AO DE lA PrOmOcin DE lA inDustriA rEsPOnsAblE y cOmPrOmisO climticO

Facultad de Ciencias de la Salud

Escuela de Psicologa

TEMA:

Lgica proposicional

Curso: Matemtica y Lgica

DOCENTE TUTOR:

Ing. Billiam Rojas Medina.

Alumna:

YARIXA GARCIA LIZANO

TUMBES _ PER

2014

INTRODUCCIN

La lgica proposicional es uno de los lenguajes artificiales especialmente

diseados para presentar formas de razonamientos y para determinar cules

de ellas corresponden a razonamientos vlidos. Como la lgica proposicional

es el ms simple de los lenguajes, no toda forma de razonamiento ser

representable por su intermedio, y en consecuencia , slo servir para estudiar

formas muy elementales o reductibles.

Una de las razones que motiv la aparicin de la lgica matemtica, fue evitar

la ambigedad del lenguaje natural y transformar el pensamiento en un clculo,

segn el modo de operar de las matemticas. Simplificar o simbolizar las

oraciones o juicios para poder operar con ellas, as surge el lenguaje formal. El

nacimiento de la lgica propiamente dicho est directamente relacionado con el

nacimiento intelectual del ser humano. La lgica emerge como mecanismo

espontneo en el enfrentamiento del hombre con la naturaleza, para

comprenderla y aprovecharla. Poncair destaca cinco etapas o revoluciones en

ese proceso que se presentan entre dos grandes tpicos: del rigor y la

formalidad, a la creatividad y el caos. Las etapas se identifican como:

Revolucin Matemtica, Revolucin Cientfica, Revolucin Formal y Revolucin

Digital adems de la prxima y prevista Revolucin Lgica.

La lgica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a

los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su

inteligencia y apoyndose de algunos conocimientos acumulados, se pueden

obtener nuevos inventos, innovaciones a los ya existentes o simplemente

utilizacin de los mismos.

LGICA PROPOSICIONAL

Al tratar de la lgica, es muy comn utilizar frases como: "Es lgico", "hablando

con lgica", o, "hay que ponerle lgica al asunto", las mismas que pueden ser

objetivamente reemplazadas por expresiones como: "Es correcto", "hablando

con correccin", y "hay que ponerle cuidado y correccin al tema". Por tanto, la

lgica trata sobre la correccin, y sta se refiere de alguna manera, al

pensamiento. Y es en este sentido que los tratadistas tradicionales definieron

la lgica como la ciencia que ensea a pensar correctamente.

Pero debemos distinguir entre el pensamiento como facultad y/o funcin del

pensamiento como producto. Pues, cuando utilizamos el trmino "pensamiento"

podemos significar, segn las circunstancias, la facultad y/o funcin o el

producto, lo que equivale a distinguir entre el pensar y lo pensado. Por tanto, la

lgica no trata sobre le pensamiento como facultad y/o funcin, sino como

resultado de la funcin de pensar, es decir, de lo que generalmente llamamos

en plural: pensamientos.

Consecuentemente, al abordar la lgica proposicional, debemos reconocer que

una proposicin es una cadena de palabras con sentido completo, calificable

de cierta o falsa, as, por ejemplo, en la proposicin: "Mariano Melgar naci en

Arequipa". Si se mantienen independientes, son proposiciones atmicas; pero

si se relacionan con alguna conjuncin (u otras partculas) el resultado es una

proposicin molecular, por ejemplo, Arequipa y Lima son ciudades del Per.

1.1 EL LENGUAJE DE LA LGICA PROPOSICIONAL 1.1.1 Proposiciones atmicas y proposiciones moleculares

La lgica proposicional trata sobre la verdad o la falsedad de las proposiciones y de cmo la verdad se transmite de unas proposiciones (premisas) a otras (conclusin). Una proposicin es la unidad mnima de significado susceptible de ser verdadera o falsa. Una palabra aislada, por s misma, no nos dice nada. La palabra "perro" tiene una referencia, pero no nos da ninguna informacin si no es en el contexto de una proposicin como "El perro est haciendo cosas raras". Por ello una palabra, a menos que constituya una proposicin, no es verdadera o falsa. Slo tienen valor de verdad las proposiciones. Debemos distinguir dos tipos de proposiciones: las proposiciones atmicas y las proposiciones moleculares. Las proposiciones atmicas son aqullas que no se componen de otras proposiciones. LA PROPOSICIN: Todos los hombres son mortales es una proposicin atmica porque ninguno de sus elementos componentes es una proposicin. Como podemos observar, una proposicin atmica es verdadera o falsa, y su verdad o falsedad no depende de otras proposiciones, sino de cmo es la realidad. Si hubiera algn hombre inmortal, la proposicin del ejemplo sera falsa. Las proposiciones moleculares son aqullas que estn compuestas por proposiciones atmicas. Un ejemplo de proposicin molecular sera: Voy a comprar pan y a tomar un caf La proposicin del ejemplo es molecular porque se compone de dos proposiciones atmicas:

