Ley de la Gravitación Universal de Newton

© 2009 por Goodman y Zavorotniy

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Tabla de Contenido: GU y la MCUHaga clic en el tema para ir a la sección

· Gravitación Universal

· Gravedad en la Superficie

· Campo gravitatorio en el espacio

· Campo gravitatorio

· El Movimiento Orbital

· La tercera Ley de Kepler

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Gravitación Universal

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Ley de la Gravitación Universal de Newton

Sabemos, de tiempos antiguos, que la tierra es una esfera. Esto significa que todos los objetos son atraídos al centro de la tierra.

FG

FG

FG

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Newton conecto la idea que los objetos, como las manzanas, caen hacia el centro de la Tierra con la idea de que la Luna órbita alrededor de la Tierra... que también esta cayendo hacia el centro de la tierra.

Pero simplemente se queda en la trayectoria circular, ya que tiene una velocidad perpendicular hacia su aceleración.

Ley de la Gravitación Universal de Newton

FG

FG

FG

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De hecho, este punto de vista de la Tierra es tan bueno como cualquier otro ... sólo que no estamos acostumbrados a verlo así.

Ley de la Gravitación Universal de Newton

FG

FG

FG

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Ley de la Gravitación Universal de Newton

Aunque la magnitud de la fuerza está dada por:

FG = G m1m2

r2

G = 6,67 x 10-11 Nm2/kg 2

r es la distancia entre los centros de las masas

La dirección de la fuerza es a lo largo de la línea que conecta los centros de las dos masas.

Cada masa siente una fuerza de atracción hacia la otra masa ... a lo largo de esa línea.

r

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Ley de la Gravitación Universal de Newton

Aunque la magnitud de la fuerza está dada por:

FG = G m1m2

r2

G = 6,67 x 10-11 Nm2/kg 2

r es la distancia entre los centros de las masas

La dirección de la fuerza es a lo largo de la línea de conexión los centros de las dos masas.

Cada masa se siente una fuerza de atracción hacia el otro masa ... a lo largo de esa línea.

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Ley de la Gravitación Universal de Newton

La tercera ley de Newton nos dice que la fuerza sobre cada masa es igual.

Esto significa que si se cae un lápiz, la fuerza de la Tierra jalando el lápiz es igual a la fuerza que el lápiz jala a la Tierra hacia arriba.

Sin embargo, ya que la masa de la Tierra es mucho más grande, esta fuerza hace que el lápiz se acelere hacia abajo, mientras que el movimiento de la Tierra no se puede medir.

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1 La fuerza gravitacional entre dos objetos es F. ¿Cuál es la fuerza F entre los objetos cuando la distancia entre ellos se reduce a la mitad?

A 1/2 F

B 4/1 F C FD 2FE 4F

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2 La fuerza gravitacional entre dos objetos es F. ¿Cuál es la fuerza F entre los objetos cuando la masa de un objeto se duplica?

A 4/1 F B 1/2 F

C FD 2 FE 4 F

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3 La fuerza gravitacional entre dos objetos es F. ¿Cuál es la fuerza F entre los objetos cuando la distancia entre ellos se duplica?

A 1/4 F B 1/2 F

C FD 2 FE 4 F

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Campo Gravitatorio

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Campo gravitatorio Mientras que la fuerza entre dos objetos siempre se puede calcular utilizando la fórmula FG; es algunas veces mas conveniente considerar que una masa crea un campo gravitatorio y otra masa responde a ese campo.

FG = G m1m2

r2

FG = G m1

r2 m2

FG = GMr2 m

FG= g m

FG= mg

GMr2g =

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Campo gravitatorio La magnitud del campo gravitatorio creado por un objeto varía de un lugar a otro en el espacio; que depende en la distancia del objeto y la masa del objeto.

GMr2g =

Campo gravitacional, g, es un vector. Su dirección es siempre hacia el objeto creando el campo gravitatorio.

Esa también es la dirección de la fuerza que una masa experiencia si se coloca en tal lugar. De hecho, g, es la aceleración de una masa si se coloca en tal ubicación en el espacio.

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Campo gravitatorio

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La Gravedad en la Superficie

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La Gravedad en la Superficie Planetas, estrellas, lunas, todas tienen un campo gravitacional ... ya que todos tienen masa.

