1. GEOMETRA: Trigonometra4. TRIGONOMETRA.4.1. Introduccin.La palabra trigonometra proviene del griego (trigonos=tringulo + metra=medida) ysignifica medida de tringulos. Por tanto, es la parte de las Matemticas que tiene por objetorelacionar las medidas de los lados y los ngulos de un tringulo.Se utiliza como auxiliar de otras ciencias, ya que las primeras aplicaciones de latrigonometra se hicieron en los campos de la navegacin, la topografa y la astronoma (aunque eneste caso se emplea ms la trigonometra esfrica que la plana), en las que el principal problema eradeterminar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia queno poda ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometra se pueden encontrar enla Fsica, Qumica y en casi todas las ramas de la ingeniera, sobre todo en el estudio de fenmenosvectoriales o peridicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.4.2. Unidades de medida de ngulos.(A) Grado sexagesimal () = arco de circunferencia de longitud 1/360 de la longitud total de lamisma, o ngulo central que corresponde a dicho arco. Se divide en 60 minutos (), cada uno de los cuales equivale a 1/21.600 de la circunferenciade un crculo; cada minuto se divide en 60 segundos (), cada uno de los cuales equivale a1/1.296.000. Por ejemplo, 411809 se lee 41 grados, 18 minutos y 9 segundos. Por tanto, la relacin entre los submltiplos del grado es 1 = 60 = 3600. Algunos ngulos concretos reciben un nombre especial. As, el ngulo recto es un nguloque mide 90, el ngulo llano es el doble del ngulo recto (180) y el ngulo completo es el dobledel ngulo llano (360).(B) Grado centesimal o gradiente (g) = arco de circunferencia de longitud 1/400 de la longitudtotal de la misma, o ngulo central que corresponde a dicho arco.(C) Radin (rad) = ngulo central cuyo arco mide lo mismo que el radio de la circunferencia conque ha sido trazado.As pues, la medida en radianes de un ngulo se expresa como la razn entre la longitud delarco y el radio, por lo que su valor es independiente del valor del radio; por ejemplo, al dividir unapizza en 10 partes iguales, el ngulo de cada pedazo permanece igual, independiente si la pizza eschica, normal o familiar. De esta forma, se puede calcular fcilmente la longitud de un arco decircunferencia: basta multiplicar el radio por el ngulo en radianes:Long. arco de circunferencia = ngulo en radianes x Radio de la circunferenciaYa que el permetro de una circunferencia de radio unitario es 2 , entonces el ngulo deuna circunferencia completa, medido en radianes, es 2 . Como adems este mismo ngulo, medidoen grados, mide 360, obtenemos la siguiente equivalencia: 360 = 2 , de la que se pueden deducirotras, pero la que quizs sea ms sencilla de recordar y ms cmoda para realizar otrastransformaciones (usando una regla de tres simple) es rad = 180 .Jos Gallegos Fernndez1

2. GEOMETRA: TrigonometraComo sistema de referencia para la representacin grfica de ngulos, se utilizan los ejescartesianos y una circunferencia centrada en el origen y radio arbitrario, que generalmente y porcomodidad se toma la unidad, en cuyo caso se llama circunferencia goniomtrica. Adems hay quetener en cuenta que: El origen del ngulo de giro es siempre el semieje real positivo. positivo : si es contrario que el de las agujas del reloj El sentido es . negativo : si es el mismo que el de las agujas del relojEjercicios.1. Un ngulo mide 3 radianes. Si dibujamos su arco tomando un radio de 5 cm, cunto medir dicho arco?2. Calcula el ngulo central y el interior de un decgono regular, en grados sexagesimales y radianes. Realiza el mismo ejercicio en un pentgono regular.3. En una circunferencia de 10 cm de radio, un arco mide 6 cm Cunto mide (en grados y en radianes) el ngulo correspondiente?4. En un hexgono regular, calcula el valor del ngulo interior y el valor del ngulo que forman dos diagonales que salen del mismo vrtice y llegan a otros dos consecutivos.5. El radio de una circunferencia mide 6 cm. Cul es la longitud del arco correspondiente a un ngulo de 20?6. Dos ngulos de un tringulo miden 50 y 6 radianes. Cunto mide el otro ngulo? Expresa el resultado en grados y en radianes.7. Haciendo una tabla, expresa en radianes los siguientes ngulos:0; 15; 22 30; 30; 45; 60; 75; 90; 120; 135; 150;180; 210; 225; 240; 270; 300; 315; 330; 360; dos vueltas.8. Pasar al sistema sexagesimal los siguientes ngulos: ; /2 ; /4 ; /12 ; 3/4 ; 7/36 ; 1 rad ; 5/12 rad ; 7 rad9. A qu cuadrante pertenece un ngulo de: 500 ; 1000 ; 786 ; 12010. A qu cuadrante pertenece la mitad de un ngulo de: 450 ; 800 ; 650 ; 200 ; 50011. Pasar los siguientes ngulos a los dems sistemas:63 21 24" ; 1288 76 64" ; 2,1853 rad ; 5/3 rad ; 225 ; 495 ; 120 30 06" ; 75 18Jos Gallegos Fernndez 2 3. GEOMETRA: Trigonometra4.3. Razones trigonomtricas de un ngulo agudo. Consideremos el ngulo de vrtice O y lados OX y OZ. Sobre l construimos lostringulos rectngulos