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  • MAT100-Matemtica I

    GUA DE APRENDIZAJE

    LGICA PROPOSICIONAL

    (Apuntes y ejercicios)

    ProfESORA Erika Sagredo C.

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    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 1 de 37

    Presentacin

    Las Guas de Aprendizaje para estudiantes de Administracin Pblica

    de la Universidad de Chile, han sido elaboradas para apoyar el proceso

    enseanza - aprendizaje de las ctedras de Matemtica, que forma

    parte de los contenidos de formacin general de la malla curricular de

    la carrera.

    En el caso de Matemtica I se han escogidos los cinco ejes temticos

    siguientes:

    Elementos de Lgica Proposicional,

    Introduccin a la Teora de Conjuntos,

    Funciones,

    Sucesiones y Series e

    Introduccin a las Matrices.

    En cada Gua de Aprendizaje, se presenta un resumen de los conceptos

    fundamentales, las propiedades centrales de cada eje temtico, un

    conjunto de ejercicios resueltos y propuestos para poner en prctica

    los conocimientos adquiridos durante la clase lectiva, adems se

    entrega una bibliografa para complementar y profundizar el

    aprendizaje.

    La primera Unidad contempla los Captulos de Lgica Proposicional y

    Teora de Conjuntos

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    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 2 de 37

    I. CAPTULO 1: LGICA PROPOSICIONAL

    Proposiciones, conectivos lgicos y tablas de verdad. Proposiciones equivalentes. Algebra de proposiciones. Tautologas, contradiccin, contingencia. Forma negada, recproca, inversa y contrarecproca de una proposicin condicional.

    Demostraciones de Tautologas Cuantificadores: existencial y universal y negacin de stos

    Objetivos generales

    Reconocer proposiciones y conectivos lgicos con sus respectivas

    tablas de verdad.

    Utilizar el algebra de proposiciones para simplificar frmulas

    lgicas.

    Verificar proposiciones que corresponden a tautologas,

    contradiccin o contingencia.

    A partir de una proposicin condicional, encontrar su forma negada, recproca, inversa y contrarecproca.

    Demostrar tautologas simples usando algunos mtodos de demostracin

    Determinar el valor de verdad de funciones proposicionales que involucran cuantificadores

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    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 3 de 37

    1. Elementos de Lgica Proposicional

    Introduccin

    La lgica matemtica es una disciplina que trata sobre mtodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lgica proporciona reglas y tcnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lgico se emplea en Matemtica para demostrar teoremas; en Ciencias de la Computacin para verificar si son o no correctos los programas; en las Ciencias Fsica y Naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las Ciencias Sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa el razonamiento lgico en forma constante para mltiples actividades.

    En este Captulo presentaremos, de manera no completamente formal, los aspectos principales de la lgica de proposiciones. Su estudio permite pensar con mayor correccin de la que se est acostumbrado. Para ello, es necesario reconocer algunos aspectos fundamentales de su desarrollo, tal como:

    El uso de un lenguaje preciso, libre de ambigedades. La elaboracin de argumentaciones coherentes que permitan

    obtener decisiones respaldadas. La determinacin de criterios que permitan fijar el peso de una

    evidencia en una argumentacin especfica. La adquisicin de conocimientos para determinar lo verdadero (la

    verdad como consenso). La objetividad como una actitud de vida.

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    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 4 de 37

    1.1 Las Proposiciones

    En el lenguaje cotidiano existen muchos tipos de oraciones, por

    ejemplo las que describen un hecho, las opiniones, las ordenes y las

    preguntas. La lgica proposicional estudia slo el primer tipo de

    oracin es decir, la que describe hechos.

    Entendemos por proposicin una expresin acerca de la cual tiene

    sentido preguntarse si es verdadera o falsa, es decir es una oracin que

    puede ser verdadera o puede ser falsa, pero nunca ambas. Veamos algunos

    ejemplos.

    Ejemplos:

    Los pases subdesarrollados tienen baja cobertura en educacin superior.