Voy a comprar pan Voy a tomar un caf

Estas dos proposiciones atmicas estn conectadas mediante la partcula "y". Una proposicin molecular ser verdadera o falsa, pero a diferencia de lo que ocurre con las proposiciones atmicas, su verdad o falsedad no depende directamente de la realidad, sino que depende o es funcin de la verdad o falsedad de las proposiciones atmicas que la componen. Esto significa que si quiero saber si es verdadero o falso que voy a comprar pan y a tomar un caf, es necesario que conozca la verdad o falsedad de "voy a comprar pan" y de "voy a tomar un caf" por separado. 1.1.2 Conectivas lgicas

Las proposiciones atmicas pueden combinarse de diferentes formas para dar lugar a proposiciones moleculares. Los elementos que sirven para conectar las proposiciones atmicas entre s se llaman conectivas lgicas. Las conectivas

lgicas nos dicen cmo afecta el valor de verdad de las proposiciones atmicas al valor de verdad de las proposiciones moleculares. Ya hemos visto que en el lenguaje natural, la conjuncin "y" funciona como una conectiva lgica. As, cuando decimos: Las flores son plantas y los erizos aves estamos conectando la proposicin atmica "las flores son plantas" con la proposicin atmica "los erizos son aves" mediante la conectiva lgica "y". La "y" nos est diciendo que la proposicin molecular "Las flores son plantas y los erizos aves" slo es verdadera si las dos proposiciones atmicas que la componen son ambas verdaderas, y ser falsa en caso de que, al menos una de ellas, sea falsa. Como sabemos que los erizos no son aves, podemos concluir que la proposicin "Las flores son plantas y los erizos aves" es falsa. Probemos a cambiar la conectiva lgica del ejemplo, y conectemos las dos proposiciones atmicas del siguiente modo: Las flores son plantas o los erizos son aves La disyuncin "o" tambin funciona aqu como una conectiva lgica y nos est diciendo que la proposicin molecular "las flores son plantas o los erizos son aves" es verdadera si al menos una de las proposiciones atmicas que la componen es verdadera. Sabemos que los erizos no son aves, pero como las flores s son plantas, concluimos que la proposicin molecular del ejemplo es verdadera. Como vemos, las conectivas lgicas funcionan como operadores matemticos. En matemticas hay smbolos como "+" y "--". Decir "1+1" no es lo mismo que decir "1--1". Cada operador asigna un valor distinto a la misma combinacin de smbolos, de modo que a la primera combinacin (1+1) le corresponde el 2 y a la segunda (1--1) le corresponde el 0. Del mismo modo, en lgica, a la proposicin "Las flores son plantas y los erizos aves" le corresponde el valor de verdad V (verdadero) y a la proposicin "Las flores son plantas o los erizos son aves" le corresponde el valor de verdad F (falso). En el clculo lgico que nosotros vamos a estudiar, hay cuatro conectivas lgicas. Ya hemos visto dos: la conjuncin y la disyuncin. Una tercera forma de conectar dos proposiciones atmicas sera: Si las flores son plantas entonces los erizos son aves Esta forma de conectar dos proposiciones nos indica que una de ellas es la condicin de la otra y por eso la conectiva correspondiente se llama "condicional" o "implicador". La primera proposicin (Las flores son plantas) es la condicin que se ha de cumplir, y nos referiremos a ella como antecedente; la segunda proposicin (los erizos son aves) es lo condicionado, y nos referiremos a este elemento del condicional como consecuente. En cuarto lugar tenemos la negacin que, aplicada a una proposicin atmica, simplemente invierte su valor de verdad, de modo que si la proposicin atmica Los erizos son aves es falsa, entonces la proposicin molecular Los erizos no son aves ser verdadera.