AOB, AOB , A " OB ",... :ZBB BOX AAASe definen las razones trigonomtricas del ngulo agudo de la siguiente forma:AB(A) El seno de es la razn entre el cateto opuesto y la hipotenusa: sen =OB OA(B) El coseno de es la razn entre el cateto contiguo y la hipotenusa: cos = OB OB(C) La tangente de es la razn entre el cateto opuesto y el cateto contiguo: tg = AB OB(D) La cosecante de es la razn entre la hipotenusa y el cateto opuesto: cosec = AB OB(E) La secante de es la razn entre la hipotenusa y el cateto adyacente: sec = OAOA(F) La cotangente de es la razn entre el cateto contiguo y el cateto opuesto: cotg =ABYa que todos los tringulos AOB, AOB , A " OB ",... estn en posicin de Thales, sonsemejantes y, aplicando el teorema de Thales, obtenemos que la definicin de las distintas razonestrigonomtricas es independiente del tringulo rectngulo considerado:AB ABA " B " OA OAOA "sen = = == ... ; cos = == = ... ; OB OBOB " OB OBOB "Ejemplo: En un tringulo rectngulo los catetos miden 6 y 8 cm. Calculemos el valor de las seisrazones trigonomtricas del menor de sus ngulos: 6 cm 8 cm1) La hipotenusa h = 6 2 + 8 2 = 100 = 10 .6 3 4 3 5 5 42) sen ==; cos = ; tg =; cosec = ; sec =; cotg =10 55 4 3 4 3Ejercicios:Jos Gallegos Fernndez 3 4. GEOMETRA: Trigonometra1. En el ejemplo anterior, calcular las razones trigonomtricas del otro ngulo agudo del tringulo.2. En un tringulo rectngulo los catetos miden 5 y 12 m. Calcula el valor de las razones trigonomtricas de sus dos ngulos agudos.Veamos las primeras propiedades elementales que se deducen de las definiciones:i) sen 1 y cos 1 Consecuencia de que los catetos de un tringulo rectngulo son menores que la hipotenusa.La igualdad se dara para el caso de un tringulo degenerado en un segmento. sen 1 11 cos ii) tg = ; cosec = ; sec = ; cotg = = cos sen cos tg sen iii) Frmula fundamental de la trigonometra: sen 2 + cos 2 = 1 ngulo agudo2 2 AB OA 2 22AB + OAOBsen + cos = 2 2 + =2 ma= 2=1 OB OB OBT Pitgoras OBiv) Las razones trigonomtricas de un ngulo agudo son siempre positivas, ya que se obtienen comocociente de dos longitudes (que lgicamente son positivas).4.4. Generalizacin del concepto de razn trigonomtrica. Estudiemos las definiciones anteriores sobre el sistema de ejes cartesianos (OX,OY) y lacircunferencia de centro O y radio r: P(x,y) r y O xPues bien, si P(x,y) es un punto de la circunferencia y tenemos en cuenta las definicionesanteriores, obtenemos: yordenadasen = Generalizando: sen = rradio xabscisacos = Generalizando: cos = r radio y ordenadatg = Generalizando: tg = xabscisaJos Gallegos Fernndez4 5. GEOMETRA: Trigonometra Esta ltima definicin nos permite calcular las razones trigonomtricas de cualquier ngulo(agudo o no) y saber cul es el signo de stas segn el cuadrante al que pertenezca el ngulo: CuadrantenguloSigno sencostg cosec sec cotgOrdenada +1er C 0 < < 90 + + ++ ++Abscisa+Ordenada +2 C 90 < < 180 + - -+- -Abscisa-Ordenada -3er C 180 < < 270 -- +-- +Abscisa-Ordenada -4 C270 < < 360 -+ -- +-Abscisa+ Es importante comentar que en algunos puntos, frontera entre dos cuadrantes consecutivos,algunas razones trigonomtricas no estn definidas (no existen!), pero eso ya lo trataremos un pocoms adelante. Adems, la definicin anterior generaliza la frmula fundamental y mejora la acotacin quevimos anteriormente. As, podemos decir que: sen 1, es decir, 1 sen 1 sen 2 + cos 2 = 1 y para cualquier ngulo cos 1, es decir, 1 cos 1 La relacin anterior da lugar a otras dos que tambin pueden resultar de utilidad:sen 2 cos 2 1sen 2 + cos 2 = 1 += tg 2 + 1 = sec 2 cos cos cos 22 2sen 2 cos 2 1 sen 2 + cos 2 = 1 += 1 + cotg 2 = cosec 2 sen sen sen 2 2 2 Estas frmulas permiten calcular las restantes razones de un ngulo cuando se conoce unacualquiera de ellas y el cuadrante en que se encuentra el ngulo (de no conocerse esta segundacircunstancia, el signo puede no estar determinado).Ejemplos:35(a) Si sen =y ]0 , 90 [ cosec =53 916 4 5 cos = + 1 = = sec = 25 25 5 433 4 tg = 5 = cotg =4 4 35Jos Gallegos Fernndez 5 6. GEOMETRA: Trigonometra 513(b) Si cos =y ]90 , 180 [ sec = 13 525 144 12 13 sen = + 1 == cosec = 169 169 13 12 12 125 tg = 13 = cotg = 5 5 12 13 1(c) Si tg = 2 y ]180 , 270 [ cotg = 2 1 5 sec = 1 + 4 = 5 cos ==5 5 2 5 5 sen = tg cos = cosec =52Si conocemos la cosecante, la secante o la cotangente, se toman los valores inversos, con loque se tiene el seno, coseno o tangente respectivamente, y el problema queda reducido a uno de loscasos anteriores.Ejercicios:1. Calcula las dems razones trigonomtricas del ngulo en los casos siguientes: 1a. sen = y 2 C 3 e. sen = 06 y , 5 2 43b. cos =y 180 < < 270 f. sec = y ]180 , 270 [52c. tg = 3 y 4 Cg. cos = 06 y 3 2 < < 2 d. cosec = 4 y ]90 , 180 [4 h. cotg =y , 3 2 sen 128 cos 235 2. Indicar el signo de x =sin efectuar ninguna operacin.tg 310 3. Dibujar en cada caso el ngulo correspondiente: a) Un ngulo agudo cuyo seno sea 3/4. b) Un ngulo obtuso cuyo coseno sea -1/2. c) Un ngulo cualquiera cuya tangente sea 1,5. d) Un ngulo cualquiera cuyo coseno sea 3/2. e) Un ngulo obtuso cuya secante sea -1,5. f) Los ngulos comprendidos entre 0 y 2, cuyo coseno sea 2/3.Jos Gallegos Fernndez6 7. GEOMETRA: Trigonometra4.5. Razones trigonomtricas de los ngulos fundamentales.