, q, r tales que dondet

r

n

q

m

p p + q + r = A

Ejemplo: Tres obreros recibieron $520000 al terminar un trabajo. Si uno de ellos trabajo 15 días, otro

12 días y el tercero 5. Cuanto le corresponde a cada uno.

La repartición es directa dondezyx

51215 x + y + z = 520000

5121551215

zyxzyx

de donde

1532

520000 x de donde x= 750.243

32

520000*15

y = 195000 z = 81250 por tanto al primer obrero le corresponde $ 243.750, al segundo $ 195000 y

al tercero $ 81250

DEFINICIÓN: Repartir una cantidad A en partes inversamente proporcionales a los números m , n

y t equivale a repartir dicha cantidad en partes directamente proporcionales a los números

ty

nm

11,

1 Ejemplo: Una empresa ofrece un premio de $2200000 para los tres empleados de mejor

cumplimiento laboral. Si al finalizar el año Juan falto 2 veces, Luis 4 veces y Miguel 6 veces. Cuanto

recibe cada uno.

1200000$;

2

1

12

11

2200000;

12

11

2200000

6

1

4

1

2

1 J

JMLJ; L= $600000; M= $400000



Repartir cada número en partes directamente proporcionales.

1. 200 entre 4, 7 y 9

2. 2. 1500 entre 8, 10 y 12

3. 3. 6300 entre 7, 14 y 20

4. Sergio y Pablo ganaron $12000000 con un billete de lotería. Si Sergio aportó $4500 y pedro dio $1500

para comprar el billete. ¿Cuánto dinero del premio le corresponde a cada uno?

5. Un padre deja de herencia $12000000 para repartirlos inversamente proporcional a las edades de sus

hijos de 20, 24 y 30 años. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

6. ¿Cuál es el interés producido por $360000 al 18% anual durante 3 meses?

7. Cierta familia se sostiene con $2400000 mensuales. Distribuye sus gastos de la siguiente manera: El

30% en alimentación, 20% en educación, el 15% en arriendo, 5% en recreación, 10% en ropa y el resto

en transporte. ¿Cuánto destinó para cada rubro?

8. En el almacén TQM se encuentran con descuento los productos de la siguiente forma:

PRODUCTO VALOR

REAL ($)

DESCUENTO

(%)

Televisor 350000 25

Nevera 750000 20

Bicicleta 550000 15

Moto 1200000 30

Sofá cama 800000 15

Equipo de Sonido 1500000 40

Juego alcoba 1000000 35

El éxito depende de la dedicación y el esfuerzo. Ánimo

a. ¿El valor con descuento del televisor es? b. ¿El valor del descuento de la nevera y la bicicleta

es? c. ¿El artículo que tiene un valor de descuento = a

$350000 es? d. ¿La diferencia de precio con descuento entre el

juego de alcoba y la nevera es? e. ¿La suma de todos los valores de descuento de cada

artículo es?

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