Tal campo es más grande cuando un objeto se encuentra en la superficie, donde la distancia desde el centro del objeto es lo más pequeño ... cuando "r" es el radio del objeto.

Tenga en cuenta, que sólo la masa del planeta que está más cerca al centro que usted contribuye a su campo gravitatorio. Por lo que el campo en realidad se hace más pequeño, si usted esta mas abajo de la superficie.

GMR2g = R

M

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4 Calcula g para la superficie de un planeta cuya radio es el doble de la Tierra y cuya masa es el triple de la Tierra.

A 1/4 g de la Tierra

B 1/2 g de la Tierra C 3/4 g de la Tierra D g de la Tierra

E 2 g de la Tierra

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5 Calcula g de la superficie de un planeta cuya radio y masa son la mitad de la Tierra.

A 1/4 g en la Tierra

B 1/2 g en la Tierra C 3/4 g en la Tierra

D g en la Tierra

E 2 g en la Tierra

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6 Calcula g de la superficie de un planeta cuya radio y masa son el doble de la Tierra.

A 1/4 g en la Tierra

B 1/2 g en la Tierra

C 3/4 g en la Tierra

D g en la Tierra

E 2 g en la Tierra

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El Campo Gravitacional en el Espacio

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El campo gravitacional en el espacio Mientras que la gravedad se debilita a medida que te alejas de un planeta, nunca se convierte en cero. Siempre hay un campo gravitatorio presente debido a todos los planetas, estrellas y lunas en el universo.

Sin embargo, el campo local suele estar dominado por las masas cercanas ya que la gravedad se debilita como el inverso del cuadrado de la distancia incrementa.

La contribución de un planeta al campo gravitacional local se puede calcular utilizando la misma ecuación que hemos estado usando. Solo tienes que tener cuidado ultilizando "r".

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El campo gravitacional en el espacio La contribución de un planeta al campo gravitacional local se puede calcular utilizando la misma ecuación que hemos estado usando. Solo tienes que tener cuidado utilizando "r".

Si una ubicación, "A", está a una altura "h" por encima de un planeta de radio "R", entonces la distancia "r" desde el centro del planeta, r = R + h.

GMr2gA =

R

M

A

h r

GM (R + h)2gA =

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7 ¿Cual es g, a una altura de 2R (R= radio de la Tierra) por encima de la superficie de la Tierra?

A 1/9 g en la Tierra

B 1/4 g en la Tierra C 1/3 g en la Tierra D 1/2 g en la Tierra

E 0,95 g en la Tierra

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8 ¿Cual es g, a una altura de 1R por encima de la superficie de la Tierra?

A 1/9 g en la Tierra

B 1/4 g en la Tierra C 1/3 g en la Tierra D 1/2 g en la Tierra

E 0,95 g de la Tierra

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La estación espacial está en una Órbita terrestre baja y puede ser vis to desde la Tierra con e l ojo; su órbita es de 350 kilómetros (190 millas) de altura sobre la superficie de la Tierra y viaja a una ve locidad promedia de 27.700 kilómetros (17.210 millas) por hora, completando 15.7 órbitas por día.

La Estación Espacial Internacional (ISS) es un centro de investigación que en este momento s igue en construcción en e l espacio, que empezó en e l 1998.

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9 ¿Cual es g en la altura de la estación espacial de 3,5 x 105 m. (el R de la Tierra = 6,4 x 106 m)?

A 1/9 g en la Tierra

B 1/4 g en la Tierra C 1/3 g en la Tierra D 1/2 g en la Tierra

E 0,90 g de la Tierra

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10 ¿Cómo compara el campo gravitacional que actúa sobre los ocupantes del estación espacial con el que actúa sobre ti ahora mismo?

A no hay gravedad que actúa sobre ellos

B es aproximadamente 1/3 C es aproximadamente 1/2D es aproximadamente los mismo

E es exactamente lo mismo

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El Movimiento Orbital

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El Movimiento Orbital

R

M

A

h r

Ya hemos determinado que el campo gravitacional que actúa sobre los ocupantes de la estación espacial, y sobre la estación espacial, no es muy diferente de la fuerza que actúa sobre nosotros. ¿Porque no se caen a la Tierra?

Vamos a empezar con la esquema que utilizamos antes.

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El Movimiento Orbital

a

El campo gravitatorio se apunta hacia al centro de La tierra y representa la aceleración que una masa experiencia en esa ubicación (independientemente de la masa).

