LOGICA DIFUSA

Mg. Abraham Gamarra Moreno i

SERIE INTELIGENCIA ARTIFICIAL

LOGICA DIFUSA

MG. GAMARRA MORENO, ABRAHAM

LIMA - PERÚ

- Noviembre de 2006 -

Mg. Abraham Gamarra Moreno ii

CONTENIDO

LOGICA DIFUSA .......................................................................................................... 1 1. TEORIA DE LA CERTEZA ................................................................................ 1

1.1. FACTOR DE CERTEZA............................................................................... 2 1.2. FACTORES DE CERTEZA EN SISTEMAS BASADOS EN REGLAS.......... 2

2. LOGICA DIFUSA................................................................................................ 5 2.1. HISTORIA DE LA LOGICA DIFUSA .......................................................... 5 2.2. ¿Que es la Logica Difusa? ........................................................................... 7 2.3. VARIABLES LINGÜÍSTICAS....................................................................... 9 2.4. TEORÍA DE CONJUNTOS DIFUSOS....................................................... 10 2.5. APROXIMACION DE LAS FUNCIONES DE PERTENENCIA EN LOS CONJUNTOS DIFUSOS ........................................................................................ 15 2.6. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS DIFUSOS ................................... 18

3. DESARROLLO DE UN SISTEMA DIFUSO BASADO EN REGLAS ............ 20 3.1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA ............................................................... 20 3.2. DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES LINGÜÍSTICAS ............................... 20 3.3. DEFINICIÓN DE LOS CONJUNTOS DIFUSOS...................................... 21 3.4. DEFINICIÓN DE LA REGLAS DIFUSAS ................................................. 23 3.5. CONSTRUIR EL SISTEMA ........................................................................ 25 3.6. PROBAR EL SISTEMA............................................................................... 25 3.7. DEFUZZIFICACION DE LA VARIABLE DE SALIDA ............................. 28

Mg. Abraham Gamarra Moreno 1

LOGICA DIFUSA

1. TEORIA DE LA CERTEZA Una alternativa a la teoría de la probabilidad para el

razonamiento inexacto en los sistemas expertos es la teo-

ría de la certeza.

Los expertos a menudo toman juicios cuando resuelven un

problema. La información que se tiene puede ser incomple-

ta y el conocimiento utilizado para interpretar la infor-

mación puede crear desconfianza en el resultado final.

Una pregunta para un problema medico puede ser la si-

guiente : ¿Tiene una fuerte jaqueca?. La respuesta es in-

cierta, porque es subjetiva y requiere que el usuario

elabore un juicio al contestar la pregunta; por supuesto

el usuario se siente mejor al contestar con verdadero o

falso. Por otro lado, el usuario podría contestar asig-

nando un número subjetivo a su respuesta entre 0 y 1, tal

como 0.7, que significa 70% de certeza en su respuesta.

El número no tiene base estadística ni probabilística,

más bien es el nivel de creencia de la respuesta dada.


1.1. FACTOR DE CERTEZA

“Medida de la creencia que tiene un experto humano

en la ocurrencia de un hecho”.

“Número que refleja el nivel de creencia de una hi-

pótesis”.

La ilustración 1 muestra como se interpreta la teo-

ría de la certeza.

Ilustración 1 Factor de Certeza

1.2. FACTORES DE CERTEZA EN SISTEMAS BASADOS EN REGLAS

Los sistemas basados en reglas utilizan la siguien-

te representación:

SI (CONDICION ) ENTONCES (CONCLUSION)

Añadiremos ahora el factor de certeza (FC) a los

elementos de la regla de la siguiente forma:

Rx : SI p Y q ENTONCES r

FCx FCp FCq FCr

Factor de certeza

Falso Verdadero


Para obtener la certeza de la conclusión en una re-

gla de condición simple, se tiene que dado:

Rx : SI p ENTONCES r

FCx FCp FCr

El Factor de certeza de la conclusión es:

FCr = FCp * FCx

La certeza de una conclusión en reglas de condición

múltiple, se obtiene considerando si existe conjun-

ción o disyunción.

