Logica Formal

PROGRAMACIN

Ing. Fernely Artavia Fallas, MSc.

www.RedEstudiantil.com

1

LOGICA FORMAL Concepto La lgica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y tcnicas determina si un argumento es vlido. Aplicaciones La lgica es ampliamente aplicada en la filosofa, matemticas, computacin, fsica, entre otras. En la filosofa para determinar si un razonamiento es vlido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lgica permite saber el significado correcto. En las matemticas para demostrar teoremas e inferir resultados matemticos que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computacin para revisar programas. En general la lgica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lgico, por ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lgico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lgico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pint la parte alta porque se manchara lo que ya tiene pintado, tambin dependiendo si es zurdo o derecho, l puede pintar de izquierda a derecha o viceversa segn el caso, todo esto es la aplicacin de la lgica. Ejercicios 1. Cuntos rectngulos hay en la siguiente figura? 9 2. Cuntos tringulos hay en la siguiente figura? 23

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2

3. Escriba las cifras del 1 al 8 en las casillas de la rueda de modo que:

a. Los nmeros vecinos del 4 sumen 9. b. Los nmeros vecinos del 5 sumen 11. c. Los nmeros vecinos del 6 sumen 10. d. Los nmeros vecinos del 7 sumen 8.

4. Coloque los nmeros del 1 al 9, uno por crculo, de manera que las sumas de

los nmeros de cada lado sea igual a 17. 5. Ubique las cifras del 1 al 9 en los crculos de modo que la suma de las cifras de

cada lnea sea 15.

8 5

3

6

7

1

2

4

1

9

4

3

6

8

2 7 5

3 2

1

4

7

8

9

6

5

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3

6. La siguiente figura est formada por la combinacin de un cuadrado y la mitad de otro. Hay que dividirla en cuatro partes exactamente iguales. Sabra usted hacerlo?

Lgica: Son una serie de razonamientos para dar una conclusin. Proposiciones: Son afirmaciones verdaderas o falsas, es un conjunto de anunciados. T = Verdadero. F = Falso. p: = Proposicin. Una proposicin no son rdenes o instrucciones. Ejemplo: p: Hoy est lloviendo. q: Es de noche. r: Cierre la puerta. No es proposicin. Tipos de Proposiciones Simples: Son las que se componen de una sola proposicin. Ejemplo: Mara es abogada. = p Compuestas: Son las que se componen de dos o ms proposiciones. Ejemplo: Mara es abogada y Marcos es mdico. = pq = Conjuncin

Mara es abogada o Marcos es mdico. = pq = Disyuncin Prctica

Realice las siguientes conversiones: p: Hoy comer arroz con pollo. q: Voy a dormir en la tarde. r: Me saque un 100 en informtica. s: Me saque un 50 en matemtica.

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4

pq:

qp:

rs:

rq:

ps: Tablas de Verdad La tabla de verdad describe los valores de verdad de una proposicin compuesta. Adems enumera todas las posibles combinaciones de los valores de verdad.

Los valores de verdad de las proposiciones compuestas pq y pq estn definidos por las siguientes tablas. 0= Falso. 1= Verdadero.

Regla para proposiciones compuestas con (y). Para que el resultado sea verdadero (1) las dos proposiciones deben ser verdaderas de lo contrario es falso.

p q pq

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Regla para proposiciones compuestas con (o). Para que el resultado sea verdadero (1) basta con que una proposicin sea verdadera.

p q pq

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Ejemplo:

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5

La tabla de verdad de (pq) (pq) y (pq) (pq) es:

p q pq pq (pq) (pq) (pq) (pq)

0 0 0 0 0 0

0 1 0 1 0 1

1 0 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1

Prctica Construya una tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones compuestas:

a) (pq) (pr)

b) (pq) (ps)

c) (((ps) (pq)) (pr)) Negacin

Simplemente se invierte el valor de verdad de p y suele leerse p como no p.

p p

0 1

1 0

Ejemplos p: Hoy es jueves. T q: Maana es viernes. T s: La II Guerra Mundial fue en el siglo XI. F

(pq) s (pq) s ((pq) s)

(TT)F (TT) F ((TT) F)

TF (TF) F ((TF) F) T FF ((FT) F) F (F F) F T

Tautologa La proposicin p es una tautologa, s p es verdadera para todos los valores de verdad que se asignen a p.

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6

Contradiccin La proposicin p es una contradiccin, s p es falsa para todos los valores de verdad que se asignen a p. Ejemplo: p pp pp

F T F

T T F Practica A. Tomando en cuenta las proposiciones. p: Hoy es viernes T q: Maana es sbado T s: La II Guerra Mundial fue en el siglo XV F

1) pq

2) pq

3) (pq) (ps)

4) pq

5) p(qs) B. Para los ejercicios del 6 al 9 elabore las tablas de verdad.

6) p q

7) (p q) p

8) (p q) p

9) (p p) (q q) C. Para los ejercicios anteriores (6 al 9) determine si son: Tautologa,

Contradiccin o ninguna de las dos.