    2+5 = 6

    Hoy es martes y hace fro

    Estas oraciones constituyen proposiciones, pero la pregunta Qu hora

    es? o la orden haz tu tarea!, no son proposiciones.

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    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 5 de 37

    1.2 Tablas de Verdad

    Para evitar ambigedades definiremos el uso de los smbolos de lgica, a travs del uso de Tablas de Verdad, que establecen todas las posibles combinaciones de valores de verdad (V verdadero y F falso) de las

    proposiciones que constituyen las expresiones que se definen o se analizan.

    1.3 Los Conectivos.

    1.3.1 La Negacin.

    Dada una proposicin p, se denomina la negacin de p, a otra proposicin denotada por ~ p, o p (se leen "no p"), que le asigna el valor de verdad opuesto al de p. Por ejemplo:

    p: Pedro estudia algebra

    ~ p: Pedro no estudia algebra

    No debe confundirse ~p con el contrario de p (la negacin de Pedro es rico, no es Pedro es pobre)

    1.3.2 La Conjuncin.

    p ~ p

    V

    F

    F

    V

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    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 6 de 37

    Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjuncin de estas

    proposiciones a la proposicin p q (se lee "p y q"), cuya Tabla de Verdad es:

    La Tabla que define esta operacin, establece que la conjuncin es verdadera slo si lo son las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa.

    En lenguaje cotidiano este conectivo implica la idea de ambos, y tambin puede aparecer como: pero, aunque, tambin, ms an, etc.

    Ejemplo:

    3 es un nmero impar y 6 es un nmero par

    Vemos que est oracin est compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son:

    p: 3 es un nmero impar.

    q: 6 es un nmero par.

    Por ser ambas verdaderas, la conjuncin de ellas verdadera.

    p q p q

    V

    V

    F

    F

    V

    F

    V

    F

    V

    F

    F

    F

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    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 7 de 37

    1.3.3 La Disyuncin.

    Dadas dos proposiciones p y q, la disyuncin de las proposiciones p y

    q es la proposicin p q cuya Tabla de Valor de verdad es:

    p q p q

    V

    V

    F

    F

    V

    F

    V

    F

    V

    V

    V

    F

    La disyuncin es utilizada en sentido no excluyente, ya que la verdad de la disyuncin se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera. En el lenguaje cotidiano el uso de este conectivo corresponde al de la expresin y/o.

    Ejemplos

    La proposicin Tiro las cosas viejas o que no me sirven, ser verdadera, si al menos una de las proposiciones

    p: tiro las cosas viejas,

    q: tiro las cosas que no me sirven

    Sea verdadera.

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    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 8 de 37

    1.3.4 Implicacin o Condicional

    Implicacin de las proposiciones p y q es la proposicin p q (si p entonces q) cuya Tabla de Valores de verdad es:

    p q p q

    V

    V

    F

    F

    V

    F

    V

    F

    V

    F

    V

    V

    La proposicin p se llama antecedente, y la proposicin q se llama consecuente de la implicacin o condicional. La Tabla nos muestra que la implicacin slo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

    Ejemplo:

    Un candidato a la presidencia de la Repblica hace la siguiente promesa electoral:

    Si resulto electo, entonces los impuestos se reducirn

    La implicacin est compuesta de las proposiciones

    p: resulto electo

    q: los impuestos se reducirn

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    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 9 de 37

    Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicacin, en relacin a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso.

    El nico caso en que el candidato miente, sera si es elegido presidente y no cumple su compromiso (si p es V y q es F). Es evidente que si p es F, es decir si no result electo el candidato, quedo liberado del compromiso y se reduzcan o no los impuestos, la implicacin es verdadera (el candidato no minti)

    1.3.5 Doble Implicacin o Bicondicional

    Doble implicacin de las proposiciones p y q es la proposicin p q (se lee "p si y slo si q") cuya Tabla de Valores de verdad es:

    p q p q

    V

    V

    F

    F

    V

    F

    V

    F

    V

    F

    F

    V

    La doble implicacin o bicondicional slo es verdadera si ambas

    proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

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    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 10 de 37