Para reglas donde exista conjunción, se tiene que

dado:

Rx : SI p Y q Y r ..Y.. z ENTONCES c

FCx FCp FCq FCr FCz FCc


FCc = min (FCp, FCq, FCr, ... , FCz)* FCx

La función min retorna el mínimo valor del conjunto

de números.

Para reglas donde exista disyunción, se tiene que

dado:

Rx : SI p O q O r ..O.. z ENTONCES c

FCx FCp FCq FCr FCz FCc


FCc = max (FCp, FCq, FCr, ... , FCz)* FCx


La función max retorna el máximo valor del conjunto

de números.

Ejemplo: Encontrar el factor de certeza de x

(FCx=?). Si se tienen las siguientes reglas:

R1 : SI a Y b ENTONCES c

0.9 0.8 0.85 FCc

R2 : SI c O d ENTONCES e

1.0 0.90 FCe

R3 : SI e Y f ENTONCES x

0.8 0.8 FCx

Solución:

Hallando FCc

FCc = min(0.8, 0.85)*0.9 = 0.8*0.9 = 0.72

Hallando FCe

FCe = max(FCc, 0.9)*1.0 = max(0.72, 0.9)*1.0

FCe = 0.9 * 1.0 = 0.9

Hallando FCx

FCx = min(FCe, 0.8)*0.8 = min(0.9, 0.8)*0.8

FCx = 0.8 * 0.8 = 0.64 (Respuesta)

Si las conclusiones son similares dado dos o más

reglas como se muestra a continuación:


Dados

R1 : SI a Y b ENTONCES x

FCR1 FCa FCb FCx_R1

R2 : SI c O d ENTONCES x

FCR2 FCc FCd FCx_R2

El factor de certeza se calcula utilizando la si-

guiente expresión:

FCx_R1_R2 = FCx_R1 + FCx_R2 – FCx_R1 * FCx_R2

El cálculo de FCx_R1 y FCx_R2 utiliza los procedi-

mientos ya mencionados anteriormente.

2. LOGICA DIFUSA

2.1. HISTORIA DE LA LOGICA DIFUSA

Los conjuntos difusos fueron introducidos por pri-

mera vez en 1965; la creciente disciplina de la ló-

gica difusa provee por sí misma un medio para aco-

plar estas tareas. En cierto nivel, la lógica difu-

sa puede ser vista como un lenguaje que permite

trasladar sentencias sofisticadas en lenguaje natu-

ral a un lenguaje matemático formal. Mientras la

motivación original fue ayudar a manejar aspectos

imprecisos del mundo real, la práctica temprana de

la lógica difusa permitió el desarrollo de aplica-

ciones prácticas. Aparecieron numerosas publicacio-

nes que presentaban los fundamentos básicos con

aplicaciones potenciales. Esta frase marcó una

fuerte necesidad de distinguir la lógica difusa de


la teoría de probabilidad. Tal como la entendemos

ahora, la teoría de conjuntos difusos y la teoría

de probabilidad tienen diferentes tipos de incerti-

dumbre.

En 1994, la teoría de la lógica difusa se encontra-

ba en la cumbre, pero esta idea no es nueva, para

muchos, estuvo bajo el nombre de lógica difusa du-

rante 25 años, pero sus orígenes se remontan hasta

2,500 años. Aún Aristóteles consideraba que existí-

an ciertos grados de veracidad y falsedad. Platón

había considerado ya grados de pertenencia.

En el siglo XVIII el filósofo y obispo anglicano

Irlandés, George Berkeley y David Hume describieron

que el núcleo de un concepto atrae conceptos simi-

lares. Hume en particular, creía en la lógica del

sentido común, el razonamiento basado en el conoci-

miento que la gente adquiere en forma ordinaria me-

diante vivencias en el mundo. En Alemania, Immanuel

Kant, consideraba que solo los matemáticos podían

proveer definiciones claras, y muchos principios

contradictorios no tenían solución. Por ejemplo la

materia podía ser dividida infinitamente y al mismo

tiempo no podía ser dividida infinitamente. Parti-

cularmente la escuela americana de la filosofía

llamada pragmatismo fundada a principios de siglo

por Charles Sanders Peirce, cuyas ideas se funda-

mentaron en estos conceptos, fue el primero en con-

siderar ''vaguedades'', más que falso o verdadero,

como forma de acercamiento al mundo y a la forma en

que la gente funciona.


