Guia Logica V_1

INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA – FACES UC. PROF. A. FERNÁNDEZ

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Apuntes de Lógica Proposicional

Introducción a la Matemática

Unidad ISEMESTRE II -2012


LÓGICA DEFINICIONES:Etimológicamente el término lógica deriva del latín lógica, que a su vez proviene del término griego logikós (de logos razón o estudio).

"La lógica es la ciencia de la demostración, pues sólo se preocupa de formular reglas para alcanzar verdades a través de la demostración" (Aristóteles). “La lógica o arte de razonar, es la parte de la ciencia que enseña el método para alcanzar la verdad” (San Agustín) "La lógica es la ciencia de las leyes necesarias del entendimiento y de la razón" (Kant). "La lógica es la ciencia de la idea pura de la idea en el elemento abstracto del pensamiento" (Hegel). “La lógica es el estudio de los métodos y principios usados para distinguir un razonamiento correcto de uno incorrecto” (Copi). “Ciencia que proporciona principios y métodos que, aplicados a la estructura de los razonamientos, nos permiten decir si estos son o no correctos”

(Ángel Muñoz). “La lógica se ocupa de estudiar las verdades formales, sus estructuras y sus leyes, de manera que sea posible determinar si una proposición cualquie -

ra, con un contenido variable, es verdadera o falsa formalmente, es decir, independientemente de los hechos a los que se refiere. Con ayuda de una notación artificial (simbólica) y un método rigurosamente deductivo.

La lógica proposicional es una rama de la lógica que permite representar hechos y/o expresiones del mundo real en un lenguaje representativo del conocimiento mediante propiedades elementales para estudiar a tra- vés de proposi-ciones o sentencias lógicas sus posibles evaluaciones de verdad y en el caso ideal su nivel absoluto de verdad.

EL OBJETO DE ESTUDIO DE LA LÓGICA La lógica es una ciencia que se encarga del análisis de las formas, es-tructuras o esquemas del pensamiento y su objeto de estudio es diferenciar un razonamiento correcto (o válido) de un razonamiento incorrecto (o no valido), para lograr esto es necesario inicialmente reconocer el tipo de lenguaje utilizado en un razonamiento, dado que hay muchas clases de oraciones que aparecen en el lenguaje común, inclu- yendo enuncia-dos basados en hechos, opiniones, órdenes y preguntas.La lógica estudia solo el tipo de lenguaje que se refiere a los hechos, es decir, el lenguaje declarativo o enunciativo, el cual sirve para transmitir mensajes, y varían de lo simplemente informativo hasta la descripción del desa - rrollo de ciencias exactas como por ejemplo la estructura común del razonamiento matemático, estos mensajes reciben el nombre de pro-posiciones y tienen un valor veritativo, lo cual significa que pueden ser verdaderas (V) o falsas (F) pero nunca ambos. Ejemplo: el semestre empezó en Abril.Las otras expresiones se corresponderían al lenguaje expresivo, lenguaje directivo, lenguaje interrogativo, los cuales se usan respectivamente para: dar expansión a los sentimientos y emociones, producir o impedir una acción, indagar sobre un asunto; estos lenguajes no tiene valor veritativo y por lo tanto no es de interés a la lógica, son ejemplos: ¡Me gustas! ; por favor, llega temprano; ¿estudiaste para el examen?

Se evidencia entonces que a la lógica le conciernen las expresiones que tienen valor veritativo (se les puede asignar un valor de verdad verdade -ro o falso), por lo tanto, le interesan las expresiones del lenguaje declarativo o enunciativo.

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HISTORIA La evolución de la lógica está intrínsecamente ligada a la evolución intelectual del ser humano, son los tratados de lógica de Aristóteles (384-332

a.C.), conocidos como Órganon, los que contienen el primer tratamiento sistemático de las leyes de pensamiento en relación con la adquisición de conoci -miento. Estos representan el primer intento de establecer a la lógica como ciencia, después sigue un largo periplo de estancamientos y desarrollos, siendo a finales del siglo XIX cuando se empieza a utilizar lenguajes lógicos, es decir, lenguajes artificiales, diseñados especialmente para describir con mayor fuer-za las formas de razonamiento, con el propósito de facilitar las demostraciones de validez e invalidez.

No cabe duda que la lógica tiene impacto fundamental, como ciencia de las ciencias, en el pensamiento contemporáneo, y el nacimiento de la tec -nología computacional le deba mucho al desarrollo del formalismo lógico de principios de siglo XX. Hay que hacer notar que aunque el lenguaje lógico o formal es limitado por su carácter tan riguroso, tiene varias ventajas, como son: Evitar la ambigüedad del lenguaje natural. Ser conciso y riguroso. Inducir a la concentración en lo que es esencial. Economía de pensamiento. El lenguaje de la lógica proposicional está constituido por tres elementos:

Las proposiciones lógicas (definición, variables proposicionales, notación, valor veritativo de la variable, tipo de proposiciones) Los conectivos (términos para enlazar proposiciones, notación, palabras sustitutas) Los signos de agrupación

PROPOSICIÓN LÓGICA (o enunciado) será toda frase, oración o conjunto de símbolos a los cuales puede asignárseles uno de los dos valores de ver -dad: verdad o falso, nunca ambas cosas simultáneamente. Estas proposiciones son del tipo declarativo y como se dijo anteriormente deben ser verdaderas o falsas, lo cual se denomina en lógica, valor de verdad de la proposición (valor veritativo).

Nota: Oraciones de igual significado (aún escritas de diferentes formas) son la misma proposición. Quedan excluidas del concepto de proposición aquellas expresiones: admirativas, interrogativas e imperativas que no encierren ningún significado asociable a un valor de verdad.

