Premisas:

viiiCalculo Proposicional

Pg. 19Calculo Proposicional

UNIVERSIDAD RURAL DE GUATEMALA

CALCULO PROPOSICIONAL

ING. FREDY PEREZ

MATEMATICA I

PREFACIO

A mediados del siglo XIX, los matemticos britnicos George Boole y Augustus De Morgan abrieron un nuevo campo a la lgica, hoy conocido como lgica simblica o moderna, que ms tarde fue desarrollada por el matemtico Alemn Gottlob Frege y de un modo especial por los matemticos Britnicos Bertrand Russell y Alfred North Whitehead en Principia Matemtica. El sistema lgico de Russell y Whitehead cubre un espectro mayor para frases enteras y para las conjunciones que las unen, como o, y, s...entonces. Cuenta con smbolos diferentes para el sujeto lgico y el predicado lgico de una frase; y adjudica smbolos para distinguir las clases, para los miembros de las clases y para las relaciones de la pertenencia a una clase y la inclusin en una clase. Tambin se aleja de la lgica clsica en sus suposiciones de la existencia respecto a las cosas aludidas en sus afirmaciones universales. La afirmacin Todo A es B significa en lgica moderna que Si algo es A, entonces es B; lo que, a diferencia de la lgica tradicional, no significa que todo A existe.

Tanto la rama clsica como la moderna implican mtodos de lgica deductiva. En cierto sentido, las premisas de una proposicin vlida contienen la conclusin, y la verdad de la conclusin se deriva la verdad de las premisas. Tambin se han hecho esfuerzos para desarrollar mtodos de lgica inductiva como las que sostienen que las premisas conllevan una evidencia para la conclusin, pero la verdad de la conclusin se deduce, slo con un margen relativo de probabilidad, de la verdad de la evidencia.

De Margan y Lukasiewicz tambin hacen importantes aportaciones a la lgica, De Morgan aporta la denominada induccin matemtica y las leyes que llevan su nombre, y Lukasiewicz aporta un rbol de valores y el significado del calculo de predicados; en seguida se describen cada unos de los captulos que componen este escrito.

El captulo 1 nos habla acerca de los antecedentes histricos del razonamiento, retomando algunos textos de los principales matemticos y pensadores, mismos que hicieron aportaciones importantes en el campo de la lgica, tales como Aristteles, Boole, De Morgan y Lukasiewicz. Definiendo de esta manera a la lgica matemtica y sus dos principales campos de aplicacin (Lgica proposicional y Clculo de predicados) y desde luego el trmino de lgica formal dentro de las ciencias de la computacin.

Capitulo 2 aqu se define el trmino de lgica proposicional, descripcin y explicacin de lo que son las proposiciones (simples o compuestas) dando ejemplos de ellas. Principales conectores utilizados en la lgica proposicional para hacer operaciones con proposiciones, segn el resultado de las tablas de verdad se definen tres conceptos importantsimos; Tautologa, contradiccin y contingencia. Breve comentario y enlistado de las principales leyes de la lgica, ejemplificando la simplificacin utilizando estas. Las reglas de inferencias con proposiciones, explicando tres principales a grandes rasgos, entre estas tenemos las ms comunes que son: Modus Ponens que puede denominrsele como encadenamiento hacia adelante, Modus Tollens como el encadenamiento hacia atrs y por ltimo el Mecanismo de resolucin que se utiliza para obtener conclusiones compuestas basadas en dos o ms reglas. No obstante se dice que el Modus Ponens y el Modus Tollens solo son utilizadas para obtener conclusiones simples. Como ltima parte de este captulo se explica con ejemplos la validacin de proposiciones usando tablas de verdad as como la demostracin automtica de teoremas.

INTRODUCCIN

En forma natural, el ser humano representa el conocimiento simblicamente: imgenes, lenguaje hablado y lenguaje escrito. Adicionalmente, ha desarrollado otros sistemas de representacin del conocimiento: literal, numrico, estadstico, estocstico y lgico.

En los organismos biolgicos se estima que el conocimiento es almacenado como estructuras complejas de neuronas interconectadas.

En las computadoras, el conocimiento se almacena como estructuras simblicas, pero en forma de estados elctricos y magnticos.

