LOGICA FORMAL. Lógica proposicional · i.e.s. mariana pineda departamento de filosofÍa logica...

I.E.S. MARIANA PINEDA DEPARTAMENTO DE FILOSOFÍA

LOGICA FORMAL. Lógica proposicional

1- ¿QUÉ ESTUDIA LA LÓGICA? 2- DEL LENGUAJE NATURAL AL LENGUAJE FORMAL

2.1- ¿por qué a veces no nos sirve el lenguaje natural?

2.2- ¿qué es formalizar?

3- LA LÓGICA PROPOSICIONAL

3.1-¿Qué es una proposicición?

3.2- proposiciones atómicas y moleculares

3.3- los juntores y su formalización. Reglas de formalización

4.4- reglas sobre el uso de paréntesis

4- TABLAS DE VERDAD. 4.1- El principio de bivalencia

4.2- Aprendiendo a hacer tablas de verdad

4.3- Valores de verdad de los juntores

4.4- Tautologías, contradicciones y proposiciones indeterminadas

5- LA DEDUCCIÓN EN LA LÓGICA PROPOSICIONAL

5.1- ¿qué significa “deducir”?

5.2- ¿Qué es una cadena deductiva?

5.3- ¿Qué es una “regla de inferencia”?

5.4- Reglas básicas de inferencia.

5) ¿QUÉ ESTUDIA LA LÓGICA?

La Lógica es aquella parte de la filosofía que se encarga de analizar

los razonamientos para distinguir los que son correctos de los que son incorrectos. Es la ciencia que estudia las condiciones de validez formal de los argumentos. Veamos que significa esta definición:

Razonar consiste en aplicar el filtro de la razón a nuestras ideas o

creencias para someterlas a una revisión crítica, nuestra mente es como una cesta en la que caben todo tipo de creencias, desde las sensatas, como que la tierra es redonda, hasta las más fantásticas, como que la luna es un queso) nuestra razón actúa tamizando estas creencias para aceptar solo aquellas que contengan el menor número de errores. La función de la lógica es analizar la estructura de nuestros razonamientos para determinar si están correctamente construidos o no.

Normalmente, cuando razonamos, partimos de unos datos iniciales o

información previa que expresamos por medio de unas afirmaciones llamadas premisas. Estas premisas nos conducen a una conclusión. Diremos que un razonamiento es correcto cuando, partiendo de las premisas (y con independencia de la verdad o falsedad de las mismas), se llega a una conclusión que es legítima. Por ejemplo:


Ejemplo 1-Todos los dibujos animados son de Walt Disney y Blancanieves es un

dibujo animado Por lo tanto, Blancanieves es de Walt Disney

Cuando las premisas no nos autoricen a extraer la conclusión,

entonces diremos que el argumento es incorrecto. Por ejemplo:

Ejemplo 2- Todos los dibujos animados son de Walt Disney y Blancanieves es un

dibujo animado Por lo tanto, Walt Disney es un dibujo animado

Ahora bien, supongamos que nos hubieran dado el siguiente

argumento:

Ejemplo 3- Todos los dibujos animados son de Walt Disney y Shrek es un dibujo

animado Por lo tanto, Shrek es de Walt Disney

¿Diríamos que este argumento es correcto? Aunque lo que dice es

falso (puesto que Shrek no es de Walt Disney) tendríamos que concluir que el argumento es correcto. ¿Cómo es esto posible? Fijémonos en el primer y ter-cer ejemplo. ¿Qué tienen en común? Si observamos detenidamente, nos daremos cuenta de que los dos tienen la misma forma, cosa que no ocurre con el segundo ejemplo. Podríamos esquematizar dicha forma de la siguiente ma-nera:

Ejemplos 1 y 3 Ejemplo 2

Todos los A son B Todos los A son B

Ces A C es B Por lo tanto, C es B por lo tanto C es A Ejercicio: ¿podrías explicar la razón por la cual los argumentos 1 y 2 son correctos, mientras que el argumento 3 no lo es?

Esto nos lleva a la siguiente conclusión: lo que le interesa comprobar a

la lógica no es si el argumento es verdadero o falso, sino si es correcto o incorrecto, es decir, si están o no bien construídos. Y es que la lógica no se preocupa por lo que dicen los argumentos (su contenido) sino por su forma. Quizá se vea más claro con otro ejemplo:

Todos los trinos son petos y Cunmi es un trino Por lo tanto, Cumni es un peto

Este argumento es correcto (tiene la misma forma que los ejemplos 1) y 3), aunque su contenido no sea cierto, o no tengamos ni idea de lo que es un trino o un peto, o de quién pueda ser Cumni.