La idea de que la lógica produce contradicciones

fue popularizada por el filósofo y matemático bri-

tánico Bertrand Russell, a principios del siglo XX.

Estudio las vaguedades del lenguaje, concluyendo

con precisión que la vaguedad es un grado. El filo-

sofo austríaco Ludwing Wittgenstein estudió las

formas en las que una palabra puede ser empleada

para muchas cosas que tienen algo en común. La pri-

mera lógica de vaguedades fue desarrollada en 1920

por el filósofo Jan Lukasiewicz, visualizó los con-

juntos con un posible grado de pertenencia con va-

lores de 0 y 1, después los extendió a un número

infinito de valores entre 0 y 1. En los años sesen-

tas, Lofti Zadeh inventó la lógica difusa, que com-

bina los conceptos de la lógica y de los conjuntos

de Lukasiewicz mediante la definición de grados de

pertenencia.

2.2. ¿QUE ES LA LOGICA DIFUSA?

Es una rama de la lógica que usa grados de membre-

sía (pertenencia) a los conjuntos en lugar de per-

tenecer a ellos como verdadero o falso

El término “difuso” procede de la palabra inglesa

“fuzz” que sirve para denominar la pelusa que recu-

bre el cuerpo de lo polluelos al poco de salir del

huevo. Este término inglés significa “confuso, bo-

rroso, indefinido o desenfocado”. Este término se

traduce por “flou” en frances y “aimai” en japones.

Aunque la teoría de conjuntos difusos presente

cierta complejidad, el concepto básico es fácilmen-

te comprensible.


Tomemos como ejemplo el concepto de “mediana edad”.

Al escuchar el termino “mediana edad”, nuestra men-

te asocia automáticamente la imagen de ciertas per-

sonas o tipos de personas. Pero este es un concepto

con límites imprecisos que no puede ser tratado por

el programa de un ordenador, que ordinariamente

exige que las cosan sean definidas. Es aquí donde

entra la Lógica Difusa. Supongamos que hemos llega-

do a la conclusión de que la edad mediana son los

45 años. Sin embargo no podemos descartar a las

personas de 35 o 55 anos como edad mediana. Por el

contrario, los menores de 30 años y los mayores de

60 tampoco se pueden considerar radicalmente como

no de mediana edad. De tal forma creamos tres cír-

culos. El primero, el de los jóvenes va de los 0

hasta los treinta y cinco anos, el segundo el de la

“mediana edad” va de los treinta hasta los cincuen-

ta y cinco anos, y por ultimo el de la tercera edad

que va de los cincuenta en adelante. Podemos obser-

var que desde el punto de vista de los “conjuntos

difusos” el periodo de edad de los treinta a los

treinta y cinco puede considerarse tanto dentro de

el circulo “joven” como el de “mediana edad”. Otro

tanto ocurre entre los cincuenta y los cincuenta y

cinco años que pueden concebirse dentro de la “me-

diana edad” y de la “tercera edad”.

Estas transiciones de valoración facilitan la ex-

presión matemática de las expresiones difusas o in-

definidas, y con ello dan la posibilidad de hacer

programas para ordenadores que interpreten las ex-

presiones humanas que normalmente son imprecisas

para la matemática tradicional.


2.3. VARIABLES LINGÜÍSTICAS

Los Conjuntos Difusos son capaces de captar por sí

mismos la vaguedad lingüística de palabras y frases

comúnmente aceptadas, como "gato pardo" o "ligero

cambio". La habilidad humana de comunicarse median-

te definiciones vagas o inciertas es un atributo

importante de la inteligencia.

Una Variable Lingüística es aquella variable cuyos

valores son palabras o sentencias son vagas o im-

precisas. Para estas variables lingüísticas se uti-

lizará un nombre y un valor lingüístico sobre un

Universo de Discurso.

Los Conjuntos Difusos pueden utilizarse para repre-

sentar expresiones tales como:

x es PEQUEÑO. (X es una variable lingüística)

La velocidad es RÁPIDA. (velocidad es una variable

lingüística)

El ganso es CLARO. (ganso es una variable lingüís-

tica)

Las expresiones anteriores pueden dar lugar a ex-

presiones lingüísticas más complejas como:

x no es PEQUEÑO.