Variables proposicionales, son los símbolos que sustituyen las proposiciones o enunciados. Se llaman variables porque su significado va cambiando en las diferentes argumentaciones o expresiones y proposicional porque estas variables simbolizan proposiciones lógicas; a objeto de éste curso se acuerda que las variables se denoten con letras en minúsculas y a partir de la “p”, es decir p, q, r, s, t, u, v, w, y, x… las cuales simbolizan proposiciones atómicas.

Para denotar el valor de verdad de una variable p, cuando esta es verdadero o falso emplearemos V(p): V o V(p): F respectivamente.EJEMPLOS: a las siguientes proposiciones las denotaremos con variables lógicas VARIABLE PROPOSICIÓNp: Las monedas comunales permiten el intercambio de servicios en ámbitos geográficos limitados.q: El tiempo como patrimonio, la vocación de servicio y la solidaridad social son valores de FACESr: La cesta petrolera venezolana promedia $ 105,37 en lo que va de año.

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Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-Material en revi-


s: Descubren una bacteria que reduce la ansiedad y nos hace más inteligentes.t: Si los deseos fueran caballos, los mendigos cabalgarían w: A través de dos puntos cualesquiera existe solamente una línea.EJERCICIOS

Identifique con una variable las expresiones que son proposición lógica y asigne un valor de verdad

a= 1

b−1, por lo tanto, a .a−1=b

Encuentre el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (0,0), (0,1) y (1,0) Los números impares son divisibles por tres X > 2, por lo tanto x2 > 4 Los miembros de la Asamblea Nacional tendrán salario mínimo. ¿Por qué engañas? Te ruego que me perdones mis estupideces.

En las siguientes expresiones selecciona con una ( X) la repuesta correcta.Si es proposición lógica tiene valor de verdad( ) proposición con valor de verdad V ( ) proposición con valor de verdad F ( ) no es una proposición Soñaré que en Maracay, no hay buhoneros en la calle en Diciembre ( ) proposición con valor de verdad V ( ) proposición con valor de verdad F ( ) no es una proposición Estudiaré lógica hasta el cansancio( ) proposición con valor de verdad V ( ) proposición con valor de verdad F ( ) no es una proposición

x+ y>10 ( ) Proposición con valor de verdad V ( ) proposición con valor de verdad F ( ) no es una proposición

32+42=72( ) proposición con valor de verdad V ( ) proposición con valor de verdad F ( ) no es una proposición

√2<2 y√2 ∈R ( ) proposición con valor de verdad V ( ) proposición con valor de verdad F ( ) no es una proposición

pn−1÷ p=p( ) proposición con valor de verdad V ( ) proposición con valor de verdad F ( ) no es una proposición

Si √3 es racional entonces √3 es entero( ) proposición con valor de verdad V ( ) proposición con valor de verdad F ( ) no es una proposición

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a−1+b−1=a+bab

( ) proposición con valor de verdad V ( ) proposición con valor de verdad F ( ) no es una proposición

TIPO DE PROPOSICIONESDe acuerdo a su estructura las proposiciones lógicas son de dos tipos:

ATÓMICAS O SIMPLES, aquellas que expresan una sola idea o juicio acerca de algo. Ejemplosp: log 100 = 2q: El barril de petróleo ronda los 120 dólaresr: Yo estudio Introducción a la Matemática

MOLECULARES O COMPUESTAS, aquellos enunciados que contienen mas de una idea o juicio y se forman mediante partículas gramaticales que enlazan dos o más juicios, estas partículas son: “ y “, “ o “, “ sí... entonces “, “ ...sí y solo sí ... “, “ no “. A dichas palabras se le denomina CONECTIVOS LÓGICOS . Ejemplos: Yo estudio Introducción a la Matemática y trabajo en el centro de la ciudad

Si llueve mañana, no voy a la playa

TABLA RESUMEN DE CONECTIVOS LÓGICOS

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PARTICULA GRAMATICAL

NOMBRE DEL CONECTIVO

NOTACIÓN DEL CONECTIVO

LOGICO

PALABRAS ASOCIADAS

no negación ~ No, no ocurre, es falso, no es cierto que

yconjunción Ù el punto, la coma, pero, sin

embargo, además, a la vez, mientras, pero, mas, e,

o disyunción inclusiva Ú oSí... entonces condicional ® por lo tanto, solo si...si y solo sí ... bicondicional « solamente, únicamente


FORMULA PROPOSICIONAL (FP)Es una expresión que representa a una proposición compuesta, escrita usando variables proposicionales, conectivos lógicos y/ó símbolos de agrupación con sentido en el lenguaje simbólico.

LOS SIMBOLOS DE AGRUPACIÓNIndican sin ambigüedad la estructura de las fórmulas proposicionales cuando los componentes de una fórmula compuesta son, a su vez, fórmulas com -puestas. Estos son: Paréntesis ( ) ; Corchetes ; Llaves { }; Barras Permiten dar sentido a las expresiones que deseamos simbolizar y limitan el alcance del conectivo, ellos muestran una secuencia operativa y por tanto señala cual es el término de enlace dominante y dan sentido a las expresiones que deseamos simbolizar.

EjemploLa deserción estudiantil disminuirá si y solo si, los estudiantes son mas disciplinados y mejoran los servicios universitarios.

p = la deserción estudiantil disminuiráq = los estudiantes son mas disciplinadosr = mejoran los servicios universitarios

EJERCICIOSUsando las variables, símbolos de los conectivos y signos de agrupación simbolice las siguientes proposiciones: Si pago las deudas entonces tendré nuevos créditos.Me serviré postre o fruta, pero no ambos. Comprendo que trabajes, pero no comparto que faltes a clases.Vienes a mi casa y jugamos, entonces yo iré a la tuya. Si llueve, entonces voy a tu casa. Llueve. Por lo tanto, voy a tu casa. Si hace frio o está húmedo el ambiente, y no te abrigas bien, entonces tendrás resfriado y no iras a clases. El gobierno americano produce etanol o no tendrá combustible. Si no tiene combustible entonces Obama invadirá otro país petrolero. Si existo entonces razono, pero, si estoy dormido no razono. Entonces estoy despierto y razono.