(A) ngulos lmites entre cuadrantes: Todas las razones trigonomtricas de los ngulos que aparecen a continuacin se pueden deducirfcilmente de la aplicacin, en la circunferencia goniomtrica, de las definiciones generalizadas.ngulosencostgcosec sec cotg 0 = 360 0 101 90 1 0 10180 0-10-1270 -1 0-10(B) Otros ngulos importantes:Todas las razones trigonomtricas de los ngulos que aparecen a continuacin se puedendeducir fcilmente de la aplicacin de las definiciones originales en el tringulo rectngulo obtenidoal dividir, por una altura, uno equiltero de lado 1 (razones de 30 y 60) o en un tringulorectngulo issceles de catetos 1 (razones de 45).Lo interesante es el truco que permite recordar las razones trigonomtricas de los ngulos 0,30, 45, 60 y 90. Realizamos la siguiente tabla y vamos siguiendo los pasos que se indican:1er paso 0 304560 90 sen 0 123 4 En esta fila empezamos a escribir los nos naturales desde 0 cos 4 321 0 En esta fila escribimos los nos naturales anteriores pero al revs 2 paso 0 304560 90 0 123 4 sen2 222 2Se extrae la raz cuadrada de cada uno de los nos anteriores y se dividen todos ellos entre 2 4 321 0 cos2 222 23er paso 0 304560 901 23 sen 01222 Se simplifica y obtenemos las razones trigonomtricas buscadas 32 1 cos1 0222Ejercicio:1. Calcular el valor de x:a) x = ( sen 30 sen 60 ) / ( sen 30 +sen 60 ) b) x = (1 sen 45 ) + 2 cos 45 / cos 60 2 c)x = ( sen 90 sen 60 + cos 0 cos 30 ) / ( sen 45 cos 45 tg 30 ) d) cossentg63 4Jos Gallegos Fernndez 7 8. GEOMETRA: Trigonometra4.6. Reduccin de razones trigonomtricas al primer cuadrante. Veamos que dado un ngulo cualquiera comprendido entre 90 y 360, existe otro ngulo enel primer cuadrante con razones trigonomtricas iguales, en valor absoluto, a las del dado.(A) Razones trigonomtricas de ngulos suplementarios (suman radianes). Y P(-x,y)P(x,y) Q O QXSi consideramos el ngulo = XOP, ste es suplementario del ngulo = XOP(donde el punto P es el simtrico de P respecto del eje OY) ya que ambos suman 180. Adems,podemos observar que los tringulos rectngulos POQ y POQ son iguales. As las razonestrigonomtricas son:sen ( ) = y = sen tg ( ) = tg cos ( ) = x = cos Ejemplo: Calcular las razones trigonomtricas de 120. tg 120 = 3 3 2 3 sen 120 = sen ( 180 60 ) = sen 60 = cosec 120 = 32 1 sec 120 = 2 cos 120 = cos ( 180 60 ) = cos 60 = 2 cotg 120 = 3 3Jos Gallegos Fernndez8 9. GEOMETRA: Trigonometra(B) Razones trigonomtricas de ngulos que difieren en radianes. YP(x,y) Q OQX P(-x,-y) Si consideramos los ngulos = XOP y + = XOP (donde el punto P es el simtrico deP respecto del origen O), ambos se diferencian en 180. Adems, podemos observar que lostringulos rectngulos POQ y POQ son iguales. As las razones trigonomtricas son:sen ( + ) = y = sen tg ( + ) = tg cos ( + ) = x = cos Ejemplo: Calcular las razones trigonomtricas de 210. 3 tg 210 =1 3 sen 210 = sen ( 180 +30 ) = sen 30 = 2 cosec 210 = 2 3 sec 210 = 2 3 cos 210 = cos ( 180 +30 ) = cos 30 = 2 3 cotg 210 = 3 (C) Razones trigonomtricas de ngulos opuestos (suman 2 radianes). Y P(x,y) Q O QX P(x,-y) Si consideramos los ngulos = XOP y 2 = XOP (donde el punto P es el simtricode P respecto del eje de abscisas), ambos suman 360. Adems, podemos observar que lostringulos rectngulos POQ y POQ son iguales. As las razones trigonomtricas son: sen ( 2 ) = y = sen tg ( 2 ) = tg cos ( 2 ) = x = cos Ejemplo: Calcular las razones trigonomtricas de -45=360-45=315. 2 tg 315 = 1 sen 315 = sen ( 360 45 ) = sen 45 = 2 cosec 315 = 2 2 sec 315 = 2 cos 315 = cos ( 360 45 ) = cos 45 = cotg 315 = 1 2 Jos Gallegos Fernndez 9 10. GEOMETRA: Trigonometra Siguiendo razonamientos anlogos a los anteriores, existen otras formas de reducir razonestrigonomtricas de ngulos al primer cuadrante:(D) Razones trigonomtricas de ngulos complementarios (suman /2 radianes).Y P(x,y) sen 2 = cos P cos = sen OX 2 tg = cotg 2(E) Razones trigonomtricas de ngulos que se diferencian en /2 radianes. Y sen 2 + = cos P(-y,x) P(x,y) cos + = sen 2 OX tg + = cotg 2(F) Razones trigonomtricas de ngulos que suman 3/2 radianes. YP(x,y) 3 sen 2 = cos 3 O X cos = sen 2 3P(-y,-x) tg = cotg 2 (G) Razones trigonomtricas de ngulos que se diferencian en 3/2 radianes.Y P(x,y) 3 sen 2 + = cos 3OX cos + = sen 2 P(-y,-x) 3 tg + = cotg 2 Por ltimo, comentar que los ngulos que son ms grandes que 2 contienen un nmeroentero de vueltas de circunferencia ms un ngulo que ya s est contenido entre 0 y 2 radianes, esdecir, si un ngulo es mayor que 2 se escribir de la forma = + 2 k donde k es elnmero de veces que el ngulo contiene a la circunferencia completa y lo que queda. As