Regla para proposiciones compuestas con (Implicacin). Una proposicin verdadera no implica una falsa, en otras palabras, algo verdadero no implica algo falso. Ejemplo: Si peso ms de 60 kilogramos, entonces ir al gimnasio. = pq p: Peso me de 60 kilogramos. q: Ir al gimnasio.

pq

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p q pq

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Regla para proposiciones compuestas con (Negacin). Una proposicin verdadera pasa a ser falsa y viceversa. Ejemplo: Si peso menos de 60 kilogramos, entonces no ir al gimnasio. = pq p: Peso ms de 60 kilogramos. q: Ir al gimnasio.

pq

p q q pq

0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

Regla para proposiciones compuestas con (Equivalencia). La bicondicionalidad es verdadera cuando las dos proposiciones tienen el mismo valor. Ejemplo: Pedrito saldr a jugar si y slo s hace la tarea. p: Pedrito saldr a jugar. q: Hace la tarea.

pq

p q pq

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

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8

Prctica 1. Construya una tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones

compuestas:

a) p(qr)

b) (pq)r

c) (pq)

d) (pq)

e) (pq)(qp)

f) qp 2. Convierta las siguientes proposiciones a proposiciones simblicas compuestas.

a. Yo estudio en el colegio y me va muy bien en todas las materias. b. Yo estudio en el colegio o salgo mal en los exmenes. c. Si yo estudio mucho, entonces sacar buenas notas. d. Si sal mal en el examen, entonces yo no estudie. e. Hoy saldr a jugar si y solo si termino la tarea. f. Hoy no saldr a jugar si y solo si no termino la tarea. g. Yo voy al colegio y me va muy bien en todas las materias si y solo si yo

estudio. h. Felipe saldr a dar un paseo si y slo si la luna esta brillando. i. Si est nevando y la luna no est brillando, entonces Felipe no saldr a

dar un paseo. j. Est nevando pero, an as, Felipe saldr a dar un paseo.

3. Sean p, q y r las siguientes proposiciones simples:

p: Felipe sale a dar un paseo. T q: La luna esta brillando. F r: Est nevando. F

Convierta las siguientes proposiciones simblicas compuestas a lenguaje comn con las proposiciones anteriores y verifique si son falsas o verdaderas:

a. pq

b. pq

c. pqr

d. (qr)

e. pr

f. q(rp)

g. (p(rq))

h. p(qr) 4. Construya una tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones

compuestas:

a. pr

b. p(qr)

c. (qr)

d. q(rp)

e. (p(rq))

f. p(qr)

g. p(pq)

h. (pq)(qp)

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9

Razonamientos El objetivo fundamental de esta seccin es ver si determinados razonamientos son verdaderos o falsos Por razonamiento se debe entender la afirmacin de que determinada proposicin (la conclusin) sea consecuencia de las otras proposiciones (las premisas). Un razonamiento es vlido si, y solamente s, la conjuncin de las premisas implica la conclusin, es decir, cuando las premisas son todas verdaderas, la conclusin es verdadera. Una observacin muy importante que hay que resaltar, es que la verdad de la conclusin es independiente de la manera de demostrar la validez de un razonamiento. Una conclusin verdadera no es condicin necesaria ni suficiente para la validez de un razonamiento. Ejemplo 1 Si usted invierte en el mercado de valores, entonces se har rico. Si se hace usted rico, entonces ser feliz. ____________________________________________________

Si usted invierte en el mercado de valores, entonces ser feliz. Sea: p: Usted invierte en el mercado de valores. q: Se har rico. r: Ser feliz De tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notacin lgica de la siguiente manera:

p q

q r ______

p r Ejemplo 2 Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso El ingreso se eleva. _________________________________________

Los impuestos bajan

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Solucin: Sea p: Los impuestos bajan. q: El ingreso se eleva.

p q q _____

p Ejercicios 1) Si Luis se levanta a las siete entonces va a clase. Si Luis va a clase, entonces se graduar. _________________________________

Luis se graduar 2) Todo artista es sensible Los escultores son artistas

Todos los escultores son sensibles 3) Todo hombre es mortal Pedro es hombre Pedro es mortal 4) Si estudio mucho, entonces obtengo 100 como calificacin Estudio mucho

Obtengo 100 como calificacin 5) Estudio mucho si y solo si me hago millonario Me hago millonario

Estudio mucho Demostrando la validez de los razonamientos Para demostrar la validez de un razonamiento, solamente se supone que las proposiciones son verdaderas

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Ejemplo:

p q T T = T

q r T T = T

p r T T = T Ejercicios

p q

p

q

p q

q

p

p (p r) q (p r)

(p q) r

p q p

q

p r r

p

p (q r)

q r

p

p r p q

p (r q)

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AB S

AB S

lgebra de Boole Es un conjunto de reglas y propiedades con las cuales pueden manipularse modelos simblicos de circuitos lgicos de dos estados. Compuerta de Igualdad

A S 0 0

1 1

Compuerta de Negacin (Not)

Compuerta Unin (Or)

A + B = S Compuerta Interseccin (And)

A B = S Compuerta No Unin (Nor)

(A + B) = S

A S 0 1

1 0

A B S 0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

A B S 0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

A B S 0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

A S

A S

AB

S

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13

AB S

AB S

AB S

Compuerta No Interseccin (Nand)

(A B) = S Compuerta Nor Exclusivo

((A B) + (A B)) = S Compuerta Or Exclusivo

(A B) + (A B) = S Practica Dibuje las siguientes compuertas lgicas

1. S = ((xy) + (yz))

X

Y

Z

S

1100

1111

0011

0000

1111

1100

0000

A B S 0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

A B S 0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

A B S 0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

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14

2. S = (((xy) (y+q)) w)

X

Y

QS

W

1100

1111

0111

0001 0000

0011

1111

1000

1000

3. S = ((xyw) + y) ((xyw) + w)

X

Y

W

S0011

1100 0011

0011

1000 0111

0000

0111

0011

4. S = (x(xy)) + (y(xy))

X

Y

1100

1111S

00110011

0011

0000

5. S = ((AB) + (AB)) + (AB)

AB

S0110

1011

1101

0110

0110

-0100

-0010

0010

0100

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Averige el resultado de los ejercicios anteriores sabiendo que: A = 1011 B = 1101 q = 0001 w = 1000 x = 1100 y = 1111 z = 0011 LAS LEYES DE LA LOGICA