La lgica proposicional es la ms antigua y simple de las formas de lgica. Utilizando una representacin primitiva del lenguaje, permite representar y manipular aseveraciones sobre el mundo que nos rodea. La lgica proposicional permite el razonamiento, a travs de un mecanismo que primero evala sentencias simples y luego sentencias complejas, formadas mediante el uso de conectivos proposicionales, por ejemplo Y (AND), O (OR). Este mecanismo determina la veracidad de una sentencia compleja, analizando los valores de verdad asignados a las sentencias simples que la conforman.

La historia de la lgica empieza a marcarse a travs de los aos, haciendo aportaciones a ella, pensadores muy renombrados por sus hechos. Cabe sealar que en este documento solo se har referencia a algunos de ellos.

Principalmente uno de los ms conocidos es Aristteles, siendo la lgica Aristotlica la base para guiarse y de esta manera continuar haciendo diferentes estudios y pruebas con el fin de confirmar lo estipulado, siendo as como empezaran a descubrir algunas fallas en esta disciplina. Aristteles se basa bsicamente en el Silogismo.

Otro pensador y filosofo y que una de las reas de la lgica lleva su nombre es George Boole con la denomina lgebra de Booleana. Hizo importantes aportaciones a la lgica matemticas como al lgebra. Por ende el lgebra Booleana es considerada como la base para la construccin del switch telefnico y en lo que es la fabricacin de computadoras.

Se le atribuye el trmino de Induccin matemtica a De Morgan, a l tambin se le deben las leyes De Morgan, con su estudio descubri que el lgebra de la lgica natural tiene rutas hacia otros tipos de lgebras.

Existieron muchos pensadores y muchas otras aportaciones no sin pensar que no tienen mucha importancia, solo que el fin no es remontarse desde el nacimiento de la lgica hasta la denominada lgica moderna. Por ltimo y no menos importante Lukasiewicz, mismo que escribi fragmentos de los principios de la no contradiccin, desarrollando un rbol de valores para el calculo proposicional.

La lgica es una ciencia racional no slo segn la forma, sino tambin segn la materia; una ciencia a priori de las leyes necesarias del pensamiento, no con relacin a objetos determinados, sino con relacin a objetos en general; es, pues una ciencia del recto uso del entendimiento y de la razn en general; no de manera subjetiva, es decir, no segn principios empricos, psicolgicos (como piensa el entendimiento), sino de manera objetiva, es decir, segn principios a priori (cmo el entendimiento debe pensar)

En Lgica de Emmanuel Kant.1.- INICIOS DEL CALCULO PROPOSICIONAL

1.1. Revisin histrica de los mtodos del pensamiento. (Aristteles, George Boole, Augustus De Morgan y Jan Lukasiewicz.)

El corazn de la lgica de Aristteles es el silogismo. La silogstica de la argumentacin denominada lgica por 2,000 aos.

En lgica, Aristteles desarroll reglas para establecer un razonamiento encadenado que, si se respetaban, no produciran nunca falsas conclusiones si la reflexin parta de premisas verdaderas (reglas validas.) En el razonamiento los nexos bsicos eran los silogismos: proposiciones emparejadas que, en su conjunto, proporcionaban una nueva conclusin. El ejemplo ms famoso, Todos los humanos son mortales y Todos los griegos son humanos, se llega a la conclusin vlida de que Todos los griegos son mortales. La ciencia es el resultado de construir sistemas de razonamiento ms complejos. Aristteles en su lgica, distingua entre la dialctica y la analtica; para l, la dialctica slo comprueba las opiniones por su consistencia lgica. La analtica, por su parte, trabaja de forma deductiva a partir de principios que descansan sobre la experiencia y una observacin precisa. Esto supone una ruptura deliberada con la Academia de Platn, escuela donde la dialctica era el nico mtodo lgico vlido, y tan eficaz para aplicarse en la ciencia como en la filosofa.

George Boole

En el ao 1854 public una investigacin de las leyes del pensamiento sobre las cuales son basadas las teoras matemticas de Lgica y Probabilidad. Boole aproxim la lgica en una nueva direccin reducindola a una lgebra simple, incorporando lgica en las matemticas. Agudiz la analoga entre los smbolos algebraicos y aquellos que representan formas lgicas. Comenzaba el lgebra de la lgica llamada lgebra Booleana la cual ahora encuentra aplicacin en la construccin de computadoras, circuitos elctricos, etc.