pues,estos ngulos tendrn el mismo origen y el mismo extremo y, por tanto, tienen las mismas razones sen ( + 2 k ) = sen trigonomtricas: tg ( + 2 k ) = tg cos ( + 2 k ) = cos Jos Gallegos Fernndez 10 11. GEOMETRA: TrigonometraEjercicios:1. Expresa las siguientes razones en funcin de ngulos del primer cuadrante: a) sen 150 = b) tg 300 = c) cos 120 = d) sen 730 = e) tg 135 =f) tg 3903 20 = g) cotg 158 10 =h) cosec 214 40 = i) sen 100 30 = j) sen 240 = k) sen 240 = l) tg 225 = m) cos 210 = n) tg 300 = o) tg 225 =p) sen 390 = q) cotg 210 50 =r) sec 135 = s) sen 330 = t) sec 660 = u) sec 315 =2. Calcular x en las siguientes expresiones: a) x = sen 30 +2 cos 45 tg150 b)x = ( sen 2 120 cos 3 60 ) / ( tg 30 cotg 135 ) c) x = sen 3 cos 3 + tg 4 cos ( 6 ) d) x = ( a + b ) tg 45 a cos 0 + b sen e) x = cos 0 sen 450 tg 135 3. Determinar el valor de x sabiendo que 0 x : a) sen x = cos 210 sen ( 45 ) b) sec x = tg 145 18cosec ( 19 ) c) tg x = sen 145 15 tg 209 / cos 18 d) cos x = sen 910 cos ( 1000 ) / tg 335 4. Calcular, utilizando la calculadora, todos los posibles valores de x en los siguientes casos: a) x = sen 38 15 b) x = tg 90 c) cotg x = 0,57735d) tg x = 3,25 e) sen x = 0,0364f) sen x = 0,9807 g) x = cos 72 05 15h) x = cos 75 1/2 i) sen x = -(3 /2) j) cosec x = -3,5 k) tg x = 0,8699 l) cos x = 0,7729 m) x = tg 3 19 25n) x = cos 12 o) cos x = -0,68236 p) tg x = 1,7302 q) sen x = 0,5466 r) x = sen 15 s) x = cotg 29 19 t) cos x = 0,4893 u) sec x = 22 v) x = tg 75 w) cos x = 0,1175 x) cotg x = 0,6749Jos Gallegos Fernndez11 12. GEOMETRA: Trigonometra5. Expresa en funcin de las razones de un ngulo del primer cuadrante, las razones trigonomtricas de los ngulos: 310, 2010, 3718, 7425.6. Dibuja el ngulo , di a qu cuadrante pertenece y calcula todas sus razones trigonomtricas en cada uno de los siguientes casos:1 a) sen = y cos > 031 b) cos = y sen < 02 c) tg = 4 y cos > 07. Si sen = sen , cmo pueden ser entre s los ngulos y ?8. Para qu ngulos es sen = cos ?9. Calcula la forma general de los ngulos tales que cos = tg 45 .10. Decide si los ngulos 42, 138 y 222 tienen el mismo seno.11. Cunto deben diferir dos ngulos para que sus tangentes coincidan?12. Existir algn ngulo para el cual se cumpla que sen 2 cos 2 = 4 ? Justifica la respuesta sin realizar operaciones.13. Qu relacin existe entre tg 25 y tg 335?14. En qu cuadrante se halla situado un ngulo si el seno y el coseno son negativos? Y si sonnegativos el coseno y la tangente?15. Calcula el signo de las razones trigonomtricas de: 750, 1197, 920 y 1200.16. Al duplicarse un ngulo, se duplica tambin su seno? Por qu?17. Si en un tringulo se conoce el seno de un ngulo, queda determinado ese ngulo? Y si seconoce el coseno? Y si se conoce la tangente?18. Qu condiciones deben cumplir el seno y el coseno de un ngulo para que la tangente seapositiva y mayor que 1? En qu cuadrantes puede hallarse dicho ngulo?19. Simplifica la expresin: cos ( 90 ) cos ( 180 + ) + sen ( 90 ) sen ( 180 )Jos Gallegos Fernndez 12 13. GEOMETRA: Trigonometra20. Si un ngulo mide 15 rad, es mayor, menor o igual que un ngulo recto? Y si mide 15708rad (utilizar tres decimales en los clculos)?1 sen 4 21. Demostrar la siguiente igualdad:= cotg 2 sen ( 2 cos )2 2tg + tg 22. Comprobar si es verdadera o falsa la siguiente igualdad:= tg tg cotg + cotg cos 4 sen 4 23. Simplificar la expresin. cos 2 sen 224. Calcular razonadamente el valor de la siguiente expresin: sen 150 cos 330 + tg 225 sec 240 +cosec 315 cotg 45 225. Si cosec =, calcular:5 a) las dems razones trigonomtricas de . b) los ngulos que tienen dichas razones trigonomtricas.26. Sabiendo que tg 325 = 0.7 , calcular las siguientes razones trigonomtricas: a) sen 35 ; b) cos 125 ; c) cotg 215 ; d) cosec 305 ; e) sec 145 27. Calcular las siguientes razones trigonomtricas en funcin de alguna de alguno de los ngulosfundamentales del primer cuadrante: a) sen 120 b) cotg 135 c) cosec ( 30 ) d) sec 330 e) cos ( 45 ) f) sec 150 g) cotg 240 h) tg 315 i) tg 210 j) cosec 225 k) sen 240 l) cos 300 128. Sabiendo que sen = ,2a) Determinar en qu cuadrantes puede estar .b) Calcular las dems razones trigonomtricas de .c) Explicar razonadamente quin es .Jos Gallegos Fernndez 13 14. GEOMETRA: Trigonometra29. Demostrar que para cualquier ngulo se verifica la siguiente relacin:cosec 2 + sec2 = sec2 cosec 2 30. Sabiendo que cotg 27 = 2 , calcular las siguientes razones trigonomtricas: a) cosec 63 ; b) cos 333 ; c) tg 153 ; d) sen 243 ; e) sec 117 cotg tg 31. Comprobar si la siguiente igualdad es cierta:+ = cosec sec 1 + cotg 1 + tg 2 232. Calcular, explicando razonadamente cada paso, el valor de la siguiente expresin: sen 120 cos 225 + tg 300 cotg 210 +sec 150 cosec 135 33. a) Expresar 37 en radianes.3 b) Calcular sus razones trigonomtricas si tg 37 =4 3 c) Calcular razonadamente un ngulo tal que 270 < < 360 y tg = 4 334. Sabiendo que cotg =,3 a) Determinar en qu cuadrantes