1) pp Ley de la doble negacin

2) (pq) pq Leyes de De Morgan

(pq) pq

3) pq qp Leyes conmutativas

pq qp

4) p(qr) (pq)r Leyes asociativas

p(qr) (pq)r

5) p(qr) (pq) (pr) Leyes distributivas

p(qr) (pq) (pr)

6) pp p Leyes de idempotentes

pp p

7) pF0 p Leyes de neutro

pT0 p

8) pp T0 Leyes inversas

pp F0

9) pT0 F0 Leyes de dominacin

pF0 T0

10) p(pq) p Leyes de absorcin

p(pq) p

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16

Prctica 1. (pp) (qq) p

F0 (qq) p Ley inversa

(F0 (qq)) p Ley asociativa

T0 p Ley dominacin

p Ley neutra

2. p(pq) (qp)

((pp) (pq)) (qp) Ley Distributiva

F0 (pq)) (qp) Ley Inversa

(pq) (qp) Ley Neutra

(pq) (qp) Ley De Morgan

((pq) q) p Ley Asociativa

(p(qq)) p Ley Asociativa

(pF0) p Ley Inversa

T0p Ley Dominacin F0 Ley Dominacin

3. (p (qq)) ((pq) p)

(p F0) ((pq) p) Ley Inversa

T0 ((pq) p) Ley Dominacin

T0 ((qp) p) Ley Conmutativa

T0 (q (pp)) Ley Asociativa

T0 (qF0) Ley Inversa

T0 T0 Ley Dominacin T0 Ley Idempotente

4. ((pq) r) (pq)

(pq) ((pq) r) Ley Conmutativa

(pq) ( (pq) r) Ley De Morgan

(pq) Ley de absorcin

5. (pq) ((pq) r)

((pq) ((pq) r) Ley De Morgan

(((pq) (pq)) r) Ley Asociativa

((pq)r) Ley Idempotente

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6. p(pq) (qp)

((pp) (pq)) (qp) Ley Distributiva

F0 (pq)) (qp) Ley Inversa

(pq) (qp) Ley Neutra

(pq) (qp) Ley De Morgan

((pq) q) p Ley Asociativa

(p(qq)) p Ley Asociativa

(pq) p Ley Idempotente

p (pq) Ley Conmutativa

(pp) (pq) Ley Distributiva

T0 (pq) Ley Inversa

(pq) Ley Neutra

(pq) Ley De Morgan

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PERMUTACIONES Y COMBINACIONES PERMUTACIN: Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posicin que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Formula P (n, r) = n! (n-r)! Factorial de n El factorial de n o n factorial se representa por el smbolo n!. Y se define por un producto continuado en forma descendente y en el cual el cero factorial es igual a uno. Y se representa por: N! = n(n-1) (n-2) (n-3)... 4! = 4(4-1) (4-2) (4-3) 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

6! = 6(6-1) (6-2) (6-3) (6-4) (6-5) 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Ejemplos: 1) Cuantas representaciones diferentes sern posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, s esta representacin puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequea empresa. Solucin: n = 25, r = 5 P(25,5) = 25!/ (25 5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) / (20 x 19 x 18 x ... x 1)= 6, 375, 600 maneras de formar la representacin 2) a. Cuntas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de frmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) b. Cuntas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de frmula uno?

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Solucin: a. n = 8, r = 8 P (8,8) = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x......x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida......etc., etc. b. n =8, r = 3 P (8,3) = 8! / (8 3)! = 8! / 5! = (8 x 7 x 6 x 5 x........x1)/ (5 x 4 x 3 x......x1) = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera 3) Cuntos puntos de tres coordenadas (x, y, z), ser posible generar con los dgitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si, a. No es posible repetir dgitos, b. Es posible repetir dgitos.

Solucin: a. Por frmula n = 6, r = 3 P (6,3) = 6! / (6 3)! = 6! / 3! = 6 x 5 x 4 x 3! / 3! = 6 x 5 x 4 = 120 puntos posibles b. Por el principio multiplicativo 6 x 6 x 6 = 216 puntos posibles NOTA: Cul es la razn por la cul no se utiliza en este caso la frmula? No es utilizada debido a que la frmula de permutaciones slo se usa cuando los objetos no se repiten, esto quiere decir que en el inciso a. Los puntos generados siempre van a tener coordenadas cuyos valores son diferentes ejem. (1, 2, 4), (2, 4, 6), (0, 4, 9), etc. etc., mientras que los puntos generados en el inciso b. Las coordenadas de los puntos pueden tener valores diferentes o repeticiones de algunos valores o pueden tener todas las coordenadas un mismo valor ejem. (1, 2, 4), (1, 2, 2), (1, 1, 1), etc., etc.