El sistema de lgica de Boole es una de las muchas pruebas y paciencia combinada. Esta el proceso simblico del lgebra, inventado como herramienta de clculos numricos, sera competente para expresar cada acto del pensamiento, y proveer la gramtica y el diccionario de todo el contenido de los sistemas de lgica, no habra sido creble hasta probarlo. Cuando Hobbes public su Computacin o Lgica l tena un remoto reflejo de algunos de los puntos que han sido ubicados en la luz del da por el Sr. Boole.

El lgebra Booleana tiene una amplia aplicacin en el switch telefnico y en el diseo de computadores modernos. El trabajo de Boole ha llegado a ser como un paso fundamental en la revolucin de los computadores hoy en da.

Considrense los smbolos de la figura No. 1, utilizndolos podemos decir que Boole pensaba que a una proposicin se le poda asignar valores de verdad o falsedad, por ejemplo:

Si llueve me mojo

P = S llueve

Q = Me mojo Augustus De Morgan

En 1838 l defini l termino induccin matemtica colocando un proceso que ha sido usado sin claridad en una rigurosa base. El termino aparece primero en el artculo de De Morgan (Induction Mathematics) en el Penny Cyclopedia. Que la Penny Cyclopedia public a travs de la Sociedad de la Difusin til del Conocimiento, establecido por el mismo reformador quien fundo London University, y que la Sociedad tambin publico como un famoso trabajo por De Morgan El calculo integral y diferencial.

Reconsidero la pureza simblica del lgebra natural y fue consciente de la existencia de otras lgebras como lgebras ordinarias. Presenta las leyes De Morgan y su grandiosa contribucin es como un reformador de la lgica matemtica.

De Morgan creo y defini las leyes que llevan su nombre, las cuales son reglas de equivalencia en las que se muestran que dos proposiciones pueden ser lgicamente equivalente, como se muestra a continuacin.

Leyes de Morgan~(P(Q) ( ~P(~Q

~ (P(Q) ( ~P(~Q

Jan Lukasiewicz

Trabajo en lgica matemtica, escribi ensayos de los principios de la no contradiccin y la excluyo alrededor de 1910, desarrollando un rbol de valores para el calculo proposicional (1917) y trabajo en muchos valores lgicos.

Lukasiewicz presento la notation Polish la cual permita escribir expresiones sin ambigedad en el uso de soportes y su estudio fue de base para el trabajo de Tarskis.

1.2. Concepto de la matemtica lgica y sus dos principales campos. Clculo proposicional y clculo de predicados.

La lgica matemtica estudia la forma del razonamiento, se considera como una disciplina que por medio de reglas y tcnicas determina si un argumento es vlido o no.

El clculo proposicional o lgica proposicional, es la ciencia que trata de los principios vlidos del razonamiento y la argumentacin. El estudio de lgica es el esfuerzo por determinar las condiciones que justifican a una persona para pasar de una proposicin dada, llamadas premisas, a una conclusin que se deriva de aqullas.

El calculo de predicados est basado en la idea de que las sentencias realmente expresan relaciones entre objetos, as como tambin cualidades y atributos de tales objetos. Los objetos pueden ser personas, objetos fsicos, o conceptos.1.3. Significado de la lgica formal en las ciencias de la computacin.

La lgica matemtica es la disciplina que trata los mtodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lgica proporciona reglas y tcnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lgico se emplea en matemticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computacin para verificar si son o no correctos los programas.

Tambin la lgica tiene participacin en la construccin de programas como son los Sistemas Expertos y programas de Inteligencia Artificial en sus diferentes modalidades, que comnmente se les denominan sistemas basados en reglas.2.- CALCULO PROPOSICIONAL

2.1.- Principales conceptos

El clculo proposicional es tambin llamado, lgica proposicional, calculo sentencial, lgebra Booleana. El clculo proposicional, junta dos clculos de predicados con la constitucin de smbolos lgicos.

La Lgica Matemtica surge como una disciplina matemtica cuyo objeto de estudio es la lgica del razonamiento matemtico humano (y actualmente tambin de otras formas de razonamiento.) Requiere de expresar la lgica en trminos susceptibles de ser representados y manejados por un computador.

La lgica proposicional es la parte de la lgica que estudia las formas en que se relacionan unas proposiciones con otras y, sobre todo, la relacin que se da entre las proposiciones que componen un razonamiento.