puede estar . b) Calcular las dems razones trigonomtricas de . c) Explicar razonadamente quin es .1 + tg cos sen 35. Decidir si es verdadera o falsa la igualdad =.1 tg sen + cos 36. Calcular, explicando razonadamente cada paso, el valor de la siguiente expresin: sen 135 +cos 240 tg 300 cotg 225 +sec 120 + cosec 330 1 + tg 2 tg 37. Decidir si es verdadera o falsa la igualdad= . cotg cos 2 Jos Gallegos Fernndez14 15. GEOMETRA: Trigonometra4.7. Otras relaciones trigonomtricas.4.7.1. Razones trigonomtricas de la suma o diferencia de dos ngulos.Es muy fcil comprobar que la razn trigonomtrica de la suma de dos ngulos, NO es igualque la suma de las razones trigonomtricas de dichos ngulos. Por ejemplo: 11 3sen 150 = sen ( 90 +60 ) = sen 60 = sen 90 +sen 60 = 1 + = 22 2Lo que vamos a hacer en este apartado, es analizar cul es la relacin que existe entre las razonestrigonomtricas de la suma o diferencia de dos ngulos y las correspondientes a dichos ngulos.(A) Seno de la suma de dos ngulos: sen ( + ) = sen cos + cos sen Demostracin sen = sen b = AB Si a = , b = y OB = 1, entonces: . Por tanto: cos = cos b = OA sen ( + ) = PB = MN = NA + AM = OAsen + AB cos == sen cos + cos sen (B) Coseno de la suma de dos ngulos: cos ( + ) = cos cos sen sen Demostracincos ( + ) = OP = ON NP = ON BM = OAcos AB sen == cos cos sen sen (C) Seno de la diferencia de dos ngulos: sen ( ) = sen cos cos sen Demostracinsen ( ) = sen + ( ) = sen cos ( ) + cos sen ( ) = = sen cos cos sen (D) Coseno de la diferencia de dos ngulos: cos ( ) = cos cos + sen sen Demostracincos ( ) = cos + ( ) = cos cos ( ) + sen sen ( ) = = cos cos + sen sen Jos Gallegos Fernndez15 16. GEOMETRA: Trigonometratg + tg (E) Tangente de la suma de dos ngulos: tg ( + ) = 1 tg tg Demostracin sen cos + cos sen sen ( + ) sen cos + cos sen cos cos tg ( + ) = = = = cos ( + ) cos cos sen sen cos cos sen sen cos cos sen sen + cos cos tg + tg == sen sen 1 tg tg 1 cos cos tg tg (E) Tangente de la diferencia de dos ngulos: tg ( ) =1 + tg tg Demostracintg + tg ( )tg tg tg ( ) = tg + ( ) = = 1 tg tg ( ) 1 + tg tg Hay que tener en cuenta que tg ( + ) y tg ( ) no estn definidas si = 90 + k 180 .Tambin que la divisin por cos cos = 0 no puede efectuarse en el caso de que dicho productosea nulo, es decir si cos = 0 cos = 0 , pues entonces tg y tg no estn definidas, aunqueentonces es fcil calcular tg ( ) directamente.En estos casos las dos ltimas frmulas no tienen sentido.Ejercicios: 1. Calcula el valor de las siguientes expresiones: a) cos 48 cos 18 + sen48 sen18 = b) sen 22 cos 23 + cos 22 sen 23 =2. Si sen 37 = 06 y cos 78 = 02 , calcula sen 41 y sen 49 .3. Si sen 65 = 09 y sen 25 = 04 , calcula cos 40 y cos 50 .4. Calcula las razones de ( 30 + ) siendo tg = 2 y un ngulo agudo.5. Si sen 20 = 033 , calcula las razones de 410 .6. Si sen 12 = 02 y sen 54 = 08 , calcula el coseno de 66 , 24 , 84y 18 .Jos Gallegos Fernndez 16 17. GEOMETRA: Trigonometra4.7.2. Razones trigonomtricas del ngulo doble.(A) Seno del ngulo doble: sen ( 2 ) = 2 sen cos Demostracinsen ( 2 ) = sen ( + ) = sen cos + sen cos = 2 sen cos (B) Coseno del ngulo doble: cos ( 2 ) = cos 2 sen 2 Demostracincos ( 2 ) = cos ( + ) = cos cos sen sen = cos 2 sen 2 2 tg (C) Tangente del ngulo doble: tg ( 2 ) =1 tg 2 Demostracintg + tg 2 tg tg ( 2 ) = tg ( + ) = = 1 tg tg 1 tg 2 4.7.3. Razones trigonomtricas del ngulo mitad. 1 cos (A) Seno del ngulo mitad: sen = 22Demostracin cos 2 + sen 2 = 1 2 2 2 1 cos 2 sen = 1 cos sen = 22 2 cos 2 + sen 2 = cos 2 2 1 + cos (B) Coseno del ngulo mitad: cos = 22Demostracin cos 2 + sen 2 = 1 2 22 1 + cos 2 cos = 1 + cos cos = 2 2 2 cos 2 sen 2 = cos 2 2 1 cos (C) Tangente del ngulo mitad: tg = 21 + cos Demostracin 1 cos sen 2= 2 1 cos tg = = 2 cos 1 + cos 1 + cos 22Jos Gallegos Fernndez17 18. GEOMETRA: Trigonometra4.7.4. Transformaciones de sumas o diferencias en producto y viceversa. A+ BA B(A) Suma de senos:sen A + sen B = 2 sencos2 21sen cos = sen ( + ) + sen ( ) 2 Demostracinsen ( + ) = sen cos + cos sen sen ( + ) + sen ( ) = 2 sen cos sen ( ) = sen cos cos sen Entonces: 1a) sen cos = sen ( + ) + sen ( ) 2 A+ BA = + = 2A+ BA Bb) Si sen A + sen B = 2 sen cosB = = A B2 22 A+ BA B(B) Diferencia de senos:sen A sen B = 2 cossen2 21cos sen = sen ( + ) sen ( ) 2 Demostracinsen ( + ) = sen cos + cos sen sen ( + ) sen ( ) = 2 cos sen sen ( ) = sen cos cos sen Entonces: 1a) cos sen = sen ( + ) sen ( ) 2 A+ BA = + = 2A+ BA Bb) Si sen A sen B = 2 cos senB = = A B2 22Jos Gallegos Fernndez18 19. GEOMETRA: Trigonometra A+ BA B(C) Suma de cosenos:cos A + cos B = 2 coscos2 21cos cos = cos ( + ) + cos ( ) 2 Demostracincos ( + ) = cos cos sen sen cos ( + ) + cos ( ) = 2 cos cos cos ( ) = cos cos + sen sen Entonces: 1a) cos cos = cos ( + ) + cos ( ) 2 A+ BA = + = 2 A+ BA Bb) Si cos A + cos B = 2 coscosB = = A B 2 22A+ BA B(D) Diferencia de cosenos:cos A cos B = 2 sensen 2 2 1sen sen = cos ( + ) cos ( ) 2 