Por tanto, concluiremos que gracias a la lógica podremos saber qué argumentos son correctos y cuáles no, estudiando la forma que tienen dichos argumentos. La cuestión de la verdad de los contenidos la habrán de dilucidar las diferentes ciencias empíricas (las cuales, a su vez, utilizarán la lógica en sus razonamientos).


Ejercicio: construye un razonamiento correcto con la forma del ejemplo 1 y un razonamiento incorrecto con la forma del ejemplo 2

2- DEL LENGUAJE NATURAL AL LENGUAJE FORMAL:

2.1- ¿POR QUÉ A VECES NO NOS SIRVE EL LENGUAJE NATURAL?

De lo dicho anteriormente se deduce que la lógica es una ciencia

formal, puesto que se preocupa por la forma de los argumentos. Como tal ciencia formal necesitará disponer de un lenguaje formal (un ejemplo de lenguaje formal que ya conocéis es el de las matemáticas). Más adelante veremos cuáles son los símbolos que forman parte de ese lenguaje formal de la lógica; de momento diremos que, en definitiva, lo que hace la lógica formal es lo siguiente:

1º- Establecer qué formas de argumentos son correctas y cuáles no, es decir, formular las leyes del correcto razonar. 2º- Traducir los argumentos que se nos dan en lenguaje natural u ordinario (el castellano, el inglés, el chino mandarín…) al lenguaje formal. En definitiva: que aprendamos a escribir en un lenguaje nuevo. 3º- Una vez llevada a cabo esta traducción, mediante una serie de métodos (que veremos más adelante), se dedicará a comprobar si esos argumentos son correctos o no.

Pero ¿por qué es necesario hacer esa traducción del lenguaje natural al lenguaje formal? ¿Por qué no podemos trabajar directamente con el lenguaje que nos resulta más familiar, al que ya estamos acostumbrados? Porque el lenguaje natural carece de precisión y puede llevamos a múltiples errores: hay palabras que se usan de un modo impreciso y ambiguo, como por ejemplo “fácil” (¿para quién resulta fácil algo? Un mismo problema puede resultar muy fácil para un matemático pero muy difícil para un estudiante de Primaria), o “bonito”.

Además, en el lenguaje natural. Un mismo término puede tener más de un

significado (polisemia), o a la inversa: varios términos pueden significar lo mismo.

Todos estos problemas los solucionaremos mediante un lenguaje formalizado en el cual cada.símbolo sólo hará referencia a una sola cosa, solo podrá tener un único significado. Así, en la fórmula e = v / t (espacio es igual a velocidad dividida por el tiempo) cada símbolo está perfectamente definido y no hay lugar para distintas interpretaciones.

2.2- ¿QUÉ ES FORMALIZAR?

Queda aclarado entonces que el lenguaje natural es la lengua que utiliza cotidianamente para comunicarse, una comunidad de hablantes (nuestro lenguaje natural es el español. Las características del lenguaje natural son: - Es un lenguaje construido por una comunidad humana, aparece en el seno de una cultura y constituye su sistema de símbolos más importante.


- Es plástico, puede usarse con una infinidad de propósitos.

- Es impreciso, su plasticidad hace posible la aparición de fenómenos como la sinonimia, las metáforas, los dobles sentidos…. El lenguaje formal es un lenguaje simbólico utilizado por los lógicos con el fin de analizar la estructura y validez de los razonamientos. Se distingue del lenguaje natural en que:

o es un lenguaje artificial, diseñado especialmente por los lógicos para la función señalada más arriba. Concretamente, la lógica proposicional fue desarrollada, a principios del siglo XX por filósofos como G. Frege, y sobre todo Bertrand Russell, y A. N. Whitehead en su obra “Principia mathemática”.

o Es un lenguaje rígido, su única función es el análisis de la forma de los argumentos o Es un lenguaje preciso. Cada uno de los términos de su “vocabulario” posee un único significado. El lenguaje de la lógica proposicional o de enunciados está compuesto de los siguientes símbolos:

a) letras: a partir de la “p”, que simbolizan proposiciones b) conectivas o juntores: símbolos lógicos que representan todas las

relaciones posibles entre las proposiciones:, , , ,

c) paréntesis: que agrupan las proposiciones y sus relaciones. FORMALIZAR: consiste en “traducir” los mensajes y argumentos desarrollados en el lenguaje natural a un lenguaje formal, para estudiar su validez. Se trata de un trabajo de “interpretación, no es mecánico sino que hay que descubrir el tipo de relación lógica que “se esconde” detrás de las oraciones del lenguaje natural (por ejemplo en las proposiciones “vino, pero no me habló”, y “vino y no me habló” existe el mismo tipo de relación lógica entre “vino” y “no me habló”, aunque en el lenguaje natural se utilizan distintas expresiones: “y”, y “pero”) Dentro de la lógica hay varias ramas, en este tema vamos a desarrollar una de ellas, la conocida como lógica proposicional que se ocupa de analizar si son correctos o no (por su forma, cómo ya sabéis) aquellos argumentos en los que intervienen proposiciones, pero... ¿qué es una proposición?.

3- LA LÓGICA PROPOSICIONAL

3.1- ¿Qué es una proposición?

Vamos a intentar definir lo que es una proposición, viendo primeramente lo que no es una proposición.

A) Una proposición no es una frase: porque una proposición debe tener un sentido completo, mientras que una frase no tiene por qué tenerlo. Por ejemplo: “No estoy de acuerdo”, es una frase pero no una proposición, pues para que tenga un sentido hay que situarla dentro de un contexto.


B) Una proposición no es un juicio: un juicio implica siempre una valoración subjetiva. Por ejemplo, “Me gusta el helado de vainilla” expresa mis propios gustos, que no tienen por qué compartir los demás. Mientras que una proposición debe hacer una afirmación de la cual podamos decidir objetivamente si es verdadera o falsa.

C) Una proposición no es, sin más. Una oración: una oración puede ser de muchas clases (interrogativa, imperativa, exclamativa…). Sólo las oraciones enunciativas pueden ser proposiciones. Así, diremos que toda proposición es una oración (y en concreto enunciativa), pero no toda oración es una proposición. Por ejemplo, la oración “¿Qué hora es?” no es una proposición.

D) Una proposición tampoco es, exactamente, un enunciado: un enunciado es la expresión lingüística de una proposición, mientras que la proposición sería el sentido del enunciado. Por eso, dos o más enunciados se pueden corresponder con una misma proposición. Por ejemplo, “Buenos días”, “Good morning”, “Guten Tag”, son enunciados distintos que expresan una única proposición puesto que tienen un mismo significado

Resumiendo, podemos definir una proposición del siguiente modo: es el sentido (punto en el que se distingue del enunciado) completo (se distingue de la frase) expresado por una oración enunciativa (no confundir con otros tipos de oraciones) del cual es posible afirmar de un modo objetivo (distinguiéndose así del juicio) su verdad o su falsedad.

Una proposición se puede descomponer en los elementos que la constituyen, normalmente sujeto y predicado. Por ejemplo: “Juan es estudiante de medicina”. S P Pero, a la lógica proposicional no le interesan los elementos que componen una proposición sino que considera cada una de ellas como un bloque, como una unidad. Y dispondrá de una serie de símbolos formales para representar dichas proposiciones y traducirlas al lenguaje formal que utiliza. A esos símbolos les llamará letras proposicionales y son las siguientes: p, q, r, s, t.. Así por ejemplo, la proposición anterior se traducía del siguiente modo: “Juan es estudiantede medicina” = p.

3.3- Los juntores y su formalización

3.2- Proposiciones atómicas y moleculares:

En el lenguaje ordinario no sólo usamos proposiciones aisladas, sino que a veces unimos varias de ellas y formamos una proposición más compleja. Por ejemplo: “Juan es estudiante de medicina y María de periodismo”. Estas proposiciones complejas formadas por lá unión de dos o más proposiciones simples se llaman proposiciones moleculares, mientras que las proposiciones simples que las componen se llaman proposiciones atómicas.¿Cómo traduciríamos al lenguaje formal una proposición molecular como la anterior? “Juan es estudiante de medicina” = p “María (es estudiante) de periodismo” = q

Pero.. ¿cómo simbolizar el término (en este caso la “y”) que enlaza ambas proposiciones? Atómicas? Necesitaremos para ello un nuevo tipo de símbolo lógico que represente esos términos de enlace: los juntores. Así lla-mados porque sirven para juntar unas proposiciones con otras.


Reglas de formalización Regla de simbolización I

Cada uno de los enunciados simples del lenguaje natural se sustituirá por variables proposicionales simbolizadas mediante las letras minúsculas: “m”, “n”, “o”, “p”….. Ejemplos: Roberto es un buen estudiante = p Quizá lo mejor sea ver todo esto mediante un ejemplo = q Regla de simbolización II

Las expresiones del lenguaje natural tales como “no”, “no es cierto”, “no es el

caso que”, “es falso”, “es imposible que” etc.., se sustituirán por el símbolo Ejemplos:

No la volví a ver más = p No es verdad que no te conozca = q Regla de simbolización III

Las expresiones del lenguaje natural tales como “y”, “ni”, “pero”, “que”, “mas”

etc…se sustituirán por el símbolo Ejemplos:

Andrés juraba pero evitaba blasfemar = pq Tú y yo iremos a verla = rs

No es cierto que me escuches y no hables = (pq) Regla de simbolización IV

Las expresiones del lenguaje natural tales como “o”, “o…o…”, “Bien…bien…”, “a

menos que….”, se sustituirán por el símbolo Ejemplos:

O cierras la puerta o pillaré un resfriado = pq

O te callas o no te escucho = pq O no viene tu nombre en la guía telefónica o he olvidado el alfabeto = r Regla de simbolización V

Las expresiones del lenguaje natural tales como “si…entonces…”, “…luego…”, “…por tanto…”, “cuando…..”, “con tal que….”, “ se deduce…”, etc… se sustituirán

por el símbolo: Ejemplos:

Si Juan pierde el autobús, llegará tarde = pq Como hoy no hace sol, no iremos a la playa = pq Regla de simbolización VI

Las expresiones del lenguaje natural tales como : “si y sólo si…”, “…equivale a

…”, “…es igual a…”, “…vale por…” etc…se sustituirán por el símbolo Ejemplos:


Un pueblo es democrático si y solo si hay elecciones libres: pq Sólo en el supuesto de que tú no la hayas matado, quedarás en libertad: rs Podrás entrar en la comunidad sólo si eres vegetariano y pacifista: p(qr)

3.4- Reglas sobre el uso de paréntesis A- Deben utilizarse sólo cuando son necesarios, es erróneo utilizar demasiados o demasiado pocos B- se utilizarán cuando la negación afecta a toda una conjunción, disyunción, condicional o bicondicional:

No es cierto que estuviese ayer con tu novio y nos fuésemos al cine = (pq)

C- Dominancia lógica: se interpreta que hay unas conectivas que tienen dominacia, es decir, más capacidad o fuerza para unir unas proposiciones con otras, a esto se le llama tener mayor o menor dominancia. Así el orden de dominancia que la lógica establece es, de mayor a menor:

1- bicondicional o coimplicación

2- condicional o implicación

3- , conjunción y disyunción, de igual dominancia, Por lo tanto: - No habrá que usar paréntesis si la dominancia lógica es la habitual:

Ejemplo: Si llueve y la tierra es fértil, tendremos buenas cosechas = pqr - Es necesario utilizar paréntesis en los casos en los que la dominacia lógica no es la habitual

Ejemplo: La tierra es fértil, y si llueve, tendremos buenas cosechas = p(qr) - Es necesario el uso de paréntesis para indicar cual es el signo de mayor dominacia entre conectivas con la misma fuerza lógica. Ejemplos:

O nos quedamos y le ayudamos, o no vamos y le dejamos solo = (pq) (rs) Le dejamos solo, o nos quedamos y le ayudamos, o, simplemente nos vamos =

p (qr) s

5) TABLAS DE VERDAD.

4.1-El principio de bivalencia Toda proposición tiene dos valores de verdad, puede ser verdadera o falsa: V o F. Principio de bivalencia: una proposición puede ser verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez.

(v f ) (v f)

4.2- aprendiendo a hacer tablas de verdad los valores de verdad de una proposición se expresan en una tabla de verdad: p ----


v f Las tablas de verdad son un instrumento para calcular los valores de verdad de una proposición compleja. Los valores de verdad de dicha proposición resultan de la combinación de los valores de verdad de las proposiciones simples que la forman, así, siendo n, el número de proposiciones simples, será 2 el número de combinaciones de valores de verdad posibles, por ejemplo: “hoy vendremos y seremos felices”, tendrá 4 valores de verdad que serán: p q un modo sencillo de calcular las combinaciones p v f v v de los valores de verdad de cualquier número de v f proposiciones es el método arbóreo: q v f v f f v f f Según vemos, el número de combinaciones posibles de los valores de verdad de las proposiciones atómicas que componen una proposición molecular, responde a la fórmula 2n, donde n es el número de letras proposicionales distintas que aparecen en la proposición molecular.

¿Serías capaz de calcular las posibles combinaciones de verdad de la proposición: “si no hiciese mal tiempo y los días fuesen más largos, podríamos viajar a París y visitar a nuestros amigos”? (utiliza el método arbóreo y refleja estas combinaciones en una tabla de verdad)

P q pq

V V V

V F F

F V F

F F F

P q pvq

V V V

V F V

F V V

F F F

b) Condiciones de verdad del conjuntor: una proposición molecular formada por la unión de dos o más proposiciones (atómicas o moleculares) mediante la acción de un conjuntor será verdadera sólo cuando todos sus componentes sean también verdaderos. Con que uno de ellos sea falso será suficiente para que la proposición molecular resultante lo sea también. Y ello por que el conjuntor simboliza la partícula “y” del lenguaje ordinario, y cuando unimos dos oraciones mediante esta conjunción damos por supuesto que ambas son ciertas.

el siguiente paso será ver cómo afectan los juntores a los valores de verdad de las proposiciones a las que unen, es decir, las condiciones de verdad de los juntores. 4.3 – los valores de verdad de los juntores a)Condiciones de verdad del negador: si una proposición atómica o molecular es verdadera, entonces su negación será falsa; si es

falsa, entonces su negación será verdadera. Estas condiciones se expresan mediante la siguiente tabla:

5) condiciones de verdad del implicador: una proposición molecular formada por la unión de dos o más proposiciones (atómicas o moleculares) mediante la acción de un implicador, será verdadera en todos los casos excepto cuando el antecedente sea yerdadero y el consecuente sea falso.

C) Condiciones de verdad del disyuntor: Una proposición molecular formada por la unión de dos o más proposiciones (atómicas o moleculares) mediante la acción de un disyuntor, será verdadera si al menos uno de sus componentes es verdadero; de otro modo: sólo será falsa, si todos sus componentes son falsos. Esto es así, porque en el lenguaje ordinario, cuando unimos dos expresiones mediante la partícula “o” damos por supuesto que es posible que ambas opciones sean ciertas (sentido inclusivo): “Para acceder a este puesto de trabajo hay que saber Inglés o alemán “; o que al menos una de ellas lo es (sentido exclusivo): “El acusado es culpable o inocente”. Pero es inaceptable que ambas sean falsas.


4.4- Tautologías, contradicciones y proposiciones indeterminadas. Las tablas de verdad nos permiten calcular los valores de verdad de las proposiciones complejas en las que aparecen varios juntores, hacen posible que determinemos en qué condiciones estas proposiciones complejas serán verdaderas ¿cómo se elaboran las tablas de verdad?

De “adentro a afuera”, es decir, calculando, en primer lugar el valor de verdad de las conectivas que afecten a un menor número de proposiciones, veamos el siguiente ejemplo:

Esto es así porque el implicador expresa que el antecedente es la causa de consecuente. Por tanto, si se da la causa pero no efecto, la relación de causa efecto ha fallado, no es correcta. Por otra parte, en el lenguaje ordinario aceptamos como válidas implicaciones en las que tanto el antecedente como el consecuente son falsos. Supongamos que un amigo algo “fantasma” cree tener cierto parecido con Brad Pitt y le decimos: “si tú te pareces a Brad Pitt yo me parezco a George Clooney”. ¿A que todos aceptamos la expresión como válida aun sabiendo que tanto el antecedente como el consecuente son fal-sos?

5) Condiciones de verdad del coimplicador: una proposición molecular formada por la unión de dos o más proposiciones (atómicas o moleculares) mediante la acción de un coimplicador, será verdadera sólo cuando todos sus componentes tengan el mismo valor de verdad. Es decir, si todos sus componentes son verdaderos o si todos sus componentes son falsos. Esto es así porque el coimplicador traduce la expresión “si y sólo si” del lenguaje ordinario y establece, como vimos, equivalencias e igualdades.

p q pq

V V V

V F F

F V F

F F V

P q pq

V V V

V F F

F V V

F F V


“cuando somos buenos no siempre somos felices, y cuando somos felices no siempre somos buenos” (Oscar Wilde) 1- formalización de la proposición: p= ser bueno q= ser feliz,

de lo que resulta la fórmula: (p q) (q p) 2- Colocar en la tabla de verdad los elementos componentes de la proposición compleja, de modo que situemos en primer lugar los juntores que afecten a menos proposiciones simples, y en último lugar los juntores que afectan a la proposición compleja en su totalidad:

p q p q p q q p (p q) (q p)

3- Calcular los valores de verdad de la proposición compleja , de acuerdo a las combinaciones de los valores de verdad de las proposiciones simples que la forman y de los valores de verdad de los juntores que aparecen

p q p q p q q p (p q) (q p) f f v v v v v v f f v v v v f v v f v v v v v f f f f f Una tabla de verdad puede dar como resultado, que todos los valores de verdad de la proposición compleja sean verdaderos, (tautología) que todos sean falsos (contradicción) o que, como en el ejemplo, unos sean verdaderos y otros falsos (indeterminada).


¿Qué juntores simbolizan la relación lógica expresada por el padre?

EJERCICIOS: 1- Formaliza los siguientes enunciados: a) Este no es mi día feliz. (¿estamos ante una proposición simple o compleja?) b) No es cierto que Pedro sea piloto y su hermano conductor de autobús (atención al uso de paréntesis) c) Ha llegado el invierno y los días son más cortos d) Si quieres verme, tendrás que venir enseguida (en el lenguaje natural, frecuentemente, las comas esconden relaciones lógicas, piensa que ocurre en este caso) e) Si vienes después de las diez encontrarás la puerta cerrada y no podrás entrar (atención al uso de paréntesis) f) O vas al colegio o vienes a casa g) No es cierto que José tenga coche h) Si no vienes a caballo, no podrás llegar hasta aquí (caso idéntico al d) i) Si él viene, yo me voy j) O te quedas en casa y cenas lo que hay, o te vas a cenar al bar (hay conjunciones, disyunciones y paréntesis..) k) La brújula marca un rumbo engañoso y no estamos viajando hacia el sur, si y solo si esa no es la estrella polar l) En diciembre suele haber pato en los restaurantes de Miami (fíjate si se trata de una proposición simple o compleja) m) Este coche no corre, aquel corre más (¿qué tipo de relación lógica se esconde detrás de la coma, en este caso?) n) Está prohibido fumar y escupir (hay que interpretar “está prohibido” como “no se puede”)


o) Cuando somos buenos, no siempre somos felices, y cuando somos felices, no siempre somos buenos (Oscar Wilde) (sabias palabras..) p) No es posible que una misma cosa sea y no sea (este es el principio lógico de “no contradicción”, debe interpretarse en el sentido

de que “p” y “p”, no pueden darse a la vez)

1- Formaliza los siguientes razonamientos: a) Si me engaño existo, el que no existe no puede engañarse, pero yo me engaño, por lo tanto yo existo (San Agustín) b) Mi tío dice que es un hombre honrado pero no paga sus impuestos, el que no paga sus impuestos es un delincuente, por eso mi tío no es un hombre honrado. c) Me matan si no trabajo y si trabajo me matan, trabaje o no trabaje, siempre me matan (Jorge Cafrune) d) Los tiburones son curiosos y se acercan a cualquier objeto extraño que flote en el agua, pero sólo si se les excita por la sangre que mana de las heridas, atacarán.

e) Si Doña Angelitas ama a Pedro, entonces no ama a Don Marcelino, pero si doña Angelitas ama a Marcelino, entonces no ama a Roberto, si doña Angelitas ama a Roberto, no puede amar a Pedro o a Don Marcelino, pero Doña Angelitas ama a Marcelino, luego no ama a Pedro ni a Roberto.

1- Halla la tabla de verdad de los razonamientos a) y c) del ejercicio anterior

4- halla la tabla de verdad de los siguientes razonamientos, indica si se trata de tautologías, contradicciones o indeterminadas

a) p q c) (p r) (p r)

b) (p q) (p q)


5- LA DEDUCCIÓN EN LA LÓGICA PROPOSICIONAL

5.1- ¿qué es “deducir”? La deducción es una operación lógica que consiste en obtener un enunciado –una conclusión- a partir de otros - las premisas- y aplicando las REGLAS DE INFERENCIA . Cuando realizamos una deducción vamos elaborando una CADENA DEDUCTIVA

5.2- ¿Qué es una cadena deductiva? Es una secuencia finita de enunciados, uno de los cuales, la conclusión, se sigue necesariamente de las anteriores Cuando elaboramos una cadena deductiva: a) los enunciados se colocan uno debajo de otro, en líneas numeradas correlativamente a partir del 1- b) se indicará, a la derecha, si el enunciado es una premisa o si lo hemos obtenido derivándolo de las reglas de inferencia aplicadas a las premisas. En este último caso, se indicará a la derecha la regla de inferencia aplicada y las líneas en las que ha sido aplicada. c) En una cadena deductiva se sitúan, por orden, las premisas a partir de las cuales se llega a la conclusión, a continuación el enunciado que se quiere demostrar, interrogado y en las líneas siguientes, los enunciados obtenidos tras la aplicación de las reglas de inferencia en las premisas hasta deducir la conclusión. Veamos un ejemplo:

- tenemos, como premisas: s, s m, mpq

- queremos averiguar si estas premisas nos permiten concluir pq


Cuando concluimos el enunciado interrogado a partir de las premisas, se hace una línea y se tacha la interrogación que habíamos colocado delante de la

conclusión

1- s prem.

2- s m prem.

a) y b) 3- m p q prem

4- ?p q 5- m MT. 1, 3

c) 6- p q MT 3,5

6.3- ¿Qué es una “regla de inferencia”? Una regla de inferencia es una norma que establece un modo válido de operar o razonar, pasando de unas proposiciones a otras. Un ejemplo de lo que es una regla de inferencia sería la que establece que, si en un razonamiento tenemos como premisa un condicional y la afirmación de su antecedente, podemos, de acuerdo con lo que expresa la tabla de verdad del condicional, deducir su consecuente:

“si llueve las calles se mojan” 1- pq prem “está lloviendo” 2- p prem “las calles están mojadas” q Esta regla de inferencia se denomina “MODUS PONENS”

6.4- Reglas básicas de inferencia. Conocer las principales reglas de inferencia y saber aplicarlas en la realización de cadenas deductivas nos permite conocer si una conclusión puede extraerse, lógicamente de unas premisas. Por lo tanto la deducción es una manera distinta a la de las tablas de verdad, de establecer si un razonamiento es, o no, formalmente válido. PRINCIPALES REGLAS DE INFERENCIA: Estudiaremos las reglas de inferencia básicas, es decir, aquellas que nos sirven para introducir (hacer aparecer) o eliminar (hacer desaparecer) juntores.

1- REGLA DE ELIMINACIÓN DEL CONDICIONAL O “MODUS PONENS” (MP.)

X Y X Y “Si digo siempre la verdad (p), los demás confiarán siempre en mí (q), y si los demás confían en mí, me siento seguro (r ) en independiente (s). Cuando me siento seguro e independiente soy capaz de afrontar cualquier problema(t), yo digo siempre la verdad, por lo tanto soy capaz de afrontar cualquier problema”

1- pq prem

2- q r s prem 3- r s t prem 4- p prem 5- ?t 6- q MP 1,4

7- rs MP 6, 2


8- t MP 7,3

demuestra: pq, a partir de la siguientes premisas: (rs)m, m

pq, (rs)

2- REGLA DE ELIMINACIÓN DEL CONDICIONAL O “MODUS TOLLENS” (MT.)

X Y

Y X “Si fueras un rey destronado (p), vivirías con lujo (q) y no tendrías que trabajar

(r), y si vivieras de esa manera, te distraerías haciendo viajes alrededor del mundo (s), como no te distraes de tal manera, deduzco que no eres un rey destronado.

1- p q r prem 5- (q r) MT 2,3 2- qr s prem 6- p MT 1,5 3- s prem 4- ?p

deducir: (p q), a partir de las premisas: t, n s, s t, p q n 3- REGLA DE ELIMINACIÓN DE LA DISYUNCIÓN O SILOGISMO DISYUNTIVO (SD.)

a) XY b) XY X Y Y X “Este hombre, o es abogado (p) o es parlamentario (q). Pero, o no es parlamentario o le habría visto en las sesiones plenarias (r ), no le he visto en las sesiones plenarias, luego es abogado.

1- pq prem 2- qr prem 3-r prem

4- ?p

5- q SD 2,3 6- p SD 1,5

deducir: p, a partir de las premisas: pq, qr, rs, st, t

4- REGLA DE LA DOBLE NEGACIÓN (DN.)

X X y

X X “Si no es cierto que no bromeo, entonces no hace frío, pero no es verdad que no haga frío, luego no bromeo” 1- p Prem 2- q prem 3- ?p

1- p MT 2,1 2- p DN4 Demostrar: q, a partir de p q y p


Si en una deducción aparecen dos fórmulas contradictorias, entonces podemos deducir cualquier cosa

5- REGLA DE LA ELIMINACIÓN DEL NEGADOR(EN.)

X

X Y

“Este es un televisor “scrub” , si es “scrub” debe funcionar de maravilla y si funciona de maravilla, la imagen no saldrá borrosa e invertida, pero la imagen sale borrosa e invertida, así que será mejor que lo tire a la basura y me compre un molinillo de café” 1- p prem

2- pq prem 3- q(rs) prem 4- rs prem 5- ?wz

3- REGLA DE LA INTRODUCCIÓN DEL CONJUNTOR (IC.) X Y Y y X

X Y XY “Si el páncreas no segregase la suficiente insulina (p), aparecerían síntomas de diabetes (q), y si la glándula suprarrenal produjese demasiada adrenalina (r ), ocurriría lo mismo (q). Ahora no aparecen síntomas de diabetes (q), por lo tanto el páncreas segrega suficiente insulina (p) y la glándula suprarrenal no se excede en

sus funciones (r)” 1- pq

2- rq

3- q

4- ¿pr 5- p 6- p

7- r

8- pr

deducir: mn, a partir de: pm, qn, p, q 7- REGLA DE LA ELIMINACIÓN DEL CONJUNTOR, O SIMPLIFICACIÓN (EC.)

X Y XY X Y


“Si utilizo un amperímetro (p) podré calcular la intensidad de la corriente (q), si utilizo un voltímetro (r) mediré la diferencia de potencial existente entre dos puntos del circuito eléctrico (s), si averiguo la intensidad de corriente y de potencial eléctrico, podré calcular la resistencia eléctrica del conductor (t). Tengo un amperímetro y un voltímetro, así que podré calcular la resistencia eléctrica del conductor”

1- pq prem

2- rs prem 3- qst prem

4- pr prem 5- ¿t prem 6- p EC4 7- q MP1,6 8- r EC 4 9- s MP2,8

10- qs IC 7,9 11- t MP 3,10

Demostrar p, a partir de las premisas: pqr, rt, t

8- REGLA DE LA INTRODUCCIÓN DE LA DISYUNCIÓN (ID.)

X

XY “Si la célula bacteriana es de estructura protocariótica (p), carece de membrana nuclear (q). La célula bacteriana es protocariótica, luego carece de membrana nuclear o solo tiene un cromosoma (s)

1- pq prem 1- p prem

2- ¿qs 3- q MP 1, 2

4- qs ID 4 Demostrar mn, a partir de mp, pr, r 1- REGLA DE LA TRANSITIVIDAD DEL CONDICIONAL (TRAN)

XY YZ

XZ “Si como demasiado, engordo, y si engordo no me sirve la ropa, si como demasiado no me sirve la ropa”

1- pq

2- qr 3- ¿pr

4- pr deducir; prs a partir de pq, qmn, mnrs,


10-REGLA DE INTRODUCCIÓN DEL BICONDICIONAL (IB.)

XY XY YX YX

XY YX 11- REGLA DE ELIMINACIÓN DEL BICONDICIONAL (EB.)

XY XY

XY YX

1- LEYES DE MORGAN (DM):

XY X Y

( X Y) ( X Y) Caso 1: “David juega o Daniel estudia, por lo tanto no ocurre que David no juega y que Daniel no estudia” Caso 2: “el perro salta y el león ruge, por lo tanto no ocurre que el perro no salta o el león no ruge”

(X Y) (X Y)

X Y X Y Caso 3: no ocurre que yo canto y tú lloras, así que o yo no canto o tú no lloras. Caso 4: no es verdad que yo cante o que tú llores, así que yo no canto y tú no lloras. Ejemplo: No es el caso de que o Obama apoya el viaje o Zapatero no viaja a Berlín Merkel hace concesiones si y solo si Zapatero hace concesiones. Si Sarkozy se mantiene neutral entonces Merkel no hace concesiones Luego Sarkozy no se mantiene neutral.

1- (p q)

2- rq

3- sr

4- ¿ s 5- pq DM1 6- q EC5

7- qr EB2 8- r MP6,7

9- r DN8

10- s MT3,9 EJERCICIOS:


Demostrar: ps, a partir de : tp, rs, pr, st, Demostrar: pqmn, a partir de uwmn, rsuw, uqrs

Demostrar: pr, a partir de pq y q Demostrar: r, a partir de qrp, qp Demostrar: pq, a partir de pt, tsq, y p Demostrar: qpq, a partir de pqqpq, rpqq, y p Demostrar: (p s) q, a partir de (p s), p r, qp, r

EJERCICIOS: 1- Escribe, en lenguaje natural enunciados de las formas siguientes, poniendo en lugar de cada raya un enunciado. A continuación “rescríbelos”en el lenguaje de la lógica de enunciados:

a) Si___________, entonces_______________ b) ________ si y solamente si no ____________ c) Si _______ y ___________ , ____________ d) No es cierto que _______ y ______________ e) Si no _________ y no _________ , entonces no_______ f) __________ , siempre que ________ y no ____________ g) Cuando _____ , no____ o ____ pero _________ h) No _____ si y solamente si no_____pero no ____________ i) Es cierto _________ y ________ pero no_________ j) No es el caso que si ______ entonces_______ y no _______

1- Suponiendo que “p” y “ q” son verdaderas y que “r” y “s” son falsas, determina qué fórmulas son verdaderas y cuáles falsas.

a) pqpq

b) pqrspr

c) prqs

d) pqrp

e) pqs

2- Formaliza y halla la tabla de verdad de:


a) O Jaime se come el polo o se le derretirá; no se derrite el polo; por tanto, Jaime se come el polo. b) Si la situación prebélica es irrepetible, no sirve de nada prepararse para la esa lucha, la situación prebélica es irrepetible, luego no sirve de nada prepararse para la lucha c) Si el Barcelona gana los tres próximos partidos, ganará la liga. Por tanto, si el Barcelona gana los tres próximos partidos y sigue ganando partidos, ganará la liga. d) Si la tormenta continúa o anochece, nos quedaremos a cenar o a dormir; si nos quedamos a cenar o a dormir no iremos mañana al concierto; por consiguiente, no iremos mañana al concierto. e) Cuando viajo me mareo, siempre que me mareo, me entra un hambre atroz. Así pues, siempre que me entra un hambre atroz, viajo.

LOGICA FORMAL. Lógica proposicional · i.e.s. mariana pineda departamento de filosofÍa logica...

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