Complete las siguientes definiciones con la(s) palabra(s) que corresponda Para simbolizar proposiciones lógicas utilizamos _______________ llamadas________________ En lógica, una proposición completa que tenga término(s) de enlace se denomina _________________________________ Toda frase, oración o conjunto de símbolos a los cuales se les puede determinar si son verdaderas o falsas, pero nunca ambas cosas simultáneamente

se le denomina __________________________________ Aquellos enunciados que contienen más de una idea o juicio y se forman mediante partículas gramaticales que enlazan dos o más juicios, se denomi-

nan__________________________________________________________

Seleccione la alternativa que considere correcta, con un circulo una sola es la correcta La nueva LOT establece seis semanas de reposo prenatal y de 20 semanas posnatal.

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p « (qÙr)


( ) proposición simple ( ) proposición con valor de verdad F( ) no es una proposición ( ) proposición compuesta Dadas las proposiciones p:"A ti no te encontré en la calle"; q:"No es cierto que haya sólo una madre" Entonces ~q Ù~p será: ( )"Madre no hay más que una y a ti te encontré en la calle" ( )"Aunque sólo haya una madre, a tí no te encontré en la calle"( )"O sólo hay una madre, o te encontré en la calle" ( )"Aunque te haya encontrado en la calle, sólo hay una madre"

Si tienes fe, te salvas.( ) proposición con valor de verdad V ( ) no es una proposición ( ) proposición con valor de verdad F ( ) proposición compuesta La disyunción entre una variable y un valor de verdad falso siempre es una contradicción( ) proposición simple ( ) proposición compuesta( ) no es una proposición ( ) proposición con valor de verdad V En la expresión “no es cierto que no hay elecciones de gobernadores en Diciembre del 2012”, podemos afirmar que:( ) no es proposición lógica ( ) proposición lógica atómica ( ) proposición lógica molecular ( ) proposición lógica falsa 32+22=52

( ) proposición simple ( ) proposición compuesta( ) no es una proposición ( ) proposición con valor de verdad V

TABLAS DE VERDAD Cada proposición simple tiene un valor de verdad, es decir, es verdadera (V) o es falsa (F), cuando tenemos proposiciones compuestas su valor de verdad depende del valor de verdad de las proposiciones simples que la componen y del conectivo que las relaciona, por lo tanto para obtener el valor de verdad de una formula proposicional compuesta se construye la tabla de verdad el cual es un esquema tabular donde se plantean todos los posibles valores de verdad de las variables proposicionales que la componen, y de los conectivos lógicos que las relaciona hasta determinar el valor de verdad de la formula proposicional estudiada. También se le llama tablas veritivas de Quine.Al elaborar la tabla se deben tomar en cuenta los siguientes aspectos:

a) La tabla debe tener tantas columnas como variables proposicionales y conectivos lógicos tenga la formula proposicional.b) El número de filas de la tabla se obtiene calculando la expresión 2n donde n es el número de variables de la formula proposicional. c) Los valores de verdad se denotan con V si es verdadero y F si es falso, algunos textos utilizan 1 y 0 respectivamente.d) Por convenio adoptado a los fines de este curso, se le asignaran valores de verdad a las variables, respetando el orden alfabético y no el orden de

aparición en la fórmula proposicional.e) Se plantean todas las posibles combinaciones de valores de verdad, por ejemplo, si la tabla consta de 2 variables (2 2 = 4 filas) en la columna de la

primera variable debe aparecer dos verdades y dos falsedades y en la columna de la segunda variable verdad y falso alternadamente. Como ejemplo visua-licemos las tablas de verdad de los conectivos lógicos.

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DEFINICIÓN Y TABLAS DE VERDAD DE LOS CONECTIVOS LÓGICOS NEGACIÓN: Se denota: ~, se lee “no”. Operador unitario que tiene la propiedad de cambiar la cualidad del juicio, es decir, afectar el valor de ver -

dad de una proposición de tal manera que será falsa si la proposición original es verdadera y viceversa. Al aplicar el conectivo a una proposición simple o atómica la transforma en compuesta o molecular. Ejemplop: 15 es divisible por 6 Simbólicamente ~p: no es cierto 15 es divisible por 6;

~p: es falso que 15 es divisible por 6 q: a > b; Simbólicamente ~q: a ≤ b Nota: Convencionalmente, al traducir del lenguaje natural al lenguaje de lógica simbólica, las proposiciones negadas se extraen en su forma afirmativa; y luego cuando se proceda a simbolizar, recurrimos al operador negación para expresar la proposición original. Asimismo suele usarse la palabra “nunca” con fun-ción negativa, que tiene en el lenguaje ordinario un matiz que la lógica no toma en cuenta, el sentido de negación prolongada, como por ejemplo, la pro -posición ‘Nunca te perdonaré’

DISYUNCIÓN INCLUSIVA: relaciona dos enunciados o proposiciones mediante el conectivo “o “ Propiedad: La proposición que se forma es falsa si las proposiciones que la forman son falsas, siendo en los demás

casos verdaderos. Se simboliza “ Ú “. Ejemplo: Aprendemos Matemáticas o cambiamos de carrera.

w: aprendemos Matemáticas; r: cambiamos de carrera Simbólicamente: w Ú r

CONJUNCIÓN: Enlaza dos proposiciones mediante el conectivo “y “. Se simboliza con “ Ù “. Propiedad: Este conectivo se define como verdadero cuando las dos proposiciones de la conjunción son verdaderas, en los demás casos es falso.