Demostracincos ( + ) = cos cos sen sen cos ( + ) cos ( ) = 2 sen sen cos ( ) = cos cos + sen sen Entonces:1a) sen sen = cos ( + ) cos ( ) 2 A+ BA = + = 2A+ BA Bb) Si cos A cos B = 2 sensenB = = A B2 22Jos Gallegos Fernndez 19 20. GEOMETRA: TrigonometraEjercicios1. Comprobar si son ciertas las igualdades siguientes: tg a)tg = cosec cotg b)= cos 2 2tg 2 tg ( sen + cos ) = 1 + sen 2cos 4 sen 4 = 2 cos 2 12c) d)cotg + tg sec cos e)= sec 2 f) = tg 3cotg tg cosec sen g)( cotg + cosec ) ( cosec cotg ) = 1 h) ( tg + cotg ) sen cos = 1sen ( 45 + )sen ( )i)1 + tg = j) tg tg =cos 45 cos cos cos k)( sen cos )2+ ( sen + cos ) = 2 2 l) ( 1 + tg ) ( 1 tg ) + sec 2 = 2sen ( + ) tg cotg + 1m)= ( tg + cotg ) = sec 2 + cosec 2 2 n)sen ( ) tg cotg 11 sen cos 1 + tg 2 tg o)=p)=cos 1 + sen cotg cos 2 sen 2cos 2 sen 2q)= tgr)= tg 1 + cos 2 1 + cos 2 1 + cos 2s)( 1 + cos ) ( 1 cos ) = sec cos t)sen 3 + sen5 = 4 cos 2 2cos sen + sen32. Simplificar las expresiones:sec 2 cos 2 sen 3 sen5 a) b)tg 2 cos 3 + cos 5 cosec 2 sen 2 cosec c)d)cosec 2 ( 2 cos 2 ) 1 + cotg 2 sen 2 a sen 2 asen + sen 3 e) f)1 cos 2 a cos acos cos 3 sen 3b cos 3b sen ( + ) tg + g) 2 cos 8b cos 4 bh)tg ( + )cos 21 + tg i)( sen + cos ) 2j)1 sen 2 1 tg sen 2 sen 2 k) 1 cos 2 cos Jos Gallegos Fernndez 20 21. GEOMETRA: Trigonometra3. Calcular x en los siguientes casos: a) x = sen 38 15b) cotg x = 057735 c) sen x = 0.0364d) x = cos 72 515 " e) x = tg 3 1925 " f) sen x = ( 3 1 2 / 2 ) g) tg x = 0, 8699h) cos x = 0.68236 i)sen x = 05466 j) x = cotg 29 19k) sec x = 22l) cos x = 0, 1175 m) x = tg 90 n) sen x = 0.9807 o) tg x = 3, 25p) sen x = 0.9807 q) x = cos 75 r) cosec x = 35 s) cos x = 0 7729 t) x = cos 12 u) cotg x = 0, 6749v) tg x = 1 7302 w) cos x = 04893 x) x = tg 75 y) x = sen ( 15 ) z) sen x = 103454.8. Resolucin de tringulos rectngulos.Resolver un tringulo es calcular las medidas de todos sus lados y ngulos. Para ello nosdebemos basar en las relaciones que existen entre los lados, entre los ngulos y entre ambos.Consideremos el siguiente tringulo rectngulo:(A) Relaciones entre los lados: Teorema de Pitgoras: a 2 = b 2 + c 2El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia (en valorabsoluto).(B) Relacin entre los ngulos: La suma de los tres ngulos de un tringulo es 180: A + B + C = 180 Por tanto, ya que A = 90 , B y C son complementarios: B + C = 90 (C) Relaciones entre los lados y los ngulos (razones trigonomtricas): b c sen B = = cos C y cos B = = sen C a aJos Gallegos Fernndez21 22. GEOMETRA: TrigonometraEjemplos:1. En un tringulo rectngulo se conocen la hipotenusa a = 15 cm y el ngulo B = 20 . Hallalos restantes elementos: a = 15 cm C = 90 20 = 70 A = 90 c = a cos B = 15 cos 20 = 14 , 09 cm B = 20 b = a sen B = 15 sen 20 = 5 , 13 cm 2. En un tringulo rectngulo se conocen el cateto b = 102, 4 m y el ngulo B = 55 . Halla losrestantes elementos: b 102, 4 b = 102, 4 m c = tg B = tg 55 = 71, 7 m A = 90 C = 90 55 = 35 B = 55 102, 4 a = b== 125 , 01 msen B sen 55 3. En un tringulo rectngulo se conocen la hipotenusa a = 25 dm y el cateto b = 20 dm . Hallalos restantes elementos: c = 25 2 20 2 = 225 = 15 dm a = 25 dm b 20 4 b = 20 dm cos C = = = C = 36 5212 " a 25 5 A = 90 B = 90 36 5212 " = 53 748 " 4. En un tringulo rectngulo se conocen los catetos b = 8 m y c = 24 m . Halla los restanteselementos:a = 8 2 + 24 2 = 640 = 25, 3 m b=8m c 24 c = 24 m tg C = = = 3 C = 71 3354 " b 8 A = 90 B = 90 71 3354 " = 18 266 "Jos Gallegos Fernndez 22 23. GEOMETRA: TrigonometraEjercicios:1. Resolver los siguientes tringulos rectngulos: a) a = 27,6 m c) b = 75 cmC = 40 57 24" C = 30 19 47"b) a = 42,18 m d) b = 4,20 cmc = 33,40 m c = 17,15 cm2. Resolver el tringulo rectngulo de la figura, utilizando los datos que se indican en cada caso: a) a = 120 m ; B = 35 15 A b) a = 3500 m ; C = 15 1832 " cb c) c = 130 m ; B = 72 10d) b = 239 m ; B = 29 1215 " e) b = 15 m ; c = 7 m BC a3. Consideremos la siguiente pirmide de base cuadrangular.Calcular:a) La altura H de la pirmide.b) El ngulo que forma la base con una cualquiera de las aristas.c) La altura h de una cara.d) La longitud l de una arista.e) El ngulo que forma la altura de la pirmide con una arista.4. Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada. Si se apoya sobre una de las fachadas forma un ngulo con el suelo de 45, y si se apoya sobre la otra forma un ngulo de 30. Halla la anchura de la calle y la altura que se alcanza con dicha escalera sobre cada una de las fachadas. 