La velocidad es RÁPIDA pero no muy RÁPIDA.

El ganso es CLARO y muy ALEGRE.

También se puede utilizar los distintos modificado-

res lingüísticos como muy, poco, rápido, lento,

etc.


2.4. TEORÍA DE CONJUNTOS DIFUSOS

Una buena estrategia para presentar la teoría de

Conjuntos Difusos, consiste en recordar algunos as-

pectos de la teoría de conjuntos convencionales

(que llamaremos conjuntos concretos), y a partir de

allí hacer una extensión a los conjuntos difusos:

Un conjunto concreto se define como una colección

de elementos que existen dentro de un Universo.

Así, si el universo consta de los números enteros

no negativos menores que 10:

U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

entonces podemos definir algunos conjuntos como,

por ejemplo:

A={0,2,4,6,8}

B={1,3,5,7,9}

C={1,4,7}, etc.

Con estas definiciones hemos establecido que cada uno

de los elementos del Universo pertenecen o no a un de-

terminado conjunto. Por lo tanto, cada conjunto puede

definirse completamente por una función de pertenen-

cia, que opera sobre los elementos del Universo, y que

le asigna un valor de 1 si el elemento pertenece al

conjunto, y de 0 si no pertenece.

Tomando como ejemplo el conjunto C enumerado arriba, su

función de pertenencia uC(x) sería de la siguiente for-

ma:

uC(0)=0, uC(1)=1, uC(2)=0, uC(3)=0, uC(4)=1,

uC(5)=0, uC(6)=0, uC(7)=1, uC(8)=0, uC(9)=0


Ahora bien, un Conjunto Difuso se define de forma si-

milar, con una diferencia conceptual importante: un

elemento puede pertenecer parcialmente a un conjunto.

De esta forma, un conjunto difuso D definido sobre el

mismo universo U puede ser el siguiente:

D={20%/1,50%/4,100%/7}1

La definición anterior significa que el elemento 1 per-

tenece en un 20% al conjunto D (y por tanto pertenece

en un 80% al complemento de D), en tanto que el elemen-

to 4 pertenece en un 50%, y el elemento 7 en un 100% .

En forma alternativa, diríamos que la función de perte-

nencia uD(x) del conjunto D es la siguiente:

uD(0)=0.0, uD(1)=0.2, uD(2)=0.0, uD(3)=0.0,

uD(4)=0.5, uD(5)=0.0, uD(6)=0.0, uD(7)=1.0,

uD(8)=0.0, uD(9)=0.0

Las primeras diferencias que se hacen evidentes entre

los Conjuntos Concretos y los Conjuntos Difusos son las

siguientes:

• La función de pertenencia asociada a los conjuntos

concretos sólo puede tener dos valores: 1 ó 0, mientras

que en los conjuntos difusos puede tener cualquier va-

lor entre 0 y 1.

• Un elemento puede pertenecer (parcialmente) a un con-

junto difuso y simultáneamente pertenecer (parcialmen-

te) al complemento de dicho conjunto.

1 Se ha empleado una notación frecuente, en donde el signo "/" no significa "dividido por".


Lo anterior no es posible en los conjuntos concretos,

ya que constituiría una violación al principio del

tercer excluido.

• Las fronteras de un conjunto concreto son exactas, en

tanto que las de un conjunto difuso son, precisamente,

difusas, ya que existen elementos en las fronteras mis-

mas, y estos elementos están a la vez dentro y fuera

del conjunto.

¿Qué sentido puede tener el pertenecer parcialmente

a un conjunto? En muchos casos puede tener más sen-

tido que pertenecer totalmente a un conjunto; vea-

mos algunos ejemplos:

Ejemplo 1: Supóngase que se desea definir el con-

junto de los estudiantes de la carrera de Ingenie-

ría de Sistemas de la Universidad que están cursan-

do el quinto semestre de la carrera. ¿Cómo clasifi-

car a un estudiante que cursa dos materias de cuar-

to semestre, tres de quinto y una de sexto? ¿y a

otro que toma una materia de quinto semestre, y

cinco de sexto? Evidentemente ambos son en parte

miembros del conjunto Estudiantes de quinto semes-

tre, pero sólo lo son parcialmente.