En el lenguaje ordinario se utilizan otras palabras para indicar conjunción, como son las palabras: además, también, pero. Ejemplo: Comprendo tus puntos de vista, pero no los comparto

t: comprendo tus puntos de vista s: los comparto Simbólicamente: t Ù ~s

En el lenguaje natural en castellano, reconocemos las conjunciones cuando vemos en un párrafo nexos como: “y”, “sin embargo”, “no obstante”, “pero”, “aunque”, “,” (coma), “.”, y combinaciones de ellos.

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p ~pV FF V

p q p Ú qV V VV F VF V VF F F

p q p Ù qV V VV F FF V FF F F


No siempre en nuestro idioma la conjunción se encuentra ubicada entre las dos proposiciones como por ejemplo: Juan y Rosa bailan merengue, José y Rafael no fueron a la fiesta, pero representan una conjunción. A veces la “y” no tiene una función conjuntiva, la proposición “Carlos y Daniel son herma-nos” no es la conjunción de dos proposiciones, sino que es una proposición simple que establece una relación, la de ser hermano de…, la función de la “y”’ en este caso no es conjuntiva sino relacional.

CONDICIONAL: relaciona dos proposiciones con el conectivo “si... entonces…” de la forma “si p entonces q ” donde p recibe el nombre de antece-dente ó hipótesis y q se llama consecuente ó tesis.

Propiedad: Este conectivo se define falso solamente en el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente sea falso. Se simboliza: p ® q.

Es importante señalar que, en algunas oportunidades la palabra “si” puede ser sustituida por la palabra “cuando” y la palabra “entonces” puede ser sustituida por una coma; Ejemplo: “Cuando llueve en Maracay, se interrumpe la electricidad”.

p: llueve en Maracayq: se interrumpe la electricidad Simbólicamente: p ® q

En el lenguaje natural (castellano), la simbolización p ® q, donde p y q son proposiciones, se identifica en las siguientes frases

Cuidado, todas las frases anteriores se simbolizan p ® q

BICONDICIONAL: enlaza dos proposiciones con el conectivo “...si y solo si...” de la forma p si y solo si q. Tam-bién se usan las expresiones “solamente si”, “únicamente si”, “siempre y cuando”. Es frecuente encontrar la apócope “ssi” en algunos textos.

Propiedad: Un bicondicional es verdadero en el caso que las dos proposiciones que la componen tengan el mismo valor de verdad, en los demás casos es falso. Se simboliza: p « q

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Forma 1:“sí p entonces q”“si p, q”“p implica q”

Forma 2:“q sí p”“q siempre que p”“q cuando p” “q se deduce de p”

Forma 3:“p sólo si q” “p solamente si q”“p es condición suficiente para q”“una condición suficiente para q es p”“q es condición necesaria para p”“una condición necesaria para p es q

p q p ® qV V VV F FF V VF F V


Ejemplo: El para x = si y solo si sen x = 1 para x =

r : para x = ; w : sen x = 1 para x = Simbólicamente: r « wEjercicio: Simbolice la siguiente expresión “Se puede estudiar en la universidad si y solo si se es bachiller”

En las siguientes expresiones selecciona con una ( X) la repuesta correcta.

Si las proposiciones son verdad, la conjunción es falsa( ) proposición simple ( ) proposición con valor de verdad V( ) proposición con valor de verdad F ( ) no es una proposición

Si q es verdadera, entonces (pÙq) ® q es verdadera. ( ) Proposición con valor de verdad V ( ) proposición simple( ) proposición con valor de verdad F ( ) no es una proposición

Si una de las proposiciones es verdad su conjunción es verdad( ) proposición con valor de verdad V ( ) proposición con valor de verdad F( ) no es una proposición ( ) proposición simple

En la formula proposicional ~[(pÙ r) ® (r Ù t)] Ú q el conectivo dominante es:( ) negación ( ) disyunción( ) conjunción ( ) condicional

Una de las afirmaciones es falsa( ) el lenguaje lógico es bivalente ( ) el condicional entre una misma variable siempre es verdad( ) ~p es proposición compuesta ( ) el conector ... si y solo si .....es falso si relaciona variables falsas

Al construir una tabla de verdad de un polinomio lógico es cierto que el número de filas depende de el número de :( ) variables ( ) conectivos( ) variables y conectivos ( ) columnas

TABLAS DE VERDAD DE UNA FORMULA PROPOSICIONALPara obtener el valor de verdad de estas formas proposicionales a través de las tablas de verdad existen dos técnicas: la acumulativa y la técnica por pa-sos; la primera técnica es adecuada para formas proposicionales sencillas, la otra es ventajosa para formas proposicionales más complejas y son las que comúnmente usare-mos. Ejemplo: Obtenga la tabla de verdad de Q = ~ [ p ® ( q ® r ) Ú ( p « r )

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p q p « qV V VV F FF V FF F V

~ [ p ® ( q ® r ) Ú ( p « r )V V V V VV V F V FV F V V VV F F V FF V V F VF V F F FF F V F VF F F F F


EJERCICIOS: Simbolice el siguiente texto usando variables lógicas. “O el ladrón atravesó la puerta, o el delito fue cometido desde adentro y uno de los sirvientes debe estar implicado en él. El ladrón sólo pudo atravesar la puerta si el cerrojo fue levantado desde adentro; pero uno de los sirvientes seguramente se halla implicado en el delito, si el cerrojo fue alzado desde el interior. Luego, uno de los sirvientes se halla implicado en el delito”.Simbolice el siguiente texto usando variables lógicas, asigne un valor de verdad a las variables y obtenga el valor de verdad de toda la expresión

“No es cierto que

12+1≤3

2 . Por lo tanto, Freddy Bernal es el gobernador de Caracas.”

“La suma de los ángulos de un triángulo es igual a

π2 o no es cierto que toda ecuación de segundo grado admite dos raíces, sí y solo sí el ministro de

finanzas es Jorge Antonio Giordani Cordero y Rafael Eduardo Isea Romero es gobernador de Aragua”

"Si es igual a la unidad, entonces la unidad es el neutro para la suma y =1. Por lo tanto, el área del circulo es ” El cielo está despejado, pero el sol no calienta mucho. Algunas personas nacen grandes, otras consiguen la grandeza, y a otras les ha sido impuesta.