Proposiciones

Las proposiciones son definidas, apenas como un pensamiento completo. Para nuestro propsito las proposiciones pueden ser tentativamente igual a una sentencia.

Las proposiciones son una sentencia declarativa, o reglas las cuales tienen valores de verdad, una proposicin puede tener dos valores, verdadero o falso. Pero no ambos (verdadero y falso) y tampoco pueden no tomar ningn valor. Una proposicin es un hecho. Los argumentos de las proposiciones son: premisas y conclusiones de una proposicin. Las proposiciones son portadoras de veracidad y falsedad.

Mientras las proposiciones son expresadas en sentencias, la rama de la lgica se conoce como smbolos lgicos empleando letras de variables minsculas, o variables de sentencias o variables proposicionales, p, q, r, s,..., para expresar proposiciones.Proposiciones simples o hechos

Las siguientes son proposiciones simples las cuales son verdaderas:

1. El cielo es azul

2. La nieve es fra

3. 12*12=144

4. Vicente Fox es el presidente de la Republica Mexicana

5. La Segunda Guerra Mundial duro desde 1939 hasta 1945

Las siguientes proposiciones simples son falsas:

1. Honda hace televisiones

2. El General Fidel Castro es un Demcrata

3. 8+99=231

4. Los Insectos crean su comida a travs de fotosntesis

5. Atenas es la capital de ItaliaLas siguientes son proposiciones no validas:

1. l es un vendedor-> Esta no es una proposicin porque l no esta definido. Como un resultado no hay manera de verificar la sentencia y asignarle un valor de verdad.

2. Esta declaracin es una mentira-> No es una proposicin porque Esta no esta definida como una declaracin. No hay referencia y como en otros ejemplos no podemos asignar un valor de verdadero o falso a la declaracin.

3. Las cosas buenas vienen en pequeos paquetes - > Este tipo de declaracin expresa una idea subjetiva o concepto el cual no puede ser verificado en trminos de verdadero o falso.

4. La verdad es que no hay verdad-> Esta es tambin un valor de hecho y expresa un concepto filosfico el cual no es verificable.

5. Dios es bueno-> Este es un valor de hecho y expresa una tica, idea religiosa o dogma. No es una proposicin.

6. Por que el Soccer no es ms popular que el Bsquetbol en Estados Unidos?-> Esta no es una declaracin. Simplemente hace una pregunta.

7. 12 + x = 16-> No es una proposicin porque x es una variable indefinida, al menos que a x se le asignen valores, hasta entonces se puede verificar el valor de verdad o falsedad de la proposicin.

8. Al Pacino era un buen actor-> No es una proposicin. Esta sentencia expresa una opinin; es subjetivo.

INTRODUCCION

Lgica Es la disciplina que se vale de mtodos de anlisis y razonamiento utilizando el lenguaje de las matemticas como un lenguaje analtico. La lgica matemtica nos ayuda a establecer criterios de verdad, equivalencias lgicas tales como el silogismo, hacer demostraciones de teoremas y es auxiliar en el anlisis de argumentos planteado

LGICA PROPOSICIONAL

Es una parte de la lgica matemtica que se le nombra de diferente forma:

Jos Ferrater Mora y Hugues Leblanc la llaman lgica sentencial (de sentencia), porque, para dichos lgicos, juicio es el acto mental mediante el cual se une o separa conceptos mediante su afirn1acin o negacin, respectivamente, proposicin es el producto de dicho acto, es el pensamiento mismo, y la sentencia, es un conjunto de signos con los que se expresan las proposiciones (es la manifestacin verbal de la proposicin).

Jos A. Diez Calzada la define como parte de la lgica moderna que estudia " ... la validez de los argumentos cuya validez depende slo de las conexiones entre afirmaciones (proposiciones/enunciados) completas. La lgica proposicional debe explicar o poner de manifiesto los motivos por los que ciertos esquemas argumentativos son vlidos ... y ciertos otros son invlidos ... "155;

Proposiciones simples o hechos

Una Variable

Las siguientes son proposiciones simples las cuales son verdaderas:

6. El cielo es azul

7. La nieve es fra

8. 12*12=144

9. Vicente Fox es el presidente de la Republica Mexicana

10. La Segunda Guerra Mundial duro desde 1939 hasta 1945

Las siguientes proposiciones simples son falsas:

6. Honda hace televisiones

7. El General Fidel Castro es un Demcrata

8. 8+99=231

9. Los Insectos crean su comida a travs de fotosntesis

10. Atenas es la capital de Italia

P Y Q CON DOS VARIABLESPremisas:

P: Si Pedro estudia lgica, entonces

q: Pedro es capaz de argumentar

Conclusin: Pedro estudia lgica. Pedro es capaz de argumentar

Premisas:

p: Aristteles estudi la lgica, la qumica o la economa.

q: Aristteles estudi la lgica

Conclusin: Aristteles no estudi la qumica ni la economa.