En este caso, cualquier objeto se caería a la Tierra. ¿Cómo se evita esto?

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El Movimiento Orbital

a

Si un objeto tiene una velocidad tangencial que es perpendicular a su aceleración, este irá en una trayectoria circular. Se seguirá cayendo a la Tierra, pero nunca golpeara la Tierra.

v

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El Movimiento Orbital

a

v

Si el objeto tiene una velocidad tangencial perpendicular a su aceleración, se irá en un círculo. Siguiera cayendo a la Tierra pero nunca lo golpeara.

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El Movimiento Orbital Aquí esta la elaboración de un experimento de Newton en que un cañón en una montaña bien alta (por encima del atmósfera) dispara a una bala con una velocidad que aumenta, que se muestra por las trayectorias de D, E, F y G, y finalmente es tan rápido que no se caerá a la tierra, pero entra en órbita. (De M. Fowler, http://galileoandeinstein.physics.vi rginia.edu / conferencias / newton.html)

http://ircamera.as.arizona.edu/NatS ci102/lectures/newton.htm

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El Movimiento Orbital

a

v

Podemos calcular la velocidad necesaria para mantener una órbita estabilizada a una distancia "r" del centro de un planeta de masa "M".

ΣF = ma

GMm/r2 = mv2/r

GM/r2 = v2/r [g = v2/r]

GM/r = v2

v = (GM/r)1/2

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El Movimiento Orbital Con esto, podemos calcular el período, T, de la órbita de cualquier objeto.

v = 2πr/T

T = 2πr/v

o también

g = v2/r

v = (gr)1/2

T = 2πr/(gr)1/2

T = 2π(r/g)1/2

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11 ¿Por cual factor es g, a una altura de 59 RTierra, menor a la g de la superficie de la Tierra?

A 1/59B 1/3600

C 1/60

D 1/978

E 1/5432

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12 Usa tu respuesta anterior para determinar la magnitud de la velocidad que permite a un objeto mantener una órbita circular a una altura de 59RTierra por encima de la superficie de la Tierra.

A 7894,48 m/s

B 1019,17 m/s C 3678,23 m/s D 2848,46 m/s

E 6705,56 m/s

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El Movimiento Orbital Ahora, podemos encontrar la relación entre el período, T, y la órbita del radio, r, para cualquier órbita.

v = 2πr/T

v2 = 4π2r2 / T2

T2 = 4π2r2 / v2

T2 = 4π2r2 / (GM/r)

T2 = (4π2r2)(r / GM)

T2 = (4π2r3) / (GM)

r3 GMT2 4π2

=

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La Tercera Ley de Kepler

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Tercera Ley de Kepler

Kepler había observado que las proporciones de T2/r3 eran la misma para todos los planetas. Es decir, que el cuadrado del periodo de la órbita de un planeta dividido por el cubo de su distancia desde el sol siempre dará el mismo número.

Por lo tanto, hemos demostrado qué: (4π2)/(GM) es un constante, es lo mismo para todos los objetos en órbita; donde M es la masa del objeto que se órbita; es independiente del objeto que está en órbita.

r3 GMT2 4π2

=

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**Tercera Ley de Kepler

Si conoces el periodo (T) de órbita de un planeta, puedes determinar la distancia (r) desde el sol.

r(Rojo) 3 r(Verde) 3

T(Rojo) 2 T(Verde) 2 =Haga clic para ver objetos

El Movimiento Orbital

Dado que todos los planetas que en órbita sobre el sol tienen la misma proporción de periodo a distancia, lo siguiente es verdadero:

r3 GMT2 4π2

=

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13 La Luna órbita la Tierra en 28 días. ¿Cual sería el período orbital de un objeto cuya radio orbital es la mitad de la luna?

A 56 días

B 40 días C 24 días D 14 días

E 10 días

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14 La Luna órbita la Tierra en 28 días. ¿Cual sería el período orbital de un objeto cuya radio orbital es el doble de la luna?

A 224 días B 79 días

C 56 días

D 40 días E 10 días

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15 La Tierra órbita el Sol en 365 días. ¿Cuál sería el período orbital de un objeto cuyo radio orbital es el doble de la Tierra?

A 2920 días

B 1460 días

C 1032 días

D 730 días

E 129 días

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