Ejemplo 2: Supóngase que se desea clasificar a los

miembros de un equipo de fútbol según su estatura

en tres conjuntos, Bajos, Medianos y Altos. Podría

plantearse que se es Bajo si se tiene una estatura

inferior a, por ejemplo, 160 cm, que se es Mediano

si la estatura es superior o igual a 160 cm e infe-

rior a 180 cm, y se es alto si la estatura es supe-

rior o igual a 180 cm, con lo que se lograría una

clasificación en conjuntos concretos.


Sin embargo, qué tan grande es la diferencia que

existe entre dos jugadores del equipo, uno con es-

tatura de 179.9 cm y otro de 180.0 cm? Ese milíme-

tro de diferencia quizás no represente en la prác-

tica algo significativo, y sin embargo los dos ju-

gadores han quedado rotulados con etiquetas distin-

tas: uno es Mediano y el otro es Alto. Si se optase

por efectuar la misma clasificación con conjuntos

difusos estos cambios abruptos se evitarían, debido

a que las fronteras entre los conjuntos permitirían

cambios graduales en la clasificación.

Ilustración 2 Funciones de pertenencia del ejemplo 2 La ilustración 2 muestra cómo podría hacerse tal

clasificación: El universo de discurso sería el

conjunto continuo de todas las posibles estaturas

(el intervalo [130cm,210]cm por ejemplo). Las fun-

ciones de pertenencia de cada uno de los tres con-

juntos Bajo, Mediano y Alto se han graficado. La

forma de estas funciones de pertenencia no debe ser

necesariamente la de la ilustración 2, pues depende

de lo que se entienda por "Bajo", "Mediano" y "Al-

to". Las ilustraciones 3 y 4 muestran otras al-

ternativas para definir dichas funciones.


Ilustración 3 Representación alternativa del ejemplo 2

Ilustración 4 Representación alternativa del ejemplo 2

Ejemplo 3: Tómese un individuo x cuya edad sea de

20 años. Como se puede observar en la ilustración

5, pertenece al Conjunto Difuso "Joven" y al Con-

junto Difuso "Maduro". Se puede observar que posee

un grado de pertenencia µA(x) de 0.6 para el Con-

junto Difuso "Joven" y un grado de 0.4 para el Con-

junto Difuso "Maduro"; también posee un grado de 0

para "Viejo". De este ejemplo se puede deducir que

un elemento puede pertenecer a varios Conjuntos Di-

fusos a la vez aunque con distinto grado. Así,

nuestro individuo x tiene un grado de pertenencia

mayor al conjunto "Joven " que al conjunto "Madu-

ro"(0.6 > 0.4), pero no se puede decir, tratándose


de Conjuntos Difusos, que x es joven o que x es ma-

duro de manera rotunda.

Ilustración 5 Ejemplo de Conjuntos Difusos en el universo de la edad.

2.5. APROXIMACION DE LAS FUNCIONES DE PERTENEN-CIA EN LOS CONJUNTOS DIFUSOS

Para realizar la aproximación de las funciones de

pertenencia de los conjuntos difusos, comenzaremos

definiendo que conjuntos difusos formaran el uni-

verso de discurso.

Supongamos la variable lingüística edad y sus con-

juntos difusos joven y adulto, los cuales fueron

utilizados en una encuesta a 10 personas para saber

cual es el rango en años para definir estas edades.

Las preguntas utilizadas fueron:

¿Cuál es el rango en años para un joven?

¿Cuál es el rango en años para un adulto?

Las respuestas se muestran en la tablas 1 y 2.


Tabla 1 Rango en años para definir a un joven

El valor de FREC. Difuso se calcula de acuerdo a la

siguiente formula:

FRECMAXIMOFRECDIFUSAFREC

__ =

Con el resultado de las tablas 1 y 2, realizamos

una grafica con la EDAD y FREC DIFUSO que represen-

tan a las funciones de pertenencia. Las funciones

de pertenencia se muestran en las ilustraciones 6 y

7 para edad joven y edad adulta.


