TALLER DE DIBUJO 1

Geometría a través de Medios Digitales con CABRI Plus

De este modo, a partir de dos focos en el plano, podemos construir una elipse donde c es 1, donde c es 2, 3, 4, 5, 0.5,1 millón, o cualquier número; es decir, hay un número ilimitado de elipses al variar la distancia .

Los focos de una elipse no necesariamente tienen que ser diferentes. De hecho, cuando esto sucede aparece un tipo especial (y mucho más fácil de dibujar) de elipse: un círculo. En este caso, la medida c será igual al diámetro del círculo y los focos estarán en su centro.

DIBUJO EN CABRI

CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA

Primero dibujamos los puntos A y B que definirán los focos de nuestra elipse.

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Cambiamos la apariencia de líneas, puntos y círculos para dibujar trazos de construcción. Dibujamos un segmento de recta cualquiera al margen de los focos, cuya longitud definirá la distancia c. Llamamos A’ y B’ a sus extremos.

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Trazamos un punto cualquiera sobre el segmento y lo llamamos P’. Por la forma en que dibujamos P, la suma de su distancia a A’ y la suma de su distancia a B’ siempre será igual a c, y esto será cierto para cualquier punto en el segmento, incluidos A’ y B’.

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Ahora dibujamos dos compases con centros en A y en B con radio igual a la distancia de A’ a P’ y de B’ a P’ respectivamente.

Por la forma en que hicimos esta construcción, los puntos que están en la intersección de los dos círculos tendrán que satisfacer la condición con la cual definimos la elipse, ya que su distancia a A y su distancia a B será igual a la distancia de A’ a P’ y de B’ a P’ respectivamente, y a su vez, la suma de estas distancias es igual a la medida c.

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Entonces, rotulamos todos los puntos de la intersección de los dos círculos como P y estos serán puntos sobre la elipse.

Ahora, este procedimiento nos permitió encontrar algunos puntos sobre la elipse, pero aún falta encontrar todos los puntos que hacen parte de ella. Antes de hacer esto, podemos hacernos una idea de qué tan grande o pequeña puede ser la elipse teniendo lo siguiente en cuenta: en cualquier caso, un punto sobre la elipse no puede estar a una distancia mayor a la medida c de los focos de la elipse pues esto implicaría que sumando la distancia entre el punto y el segundo foco se obtendría un número mayor a la medida c, contradiciendo la definición de la elipse.

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Entonces, cualquier punto sobre la elipse debe tener una distancia a menor a la medida c. Y por lo tanto, si dibujamos todos los puntos P’ sobre nuestro segmento de construcción, y ubicamos sus puntos correspondientes P sobre la elipse, habremos encontrado todos los puntos posibles de la figura. Si arrastramos el punto P’ por el segmento, veremos cómo van cambiando los puntos P, ya que los círculos y sus intersecciones fueron definidos con la herramienta de compás con los puntos A’, B’ y P’ como parámetros.

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Cabri tiene una herramienta para graficar estos puntos a medida que variamos el parámetro P’. Para emplearla, debemos ir al penúltimo botón en la barra de herramientas, activar la opción Trace on/off y seleccionar los dos puntos P en la elipse.

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Después de haber activado esta opción, los puntos seleccionados quedan titilando, y cuando volvemos a arrastrar el punto P’, quedará el trazo de la construcción en varias posiciones diferentes de P. La concentración de los puntos dependerá de la velocidad con la que variemos el parámetro.

Con esta herramienta nos podemos hacer una buena idea de cuál va a ser la apariencia final de la elipse, pero aún no están dibujados todos los puntos que hacen parte de ella. Para hacer esto, debemos emplear la herramienta de lugares geométricos (locus en inglés) disponible en el programa, que calculará cuál es el conjunto de puntos P que se genera a partir de P’, variando este parámetro alrededor de todo el segmento. Antes debemos apagar el trazo de los puntos automáticos yendo nuevamente a Trace on/off y además cambiar la apariencia de este tipo de construcciones (llamadas loci, plural de locus) para dibujar trazos definitivos.

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Hecho esto, vamos al quinto botón de la barra de herramientas, escogemos la opción locus, y seleccionamos uno de los puntos P (que indicará que esta es la imagen que queremos que calcule) y el punto P’ (que indicará que este es el parámetro que queremos usar para calcular P).

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El programa calculará cuáles son todos los puntos que se pueden construir variando el parámetro y dibujará un arco elíptico, superior o inferior dependiendo de cuál punto P hemos escogido.

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Finalmente, repetimos el mismo procedimiento para el otro punto P.

Podemos verificar que la construcción funciona cuando variamos la posición de los focos al arrastrarlos por la pantalla. La construcción sólo deja de funcionar cuando separamos los focos por una distancia superior a la medida c, pues no existe una elipse con estos focos y esta medida. De hecho, podemos verificar que una elipse con sus dos focos en el mismo punto es un círculo, al arrastrar uno de sus focos tan cerca al otro como podamos.

También podemos verificar que la construcción funciona cuando variamos la longitud del segmento A’B’ y ver cómo cambia la forma de la elipse. La construcción sólo deja de funcionar cuando el segmento resulta más pequeño que la distancia entre los focos, pues no existe una elipse con estas medidas.

Cabri no tiene una herramienta para hacer esta tarea automáticamente.

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