5.Javi, Pablo y Juan van a escalar una pirmide de la que desconocen su altura. A la salida del pueblo han medido un ngulo de elevacin que es de 30. Han avanzado 100 m hacia la base y han vuelto a medir, obteniendo en esta ocasin un ngulo de 45. Calcula la altura de la montaa.Jos Gallegos Fernndez 23 24. GEOMETRA: Trigonometra6. Quiero medir la altura de la chimenea de una fbrica. Como no me puedo acercar al pie de la chimenea, pues est en el interior de una nave, he tomado, desde dos puntos, los ngulos bajo los cuales veo el extremo de la chimenea ( y ). Y he medido la distancia de separacin de los dos puntos (d). Calcular la altura de la chimenea d (h) si =45, =55 y d =14.9896 m.7. El telefrico ms corto y de pendiente ms elevada del mundo se localiza en Dubuque (Iowa, EEUU). Su longitud aproximada es de 296 pies y asciende hasta una altura de 189 pies (1 pie=0,3 m):a) Determina el ngulo que forma la va del ferrocarril con la horizontal.b) Si la pendiente es la tangente del ngulo anterior, expresada en %, calclala.8. Si un globo aerosttico se encuentra sujeto al suelo mediante una cuerda que mide 80 m y forma un ngulo con el suelo de 30, a qu altura se encontrar situado dicho globo?9. Una piscina olmpica mide 50 m de largo y 25 m de ancho. Supongamos que hay cuatro escaleras justo en las esquinas de la piscina y que un nadador que va por la calle central lleva recorridos 30 m. Si en ese preciso instante el nadador quiere desviarse hacia la escalera ms cercana, cul es la distancia mnima que tiene que recorrer? y qu ngulo (expresado en grados, minutos y segundos) se tiene que desviar, con respecto a la trayectoria que lleva, para alcanzar la escalera por el camino ms corto?10. Romeo se encuentra situado de forma que ve a Julieta, que se encuentra en su balcn, bajo unngulo de 30. Si ambos se encuentran a una distancia de 80 m, a qu altura se encontrar elbalcn de Julieta?11. Dos radares A y B que distan entre s 20 km detectan a un avin bajo ngulos de 30 y 60respectivamente. Halla la altura a la que vuela el avin y la distancia que lo separa de cada unode los radares.12. Un poste de 25 m de altura se sostiene verticalmente atando su extremo superior con un cablede 5 m de longitud que se fija al suelo mediante una estaca. Calcula: a) Los ngulos que forma el cable con el poste y con el suelo. b) La distancia del pie del poste a la estaca que sostiene el cable.13. Una escalera de 25 m de longitud tiene su extremo superior apoyado sobre una tapia de 5 mde altura. Calcula: a) Los ngulos que forma la escalera con el suelo y con la tapia. b) La distancia del pie de la escalera a la tapia.Jos Gallegos Fernndez 24 25. GEOMETRA: Trigonometra4.9. Resolucin de tringulos no rectngulos. Consideremos el siguiente tringulo general:(A) Relaciones entre los lados: Cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia (en valor absoluto).(B) Relacin entre los ngulos: La suma de los tres ngulos de un tringulo es 180: A + B + C = 180 (C) Relaciones entre los lados y los ngulos:Teorema del seno: Los lados de un tringulo son proporcionales a los senos de los ngulos opuestos a b c= = sen A sen B sen CDemostracinhc sen A = ba b hc = b sen A = a sen B =h sen A sen B sen B = a ch sen C = a b b c ha = c sen B = b sen C =h sen B sen C sen B = c aTeorema del coseno (generalizacin del teorema de Pitgoras): el cuadrado de un lado es igual a lasuma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de dichos lados por elcoseno del ngulo comprendido entre ellos. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A b 2 = a 2 + c 2 2 a c cos B c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos CDemostracin ()2222 2 2c 2 = BL + LA = a CL+ b 2 CL = a 2 +CL 2 a CL + b 2 CL = = a 2 + b 2 2 a CL = a 2 + b 2 2 a b cos CAnlogamente se demostraran las otras dos.Jos Gallegos Fernndez 25 26. GEOMETRA: Trigonometra(A) Conocidos un lado y dos ngulos cualesquiera: a = 6 cmEjemplo: Calcula los restantes elementos de un tringulo del que se conocen B = 45 .C = 105 A = 180 ( 45 +105 ) = 180 150 = 30 b62 2 = b = 6 = 6 2 cm sen 45 sen 30 12 c 6 = c 11, 6 cm sen 105 sen 30 (B) Conocidos dos lados y el ngulos comprendido:Ejemplo: Un solar tiene forma triangular. Se han podido determinar dos lados que miden 10 y 7 dm,respectivamente, y el ngulo comprendido con un teodolito, que result ser igual a 30. Para poderreplantear una posible construccin, se necesita conocer el resto de los elementos del tringulo.Llamamos a = 10 dm, b = 7 dm y C = 30 . Entonces:c = a 2 + b 2 2 a b cos C = 100 + 49 140 cos 30 5 , 27 dm 7 5 , 26 B 41 3752 = sen B 0 , 644 sen B sen 30 B 138 22 7 A = 180 ( 30 +41 3752) = 108 228 (C) Conocidos dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos:Ejemplo: Jorge ve desde su casa el castillo y la fuente que est en el centro de la plaza mayor. Hapreparado un teodolito casero para calcular el ngulo formado por dichas visuales y ha obtenido quees de 40 32. Jorge sabe que la distancia de su casa a la fuente es de 42 dm, de la fuente al castillode 32 dm y desde el castillo, el ngulo que forman las visuales a su casa y a la plaza mayor esagudo. Si hubiera un camino recto desde la casa de Jorge al castillo, cunto medira?Llamamos a = 42 dm, b = 32 dm y B = 40 32 . Entonces: 42 32 A 58 3222 = sen A 0 , 853 sen A sen 40 32 A 121 2738 C = 180 ( 58 3222 + 40 32) = 80 5538 42 c= c 48, 62 dm sen 58 3222sen 80 5538 La distancia de la casa de Jorge al castillo es de 48, 62 dmJos Gallegos Fernndez 26 27. GEOMETRA: Trigonometra(D) Conocidos los tres lados:Ejemplo: Los padres de Luis han heredado una parcela en la sierra, de forma triangular, cuyos ladosmiden 15, 22 y 17 m. Luis quiere calcular los ngulos, pero no sabe. Podras ayudarle? Llamamos a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m. Entonces: a 2 + b 2 + c 2 cos A == 0 ,7326 A 42 54 2bc a 2 b2 + c2 cos B = = 0, 588 B 86 382 ac C = 180 ( 42 54 + 86 38 ) = 50 28 Ejercicios: 1. Resuelve los tringulos rectngulos (A=90)a) a = 5, B = 30.b) b = 2, c = 4.c) b = 6, C = 59. 