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20

COMBINACIN: Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posicin que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Formula C (n, r) = n! (n-r)! r! Ejemplos: 1) a. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaa pro limpieza, cuantos grupos de limpieza podrn formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos?, b. si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, cuantos de los grupos de limpieza tendrn a 3 mujeres?, c.cuntos de los grupos de limpieza contarn con 4 hombres por lo menos? Solucin: a. n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 5 )!5! = 14! / 9!5! = 14!/ 9!5! = 2002 grupos Entre los 2002 grupos de limpieza hay grupos que contienen solo hombres, grupos que contienen solo mujeres y grupos mixtos, con hombres y mujeres. b. n = 14 (8 mujeres y 6 hombres), r = 5 En este caso nos interesan aquellos grupos que contengan 3 mujeres y 2 hombres

8C3*6C2 = (8! / (8 3)!3!)*(6! / (6 2)!2!) = (8! / 5!3!)*(6! / 4!2!) = 8 x7 x 6 x 5 /2! = 840 grupos con 3 mujeres y 2 hombres, puesto que cada grupo debe constar de 5 personas c. En este caso nos interesan grupos en donde haya 4 hombres o ms Los grupos de inters son = grupos con 4 hombres + grupos con 5 hombres = 6C4*8C1 + 6C5*8C0 = 15 x 8 + 6 x 1 = 120 + 6 = 126 2) Para contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas.

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21

a. Cuntas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas? b. Cuntas maneras tiene si forzosamente debe contestar las 2 primeras preguntas? c. Cuntas maneras tiene si debe contestar una de las 3 primeras preguntas? d. Cuntas maneras tiene si debe contestar como mximo una de las 3 primeras

preguntas? Solucin: a. n = 12, r = 9 12C9 = 12! / (12 9)!9! = 12! / 3!9! = 12 x 11 x 10 / 3! = 220 maneras de seleccionar las nueve preguntas o dicho de otra manera, el alumno puede seleccionar cualquiera de 220 grupos de 9 preguntas para contestar el examen. b. 2C2*10C7 = 1 x 120 = 120 maneras de seleccionar las 9 preguntas entre las que estn las dos primeras preguntas c. 3C1*9C8 = 3 x 9 = 27 maneras de seleccionar la 9 preguntas entre las que est una de las tres primeras preguntas d. En este caso debe seleccionar 0 o 1 de las tres primeras preguntas 3C0*9C9 + 3C1*9C8 = (1 x 1) + (3 x 9) = 1 + 27 = 28 maneras de seleccionar las preguntas a contestar 3) Una seora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene, a. Cuntas maneras tiene de invitarlos?, b. cuntas maneras tiene si entre ellos est una pareja de recin casados y no asisten el uno sin el otro, c. Cuntas maneras tiene de invitarlos si Rafael y Arturo no se llevan bien y no van juntos? Solucin: a. n = 11, r = 5 11C5 = 11! / (11 5 )!5! = 11! / 6!5! = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6! / 6!5! = 462 maneras de invitarlos Es decir que se pueden formar 462 grupos de cinco personas para ser invitadas a cenar.

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22

b. Esta seora tiene dos alternativas para hacer la invitacin, la primera es no invitar a la pareja y la segunda es invitar a la pareja. 2C0*9C5 + 2C2*9C3 = (1 x 126) + (1 x 84) = 210 maneras de invitarlos En este caso separamos a la pareja de los dems invitados para que efectivamente se cumpla el que no asistan o que asistan a la cena. c. La seora tiene dos alternativas para hacer la invitacin, una de ellas es que no invitar a Rafael y a Arturo o que asista solo uno de ellos. 2C0*9C5 + 2C1*9C4 = (1 x 126) + (2 x 126) = 126 + 252 = 378 maneras de hacer la invitacin 4) En un plano hay 10 puntos denominados A, B, C, ....,etc. etc., en una misma lnea no hay ms de dos puntos, a. Cuntas lneas pueden ser trazadas a partir de los puntos?, b. Cuntas de las lneas no pasan por los puntos A o B?, c. Cuntos tringulos pueden ser trazados a partir de los puntos?, d. Cuntos de los tringulos contienen el punto A?, e. Cuntos de los tringulos tienen el lado AB?. Solucin: a. En la redaccin del problema se aclara que en una misma lnea no hay ms de dos puntos debido a que si lo anterior ocurriera no se podra dar contestacin a las preguntas que se hacen. Una lnea puede ser trazada a partir de cmo mnimo dos puntos por lo tanto, 10C2 = 10! / (10 2)!2! = 10! / 8!2! = 45 lneas que se pueden trazar b. En este caso excluiremos los puntos A y B y a partir de los ocho puntos restantes se obtendrn las lneas. 2C0*8C2 = 1 x 28 = 28 lneas que no pasan por los puntos A o B c. Un tringulo puede ser trazado a partir de tres puntos, luego;

10C3 = 10! / (10 3)!3! = 10! / 7!3! = 120 tringulos posibles de trazar d. En este caso se separa el punto A de los dems, se selecciona y posteriormente tambin se seleccionan dos puntos ms.

1C1*9C2 = 1 x 36 = 36 tringulos que contienen el punto A e. Los puntos A y B forman parte de los tringulos a trazar por lo que; 2C2*8C1 = 1 X 8 = 8 tringulos que contienen el lado AB.