    La doble implicacin puede definirse como la conjuncin de una implicacin

    y su recproca. De este modo, la Tabla de Valores de verdad de p q puede

    obtenerse mediante la tabla de (p q) (q p), como vemos:

    p q p q q p (p q) (q p)

    V

    V

    F

    F

    V

    F

    V

    F

    V

    F

    V

    V

    V

    V

    F

    V

    V

    F

    F

    V

    Ejemplo:

    Si Enrique ingres a la Universidad, entonces aprob el examen de admisin y si Enrique aprob el examen de admisin entonces, ingres a la Universidad

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    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 11 de 37

    A continuacin, se muestra un ejemplo del uso de los conectivos lgicos aplicados en la construccin de una pregunta de Encuesta

    Ejemplo 1

    La Encuesta de Caracterizacin Socioeconmica Nacional (CASEN),

    realizada por MIDEPLAN, permite elaborar diagnsticos de la

    realidad socioeconmica del pas y evaluar los programas sociales. Una

    de las reas que aborda, es la caracterizacin de la poblacin con

    discapacidad y dependencia del pas. La persona con discapacidad, que

    requiere necesariamente de la ayuda de otra persona para comer,

    lavarse, peinarse, baarse es considerada dependiente. Segn la

    Encuesta basta que haga por si sola al menos una de las cuatro

    actividades, para que se considere que la persona no tiene

    dependencia.

    a) En base a la informacin expuesta, complete la pregunta, usando

    algn conectivo lgico, donde la persona encuestada responde s o

    no, y que mida si no tiene una condicin de dependencia.

    b) Utilizando proposiciones, construya un enunciado (en lenguaje

    simblico) de la forma si, entonces , para afirmar la condicin de

    dependencia.

    Pregunta: Usted puede ., por s slo?

    S

    No

    1 Pregunta incluida en la prueba Solemne , de otoo 2010.

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    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 12 de 37

    Solucin

    Usted puede comer o lavarse los dientes o peinarse o baarse por s slo? Si No

    b) Sean las siguientes proposiciones

    p: Usted puede comer por s slo.

    q: Usted puede lavarse los dientes por s slo.

    r: Usted puede peinarse por s slo.

    s: Usted puede baarse por s slo.

    t: Usted es dependiente.

    ~p ^ ~q ^ ~r ^ ~s ==> t

    1.3 Tautologa, contradiccin y contingencia

    Al conjunto de proposiciones, conectivos lgicos y smbolos de agrupacin lo denominamos frmula lgica.

    Por ejemplo:

    ~ [ (p q) ^ (s ^ t) ]

    Si al evaluar una frmula lgica, resulta que todos los valores de verdad resultantes son siempre V, para cualquier combinacin de sus

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    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 13 de 37

    valores de verdad, decimos que dicha frmula es una Tautologa o Ley lgica.

    Ejemplo

    Si analizamos la proposicin t: p ~ p realizando su tabla de Verdad:

    p ~ p p ~ p

    V

    F

    F

    V

    V

    V

    Vemos que para cualquier combinacin de las proposiciones p y

    su negacin ~ p, la proposicin t: p ~ p es siempre verdadera. Entonces, la proposicin t es una tautologa.

    Analicemos ahora la frmula lgica [ ( p q ) p ] q

    p q p q q p [ ( p q ) p] q

    V

    V

    F

    F

    V

    F

    V

    F

    V

    F

    V

    V

    V

    F

    F

    F

    V

    V

    V

    V

  • [Escribir texto]

    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 14 de 37

    En este caso comprobamos tambin que independientemente de la combinacin de valores de verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la frmula lgica es siempre V. Decimos, aqu tambin, que esta frmula es una tautologa o ley lgica.

    Si al estudiar una frmula lgica, a diferencia de los ejemplos anteriores, resulta que para cualquier valor de verdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dicha frmula es siempre falso, decimos que dicha frmula es una Contradiccin.

    Ejemplo

    Analicemos la frmula lgica p ~ p

    p ~ p p ~ p

    V

    F

    F

    V

    F

    F

    Encontramos que la frmula es siempre falsa, entonces es una Contradiccin.