Aparea cada una de las palabras de la izquierda con ejemplos o definiciones de la columna derechaa) disyunción ( ) p ®qb) negación ( ) ~(pÙq)c) proposición condicional ( ) pÚqd) proposición molecular ( ) q en la proposición p ®qe) antecedente ( )~pf) consecuente ( ) p en la proposición p ®qg) conjunción ( ) pÙqh) proposición atómica ( ) ~pÚ~q

( ) cualquier proposición con uno o más términos de enlace11


( ) cualquier proposición sin conectivo

TIPOS DE PROPOSICIONES MOLECULARES: Al construir la tabla de verdad completa, se puede llegar a tres posibles resultados, que determinan si el razonamiento simbolizado es válido o no. TAUTOLOGIA: Es una proposición lógica que es verdad para cualquier valor de verdad de sus componentes, por lo tanto en su tabla la última colum -

na de verdad tendrá solamente “uves” mayúsculas, V. CONTRADICCIÓN: Es la negación de una tautología; por tanto, una proposición que es falsa para cualquier valor de verdad de sus componentes es

una proposición contradictoria o absurdo, por lo tanto en su tabla la última columna de verdad tendrá solamente “efes” mayúsculas, F.CONTINGENCIA: Es una proposición lógica que en su tabla la última columna de verdad tendrá algún valor de verdad “V“ y algún valor “ F “.

Hasta el momento hemos conseguido identificar dos objetos lógicos: las proposiciones y las operaciones lógicas. Veamos dos más; la equivalen-cia lógica y la implicación lógica, con ello se introducen la relación de igualdad y la relación de orden en la lógica matemática, instrumentos que permiten el razonamiento deductivo.

EQUIVALENCIA LÓGICA: Sean las proposiciones P y Q, (indicando con ésta notación que pueden ser proposiciones compuestas) se dice que estas proposiciones son lógicamente equivalentes, si sus tablas de verdad coinciden. Se denota con el signo Û , lo cual se escribe P Û Q ó también el signo º , se escribe P º Q y se lee que “ P es lógicamente equivalente a Q “. De lo anterior podemos afirmar que dos tautológicas o dos contradicciones son siempre lógicamente equivalentes.

Se debe evitar confusiones en el uso de los símbolos Û y « ya que representan conceptos absolutamente distintos y no es lícito su uso indis-criminado; si P y Q son dos proposiciones, P « Q también lo es y, como tal, su tabla de verdad tendrá “uves” o “efes”, en función de los valores de verdad de sus componentes; mientras que P Û Q no es una proposición, sino una relación entre proposiciones.

EjemploDadas las proposiciones P = [p® ( q Ú r ) ; Q = [(p ® q) Ú ( p ® r). Pruebe usando Tablas de Verdad (TV) si P es lógicamente equivalente a QInstrucciones: completa las columnas de verdad de la tabla y verifica si estas son iguales

CONCLUSIÓN:

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[p

® ( q Ú r ) [(p ® q) Ú (p ® r)]


IMPLICACIÓN LÓGICA: Se dice que una proposición P implica lógicamente otra Q, si y solamente si, el condicional es una tautología (P ® Q es una tautología), se denota P Þ Q. No han de confundirse los signos Þ y ® que responden a conceptos diferentes. Si P y Q son dos proposiciones, afir-mar que P Þ Q, exige que P ® Q, sea siempre verdadera.

Recordemos entonces que P Û Q si, y solamente si P « Q es tautología; y que P Þ Q si, y solamente si, P ® Q es tautología.

EjemploDadas las proposiciones T = [(p ®q)Ù( q ® r), S = (p ® r); Pruebe usando Tablas de Verdad (TV) si T implica lógicamente S. (T Þ S)

Instrucciones: completa las columnas de verdad de la tabla y verifica si la columna sombreada es una tautología

CONCLUSIÓN:

EJERCICIOS En la siguiente expresión selecciona con una ( X) la repuesta correcta.Dos proposiciones son lógicamente equivalentes cuando el bicondicional entre ellas es una tautología( ) proposición con valor de verdad V ( ) proposición con valor de verdad F( ) no es una proposición ( ) proposición simple Si son equivalentes no se implican lógicamente( ) proposición con valor de verdad V ( ) proposición con valor de verdad F( ) no es una proposición ( ) proposición simple En la formula proposicional [( pÙ r ) « (p Ú s)] ® p donde p es verdad, el valor de verdad de la expresión es:( ) Falso ( ) verdad

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[(p

® q)

Ù (q ® r)] ® (p ® r)


( ) no se puede definir ( ) depende del valor de r Una de las afirmaciones propuestas es falsa:( ) p Ù ~p º F ( ) p ® ~ q º q ® ~ p( ) V ® p º p ( ) ~ (p Ù ~p) º F Si (p Ú q) es falso, entonces (p ® t) Ù (q ® t) es:( ) depende de t ( ) valor de verdad falso ( ) valor de verdad verdadero ( ) no se puede determinar Si dos formulas proposicionales son logicamente equivalentes no se cumple que:

( ) tienen igual tabla de verdad ( ) su condicional es contradicción( ) se implican lógicamente ( ) su bicondicional nos da tautología Si en dos formulas proposicionales observamos que sus tablas de verdad del conectivo dominante son iguales podemos afirmar que es:

( ) una tautología ( ) equivalente lógicamente( ) implicación lógica ( ) condicional recíproco Cuando relacionamos dos formulas proposicionales a través del condicional y nos resulta una tautología podemos afirmar que hay:

( ) relación de igualdad ( ) equivalente lógicamente( ) implicación lógica ( ) condicional directo La conjunción de un valor de verdad falso y una formula proposicional equivale a:

( ) formula proposicional ( ) valor de verdad falso ( ) valor de verdad verdadero ( ) complemento Sean p, q, r y s las siguientes proposiciones: p: Termino de escribir mi programa de computación antes de comer, q: Juego al tenis por la tarde, r: Hace

sol, s: Hay poca humedad. La expresión [(p ∧ r) ∧ s] ® q equivale a decir( ) Si termino de escribir mi programa de computación antes de comer y hace sol entonces si hay poca humedad jugaré al tenis por la tarde.( ) Jugaré al tenis por la tarde siempre que termine de escribir mi programa de computación antes de comer, haga sol y haya poca humedad( ) Es necesario que termine de escribir mi programa de computación antes de comer y haga sol y haya poca humedad para que juegue al tenis por la tarde.( ) Ninguna de las anteriores Indique cuantas filas se necesitan para la tabla de verdad de la proposición (p ∨ ∼q) ↔ [(∼r ∧ s ) ® t]

( ) 16 ( ) 32 ( ) 64 ( ) Ninguna de las anteriores

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Obtenga la tabla de verdad y clasifique (p®q)«∼(∼p∨q) Sol: Contradicción [p∧∼(q∨r)]®[(p∧∼q)∨(p∧∼r)] Sol: Tautología [∼p®(∼q∨∼r)] « [∼(p®q)∨∼(p®r)] Sol: Contingencia ∼[∼p∨(q∧r)]∧[(p∧q)∨(∼q∧r)] Sol: [(p∧q)∨r]«[(p∨r)∧(q∨r)] Sol: ∼{[(p∨q)®q]∧[(p®r)®(q®r)]} Sol:

Pruebe usando Tablas de Verdad si las equivalencias propuestas se cumplen: [(p∧q)®r] º [p®(q®r)] Sol: ≣ [(p®r)∨(∼p∨q)] º [p®∼(∼q∧∼r)]

Pruebe mediante las Tablas de Verdad sí S Þ R R: [ (~p « q) Ù (~p Ú r)] ; S:[( ~ p® q) Ù~r] Ù r R: [ (~ q Ú p ) Ú (~ p ® q )]; S: ( p « ~ q) Sol: ⇏ R: [(p ® q)Ù( q Ù r)Ù (q ® ~ s); S: ( ~ s) Sol: Þ R: [(p«q)∧(q«r)]; S: (p«r) Sol: R: q « (s Ù p); S: [(~ q®p) Ú s] Sol: R: p ® q; S: [(pÚ r) ®(qÚ r)] Sol: [(p«q)«q]º p Sol: ≣ [(∼p®q)®(q∨p)] º ∼q∨p Sol:≢

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OTROS EJERCICIOSIndique si las siguientes expresiones son proposiciones, en caso de serlo diga si son simples o compuestas. Para aquellas que sean compuestas simbolíce-las usando la lógica simbólica:

a. Congreso nacional sobre Enseñanza matemática. b. Los nuevos programas de reconocimiento de voz tienen a todos hablando. c. Si x > 3 entonces x > 5 d. No hables con la boca llena. e. Es necesario que Chuo tenga 18 años para que pueda votar en las elecciones de Diciembref. 125 es divisible por 5 g. En Mérida se realizó el IV Congreso Nacional sobre Multimedia y Videoconferencias. h. ¡Caramba! Por fin, existen computadoras de bolsillo. i. ¿Es cierto que el romero es bueno para la caída del cabello? j. El número natural n es par o es impar. k. La impresora DocuPrint de Xerox reduce los costos de impresión. l. Si Juan estuvo ayer en el partido, necesitará dormir. m. Usted puede obtener éste programa y sus archivos correspondientes si visita Internet. n. El carro involucrado en el accidente era verde o azul. o. ¡Disculpe!, ¿Qué hora es? p. Amanece en Singapur. q. Sara y María son hermanas de Pedro.

2. Si p significa: “Juan dice la verdad” y q: “Jaime miente”, exprese simbólicamente las siguientes proposiciones:

a. Juan o Jaime mienten. b. Juan o Jaime dicen la verdad. c. Si Juan dice la verdad, entonces Jaime miente. d. No es cierto que Juan o Jaime digan mentiras. e. Juan miente si solo si Jaime dice la verdad. f. No es cierto que, ni Juan miente ni Jaime dice la verdad. g. Juan dice la verdad solo si Jaime miente. h. Es necesario que Jaime no mienta para que Juan no diga la verdad. i. Siempre que Jaime diga la verdad, Juan mentirá. j. Es suficiente con que Juan diga la verdad para que Jaime no mienta.

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3. Sean las proposiciones simples: p: Los invitados hacen su llegada. q: El asado está crudo. r : Las papas ya están listas. Escriba en forma simbólica las proposiciones siguientes: a. Los invitados hacen su llegada y el asado está crudo. b. Las papas no están listas y el asado está crudo. c. Los invitados hacen su llegada, y una de dos, las papas están listas o el asado está crudo. d. El asado está listo, o ambas, los invitados hacen su llegada y las papas no están listas.

4. Si p significa: “El régimen de permanencia es aplicado” y q “Hay disturbios en la UC”, expresa en lenguaje natural cada una de las siguientes proposicio-nes: a. p ∧ q b. p → q c. ~(p ∧ ~q) d. ~ (~p ∨ ¬q) e. ~ (~p) f. ~ (~q → p)

5. Proporcione una frase para cada proposición simple y exprese en lenguaje natural, el significado de cada expresión: a. p ↔ (q ∧ r) b. q ~(~p ∨ r) c. (r ↔ p) ®~q d. (p ∧ q) ∨ ~ (p∨q)

6. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones sin usar tablas de verdad:

a. Sí 7<16 entonces 40>34. b. Sí 5=10 entonces 10=7+3. c. No es cierto que sí 8+10=6 entonces 8=4+4. d. 9<25 sí 64>16.