Tabla 2 Rango en años para definir a un adulto

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

15 18 21 24 27 30 33

Ilustración 6 Función de pertenencia de edad joven


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

26 27 28 2930 313233 34 35 3637 38 3940 4142 4344 45 4647 48 49 50 5152 5354 55 56 5758 59 60

Ilustración 7 Función de pertenencia de edad adulta

Una vez obtenidas las funciones podríamos aproxi-

marlos a una de las funciones estándar que se mues-

tran en las ilustraciones 2, 3 y 4.

2.6. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS DIFUSOS

Los Conjuntos Difusos se pueden operar entre sí del

mismo modo que los conjuntos clásicos. Puesto que

los primeros son una generalización de los segun-

dos, es posible definir las operaciones de inter-

sección, unión y complemento haciendo uso de las

mismas funciones de pertenencia:

Intersección: (u)=min( (u), (u)) u

Unión: (u)=max( (u), (u)) u

Complemento: (u)=1- (u), (u)) u


Las ilustraciones de la intersección, unión y com-

plemento de la ilustración 2, se muestran en la

ilustración 6,7 y 8 respectivamente.

Ilustración 2. Funciones de pertenencia del ejemplo 2

Ilustración 8 Intersección de la ilustración 2.


Ilustración 9 Unión de la ilustración 2.

Ilustración 10 Intersección de la ilustración 2.

3. DESARROLLO DE UN SISTEMA DIFUSO BASADO EN REGLAS

3.1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA

Se desea diseñar un sistema difuso para estimar las

ventas mensuales de computadoras teniendo como da-

tos de entrada el precio de la computadora y el

nivel de ingresos del cliente.

3.2. DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES LINGÜÍSTICAS

Las variables del ítem 3.1. son:

• Precio de la computadora y Nivel de ingreso:

Variables independientes.

• Ventas: Variables dependientes.

Sistema Difuso

Precio

Nivel de Ingreso

Ventas


El universo de discurso de cada variable será:

Precio de la computadora: $500 - $2500

Nivel de ingresos del cliente: $100 - $1000

Ventas mensuales de computadoras: $10 000 - $50 000

3.3. DEFINICIÓN DE LOS CONJUNTOS DIFUSOS

Para cada una de las variables, definimos los con-

juntos difusos, de acuerdo a los adjetivos típicos

utilizados en relación con estas variables.

A continuación se muestra la definición de los con-

juntos difusos para cada variable:

VARIABLE ADJETIVOS RANGO

Barato 500 - 1500

Accesible 1000 – 2000 Precio

Caro 1500 - 2500

Bajo 100 –500

Medio 300 - 800 Nivel de Ingreso

($)

Alto 600 – 1000

Baja 10 –30 (x 103)

Normal 10 –50 (x 103) Ventas

($) Alta 30 –50 (x 103)


La representación de las funciones de pertenencia

se muestran en las ilustraciones 9, 10 y 11.

Ilustración 11 Funciones de pertenencia para la variable Precio de la Computadora

Ilustración 12 Funciones de pertenencia para la variable Nivel de Ingreso del Cliente.

Ilustración 13 Funciones de pertenencia para la variable Ventas mensuales

500 1000 1500 2000 2500

10 20 30 40 50

100 200 300 500 600 800 900 1000

Barato

Accesible

Caro

Bajo Medio Alto

Baja Normal Alta


3.4. DEFINICIÓN DE LA REGLAS DIFUSAS

Para definir las reglas utilizamos la siguiente ta-

bla de decisiones:

VARIABLES DE ENTRADA VARIABLE DE SA-LIDA

Precio (barato, accesi-

ble y caro)

Nivel de ingreso(bajo, medio y

alto)

Ventas (baja, normal y

alta) Barato Bajo Baja Barato Medio Normal Barato Alto Alta Accesible Bajo Baja Accesible Medio Baja Accesible Alto Normal Caro Bajo Baja Caro Medio Baja Caro Alto Normal

Las reglas serán:

---------------------------------------- RULE NUMBER: 1 IF: PRECIO DE COMPUTADORA BARATO and NIVEL DE INGRESO CLIENTE BAJO THEN: VENTAS MENSUALES BAJA ---------------------------------------- RULE NUMBER: 2 IF: PRECIO DE COMPUTADORA BARATO and NIVEL DE INGRESO CLIENTE MEDIO THEN: VENTAS MENSUALES NORMAL ---------------------------------------- RULE NUMBER: 3 IF: PRECIO DE COMPUTADORA BARATO and NIVEL DE INGRESO CLIENTE ALTO THEN: VENTAS MENSUALES ALTA ---------------------------------------- RULE NUMBER: 4 IF:


PRECIO DE COMPUTADORA ACCESIBLE and NIVEL DE INGRESO CLIENTE BAJO THEN: VENTAS MENSUALES BAJA ---------------------------------------- RULE NUMBER: 5 IF: PRECIO DE COMPUTADORA ACCESIBLE and NIVEL DE INGRESO CLIENTE MEDIO THEN: VENTAS MENSUALES BAJA ---------------------------------------- RULE NUMBER: 6 IF: PRECIO DE COMPUTADORA ACCESIBLE and NIVEL DE INGRESO CLIENTE ALTO THEN: VENTAS MENSUALES NORMAL ---------------------------------------- RULE NUMBER: 7 IF: PRECIO DE COMPUTADORA CARO and NIVEL DE INGRESO CLIENTE BAJO THEN: VENTAS MENSUALES BAJA ---------------------------------------- RULE NUMBER: 8 IF: PRECIO DE COMPUTADORA CARO and NIVEL DE INGRESO CLIENTE MEDIO THEN: VENTAS MENSUALES BAJA ---------------------------------------- RULE NUMBER: 9 IF: PRECIO DE COMPUTADORA CARO and NIVEL DE INGRESO CLIENTE ALTO THEN: VENTAS MENSUALES NORMAL ----------------------------------------


3.5. CONSTRUIR EL SISTEMA

Esta tarea involucra la codificación de los conjun-

tos difusos, reglas y procedimientos para desarro-

llar funciones de lógica difusa tal como la infe-

rencia difusa. Se puede construir el sistema utili-

zando un lenguaje de programación o construir el

sistema utilizando un Shell.

3.6. PROBAR EL SISTEMA

Esta tarea sirve para ver si el sistema alcanza las

especificaciones dados en la definición del proble-

ma.

Para el ejemplo que se esta desarrollando se proba-

rá con los siguientes datos de entrada:

Precio de la computadora = 1400

Nivel de Ingreso del Cliente = 450

Evaluando el grado pertenencia a los conjuntos di-

fusos se tiene:

500 1000 1500 2000 2500

Barato Caro

Accesible

1400


Ilustración 14 Grado de pertenencia para la variable Precio de la Computadora

El grado de pertenencia a los conjuntos difusos del

precio de compra es:

µbarato(precio) = 0.2

µaccesible(precio) = 0.8

Obteniendo el grado de pertenencia de la variable

Nivel de ingreso del cliente de acuerdo a la ilus-

tración 13 se tiene:

Ilustración 15 Grado de pertenencia para la variable Nivel de Ingreso del Cliente.

El grado de pertenencia a los conjuntos difusos del

Nivel de ingreso del cliente es:

µbajo(Nivel de ingreso) = 0.167

µmedio(Nivel de ingreso) = 0.5

Las reglas que se dispararán son las reglas 1, 2, 4

y 5 con las siguientes características:

---------------------------------------- RULE NUMBER: 1 IF:

100 200 300 500 600 800 900 1000

Bajo Medio Alto

450


PRECIO DE COMPUTADORA BARATO (0.2) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE BAJO (0.167) THEN: VENTAS MENSUALES BAJA (FCvmb=0.167) ---------------------------------------- RULE NUMBER: 2 IF: PRECIO DE COMPUTADORA BARATO (0.2) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE MEDIO (0.5) THEN: VENTAS MENSUALES NORMAL (FCvmn=0.2) ---------------------------------------- RULE NUMBER: 4 IF: PRECIO DE COMPUTADORA ACCESIBLE (0.8) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE BAJO (0.167) THEN: VENTAS MENSUALES BAJA (FCvmb=0.167) ---------------------------------------- RULE NUMBER: 5 IF: PRECIO DE COMPUTADORA ACCESIBLE (0.8) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE MEDIO (0.5) THEN: VENTAS MENSUALES BAJA (FCvmb=0.5) ----------------------------------------

El factor de certeza de las VENTAS MENSUALES NORMAL

es FCvmn=0.2 (RESPUESTA)

El factor de certeza de las VENTAS MENSUALES BAJA

se calcula teniendo en cuenta las reglas 1,4 y 5.