Premisa:

P Las ciencias son construcciones del intelecto humano

Conclusin: La lgica es una construccin del intelecto humano.

p Un bien escaso es costoso, porque la oferta es menor a la demanda.

Q Menor: El combustible es un bien escaso.

Conclusin: El combustible es costoso

Premisas:

P Tu hermano est sano o est enfermo.

Si tu hermano est sano, entonces que agradezca a Dios por darle salud.

P:Si la demanda crece entonces las compaas se expanden. Q:Si las compaas se expanden entonces contratan trabajadores. C:Si la demanda crece entonces las compaas contratan trabajadoresSi llueve con frecuencia los agricultores se quejan. Si no llueve con frecuencia los agricultores se quejan. Luego, los agricultores se quejanLas siguientes son proposiciones no validas:

9. l es un vendedor-> Esta no es una proposicin porque l no esta definido. Como un resultado no hay manera de verificar la sentencia y asignarle un valor de verdad.

10. Esta declaracin es una mentira-> No es una proposicin porque Esta no esta definida como una declaracin. No hay referencia y como en otros ejemplos no podemos asignar un valor de verdadero o falso a la declaracin.

11. Las cosas buenas vienen en pequeos paquetes - > Este tipo de declaracin expresa una idea subjetiva o concepto el cual no puede ser verificado en trminos de verdadero o falso.

12. La verdad es que no hay verdad-> Esta es tambin un valor de hecho y expresa un concepto filosfico el cual no es verificable.

13. Dios es bueno-> Este es un valor de hecho y expresa una tica, idea religiosa o dogma. No es una proposicin.

14. Por que el Soccer no es ms popular que el Bsquetbol en Estados Unidos?-> Esta no es una declaracin. Simplemente hace una pregunta.

15. 12 + x = 16-> No es una proposicin porque x es una variable indefinida, al menos que a x se le asignen valores, hasta entonces se puede verificar el valor de verdad o falsedad de la proposicin.

16. Al Pacino era un buen actor-> No es una proposicin. Esta sentencia expresa una opinin; es subjetivo.

ACTIVIDADES

1. Realice un pequeo resumen sobre INICIOS DEL CALCULO PROPOSICIONAL

2. Defina LOGICA

3. Defina que es PROPOSICION

4. Establezca la diferencia entre PROPOSICIONES VERDADESRAS Y FALSAS.

5. Escriba 10 proposiciones simples verdaderas

6. Escriba 10 proposiciones simples falsas

Escriba 10 proposiciones no vlidas

Variables proposicionales

Son los signos que representan proposiciones declarativas y se simbolizan con las letras "p", "q", "r", "s", "t" y siguientes letras del alfabeto.

Una proposicin determinada ser representada por slo una variable proposicional, por ejemplo: "si Pedro colisiona deliberadamente con su vehculo, entonces Pedro ser responsable por los daos causados. Pedro colisiona deliberadamente con su vehculo. Luego, Pedro ser responsable por los daos causados", la proposicin "Pedro colisiona deliberadamente con su vehculo" se representa por la variable

"p", y "Pedro ser responsable por los daos causados" por

"q", entonces tal forma del pensamiento se simboliza as: "Si p entonces q. p. luego, q".

Las variables proposicionales pueden ser verdaderas o falsas, segn si la proposicin que representan tenga uno u otro valor, y se simboliza con las letras V o F, o por los nmeros 1 0, respectivamente valores de verdad no significan que lo expresado en la proposicin refleje la realidad,

Porque tienen un sentido puralnente formal para determinar la validez de los argumentos.