2. Qu sombra arroja un semforo de 3 m de altura cuando los rayos del sol caen con una inclinacin de 351820 con la horizontal? 3. Calcula el rea de un pentgono inscrito en una circunferencia de radio r = 15 cm. 4. Si un tringulo issceles, tiene de base el lado desigual 20 cm, y sus ngulos iguales son de 25, cul es su rea? 5. Arrastramos una piedra, aplicando a la misma dos fuerzas de 25 y 40 N, formando entre ellas un ngulo de 14. Hallar la fuerza resultante. 6. Resuelve los siguientes tringulos:a) a = 5; B = 40; A = 95b) a = 8; b = 7; c = 3c) a = 10; c = 7; B = 50 d) a = 7; b = 3; B = 80e) a = 15; b = 9; B = 10 7. Halla el radio de la circunferencia circunscrita al tringulo ABC, donde se conocen a = 10, B = 10 y C = 75. 8. Comprueba qu ocurre si se aplica el teorema del seno, en un tringulo rectngulo. 9. Halla el rea y el radio de la circunferencia circunscrita al tringulo de lados a = 11, b = 14 y c = 16. 10. Halla el rea del tringulo b = 5, A = 30, C = 105. 11. El radio de la circunferencia circunscrita a un tringulo es 6 m. Dos de los ngulos del tringulo son B = 27 y C = 73. Podemos hallar el resto de los elementos? 12. Un paralelogramo tiene por diagonales 30 cm y 20 cm y el ngulo que forman es de 36. Cunto miden sus lados? 13. Un tringulo tiene de rea 20 cm2, y sus ngulos son 33, 97 y 50. Calcula el valor de sus lados. 14. Disponemos de una escalera de 3 m y queremos que al apoyarla en la pared forme con la horizontal un ngulo de 75. A qu distancia de la pared tendremos que colocar el pie de la escalera?Jos Gallegos Fernndez 27 28. GEOMETRA: Trigonometra15. Al recorrer 100 m por una carretera, hemos ascendido 9 m. Cul es el ngulo que formacon la horizontal?16. Un pastor observa que el ngulo desde el que se ve la cima de una montaa es de 50 con lahorizontal, y si se acerca hacia ella 200 m, entonces el ngulo es de 60. Cul es la altura dela montaa? A qu distancia de ella se encuentra?17. Un poste, de los que sujetan la carpa de un circo, tiene una longitud de 5 m, y forma con lahorizontal un ngulo de 105. El cable que une el extremo con el suelo mide 18 m. A qudistancia del pie del poste, est amarrado el cable?18. Una persona de 1, 90 m de altura, est a 50 m de distancia de un edificio de 30 m de altura.Bajo qu ngulo ve el edificio?19. Un cruce de dos carreteras rectas, forma un ngulo de 35. Desde el cruce partensimultneamente dos motos, una por cada carretera. Si la primera lleva una velocidad de 70Km/h y la segunda de 95 Km/h, qu distancia les separa despus de 45 minutos?20. Del instituto a la casa de Macarena hay 420 m, la cual dista de la casa de Antonio 650 m, yste para llegar al instituto tiene que andar 800 m. Qu ngulo forman las rectas que unenel instituto con las casas de Macarena y de Antonio?21. Desde un punto situado al Este de una torre contraincendios, se ve sta bajo un ngulo de45. Si nos alejamos 100 m hacia el Sur, el ngulo bajo el que se ve la torre es de 20. Cules la altura de la torre?22. Desde el punto ms alto de la torre contraincendios del problema anterior, bajo qu ngulose ven los dos puntos de observacin que hicimos?23. Dos amigos estn en campo abierto a una distancia de 2 Km, y observan un globoaerosttico, que est en el mismo plano vertical que ellos, bajo ngulos de 40 y 55respectivamente. Qu distancia hay desde cada uno de ellos al globo? Qu altura tiene elglobo?24. Un barco est anclado en un punto del mar, equidistante del faro y de la torre detelecomunicaciones, y los ve bajo un ngulo de 45. Si la torre dista del faro 4 Km, a qudistancia se encuentra el barco?4.10. BIBLIOGRAFA.Para la elaboracin de estos apuntes, se ha utilizado como material:1 Mayoritariamente, las explicaciones y ejercicios propuestos en clase por los profesores delDepartamento de Matemticas del Colegio Virgen de Gracia (Granada).2 Como ayuda para desarrollar y completar algunos apartados:-Apuntes del profesor Jess Escudero Martn del I.E.S. Fray Luis de Len (Salamanca). http://platea.pntic.mec.es/jescuder/-Apuntes y ejercicios de las pginas web: http://www.fisicanet.com http://www.imaginativa.cl/~profesores- Libros de texto:Anzola, M. y Vizmanos J.R.: Algoritmo 3, Ediciones SM, 1990.Bentez, F. y otros: Matemticas I, Ed. La .Jos Gallegos Fernndez28