Quiz sorprenda que consideremos molecular la proposicin "los erizos no son aves", pues que no se compone de dos proposiciones atmicas, sino de una. La razn de que dicha proposicin sea molecular y no atmica es que uno de sus elementos componentes (a saber, la proposicin "los erizos son aves") es una proposicin atmica. Obsrvese que la negacin no modifica el significado de la proposicin negada, sino nicamente su valor de verdad. Esta falta de significado es un rasgo esencial de las conectivas lgicas. 1.1.3 Smbolos de la lgica proposicional

Como ocurre en otras ciencias, es necesario en lgica utilizar un lenguaje simblico especial que elimine los rasgos que no nos interesan y pongan de manifiesto los que s nos interesan. En lgica nos interesa saber cmo estn combinadas las proposiciones, y no nos interesa en absoluto su significado. Por ello necesitamos unos smbolos que, prescindiendo del significado de las proposiciones, nos indiquen la forma en que se combinan. Estos smbolos constituyen un lenguaje formal. En primer lugar, las proposiciones atmicas pueden ser sustituidas por lo que llamaremos variables proposicionales, que sern las letras p, q, r, s La operacin consistente en sustituir las expresiones del lenguaje natural por smbolos lgicos se llama formalizacin. A la proposicin debidamente formalizada la llamaremos frmula. Segn lo dicho, la formalizacin de la proposicin atmica Los erizos son aves Ser, simplemente, la frmula p Por su parte, a cada conectiva lgica le corresponde un smbolo, como queda resumido en la siguiente tabla:

Conectiva Smbolo Lenguaje natural Formalizacin

Conjuncin A Pepe es bombero y Mara es camarera

p A q

Diyuncin V Pepe es bombero o Mara es camarera

p V q

Implicacin -> Si Pepe es bombero, entonces Mara es camarera

p -> q

Negacin Pepe no es bombero p

1.2 Sintaxis: Frmulas bien formadas (fbf)

Todos los lenguajes se componen de unos smbolos y de unas reglas sintcticas que nos indican qu combinaciones de smbolos son correctas y cules no lo son. Por ejemplo, en castellano no podemos decir: Mis amigos y yo voy al cine La oracin del ejemplo est mal formada porque no hay la concordancia debida entre el nmero del sujeto (plural) y el nmero del verbo (singular). Tambin en

matemticas hay unas reglas que nos indican qu combinaciones de smbolos podemos hacer, de modo que si nos presentaran lo siguiente: %=4+ (78-) no sabramos qu hacer simplemente porque la expresin est mal formada, no respeta las reglas de formacin de frmulas matemticas. Del mismo modo, cualquier combinacin de smbolos lgicos no constituye una frmula bien formada. As por ejemplo, no estn bien formadas las frmulas

Ap vpvq p-> etc

No es difcil descubrir intuitivamente, a partir de ejemplos, qu frmulas estn bien formadas en lgicas y cules no, pero no est de ms ofrecer las siguientes reglas para la formacin de frmulas bien formadas (fbf):

Regla 1: Toda proposicin atmica es una fbf Regla 2: Si A es una fbf, entonces A tambin es una fbf Regla 3: Si A y B son fbf, entonces (A?B), (A?B) y (A?B) tambin son fbf

1.3 FORMALIZACIN DE PROPOSICIONES

A continuacin comentaremos algunos ejemplos de formalizacin. Comenzaremos por unos ejemplos sencillos, que agruparemos en cuatro bloques, segn la conectiva lgica usada, y a continuacin presentaremos algunos ejemplos ms complejos en los que combinaremos varias conectivas. 1.3.1 Formalizacin de la conjuncin Proposicin en lenguaje natural: Los perros son listos y los gatos egostas. p = los perros son listos

q= los gatos son egostas Formalizacin: p A q (se lee "p y q") Proposicin en lenguaje natural: Estudiar, pero tambin ver la tele p =

estudiar q = ver la tele Formalizacin: p A q

Comentario: Aunque en la proposicin en lenguaje natural no aparece la partcula "y", si entendemos el sentido de la misma, veremos que lo que nos est diciendo es que estudiar y ver la tele. El "pero tambin" es una conjuncin, aunque los matices que tiene en el lenguaje natural (digamos que tiene un sentido _adversativo) se pierden al formalizarla. 1.3.2 Formalizacin de la disyuncin Proposicin en lenguaje natural: Voy al cine o voy al teatro p = voy al cine q= voy al teatro Formalizacin: p v q (se lee "p o q") Proposicin en lenguaje natural: O bien voy al cine, o bien voy al teatro p = voy al cine