Constantes o conectivas lgicas y tablas de verdad

Las constantes o conectivas lgicas son los signos que representan las relaciones entre las proposiciones, comnmente simbolizan conjunciones del lenguaje natural. Las constantes ms frecuentes son las siguientes:

Entre las leyes o principios fundamentales formulados por Aristteles se tienen:

Principio de no contradiccin: una proposicin no puede ser a la vez verdadera y falsa Principio del tercero excluido: toda proposicin es verdadera o es falsa.a. Negador

En lgica proposicional el negador es una conectiva lgica representada con el smbolo" -", que se antepone a la variable proposicional a negar, verbigracia: "-p". Esta expresin se lee

"no p" o "no es el caso que p". El negador cambia el valor de verdad de la variable proposicional que antecede, as, si "p" es verdadera, "-p" ser falsa, y si "p" es falsa, "-p" ser verdadera.

Lo anterior se expresa en la siguiente tabla de verdad:

p -p

1 O

O 1

En lenguaje natural el negador es la negacin que se representa usualmente con las palabras:

a.l. "ningn" antes del sujeto de la proposicin; es un enunciado que significa un juicio universal negativo

a.2. "no" antes del verbo de la proposicin; o,

a.3. "nunca" antes del verbo de la proposicin, por ejemplo: "Ningn" pjaro es un animal racional, Fernando "no" viajar a Italia y Mara "nunca" ha visitado las playas de Guatemala.

Eliminacin del negador: Negar doblemente una frmula es afirmarla,

simblicamente:

B Coyuntor

Es una constante o conectiva lgica representada con el smbolo" /\", el cual se sita entre dos variables proposicionales, por ejemplo: "p /\ q". Esta expresin se lee "p y q", la cual representa una proposicin que ser verdadera slo en el caso que las dos proposiciones que la integran tambin sean verdaderas.

Tambin cumplen esa funcin las siguientes palabras: "pero", "aunque" y "sin embargo", por ejemplo: Alejandro quera estudiar "pero" olvid sus libros, Roberto construy la casa, "aunque" no se ajust a todo lo indicado en el plano y Miguel nunca fue un buen estudiante, "sin embargo" en el ejercicio profesional es brillante.

C Disyuntor

Es una conectiva lgica representada con el smbolo "v", el cual se ubica entre dos variables proposicionales, verbigracia:

"p v q". Esta expresin se lee "p o q", la cual representa una proposicin que ser verdadera si allnenos una de las dos proposiciones que la constituyen es verdadera, o lo que es igual a decir que nicamente ser falsa si sus dos proposiciones son falsas

Es la conjuncin disyuntiva" o", la cual presenta una alternativa entre las proposiciones, por ejemplo: Javier decidi ir a sus clases de piano" o" a sus clases de lgica. La conjuncin en consideracin puede tener otro sentido, tal y como se muestra en el ejemplo indicado, porque en el uso cotidiano de dicha partcula puede significar que es verdadera solamente si una de las proposiciones es verdadera, es decir, que es falsa si las dos son verdaderas y si las dos son falsas

d. Condicional o implicador

Es una constante o conectiva lgica representada con el smbolo flecha , el cual se coloca entre una proposicin denominada antecedente o condicin y otra proposicin llamada consiguiente o condicionado, por ejemplo p flecha q". Esta expresin se lee "si p entonces q" o "p es condicin suficiente de q", la cual representa una proposicin que ser falsa nicamente si el antecedente es verdadero y el consiguiente es falso.

"si" Juan se esfuerza en su objetivo, entonces"

Juan lograr hacer su objetivo realidad

Bicondicional o equivalencia

Es una conectiva lgica representada con el smbolo "flecha ambos lados, el cual se coloca en medio de dos variables proposicionales, por ejemplo: "p doble flecha q" Esta expresin se lee "p equivale a q",la cual representa una proposicin que ser verdadera si las dos proposiciones que la constituyen tienen el mismo valor de verdad.

Ejemplo

Cristian ser abogado "si y slo si" se grada

Principia Matemtica fue un libro desarrollado, que trata como tema a la Lgica Moderna

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/References/Aristotle.html

HYPERLINK "http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/References/Boole.html" http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/References/Boole.html

HYPERLINK "http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/References/De_Morgan.html" http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/References/De_Morgan.html

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/References/Lukasiewics.html

Se usa indistintamente el trmino calculo proposicional o lgica proposicional, para nuestro estudio el significado de los dos trminos significa lo mismo

Iniciacin a la lgica simblica. Jos Antonio Arnaz; Pg. 13