7. Para cada una de las siguientes proposiciones, verifique si la información dada es suficiente para determinar el valor de verdad de la proposición.

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a. (p → q) → r r ≡ v b. ~ [p ∨ (q ® t)] ∧ [~ t ® (p ∨ q)] t ≡ v y p ≡ v c. (p ∨ q) ↔ (p ∧q) p ≡ v d. (p ∨ q) → (p ∧ s) p ≡ v, s ≡ f e. p ∧ (r ↔ p) p ≡ v

8. Suponiendo que p y q son verdaderas y r y s son falsas, hallar los valores de verdad de las siguientes expresiones: a. p∨ (q ∧ r) b. [p ∨ (q ∧ r)] ∨ ~ [(p ∨ q) ∧ (r ∨ s)] c. [~ (p ∧ q) ∨ ®r] ∨ ([(~p ∧ q) ∨ ~r] ∧ s)

9. Simbolice los siguientes enunciados:

a. Ni come ni deja comer. b. Sólo tendrás éxito si prestas atención. c. Aunque lo he intentado, no he llegado a tiempo. d. María y Julia prometen mucho pero ni María ni Julia cumplirán. e. Alicia miró en derredor y vio muchas flores y hojas de hierba, pero nada que tuviera el aspecto de ser lo que debía comer o beber en esas circunstan-cias. f. Entrena todos los días pero no le vale de nada. g. O bien si no entiendes es muy difícil o bien es porque no estudiaste. h. Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre. i. La lógica trata de cómo piensa la gente, o de cómo se debería pensar, o de ninguna de ambas cosas. j. No se da el caso de que, si Edgar presenta una queja, entonces Jesús investigará y Sonia no será descalificada. k. Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy loco y dejaría que me internaran en un psiquiátrico. l. Si la liebre está alerta y es rápida, ni el zorro ni el lince podrán atraparla. m. O bien, que José haya preguntado por María es condición necesaria para que Carmen esté enojada, o bien que Carmen esté enojada no es condición suficiente para que José haya preguntado por María.

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ALGEBRA DE PROPOSICIONES

Las proposiciones, la negación, la conjunción y la disyunción nos permiten hablar de un algebra de proposiciones en las que se cumplen un conjunto de leyes que permiten simplificar una proposición compuesta o expresión lógica reduciéndola a una forma más simple mediante el uso de los axiomas y/o leyes lógicas sin modificar su valor de verdad.La simplificación consiste en ir desarrollando la expresión paso a paso mediante la sustitución de una expresión lógica equivalente hasta llegar a una expresión lógica irreducible.Usando simplificación se puede determinar si una expresión lógica es una tautología, una contradicción o una contingencia.Será Tautología cuando el resultado final de la simplificación es V , Contradicción cuando el resultado final de la simplificación es F y Contingencia cuando el resultado final de la simplificación es otra expresión lógica mas pequeña.

También se aplica el álgebra de proposiciones para demostrar una equivalencia lógica, para ello se simplifican las formas proposicionales dadas a su mínima expresión y se comparan sus resultados. Los pasos a seguir pueden ser: a) Se desarrolla un lado de la equivalencia paso a paso mediante la sustitución hasta llegar a la expresión lógica del otro lado. b) Se desarrollan ambos lados de la equivalencia lógica por separado utilizando las leyes lógicas hasta llegar en ambos lados a la misma expresión irreducible. c) Se aplica la definición de equivalencia lógica y se demuestra que el bicondicional asociado es una tautología simplificando la expresión completa (ahora con el bicondicional) hasta llegar al valor de verdad verdadero

Igualmente se aplica para demostrar implicación lógica, se relacionando las formulas proposicionales a través del condicional y luego se simplifican hasta obtener un valor de verdad verdadero.

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LEYES DEL ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES Expresión simbólica

LEY IDEMPOTENTE

Para la conjunción p Ù p º pPara la disyunción p Ú p º p

LEY ASOCIATIVA

Para la conjunción ( p Ù q ) Ù r º p Ù ( q Ù r )Para la disyunción ( p Ú q ) Ú r º p Ú ( q Ú r )

LEY CONMUTATIVA Para la conjunción p Ù q º q Ù p

Para la disyunción p Ú q º q Ú pLEY

DISTRIBUTIVADe la conjunción respecto de la disyunción p Ù ( q Ú r ) º ( p Ù q ) Ú ( p Ù r )De la disyunción respecto de la conjunción p Ú ( q Ù r ) º ( p Ú q ) Ù ( p Ú r )

LEY DE COMPLEMENTACIÓN

Para la conjunción p Ù ~p º F

Para la disyunción p Ú ~ p º VLEY DE

IDENTIDADPara la conjunción p Ù V º p ; p Ù F º F ;Para la disyunción p Ú V º V; p Ú F º p

LEY DE INVOLUCIÓN ~ ( ~ p) º pLEY DE

De MORGANPara la conjunción ~ ( p Ùq) º ~ p Ú ~ q

Para la disyunción ~ ( pÚq) º ~ p Ù ~ qLEY DE

ABSORCIÓNPara la conjunción p Ù ( p Ú q ) º pPara la disyunción p Ú ( p Ù q ) º p

LEY DEL CONDICIONAL p ® q º ~ p Ú qLEY DEL BICONDICIONAL p «q º ( p ® q ) Ù ( q ® p )