    Si una proposicin no es una tautologa ni una contradiccin (es decir que contiene al menos un valor V y otro F) es una contingencia.

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    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 15 de 37

    1.4 Leyes del lgebra proposicional

    Como bien dijimos arriba, aquellas frmulas lgicas que resultan ser siempre verdaderas no importando la combinacin de los valores de verdad de sus componentes, se denominan tautologas o leyes lgicas. En el clculo proposicional existen algunas tautologas especialmente tiles cuya demostracin se reduce a la confeccin de su correspondiente tabla de verdad.

    Idempotencia Asociativa Conmutativa Distributiva Absorcin De Morgan

    pqpp ~ (p q) pqpp ~ (p q)

    Identidad

    p F p V p V p F Complemento ~ ~p ~ V

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    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 16 de 37

    1.5 Proposiciones lgicamente equivalentes

    Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad

    son idnticas. De ser as se denota: p q

    Ejemplo

    Sea t: p q, recordamos su Tabla de Verdad:

    p q p q

    V

    V

    F

    F

    V

    F

    V

    F

    V

    F

    V

    V

    Ahora bien, si analizamos la proposicin r: ~ p q, su Tabla de Verdad resulta:

    p q ~ p q

    V

    V

    F

    F

    V

    F

    V

    F

    V

    F

    V

    V

    Como vemos, luego de realizar las tablas de valor de verdad encontramos que ambas proposiciones tienen el mismo resultado final. Con esto, decimos que ambas proposiciones son

  • [Escribir texto]

    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 17 de 37

    lgicamente equivalentes, y en este caso particular lo simbolizamos:

    (p q) (~ p q)

    Las leyes lgicas, que vimos en la seccin 1.4 nos sirven tambin para simplificar expresiones que contiene proposiciones compuestas. Ejemplo

    Utilizando leyes del algebra de proposiciones, simplificar la proposicin t: p => [~q => (p q)]

    p [~q (p q)]

    p [~~q (p q)] (def. de )

    p [q (p q)] (doble negacin)

    p q (absorcin)

    ~p q (def. de )

    1.5.1 Proposiciones condicionales relacionadas: recproca, inversa y contrapositiva

    A partir de p , podemos encontrar otras proposiciones que se resumen a continuacin:

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    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 18 de 37

    Notacin Interpretacin Ejemplo

    Proposicin directa

    Si p entonces q

    p implica q

    q si p

    p slo si q

    Si llueve, entonces mi jardn se moja

    Recproca Si q, entonces p Si mi jardn se moja entonces ha llovido

    Inversa Si no p, entonces no q

    Si no llueve, entonces mi jardn no se moja

    Contrapositiva o contrarecproca

    Si no q, entonces no p

    Si mi jardn no se moja, entonces no ha llovido

    En la siguiente tabla de verdad se puede apreciar que tanto la proposicin directa como la recproca son equivalentes a las contrapositiva como inversa respectivamente.

  • [Escribir texto]

    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 19 de 37

    Directa Recproca Inversa Contrapositiva

    p Q

    V V V V V V

    V F F V V F

    F V V F F V

    F F V V V V

    Equivalente

    s

  • [Escribir texto]

    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 20 de 37

    1.7 Negacin de una proposicin condicional.

    Si negamos la proposicin p q

    ~[(p q)] ~[(~ p q)]

    p ~q (Doble negacin y de Morgan)

    Ejemplo

    Negar la siguiente proposicin

    r: Si la contaminacin aumenta, entonces existir restriccin vehicular

    adicional.

    Se tiene:

    p: la contaminacin aumenta

    q: existir restriccin vehicular adicional

    ~r: La contaminacin aumenta y no existir restriccin vehicular adicional

  • [Escribir texto]

    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 21 de 37

    1.8 Demostraciones.

    Por lo general se utilizan cuatro mtodos para demostrar tautologas: tablas de verdad, mtodo algebraico, reduccin al absurdo y contraposicin.

    1.8.1 Tablas de Verdad

    Agreguemos aqu un par de ilustraciones del mtodo de Tablas de Verdad que ya hemos utilizado

    Ejemplo

    Demostrar la siguiente tautologa

    1. Demostracin:

    p q r p q

    u

    p r

    w

    u w

    t

    ~ r t ~r

    s

    s q

    V V V V V V F F V V V F V F F V F V V F V V V V F F V V F F V F F V F V F V V V V V F F V F V F V V V V V V F F V F V F F F V F F F F V F V F V

    Observe ahora, que para escribir ordenadamente todos los posibles valores de p, q, r respectivamente hemos ido (de izquierda a derecha) de cuatro en cuatro (VVVV, FFFF,) ,de dos en dos (VVFFVV) y de uno en uno (VFVFVF) y la tabla

    tendr = 23 = 8 filas.

  • [Escribir texto]

    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 22 de 37

    2. Vamos a repetir la tabla anterior, ahora en una disposicin ms simple (no recomendamos esta versin, sino hasta conocer bien la forma anterior).

    Demostracin:

    [(p q) (p r) ~ r)] q

    V V V V V V V F F V V V V V F V F F F V V V V V F V V V V F F V F V V F F V F F F V V F F V V V F V V F F V V F V V V F V F V V V V F F F F F V V F F V F F F F F F V F F V V F

    1.8.2 Mtodo algebraico.

    Demostrar la tautologa

    (Conmutatividad)

    (Doble negacin)

  • [Escribir texto]

    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 23 de 37

    1.8.3 Reduccin al absurdo.

    La Reduccin al Absurdo es uno de los mtodos ms usados para hacer demostraciones matemticas. La idea es suponer que la proposicin que queremos demostrares falsa, y a partir de esta suposicin, usando deducciones matemticas, llegar a una contradiccin o algo absurdo, lo cual implica que nuestra proposicin es necesariamente cierta.

    Ejemplo

    Demostrar p q p

    1. Supongamos que p q p es falsa

    2. Luego se tiene que p q es verdadero y q es falso

    (definicin de )

    3. Para que p q sea verdadero, es necesario que p y q sean

    verdaderas.

    4. Pero por paso 2. q es falso. Esto es una contradiccin

    5. Luego no es posible que p q p sea falsa

    6. En consecuencia p q p debe ser verdadera.

    1.8.4 Contraposicin.

    Si tenemos que demostrar que una proposicin p implica una proposicin q (es decir, si se da p, se tiene que dar q), a veces es ms sencillo demostrar que si no se da q, entonces no puede cumplirse p.

  • [Escribir texto]

    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 24 de 37

    Esto se conoce como demostracin por contraposicin. Ntese que "p implica q" y "no q implica no p" son proposiciones equivalentes.

    Este mtodo se usa poco para probar tautologas, pero se le utiliza con frecuencia en otras reas de las matemticas.

    1.9 Cuantificadores. 1.9.1 Funciones proposicionales y conjunto de validez Sea A un conjunto dado, explcita o implcitamente. Una funcin proposicional sobre A es una expresin que se denota por p(x) que tiene la propiedad de que p(a) es verdadera o falsa para todo a que est en A. Ejemplo

    Sea p(x): x + 2 > 7, as, pues, p(x) es una funcin lgica sobre IN .

    Si p(x) es una funcin proposicional sobre un conjunto A, entonces el conjunto de elementos a , que tienen la propiedad p(a) es verdadera, se llama conjunto de validez de p(x)

    Los cuantificadores nos permiten construir proposiciones a partir de funciones proposicionales ya sea particularizando o generalizando.