RULE NUMBER: 1 (FCR1=FCvmb=0.167) ---------------------------------------- RULE NUMBER: 4 (FCR4=FCvmb=0.167) ---------------------------------------- RULE NUMBER: 5 (FCR5=FCvmb=0.5) ----------------------------------------


Para calcular el Factor de certeza final FCvmb se

tiene:

FCR1R4 = FCR1 + FCR4 – FCR1*FCR4

FCR1R4 = 0.167 + 0.167 - 0.167 * 0.167 = 0.3061

FCR1R4R5 = FCR1R4 + FCR5 – FCR1R4 * FCR5

FCvmb = FCR1R4R5 = 0.3061 + 0.5 - 0.3061 * 0.5

FCvmb = FCR1R4R5 = 0.6530 (RESPUESTA)

El sistema difuso arroja las siguientes conclusio-

nes:

Las Ventas Mensuales es BAJA (Factor de Certeza =

0.653) y es NORMAL (Factor de Certeza = 0.2)

3.7. DEFUZZIFICACION DE LA VARIABLE DE SALIDA

Para defuzzificar la variable de salida, se tiene

en cuenta el grado de pertenencia de las conclusio-

nes, de aquellas reglas que se dispararon.

---------------------------------------- RULE NUMBER: 1 IF: PRECIO DE COMPUTADORA BARATO (0.2) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE BAJO (0.167) THEN: VENTAS MENSUALES BAJA (µ(y1)=FCvmb=0.167) ---------------------------------------- RULE NUMBER: 2 IF: PRECIO DE COMPUTADORA BARATO (0.2) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE MEDIO (0.5) THEN: VENTAS MENSUALES NORMAL (µ(y2)=FCvmn=0.2) ---------------------------------------- RULE NUMBER: 4


IF: PRECIO DE COMPUTADORA ACCESIBLE (0.8) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE BAJO (0.167) THEN: VENTAS MENSUALES BAJA (µ(y3)=FCvmb=0.167) ---------------------------------------- RULE NUMBER: 5 IF: PRECIO DE COMPUTADORA ACCESIBLE (0.8) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE MEDIO (0.5) THEN: VENTAS MENSUALES BAJA (µ(y4)=FCvmb=0.5) ----------------------------------------

Una vez ubicado el grado de pertenencia de las con-

clusiones, se debe encontrar el centroide para los

conjuntos difusos BAJA Y NORMAL. Este procedimiento

se muestra en la ilustración 14.

Para defuzzificar las ventas mensuales se utilizan

la siguiente expresión:

( )

( )∑

∑

=

=

∗= N

KK

N

KKK

Y

YYVARIABLE

1

1

µ

µ

Donde:

YK = Centroide del conjunto difuso involucrado en

la conclusión, cuando se dispara una regla.


µ(YK)= Grado de pertenencia al conjunto difuso de

la conclusión.

Para el ejemplo que estamos desarrollando y1, y2,

y3 y y4 son los centroides de los conjuntos difusos

que están en las conclusiones de las reglas 1, 2, 4

y 5 respectivamente.

Ilustración 16 Grado de pertenencia para la variable Ventas mensuales

La venta mensual es:

Venta = y1*µ(y1)+ y2*µ(y2)+ y3*µ(y3)+ y4*µ(y4) Mensual µ(y1)+ µ(y2)+ µ(y3)+ µ(y4) Venta = 16.7*0.167+30*0.2+ 16.7*0.167+ 16.7*0.5 Mensual 0.167 + 0.2 + 0.167 + 0.5 Venta = 19.272534 x 103 Mensual

Venta = 19272.5 = $ 19273 (Respuesta) Mensual

10 20 30 40 50

Baja Normal Alta

Y1=Y3=Y4=Centroide BAJA=16.7 Y2=Centroide NORMAL = 30

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