Ejemplo: aplicando leyes del algebra proposicional (LAP) simplifique el siguiente polinomio lógico Q: ~ p ® {[( ~ p Ú q) Ù ~ (p Ù q) ® r}~ p ® {[( ~ p Ú q) Ù ~ (p Ù q) ® r} º º~ p ® {[( ~ p Ú q) Ù (~ p Ú~ q) ® r} L. D’ Morganº~ p ® {[ ~ p Ú (q Ù~ q) ® r} L. Distributivaº~ p ® {[( ~ p Ú F) ® r} L. Complementaciónº~ p ® (~ p ® r) L. Identidadº~~ p Ú (~~ p Ú r) L. Condicionalº p Ú (p Ú r) L. Involuciónº p Ú p) Ú r L. Asociativaº p Ú r) L. Idempotencia Conclusión: ~ p ® {[( ~ p Ú q) Ù ~ (p Ù q) ® r} º p Ú r) La formula proposicional es una contingencia

Ejemplo: aplicando leyes del algebra proposicional (LAP) muestre si la equivalencia se cumple en ~ (~ p « q) Ù ( q ® p) º p ® q ~{[(~ p ®q) Ù (q ® ~p)] Ù (q ® p) } º ~pÚq L. Bicondicional y Condicional ~{[(~~ p Úq) Ù (~q Ú ~p)] Ù (~q Ú p)} º ~pÚq L. Condicional~{[(pÚq) Ù (~q Ú~p)] Ù (~q Ú p)} º ~pÚq L. Involución~{(pÚq) Ù [(~q Ú~p) Ù (~q Ú p)]} º ~pÚq L. Asociativa~{(pÚq) Ù [~q Ú(~p Ù p)]} º ~pÚq L. Distributiva~[(pÚq) Ù (~q ÚF)] º ~pÚq L. Complemento~[(pÚq) Ù ~q] º ~pÚq L. Identidad~[(pÙ~q) Ú(qÙ~q)] º ~pÚq L. Distributiva~[(pÙ~q) ÚF] º ~pÚq L. Complemento~(pÙ~q) º ~pÚq L. Identidad(~pÚ~~q) º ~pÚq L. D’ Morgan~pÚq º ~pÚq L. InvoluciónConclusión: Se cumple la equivalencia ya que ambos polinomios son iguales

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EJERCICIOSAplicando leyes del algebra proposicional simplifique los siguientes polinomios lógicos1) { [~ (pÙq ) Ù (~p Ú q ) ® r }® ~ p Sol: ~p2)~ (~p « q) Ù ( q ® p) Sol: ~pÚ q3)~ p ® { [ ( ~ p Ú q ) Ù ~ ( p Ù q ) ® r } Sol: p Ú r4) ( p Ù q ) « ( ~p ® ~ q ) Sol: q 5)∼( p ® q ) Ú { p ® [ ( r Ú ~ q ) ® r ] }Sol: V

Pruebe si las equivalencias propuestas se cumplen aplicando leyes del algebra proposicional1) q « ( p « q) º q ® p Sol: p ≢~ q Ú p2) ~(~ r ®~p)«[ pÙ( ~ p ® r ) º p ® ~ r Sol: ~ p Ú ~ r º~ p Ú ~ r3) p ® q º ~ (~ p « q) Ù ( q ® p) Sol: ~ p Ú q º~ p Ú q4) [~ (p Ú q) Ú (~p Ù q)] ® (~p Ù q) º p v qIndique con una V o una F si las afirmaciones dadas son verdad o falsas respectivamente

( ) Cualquier proposición compuesta que contenga condicionales o bicondicionales puede ser escrita como una proposición compuesta equivalente solo con ∧, ∨ y ~. ( ) Es falso que la proposición p ↔ q es equivalente a (p ® q) ∨ (q ® p).( ) Es verdadero que una expresión imperativa es una proposición.

CONDICIONALES ASOCIADOS A UNO DADODada una proposición condicional cualquiera, la cual se llama condicional directo, es posible enunciar a partir del mismo, otros tres condiciona -

les, los cuales se denominan CONDICIONALES ASOCIADOS. Dado el condicional p ® q condicional directo q ® pcondicional recíproco~p ® ~q condicional contrario~q ® ~p condicional contra recíproco

El condicional directo es equivalente al condicional contra recíproco p ® q º ~q ® ~p

El condicional recíproco es equivalente al condicional contrario q ® p º ~p ® ~q

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Directo Recíproco Contrario Contra recíprocop q p ® q q ® p ~ p ® ~

q~ q ® ~ p

V V V V V VV F F V V FF V V F F VF F V V V V


EJERCICIOS

1. Si W ® ~T es el condicional recíproco donde T: ~ (p Ù ~ q) y W: ~ [(r Ú ~ s) « ~ p]. Determine los condicionales asociados y su valor de cada

uno de ellos si r : t Ù F; s: 3% de 20 = 0,6; p : los asambleístas son propuestos por los partidos; q: 2. Si ~ P ® Q es el condicional contra recíproco, determine los otros condicionales asociados donde

P: ~ (p Ù ~ q ) y Q : ~ [ ( r Ú ~ s ) « ~ p]. Determine el valor de cada uno de ellos si

r: p Ù ~ p s: 3% de 20 0,6; p: q ® q; q: 3. Si P ® Q es el condicional directo, donde P : [ ( s ® ~ r ) Ú ~ t ] y Q : [ ( t Ù ~ s ) « r ] determine los condicionales asociados y el valor de cada

uno de ellos si r : p Ù ~ p; s: m2 – n2 = (m + n )( m – n ); t : q ® q 4. Sea P: [( s ® ~ r ) Ú ~ t ]; y T: [( t Ù ~ s ) « r ] determine el condicional asociado contra recíproco a T ® P y su valor de verdad si s:

; ~ t : m2 - n2 = (m - n)2 ; r : p Ú q º ~ p Ù ~ q5. Dados: P: [ (q ® ~p) Ú r] y Q: [( p « ~r) Ù ~q] determine los condicionales asociados a ~Q ® P y su valor de verdad si p: log 0,01 = 2 ; ~q =

3√−8= 2; r = ~p ® q

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tagsen

cos

0

3

2

2

1

mn

aan m

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