  • [Escribir texto]

    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 25 de 37

    a) Cuantificador Universal ( ) Si p(x) es una funcin proposicional y U un conjunto, entonces se tiene que : para cada x U se cumple la condicin p(x). Este hecho lo simbolizaremos por: (x U) p(x), o bien x U : p(x) b) Cuantificador Existencial ( )

    Si p(x) es una funcin proposicional y U un conjunto, entonces se tiene que existe por lo menos un x U, para el cual se cumple la condicin p(x). Este hecho lo simbolizamos por:

    ( x U) p(x), o bien x U : p(x)

    Ejemplo

    Sea A ={1, 2, 3, 4, 5}.Determine el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados

    a) (x A)(x+3 =10) Sol: Es falso porque ningn nmero de A es una solucin de x + 3 = 10 b) (x A)(x+3< 10) Sol: Es Verdadero. Cualquier nmero de A cumple que x + 3< 10

  • [Escribir texto]

    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 26 de 37

    1.7.3 Negacin de proposiciones con cuantificadores

    Proposicin Negacin

    Todos cumplen No todos cumplen, algunos no cumplen

    Algunos cumplen Todos no cumplen, ninguno cumple,

    Ejemplos

    Escriba la negacin de cada proposicin

    a) Algunos estudiantes estn inscritos en los registros electorales Ya que algunos significa al menos uno, la proposicin anterior es lo mismo que al menos un estudiante est inscrito en los registros electorales. La negacin de esto es:

    Ningn estudiante est inscrito en los registros electorales. b) Algunos estudiantes no estn inscritos en los registros electorales Esta proposicin afirma que al menos un estudiante, no est inscrito en los registros electorales. La negacin de esto sera:

    Todos los estudiantes estn inscritos en los registros electorales c) Ningn estudiante est inscrito en los registros electorales Esta proposicin afirma que todos los estudiantes no estn inscritos, cuya negacin sera:

    Algunos estudiantes estn inscritos en los registros electorales

  • [Escribir texto]

    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 27 de 37

    Definicin

    Sea p(x) una funcin proposicional con extensin A, entonces: ~(x A)p(x ) (x A) ~p(x) ~(x A)p(x ) (x A) ~p(x)

  • [Escribir texto]

    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 28 de 37

    Ejercicios Propuestos

    1. Decida si cada una de las siguientes oraciones es o no una proposicin:

    a) El 7 de Diciembre de 1941 fue Domingo.

    b) 6+ 5 = 12

    c) Tenga un feliz da.

    d) Caracas es la capital de Venezuela. e)Habla Usted ingls? f) x es mayor que y. g) 18 es un nmero primo.

    2. Decida si cada una de las siguientes proposiciones es Verdadera

    o Falsa:

    a) Todo nmero entero es nmero natural.

    b) 75

    c) 6 es un nmero primo.

    d) 15 es un mltiplo de 5.

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    MATEMTICA I: ELEMENTOS DE LGICA PROPOSICIONAL Pgina 29 de 37

    e) El nmero 2 es racional 3. Sean p: Hace fro y q: Est lloviendo. Describir con un

    enunciado verbal las siguientes aseveraciones:

    a) ~p

    b) p ^ q

    c) p q d) q p e) p ~q f) q ~p g) ~p ~q h) p i) ~~q

    4. Sea p :l es rico y sea q: l es feliz. Escriba en forma

    simblica los siguientes enunciados.

    a) l no es rico ni feliz.

    b) No ser rico es no ser feliz

    c) Uno nunca es feliz, si es rico

    d) l no es rico, pero feliz.

    e) l no puede ser rico y feliz.

    f) Si l no es feliz, no es rico.

    g) Ser rico es lo mismo que ser feliz

    5. Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados

    a) Si 5 < 3 entonces 3 < -5

    b) No es verdad que 2 +2 = 4 3 + 5 = 6

    c) Es verdad que 2+2 4 y 3 + 3 = 6.

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    d) No es verdad que 2+ 7 = 9 si, y solo si, 2 + 1 = 5

    implica 5 +5 = 8.