q = voy al teatro Formalizacin: p v q Comentario: A veces, cuando nos estamos iniciando en la formalizacin, puede que tengamos la tentacin de formalizar la proposicin de este ejemplo del siguiente modo: (v p v q). Esto es un error garrafal, pues, como ya hemos dicho, no se trata de traducir palabra por palabra, sino de expresar la forma lgica de la proposicin. En la proposicin del ejemplo estamos diciendo que se me plantean dos opciones; una, ir al cine; otra, ir al teatro; y al menos una de ellas debe cumplirse. Esto es una disyuncin de toda la vida, por ms que la reforcemos con el "O bien o bien", por lo tanto se formaliza exactamente igual que la del ejemplo anterior. 1.3.3 Formalizacin del condicional Proposicin en lenguaje natural: Si Misha es un gato, entonces escupir bolas de pelo. p= Misha es un gato q= Misha escupir bolas de pelo Formalizacin: p -> q (se lee "si p entonces q" "p implica q") Proposicin en lenguaje natural: Si vas a la playa, te broncears. p = vas a la playa q = te broncears Formalizacin: p -> q Comentario: Aunque no aparezca literalmente el "entonces", como lo que estamos traduciendo no son las palabras, una por una, sino la forma lgica, es evidente que basta el "si" inicial para indicarnos el condicional. Proposicin en lenguaje natural: Asistir a clase es condicin suficiente para aprobar. p = se asiste a clase q = se aprueba Formalizacin: p -> q Comentario: A diferencia de una condicin necesaria, una condicin suficiente se basta por s misma para que el consecuente del condicional sea verdadero. Si digo que estudiar es condicin suficiente para aprobar estoy diciendo que basta estudiar para aprobar el curso, o lo que es lo mismo, que si estudio entonces aprobar el curso. Por lo tanto la formalizacin correcta es (p?q). Ntese que una condicin suficiente no tiene por qu ser tambin necesaria, pues podra haber otra condicin suficiente para aprobar. Podra ser que el profesor dijera que para aprobar basta venir a clase o hacer un trabajo. En ese caso tanto venir a clase como hacer un trabajo seran condiciones suficientes para aprobar, pero no necesarias, pues cualquiera de ellas podra no cumplirse y aprobar, siempre que se cumpla la otra. Por su parte, las condiciones necesarias no tienen tampoco por qu ser suficientes. Proposicin en lenguaje natural: Asistir a clase es condicin necesaria y suficiente para aprobar.

p = se asiste a clase q = se aprueba Formalizacin: p q (se lee "p coimplica q")

Comentario: Decir que asistir a clase es condicin necesaria y suficiente para aprobar significa que basta asistir a clase para aprobar, y que no hay otro modo de aprobar aparte de asistir a clase. En realidad la proposicin es equivalente a

afirmar (p->q) y (q->p) simultneamente. Esto significa que

[(p->q) ? (q->p)] = (pq) El smbolo "?" sirve para indicar esta doble direccin del condicional y se llama bicondicional. Tambin podra formalizarse con ayuda del bicondicional la proposicin Si estudias y slo si estudias, aprobars. Proposicin en lenguaje natural: Te besar si me prometes amor eterno. p= te besar q= me prometes amor eterno Formalizacin: q -> p Comentario: La nica dificultad de esta proposicin es que para darle ms efecto al consecuente, se sita en primer lugar, pero es perfectamente equivalente a la proposicin "si me prometes amor eterno, entonces te besar" 1.3.4 Formalizacin de la negacin Proposicin en lenguaje natural: No es cierto que haya estado en ese cine. p= he estado en ese cine Formalizacin: p Comentario: el "no es cierto que" del ejemplo no es sino una forma reforzada de negar, por lo tanto se formaliza como una simple negacin, que es lo que es. 1.3.5 Formalizaciones combinando todas las anteriores Proposicin en lenguaje natural: Si estudias y vienes a clase, entonces aprobars. p= estudias q= vienes a clase r= aprobars Formalizacin: (p A q) -> r Comentario: La proposicin del ejemplo dice que para aprobar hay que cumplir dos condiciones: asistir a clase y estudiar. Esto significa que tiene que ser verdad que estudias y que vas a clase para que sea verdad que apruebas. Esto se formaliza con ayuda del condicional. Ntese que no es lo mismo "(p A q)-> r" que "p A (q -> r)". El significado de una proposicin puede cambiar enormemente segn cmo usemos los parntesis. Aunque existen algunas reglas para simplificar el uso de los parntesis, de momento es mejor usarlos siempre para evitar ambigedades.

1.4 TABLAS DE VERDAD

La tabla de verdad de una frmula es una tabla en la que se presentan todas

las posibles interpretaciones de las variables proposicionales que constituye la

frmula y el valor de verdad de la frmula completa para cada interpretacin.

Por ejemplo, la tabla de verdad para la frmula sera:

Como se ve, esta frmula tiene 2n interpretaciones posibles una por cada

lnea de la tabla, donde n es el nmero de variables proposicionales (en

este caso 3, es decir p, q, r) , y resulta ser una tautologa, es decir que bajo

todas las interpretaciones posibles de las variables proposicionales, el valor

de verdad de la frmula completa termina siendo V.