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23

2 3 5 4 8 13

2 3 4 5 6 7

1 2 3

20 38

2 3 4 5 6 7

1 2 3

Matrices y lgebra de matrices Dimensin de una matriz: La dimensin es la cantidad de columnas y filas de una matriz. Ejemplo:

Su dimensin es de 3 * 2, dado que posee 3 columnas y 2 filas

Suma de matrices: Para poder sumar 2 matrices se debe cumplir que ambas posean las mismas dimensiones. Ejemplo: Multiplicacin de Matrices: Para multiplicar una matriz de una dimensin C1 * F1 por otra matriz con una dimensin C2 * F2 se debe cumplir que la cantidad de columnas de la primera matriz (C1) sea igual a la cantidad de filas de la segunda matriz (F2), lo que dar como resultado una matriz con la siguiente dimensin C2 * F1. Ejemplo:

2 * 1 = 2 5 * 1 = 5 3 * 2 = 6 6 * 2 = 12 4 * 3 = 12 7 * 3 = 21 20 38 Relaciones: Dentro de una matriz de relaciones entre conjuntos se escribe 1 para formar el par ordenado, y un 0 para indicar que el par ordenado no esta dentro de la relacin. Ejemplo:

A = {a, b, c }

X = {1, 2}

R = {(1, a) (1, c) (1, b)}

a b c

1 1 0 1

2 0 1 0

2 4 3 5

1 3 4 6

3 7 7 11 +

=

* =

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24

2 4 6 8

2 6 4 8

2 4 3 8

2 2 7 5

1 2 -3 2 4 5 -3 5 6

1 2 -3 2 4 5 -3 5 6

3 0 -2 1

-2 1 4 -1

3 4 2 5

Transpuesta de una matriz: La transpuesta de una matriz se logra al colocar las filas en columnas, as la primera fila se coloca como la primera columna y as sucesivamente. Ejemplo:

Matrices invertibles: Para que una matriz sea invertible el resultado de la primera diagonal menos la segunda diagonal debe ser positiva: Ejemplo:

Primera diagonal = 2 * 8 = 16 Segunda diagonal = 4 * 3 = 12

Diferencia 4 El ejemplo anterior si es invertible, en cambio el siguiente ejemplo no lo es:

Matriz Simtrica: Una matriz es simtrica si es igual a su transpuesta Ejemplo:

A = AT= Prctica 1. Dada las matrices,

Primera diagonal = 2 * 5 = 10 Segunda diagonal = 2 * 7 = 14

Diferencia -4

A = Transpuesta = AT=

A = B = C =

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25

1 3 2 -2 4 0

3 4 -1 -2

-1 2

2 4 3 -1 0 1

4 0 -2 1

3 -1 2 2 0 1

-1 4 3 2 1 1 2 4 7

4 0 -2 1

6 7 3 2

Realice los siguientes ejercicios: 1) A+B 3) A+C 5) C+C+A 2) B+B 4) B+C 6) A+B+C

2. Determine las dimensiones de las siguientes matrices

Basadas en las matrices anteriores realice las siguientes operaciones en caso de no ser posible explique Porque? 1-) A* B 3-) C* D 5-) B* A 2-) A* D 4-) D* A 6-) D* C 3. Obtenga la matriz de la relacin dada por R={(1,d), (2,s), (1,f),(2,d),(3,d),(3,s),(2,f)} Z={1,2,3} I={d, s, f} 4. Encontrar los pares ordenados de la relacin V a O donde V = {1, 2, 3, 4, 5} O = {a, b, c, d, e}

5. Encuentre la transpuesta de las siguientes matrices

6. Demuestre que las siguientes matrices son invertibles

a b c d e

1 1 0 1 1 1

2 1 0 0 1 1

3 0 1 1 0 1

4 1 0 0 1 1

5 0 1 1 0 1

A = B = C = D =

A = B = C =

A = B = C=

PROGRAMACIN



26

1 2 -3 2 4 0 3 2 1

4 6 8 6 6 7 8 7 1

8 5 -3 5 4 -2 3 2 -1

7. Demuestre que las siguientes matrices son simtricas

A =

B =

C =

PROGRAMACIN



27

Relaciones de Recurrencia Una relacin de recurrencia para una sucesin a0, a1,..., es una ecuacin que relaciona an, con alguno de sus antecesores a0, a1,..., an-1. Algunos ejemplos de relaciones de recurrencia son:

Sucesin de Fibonacci La torre de Hanoi Funcin de Ackerman

Sucesin de Fibonacci Quin era Fibonacci? En realidad se llamaba Leonardo de Pisa pero se le conoca por Fibonacci, hijo de Bonacci, apodo de su padre. Era italiano y vivi entre los s. XII y XIII. Los nmeros Fibonacci. Se le ocurri la idea de los nmeros que llevan su nombre.

Todo comienza con el 1:

Ejercicios 1. Con la ayuda de las escenas siguientes completa en tu cuaderno la siguiente tabla:

1. 2. 3. 4. 19. 20.

1 1 2 3

2. Completa la siguiente tabla en tu cuaderno, aadiendo 1 al resultado de cada suma:

1+1+2+3+5 1+1+2+3+5+8 1+1+2+3+5+8+13 1+1+2+3+5+8+13+21

PROGRAMACIN



28

Pero, para qu sirve? Esta es la llamada "sucesin de Fibonacci " la cual fue concebida a partir del siguiente "problema de los conejos" que aparece en su gran obra Liber Abaci. El problema en lenguaje actual dira as: Imagina una pareja especial de liebres que pueden reproducirse cuando tienen 2 meses pero no antes. Imagina que cada mes, desde que son maduros (a los 2 meses), tienen una pareja de hijos siempre macho y hembra. Cuando son jvenes son grises y cuando maduran se vuelven marrones. Si partiramos de una sola pareja de liebres jvenes, cuntas parejas tendremos al comienzo de cada uno de los meses?

Calendario

Padres Hijos Nietos Biznietos Parejas

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

PROGRAMACIN



29

Tambin La sucesin de Fibonacci permite construir la espiral de Durero, que es una forma geomtrica omnipresente en la naturaleza. Alberto Durero no fue un matemtico, sino un artista alemn del Renacimiento, especialmente conocido por sus grabados. La espiral de Durero es til para investigar las conchas de algunos moluscos, los cuernos de algunos animales, las hileras de piones en la pia, las semillas de una flor de girasol... Tiene como caracterstica principal el que los puntos sobre los que se traza se corresponden con rectngulos cuyos lados son dos nmeros de la sucesin de Fibonacci. Esta sucesin de nmeros aparece en la Naturaleza en formas curiosas. Cualquier variedad de pia presenta siempre un nmero de espirales que coincide con dos trminos de la sucesin de los conejos de Fibonacci, 8 y 13; 5 y 8.

Verdes 8, Rojas 13

Verdes 5, Naranjas 8

PROGRAMACIN



30

En las ciencias naturales, es bien conocida la estructura de Fibonacci en la disposicin de las semillas en los girasoles. Las semillas, ubicadas en la gran parte central de las flores, tienen una implantacin en espiral: hay dos grupos de espirales, gobernadas por dos funciones logartmicas. Un grupo gira en sentido horario y otro en el antihorario. La cantidad de espirales logartmicas en cada grupo sigue nmeros de Fibonacci consecutivos. Sorprendido? Comprebelo usted mismo. La sucesin de Fibonacci es la pauta que siguen determinados fenmenos de la naturaleza. Puede aprovecharse para explicar el crecimiento de las hojas a lo largo del tallo de una planta o el nmero de ptalos de algunas flores: por ejemplo, el lirio tiene tres y las margaritas o girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55, o bien 89.

Otra espiral de Fibonacci

Disposicin de Fibonacci de las semillas del girasol

PROGRAMACIN



31

Torres de Hanoi El tpico juego de las Torres de Hanoi. Muy conocido en ambientes matemticos e informticos. El juego consiste en trasladar la torre de la derecha hasta la varilla de la izquierda teniendo en cuenta que:

Solo se puede mover una pieza cada vez No se puede colocar una pieza mas grande

encima de una menor

Hay una leyenda asociada a este juego: En el gran templo de Benars, bajo la cpula que seala el centro del mundo, reposa una bandeja de cobre sobre la cual estn colocadas tres agujas de diamante. Se cuenta que una maana lluviosa el rey mand colocar en una de las agujas sesenta y cuatro discos de oro puro, ordenados por tamaos; desde el mayor, que reposa en la bandeja, hasta el ms pequeo, en lo alto de la aguja. Se llama la Torre de Brahma. Incansablemente, da tras da, los sacerdotes del templo mueven los discos hacindolos pasar de

PROGRAMACIN



32

una aguja a otra, de acuerdo a las leyes de Brahma, que dictan que el sacerdote en turno no mueva ms de un disco a la vez, ni lo site encima de un disco de menor tamao..." Cuenta la leyenda que cuando hayan terminado de mover la torre, llegara el fin del mundo...

Cuntos movimientos se necesitan para cada nmero de discos? Llene la siguiente tabla de movimientos:

NUMERO DE DISCO NUMERO DE MOVIMIENTOS 1

2

3

4

5

La dificultad no es demasiada elevada, la mayor complejidad viene cuando se aumenta el nmero de discos, que es ms fcil perder la cuenta de que es lo que esta haciendo uno. La solucin es sencilla: para mover una torre de 7 elementos a la varilla 3, solamente hay que mover una torre de 6 elementos a la varilla 2, mover la ltima pieza a la varilla 3, y mover la torre de 6 piezas de la varilla 2 a la 3. Y como se resuelve una torre de 6 pisos?... pues de forma recursiva. La solucin ptima consta de (2n)-1 movimientos (para una torre de n piezas), en el caso de esta, que es de 7, pues 127. A la vista de esto, parece que el fin del mundo nos queda aun un poco lejos. Funcin de Ackermann La funcin de Ackermann, utilizada en la teora de la computacin, es una funcin recursiva que toma dos nmeros naturales como argumentos y devuelve un nmero natural. Definicin La funcin de Ackermann se define por recursividad como sigue:

PROGRAMACIN



33

Recursiva, pero no recursiva primitiva Esta funcin crece extremadamente rpido A(4,2) ya tiene 19.729 dgitos. Este crecimiento desmesurado se puede utilizar para demostrar que la funcin computable f(n) = A(n, n) crece ms rpido que cualquier funcin recursiva primitiva, y por ello no es recursiva primitiva. Tabla de Valores Para darse una idea de la magnitud de los valores que aparecen de la fila 4 en adelante, se puede destacar que por ejemplo, A(4, 2) es mayor que el nmero de partculas que forman el universo elevado a la potencia 200 y el resultado de A(5, 2) no se puede escribir dado que no cabra en el Universo fsico. En general, por debajo de la fila 4, ya no es posible escribir todos los dgitos del resultado de la funcin.

Nmeros de A(m,n)

m\n 0 1 2 3 4 n

0 1 2 3 4 5 n + 1

1 2 3 4 5 6 n + 2

2 3 5 7 9 11 2n + 3

3 5 13 29 61 125

4 13 65533

A(3,265536-3) A(3,A(4,3)) (n + 3 trminos)

5 65533 A(4,65533) A(4,A(5,1)) A(4,A(5,2)) A(4,A(5,3))

6 A(5,1) A(5,A(5,1)) A(5,A(6,1)) A(5,A(6,2)) A(5,A(6,3))

PROGRAMACIN



34

Mapa de Karnaugh

1. El mapa de Karnaugh da el valor de salida X para cada combinacin de valores de entrada

2. Los cuadros del mapa K se marcan de modo que cuadros horizontalmente adyacentes difieran nicamente en una variable

3. Una vez que el mapa se halla llenando con ceros y unos, la expresin en una suma de productos para la salida X, se puede obtener operando con OR aquellos cuadros que contienen un 1.

La repeticin de un par de unos adyacentes en un mapa de Karnaugh elimina la variable que

aparece en forma completa (A) y no completa ( ) Ejemplo:

PROGRAMACIN



35

PRCTICA Determine las expresiones mnimas para cada mapa de Karnaugh

1) ABC + ABC = BC

C C

AB 0 0

AB 0 1

AB 0 1

AB 0 0

2) ABC + ABC = AB

C C

AB 1 1

AB 0 0

AB 0 0

AB 0 0

3) ABC + ABC + ABC + ABC = BC+BC

C C

AB 0 1

AB 1 0

AB 1 0

AB 0 1

4) ABC + ABC + ABC + ABC = B

C C

AB 0 0

AB 1 1

AB 1 1

AB 0 0

5) ABC + ABC + ABC + ABC = C

C C

AB 0 1

AB 0 1

AB 0 1

AB 0 1

PROGRAMACIN



36

6) ABCD + ABCD + ABCD + ABCD = AB

CD CD CD CD

AB 0 0 0 0

AB 0 0 0 0

AB 1 1 1 1

AB 0 0 0 0

7) ABCD + ABCD + ABCD + ABCD = BD

CD CD CD CD

AB 0 0 0 0

AB 0 1 1 0

AB 0 1 1 0

AB 0 0 0 0

8) ABCD + ABCD + ABCD + ABCD = AD

CD CD CD CD

AB 0 0 0 0

AB 0 0 0 0

AB 1 0 0 1

AB 1 0 0 1

9) ABCD + ABCD + ABCD + ABCD = BD

CD CD CD CD

AB 1 0 0 1

AB 0 0 0 0

AB 0 0 0 0

AB 1 0 0 1

10) ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD = B

CD CD CD CD

AB 0 0 0 0

AB 1 1 1 1

AB 1 1 1 1

AB 0 0 0 0

PROGRAMACIN



37

Reglas de simplificacin 1. Las agrupaciones son exclusivamente de unos. Esto implica que ningn grupo puede contener ningn cero.

2. Las agrupaciones nicamente pueden hacerse en horizontal y vertical. Esto implica que las diagonales estn prohibidas.

3. Los grupos han de contener 2n elementos. Es decir que cada grupo tendr 1,2,4,8... nmero de unos.

PROGRAMACIN



38

4. Cada grupo ha de ser tan grande como sea posible. Tal y como lo ilustramos en el ejemplo.

5. Todos los unos tienen que pertenecer como mnimo a un grupo. Aunque pueden pertenecer a ms de uno.

6. Pueden existir solapamiento de grupos.

PROGRAMACIN



39

7. La formacin de grupos tambin se puede producir con las celdas extremas de la tabla. De tal forma que la parte inferior se podra agrupar con la superior y la izquierda con la derecha tal y como se explica en el ejemplo.

8. Tiene que resultar el menor nmero de grupos posibles siempre y cuando no contradiga ninguna de las reglas anteriores. Esto es el nmero de grupos ha de ser minimal.

PROGRAMACIN



40

Sistemas de Numeracin El sistema Binario La computadora digital codifica la informacin en forma numrica .Para ello, no emplea el sistema de numeracin decimal, sino el binario. El sistema decimal de numeracin que utilizamos en la vida diaria es de difcil empleo en las computadoras, ya que para representar los nmeros y trabajar con ellos son necesarios diez smbolos:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Los circuitos de una computadora que trabajara con el sistema decimal deberan ser capaces de distinguir entre diez valores o posiciones de funcionamiento distintas. Esto exigira una precisin difcil de conseguir, por lo que se ha elegido un sistema de numeracin que simplifica mucho el sistema de los circuitos, porque exige slo dos estados o posiciones de funcionamiento. El sistema binario slo utiliza dos signos:

0 1 Mucho ms fciles de representar en el interior de una computadora, donde estas dos cifras se pueden asociar perfectamente a los dos posibles estados que pueden adoptar los circuitos o componentes electrnicos:

Elemento Situacin Situacin

1 0

Circuito integrado TTL Salida 5v Salida 0v

Transistor Bloqueado Saturado

Interruptor Cerrado Abierto

Lmpara/LED Encendida Apagada

Rel Activado Desactivado

A las cifras o smbolos binarios les llamaremos, por convencin de bits. bit cero = 0 bit uno = 1 La palabra es una contraccin de las palabras inglesa binary digit, digito binario. El bit es la unidad ms pequea de informacin. Aislado, nos permite nos permite distinguir slo entre dos posibilidades: s-no, blanco-negro, abierto-cerrado, positivo-negativo. Permite tan slo dar dos respuestas a una pregunta, sin matices.

PROGRAMACIN



41

Sistemas de Numeracin Binario = 0 1 = Base 2 Decimal = 0123456789 = Base 10 Octal = 01234567 Base 8 Hexadecimal = 0123456789ABCDEF = Base 16 DECIMAL 32710 3x102 + 2x101 + 7x100 = 3x100 + 2x10 + 7x1 = 300 + 20 + 7 = 32710 CONVERSIN DE BINARIO A DECIMAL 101012 1x24 + 0x23 + 1x22 + 0x21 +1x20 = 1x16 + 0x8 + 1x4 + 0x2 +1x1 = 16 + 0 + 4 + 0 +1 = 2110 Prctica 101112 = 2310 101102 = 2210 111111112 = 25510 100000002 = 12810 CONVERSIN DECIMAL A BINARIO 2110 = 101012

21 2 20 10 2 1 10 5 2 0 4 2 2 1 2 1 0

PROGRAMACIN



42

Prctica 2510 = 110012 1310 = 11012 15610 = 100111002 33310 = 1010011012 CONVERSIN OCTAL A DECIMAL 218 = 1710 2x81 + 1x80 = 2x8 + 1x1 = 16 + 1 = 1710 Prctica 358 = 2910 1278 = 8710 158 = 1310 88 = No se puede hacer 1798 = No se puede hacer CONVERSIN BINARIO A OCTAL 101012 = 258 102 1012 1x21 + 0x20 = 1x22 + 0x21 +1x20 = 1x2 + 0x1 = 1x4 + 0x2 + 1x1= 2 + 0 = 4 + 0 + 1= 2 5 Prctica 10112 = 138 110112 = 338

PROGRAMACIN



43

1010112 = 538 112 = 38 CONVERSIN HEXADECIMAL A DECIMAL 2116 = 3310 2x161 + 1x160 = 2x16 + 1x1 = 32 + 1 = 3310 42216 = 105810 4x162 + 2x161 + 1x160 = 4x256 + 2x16 + 1x1 = 1024 + 32 + 1 = 105810 Prctica 4716 = 7110 15616 = 34210 ABC16 = 274810 1E216 = 48210 CONVERSIN BINARIO A HEXADECIMAL 101012 = 158 12 01012 1x20 = 0x23 + 1x22 + 0x21 +1x20 = 1x1 = 0x8 + 1x4 + 0x2 + 1x1= 1 0 + 4 + 0 + 1= 5 Prctica 10112 = B16 110112 = 1B16 1100102 = 3216 112 = 316

PROGRAMACIN



44

CONVERSIN DECIMAL A HEXADECIMAL 4410 = 2C16

Prctica 2510 = 1916 1310 = D16 15610 = 9C16 33310 = 14D16 CONVERSIN DECIMAL A OCTAL 4410 = 548

2510 = 318 1310 = 158 15610 = 2348 33310 = 5158 CONVERSIN HEXADECIMAL A BINARIO Se convierte de hexadecimal a decimal y luego a binario. B16 = 10112 1416 = 101002 F16 = 11112 CONVERSIN OCTAL A BINARIO Se convierte de octal a decimal y luego a binario.

44 16 32 2 12

44 8 40 5 4

PROGRAMACIN



45

138 = 10112 248 = 101002 178 = 11112 CONVERSIN OCTAL A HEXADECIMAL Se convierte de octal a decimal y luego a hexadecimal. 138 = B16 248 = 1416 178 = F16 CONVERSIN HEXADECIMAL A OCTAL Se convierte de hexadecimal a decimal y luego a octal. B16 = 138 1416 = 248 F16 = 178

PROGRAMACIN



46

Tabla de conversiones entre numeraciones Decimal Binario Octal Hexadecimal

Base 10 Base 2 Base 8 Base 16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 10001 10010 10011 10100 10101 10110 10111 11000 11001 11010 11011 11100 11101 11110 11111

0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 21 22 23 24 25 26 27 30 31 32 33 34 35 36 37

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F

PROGRAMACIN



47

PRACTICA #1 1. Convertir los siguientes nmeros binarios a sus equivalentes decimales:

a. 0011002 b. 0000112 2. Convertir los siguientes nmeros decimales a sus equivalentes binarios:

a. 11110 b. 17410 3. Convertir los siguientes nmeros octales a sus equivalentes decimales:

a. 558 b. 1228 4. Convertir los siguientes nmeros decimales a sus equivalentes octales:

a. 1010 b. 101010 5. Convertir los siguientes nmeros binarios a sus equivalentes octales:

a. 1010112 b. 110112

6. Convertir los siguientes nmeros octales a sus equivalentes binarios:

a. 758 b. 1228 7. Convertir los siguientes nmeros binarios a sus equivalentes hexadecimales:

a. 1010112 b. 110112 8. Convertir los siguientes nmeros hexadecimales a sus equivalentes decimales:

a. 25616 b. 51216 9. Convertir los siguientes nmeros decimales a sus equivalentes hexadecimales:

a. 1010 b. 101010 10. Convertir los siguientes nmeros hexadecimales a sus equivalentes binarios:

a. 25616 b. 51216

PROGRAMACIN



48

PRACTICA #2 Realiza todos los procedimientos para convertir los siguientes nmeros Binarios a Decimal y luego a Binarios otra vez.

1) 10002 = 810

2) 10102 = 1010

3) 101102 = 2210

4) 101112 = 2310

5) 10010012 = 7310

6) 10101012 = 8510

7) 101010112 = 17110

8) 101001112 = 16710

9) 111111112 = 25510

Realice las siguientes convenciones:

1) 268 = ( ) 10

2) 5110 = ( ) 8

3) 1101012 = ( ) 8

4) 338 = ( ) 2

1) 1101012 = ( )16

2) 76516 = ( ) 10

3) 34510 = ( ) 16

4) 6BF16 = ( ) 2

5) 7EA16 = ( ) 2

PROGRAMACIN



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Suma y Resta de Binarios Suma Dos nmeros binarios se pueden sumar siguiendo este esquema: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 Ejemplo: 10110 + 01101 ---------- 100011 Resta Dos nmeros binarios se pueden restar siguiendo este esquema: 1 - 1 = 0 0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 0 - 1 = 11 Ejemplo: 1011010 - 110101 ________ 100101 Prctica

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