    6. Escriba la negacin de cada uno de los enunciados siguientes. De

    la manera ms simple posible.

    a) l es alto, pero galn.

    b) l no es rico ni feliz.

    c) Si caen los precios de las acciones, aumenta el

    desempleo.

    d) l tiene el cabello rubio u ojos azules.

    e) Si aumenta la demanda, esto implica que aumenta la

    oferta y viceversa

    7. Sean p, q y r proposiciones, tales que:

    p es V , q es V , r es F. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

    a) qpqp b) rpqp

    c) pqqr d) rqrp 8. Sean p, q y r proposiciones, tales que:

    p es V , q es F , r es V. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

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    a) rprqqp b) rqrp

    c) prqp d) rqrp 9. Construir la tabla de verdad para las siguientes proposiciones

    compuestas:

    a) ~ p ~ q

    b) p

    c) qpqp

    d) qpqp ~

    e) rqrp

    10. Encuentre los valores de verdad de cada proposicin. Suponga

    que p y r son falsas y q es verdadera.

    a) ~r q

    b) ~r p

    c) ~p (q r)

    d) (~p ~q) (p ~r)

    e) p q

    f) ~q r

    g) q p

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    11. Para cada proposicin directa dada, escriba la reciproca, la

    inversa, y la contrapositiva en la forma si... entonces.

    a) Si usted dirige, entonces yo lo seguir

    b) La leche contiene calcio

    c) Cada oveja con su pareja

    d) Por el humo se sabe dnde est el fuego

    e) ~q ~p

    f) ~p q

    12. Clasifique las siguientes proposiciones en: Tautologa,

    Contradiccin o Contingencia.

    a) qpqp b) pqqp

    c) qpp d) qpqp

    e) qrprqp

    13. Si la proposicin [ qp ] [p (~q r)] es verdadera. Determine

    el valor de verdad de la proposicin p, q y r.(Propuesto en Prueba, semestre otoo 2010).

    14. Se sabe que la proposicin [(p q) p] => [(r q) p] es falsa. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) p, q, r

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    b) [(p ~q] => (r p)] [~q (r p)] 15. Simplificar las siguientes proposiciones usando algebra de

    proposiciones.

    a) (~q r) ~r

    b) ~ [ (~ p => q) ~( p ~q)]

    c) p [ (q ~p) => (p ~ q)]

    d) [(p q) => (~ p q)] (p =>q) 16. Determinar el valor de verdad de cada uno de los siguientes

    enunciados.

    a) = x

    b)

    c)

    d)

    e)

    17. Negar los enunciados del problema 15.

    Respuestas Ejercicios de Lgica

    1. a) Es una proposicin. b) Es una proposicin. c) No es una proposicin. d) Es una proposicin. e) No es una proposicin. f) No es una proposicin g) Es una proposicin

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    2. a) F b) V c) F d) V e) F 3. a) No hace fro b) hace fro y est lloviendo c) hace fro o est

    lloviendo d) Est lloviendo si, y slo s hace fro e) Si hace fro entonces

    no est lloviendo f) est lloviendo o no hace fro g) no hace fro y no est lloviendo h) Hace fro es equivalente a que no est lloviendo i) no es verdad que no est lloviendo.

    4. a) ~p ~q b) ~p ~q c) p=> ~q d) ~p q 5. a) V b) F c) F d) F 6. a) l no es alto o no es galn b) l es rico o feliz c) Caen

    los precios de las acciones y no aumenta el desempleo. 7. a) V b) F c) F d) V

    8. a) V b) V c) V d) V 9. c)

    p q qp qp qpqp

    V V V V V

    V F F V V

    F V F V V

    F F F F V

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    9. d) p p q qp qp qpqp F V V V F F

    F V F F V F

    V F V V V V

    V F F V F F

    9. e ) p q r rp rq rqrp V V V V V V

    V V F F V F

    V F V V V V

    V F F F F V

    F V V F V F

    F V F F V F

    F F V F V F

    F F F F F V

    12. a) Contingencia b) Tautologa c)

    Contingencia d) Contradiccin e) Tautologa

    13. p, q y r son verdaderas 14. a) p b) V

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    Bibliografa

    Miller, Charles et al, Matemtica: Razonamiento y aplicaciones,

    Pearson Addison Wesley, 2006, (Pgs. 95- 149).

    Lipschutz, Seymour, Teora de conjuntos y temas afines, MacGraw-

    Hill, 1969, 233p, serie de compendios Schaum. (pgs. 187-215)