1.4.1 Tablas de verdad de las conectivas lgicas Formalizar una proposicin es slo el primer paso. Ahora tenemos que analizar las frmulas obtenidas en relacin con su verdad o la falsedad. El valor de verdad de las proposiciones moleculares depende del valor de verdad de las proposiciones atmicas que la componen y de las conectivas lgicas. Una proposicin atmica puede ser verdadera o falsa. Nosotros adoptaremos la convencin de referirnos al valor de verdad "Verdadero" con el smbolo "1" y al valor de verdad "Falso" con el smbolo "0". Podemos expresar los posibles valores de verdad de una proposicin atmica mediante la siguiente tabla: p

P

1

0

Esta tabla significa que la proposicin atmica "p" (que puede ser cualquier proposicin atmica) puede ser verdadera (1) o falsa (2). En realidad no sabemos si es verdadera o falsa, porque eso depende de su

significado, que desconocemos. Pero lo que sabemos con toda seguridad es que debe tener uno de esos valores de verdad. La cosa se complica cuando pretendemos averiguar los posibles valores de verdad de una proposicin molecular. En efecto, la proposicin molecular

p A q puede ser verdadera o falsa, pero su verdad o falsedad depende de la verdad o falsedad de p y de q. As pues, si p es verdadera pero q es falsa, (p A q) ser falsa, por ejemplo. A cada combinacin de valores de verdad de p y de q, le corresponde un valor de verdad a la proposicin compleja. Podemos expresar esto con la siguiente tabla de verdad de la conjuncin:

p q p A q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Como vemos en la tabla, la frmula (p A q) slo es verdadera cuando p es verdadera y q es verdadera, siendo falsa en todos los dems casos. Podemos confeccionar una tabla semejante para todas las conectivas lgicas: Tabla de verdad de la disyuncin

p q p A q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Como vemos, la disyuncin slo es falsa en caso de que sus dos trminos lo sean, y es verdadera en todos los dems supuestos. Tabla de verdad del condicional

p q p v q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

La tabla de verdad del condicional siempre causa cierta inquietud y, de hecho, ha sido objeto de crtica por parte de muchos lgicos. Nosotros no entraremos en tales disquisiciones y nos conformaremos con comprenderla, lo que ya es bastante. Lo primero que observamos en la tabla del condicional es que slo es falso en un caso: cuando el antecedente es verdadero y el consecuencia falso. En efecto, supongamos que a principio de curso un profesor dice a sus alumnos:

Si vens a clase entonces aprobaris

Ahora supongamos que, al final de curso, un determinado alumno, tras asistir religiosamente a todas las clases, suspende. Diremos, en ese caso, que el profesor minti al principio de curso pues la proposicin "si

vens a clase entonces aprobaris" es manifiestamente falsa, pues un alumno ha ido a clase y no ha aprobado.

Lo que sorprende de la tabla de verdad del condicional no es esto, sino

los casos que lo hacen verdadero. En el primer caso no parece haber problema, pues si el antecedente es verdadero y tambin lo es el consecuente, no hay razn para negar el condicional: se ha cumplido la condicin y tambin se ha cumplido lo condicionado.

El segundo caso merece algo ms de atencin. En efecto, como vemos

en la tabla, si el antecedente es falso pero el consecuente es verdadero, el condicional es verdadero. La razn de esto es que el consecuente de un condicional puede ser verdadero independientemente del antecedente. Si es verdad que si Pepito estudia entonces aprueba, eso no excluye que apruebe sin estudiar, pues aun en ese caso seguira siendo verdad que si hubiera estudiado, aprobara.

El tercer caso en el que el condicional es verdadero no carece tampoco

de inters. Si tanto el antecedente como el consecuente son falsos, el condicional es verdadero. Hay que recordar que un condicional no est describiendo un hecho actualmente existente del mundo, sino que establece una condicin y dice que, en el caso de que se cumpliera, ocurrira tal o cual cosa. Que el antecedente y el consecuente sean falsos no excluye que si el antecedente hubiera sido verdadero tambin lo hubiera sido el consecuente. Si yo no estudio y no apruebo, no por eso es falso que si estudio, entonces apruebo.

TABLA DE VERDAD DE LA NEGACIN Como hemos visto en apartados anteriores, la negacin invierte el valor de verdad de la proposicin negada, tal y como se establece en la siguiente tabla:

p p

1 0

0 1

Es decir, que cuando p es verdadera, p es falsa, y cuando p es falsa, p es verdadera.

EJERCICIOS: