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FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIN - ESCUELA DE FORMACIN PROFESIONAL A DISTANCIA

POR: Lic. RAUL LUCAS HERMITAO

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Universidad Nacional Daniel Alcides Carrin

MODALIDAD: SEMI PRESENCIAL - SEDE YANAHUANCA

LGICA PROPOSICIONAL

INTRODUCCIN

Hay tres clases de lenguaje mediante los cuales podemos

comunicarnos:

El lenguaje oral, que se manifiesta verbalmente; el

lenguaje escrito que es una traduccin del lenguaje oral

mediante frases impresas; y el lenguaje simblico que es una

traduccin de ,los anteriores,

mediante smbolos apropiados que siguen reglas bien definidas.

Tanto el lenguaje oral y el

lenguaje escrito sufren el defecto de que, muchas veces

la idea no se expresa en forma precisa-, dando lugar a las

ambigedades.

El lenguaje simblico utilizado en las matemticas es por el

contrario preciso y no da lugar a falsas interpretaciones.

En esta unidad los estudiantes evaluaran el manejo del lenguaje

simblico.

Cuando mencionamos la palabra

Lgico o Lgica nos viene a la mente su significado clsico

evidente, obvio.

Sin embargo esta palabra lleva

consigo toda una carga histrica y filosfica, formando la parte

esencial en la vida del hombre y del conocimiento, ya que

constituye elementos que implica un razonamiento.

Los principios y las reglas de la

lgica, se usan en la construccin del buen anlisis

de un problema especfico y nos permite establecer un

razonamiento que establece un juicio objetivo.

Por ejemplo si necesitas calcular el rea de un tringulo Qu

haras? Desde un punto de vista lgico.

LGICA MATEMTICA

Es la disciplina dedicada a identificar las formas del

razonamiento, si un argumento es o no vlido.

LGICA PROPOSICIONAL

Es una parte de la lgica que estudia las proposiciones y las

funciones de las variables

proposicionales y los conectivos lgicos.

ENUNCIADO

Denominamos as, a toda frase u oracin.

Ejemplo:

Yanahuanca es capital del Per



2



7x 5 = 2

Viva los maestros del Per!

PROPOSICIN LGICA Expresin u oracin que pueden

calificarse a bien verdadero (V) o

falsa (F) sin ambigedades; y se denotan con letras minsculas:

p, q, r, s, etc.

Ejemplo: p: 5 +4 = 8 ( ) q: Los estudiantes de la UNDAC

son mortales.. ( )

r: Daniel A. Carrin Naci en Pillao . ( )

s: 14 es un nmero

primo.( ) Ojo: A la veracidad o falsedad

de una proposicin se denomina Valor Veritativo o Valor de

verdad.

EXPRESIONES NO PROPOSICIONALES

Son enunciados a los que no se les puede asignar un valor de

verdad; entre ellos tenemos a los exclamativas, interrogativas

o imperativas.

Ejemplo:

Arriba Per! Cmo ests?

Prohibido detenerse Dale U!

ENUNCIADOS ABIERTOS

Dependen de una variable expresado en palabra o smbolo

matemtico (l; ello; aquello, etc., x, y, z, etc.)

Ejemplo:

l es un escritor peruano

2x -3 < 7

CLASES DE PROPOSICIONES

1) Simples o Atmicas

No tienen conjunciones gramaticales o el adverbio

no. Ejemplo:

1) La matemtica es una ciencia

2) La tierra es ms grande que la luna

2) Compuestas o Moleculares

Contienen conjunciones gramaticales como y, o, . . . si, entonces, s y solo s, no, etc.

Ejemplo: Farfn estudia y practica

ftbol

No es cierto que Mireya se desaprob en matemticas.

El sol brilla y hace frio

CONECTIVOS LGICOS:

Son smbolos que se usan

para relacionar proposiciones;

para formar proposiciones

compuestas partiendo de las

proposiciones simples.



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SMBOLO NOMBRE LENGUAJE COMN

~ Negacin no, no es cierto que

no es el caso que

Conjuncin y, pero, sin embargo,

adems, aunque.

Disyuncin

inclusiva o

Disyuncin

exclusiva o, o... o...

Condicional

si... entonces...

si... dado que...

... siempre que...

Bicondiciona

l s y solo s

ESQUEMAS MOLECULARES

Es una frmula lgica que

resulta de la combinacin de las variables proposicionales,

constantes lgicas y signos de agrupacin; siempre y cuando

sea una frmula bien formada.

Ejemplo: (p q) (p ~q)

Un esquema molecular

posee un correspondiente

valor de verdad.

El nmero de resultados en

general proviene de las

combinaciones de los

valores de verdad de cada

variable proposicional, a

travs de una tabla de

verdad, si estas fuesen n

existen 2n combinaciones,

donde 2 es una constante.

Ejemplo:

Para 1 proposicin

21= 2 valores

P

V

F

Para 2 proposiciones.

22= 4 valores

p q

V V

V F

F V

F F

Para 3 proposiciones.

23= 8 valores

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

FORMALIZACIN DE

PRPOSICIONES

Toda proposicin compuesta o todo argumento ya sea natural

o cientfico se puede formalizar, para ello hay que distinguir las

proposiciones simples que la forman y los trminos de enlace

que las une; a las proposiciones simples se las remplaza por una

letra y al trmino de enlace llamado conector lgico con un

smbolo convencional.

Ejemplo: El sol es una estrella y la tierra

es un planeta

Formalizacin: p q

1. CONJUNCIN Une dos proposiciones mediante

el trmino y

Ejemplo:



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Juan es estudiante y juega ftbol p: Juan es estudiante

q: Juan juega ftbol

En smbolos p q

La Conjuncin es verdadera solo

cuando ambas proposiciones son verdaderas

p q p q V V V

V F F

F V F

F F F

Otras formas gramaticales a la conjuncin sern:

y

no slo p tambin q p del mismo modo q p pero aunque q p as como q p al igual que q Sin p tampoco puede haber q

2. DISYUNCIN INCLUSIVA ()

Une dos proposiciones mediante

el trmino o Ejemplo: Juan ir al cine o al estadio

p: Juan ir al cine

q: Juan ir al estadio

En smbolos p q

La Disyuncin Inclusiva es falsa nicamente cuando

ambos componentes son

falsos siendo verdadera cuando al menos uno de las

componentes es verdadero.

p q p q V V V

V F V

F V V

F F F

Otras formas gramaticales a la disyuncin inclusiva sern:

o

p a menos que q p salvo que q p excepto q p o de lo contrario q p o en tal sentido q p y/o q

3. DISYUNCIN EXCLUSIVA ()

Une dos proposiciones mediante

el conector o pero exclusivo. Ejemplo: Einstein era peruano o Judo

P: Einstein era Peruano q: Einstein era Judo

En smbolos p q

La Disyuncin Exclusiva es verdadera

cuando sus componentes tienen diferentes valores de verdad y es

falsa cuando tienen iguales valores de verdad o falsedad.

P q p q V V F

V F V

F V V

F F F

Otras formas gramaticales a la disyuncin exclusiva sern:

oo..

p no equivale a q p no se define como q p es diferente a q Ya bien p ya bien q Ya sea p ya sea q p excluye a q



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4. CONDICIONAL ()

Es la combinacin de dos

proposiciones mediante: si... entonces Ejemplo: Si trabajas tendrs dinero

P: Trabajas q: Tendrs dinero

En smbolos: p q

p q p q V V V

V F F

F V V

F F V

Otras formas gramaticales a la

condicional sern:

5. BICONDICIONAL ()

Es la combinacin de dos

proposiciones con ... si y solo si... Ejemplo:

Sers profesional si y solo si estudias.

P: Sers profesional q: Estudias

En smbolos p q

P q p q V V V

V F F

F V F

F F V

La bicondicional es verdadera cuando ambos componentes

tienen igual valor de verdad y es falso cuando sus componentes

son de diferentes valores.

6. NEGACIN (~)

Cambia el valor de verdad de la proposicin

Ejemplo: No es cierto que Juan sea

ingeniero y mdico

P: Juan es Ingeniero q: Juan es mdico

En smbolos ~(p q)

p ~p

V F

F V

SIMBOLOS AUXILIARES

Son los que se utiliza para separar las propiedades

moleculares de acuerdo a la jerarqua que le da el sentido

lgico.

1. PARNTESIS ( ) Para

separar proposiciones bsicas

(p q) ~q

2. CORCHETE [ ]: Para

separar formas lgicas

menores

La condicional es falsa cuando

antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en los

dems casos es verdadero.

entonces

Siempre por consiguiente Con tal de que..os obvio Cuando as pues. Cada vez que.. en

consecuencia Con que en este caso.. Dado que.. Segn lo cual



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Ejemplo:

De acuerdo a tu entendimiento construye

molecularmente la siguiente proposicin

compuesta.

Es falso que Pedro no hizo los ejercicios de matemtica entonces no aprobar el rea de

matemtica, adems estudiar ingeniera Sea:

p:

q: .

r:...

Luego el esquema molecular es:

-------------------------------------------------------

[(p r) q] [(p ~q) (p q)]

3. LLAVES { }: Para separar formas lgicas mayores.

~{(q t) [q (p t)]}

EVALUACIN DE ESQUEMAS MOLECULARES

Consiste en obtener el valor o los valores del conjunto lgico de mayor jerarqua a partir de los valores veritativos de cada una de las variables proposicionales

Ejemplo: Evaluar el siguiente esquema:

(p~q) (q p)

p q (p ~q) (q p)

V

V

F

F

V

F

V

F

TAUTOLIGA CONTRADICCIN Y CONTINGENCIA

1. TAUTOLOGA

Cuando todos los valores del

operador principal son

verdaderos.

p q [( ~p q) ~q] ~q

V V V F F V F F

2. CONTRADICCIN

Cuando los valores de su operador principal son todos

falsos.

p q [(p q) q] ~q

V V V F

F V F F

3. CONTINGENCIA

Cuando los valores de su operador tiene por lo menos una

verdad y una falsedad.

p q (p q) (p q)

V V V F

F V F F

EQUIVALENCIA LGICA

Es aquella bicondicional que resulta ser una tautologa y se denota: p q

Compruebe si el siguiente esquema molecular es una equivalencia lgica:

MATRZ PRINCIPAL



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(p ~ q) ~ (~ p q)

PROPOSICIONES LGICAMENTE QUIVALENTES

Son aquellas que poseen tablas de verdad equivalentes: p q

Ejemplo:

Comprobar si las proposiciones moleculares son equivalentes.

A: (p q)

B: ~q~p

LEYES DEL ALGEBRA PORPOSICIONAL

Son equivalencias lgicas que nos permite simplificar un problema y expresarlo en forma ms sencilla, las demostraciones se hacen construyendo la tabla de verdad en cada caso.

FUNCIN PROPOSICIONAL

Es aquel enunciado que contiene una variable y que tiene la propiedad de convertirse en verdadero o falso para cierto valor de la variable, las funciones proposicionales se pueden representar por P(x),

Q(x); R(x), etc. Donde x sera la variable.

Ejemplo:

P(x): x-2>18

Q(x): x2 + 4 =16

R(x): x, es u nmero primo.

Complete!

Trabaja en tu cuaderno:

Dar diferentes valores a x y luego diga cul es su valor de verdad de cada una de las funciones proposicionales.

CUANTIFICADORES UNIVERSAL Y EXISTENCIAL

1. CUANTIFICADOR UNIVERSAL

Si a una funcin proposicional le anteponemos la expresin PARA TODO x estaremos indicando el sentido universal de dicha funcin proposicional obteniendo ahora una proposicin lgica.

[ ]

Se lee: Para todo x, tal que, se verifica P(x)

Ejemplo:

Si tenemos una funcin proposicional.

Ahora le agregamos el cuantificador universal

; remplazando:



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(Proposicin lgica)

Complete!

Trabaja en tu cuaderno:

Analiza el valor veritativo de la proposicin lgica anterior.

2. CUANTIFICADOR EXISTENCIAL

Si a una funcin proposicional le anteponemos la expresin EXISTE UN x TAL QUE estaremos indicando el sentido existencial (que existe) de dicha funcin.

x:P(x) x/P(x) (x)[P(x)]

Se lee: existe un x tal que, se verifica P(x)

Ejemplo:

P(x): x-3>10

(Funcin proposicional)

Ahora le agregamos el cuantificador existencial.

; remplazando:

(Proposicin lgica)

Para verificar si es una proposicin lgica nos damos cuenta cuando x =15, se cumple la desigualdad, hemos encontrado por lo menos un x que verifica a P(x), por lo tanto, es una proposicin lgica, cuyo valor es verdadero.

NEGACIN DE PROPOSICIONES CUANTIFICADOS

Sean Las proposiciones cuantificadas:

Su negacin se denota:

[ ]

[ ]

Ejemplo:

1.

Como la proposicin es falsa su negacin es verdadera.

[ ]

CIRCUITOS LGICOS

Son arreglos de interruptores conocidos como compuertas lgicas, donde cada compuerta lgica tiene su tabla de verdad.

El valor de verdad de una proposicin pueda asociarse con interruptores que controlan el paso de la corriente. As una proposicin es verdadera si el interruptor est cerrado (V o 1) y la corriente pasar. Si la proposicin es falsa el interruptor estar abierto y la corriente no pasar (F o 0).

A los conmutadores de un circuito se les designa con las letras: p, q, r, s,

Los circuitos pueden ser:

Circuitos en serie

Se dice que dos conmutadores estn conectados en serie, si est dispuesto uno a continuacin de otro. Un circuito con dos conmutadores p y q conectados en serie se relaciona



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con la proposicin conjuncin p q.

Circuitos en paralelo

Se, dice que dos conmutadores estn conectados en paralelo, si estn dispuestos de tal manera que basta uno est cerrado para que la corriente circule. Un circuito con dos conmutadores p y q conectados en paralelo se relaciona con la proposicin con-juncin "p v q".

Circuitos Mixtos

Es la combinacin de circuitos en serie y paralelo.

TALLER GUIADA

1. Cules de las siguientes

proposiciones compuestas son tautolgicas? I. (p ~q) (~p q)

II. (q ~p) (p ~q)

III. (~q p) (q ~ p)

2. De las siguientes

proposiciones I. (p q) (p ~q)

II. (p q) (~p q)

III. [(p ~q) q] ~p

IV. [(p q) q)] [(q p) q]

Son contingencias:

3. Si r s es falso y rs

es falso. Hallar el valor de

verdad r y s,

respectivamente.

4. Si w t es verdadero y

v t es falso, hallar el

valor de verdad de t, v y

w, respectivamente.

5. Si la proposicin

compuesta:

(p ~q) (r ~s)

Es falsa, hallar el valor de verdad de las proposiciones q, p, r, s, respectivamente.



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APLICO LO APRENDIDO 1. Si la proposicin:

(~p ~r) (r q)

Es falsa y las

proposiciones s y t tienen

valor de verdad

desconocido. Cul de las

siguientes proposiciones

son verdaderas?

I. (p s) q

II. (s t) r

III. (t q) p

A) Solo II B) Solo III

C) I y II D) II y III

E) Ninguna

2. Si la proposicin

compuesta:

(q s) (s t)

Es verdadera. Cules de

las siguientes

afirmaciones son

correctas?

I. q t es verdadera.

II. s t puede ser

verdadera o falsa.

III. q es falsa

A) Solo I B) I y II

C) II y III D) I y II

E) Ninguna

3. La proposicin compuesta:

(p q) (q r)

Es falsa, luego:

I. p q no es falsa

II. q r no es verdadera

III. q q es falsa

Son ciertas:

A) Solo I B) Solo II

C) I y II D) I y III

E) Todas

4. Sabiendo que la proposicin r

es verdadera. En cul de los

siguientes casos es suficiente

dicha informacin para

determinar el valor de verdad

de las proposiciones?

I. ~r (p q)

II. (p r) q

III. r (~q ~p)

A) Solo I B) Solo III

C) I y II D) I y III

E) Todas

5. Si la proposicin

compuesta:

~(s r) ~(r t)

Es falsa Cules de las

siguientes proposiciones

son falsas?

I. (s p) (r q)

II. (q s) (p t)

III. (r s) [(r p) (s t)]


C) II y III D) Todas

E) Ninguna

6. Sabiendo que la

proposicin r es

verdadera En cul de los

siguientes casos es

suficiente dicha

informacin para

determinar el valor de

verdad de las

proposiciones?

I. ~r (p q)

II. (p r) q



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III. (p r) (r q)


C) Solo III D) I y II

E) II y III

7. Si p es verdadera En cul

de los siguientes casos es

suficiente dicha informacin

para determinar el valor de

verdad de las proposiciones?

I. (~p r) [(r s) t]

II. (p r) [p (q s)]

III. [~p (q r)] [s (r t)]

A) Solo I B) Solo III

C) II y III D) I y III

E) Ninguna

8. Para determinar el valor de

verdad de la proposicin:

(p q) (r s)

Es suficiente para saber que:

A) r es falsa

B) s es verdadera

C) r s es falsa

D) q r es verdadera

p q es verdadera

9. Sabiendo que la proposicin p es falsa En cules de los siguientes casos es

suficiente dicha informacin para

determinar el valor de verdad de las

proposiciones? I. [(p q) r] [(q r) p]

II. (p ~p) (p p)

III. (p q) (r p)

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II

E) II y III

10. Si: {~[(p ~s) ~(r * s)] (p r)}

Es falsa, entonces r * s puede

ser:

I. r s II. r s

III. r s

IV. r s

A) I y II B) III y IV

C) II y IV D) I, I, y IV E) I, III y IV

11. Dada las proposiciones: p: Mercedes es cantante

q: Mercedes es una buena estudiante

r: Mercedes es obstetra Simboliza:

Si no sea el caso que Mercedes es una cantante y

un buen estudiante entonces es obstetra o no es

cantante

12. Si la siguiente proposicin:

(p q) v ( r s) es falsa, hallar el valor de verdad de



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los siguientes esquemas moleculares.

13. Dada la siguiente

proposicin:

(p q) ? (p q)

Qu conectivo lgico debe ir

en lugar de la interrogacin

para que la proposicin sea

una tautologa.

(a) (b) (c)

(d) (e)

14. Dado las siguiente frmulas:

Cules son lgicamente

equivalentes?

15. Simplificar el circuito.

16. Cul de las siguientes

proposiciones es falsa si:

17. Hallar el esquema molecular

equivalente al circuito

18. A = {1;2;3;4;5}; luego el

conjunto de validez de las

siguientes funciones lgicas

es respectivamente:

19. Seale cul de las siguientes proposiciones no

es la negacin de la proposicin; si x e y son

elementos del conjunto:

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