Acosta - Geometría Experimental Con Cabri Una Nueva Praxeología Matemática

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Martn Eduardo Acosta GempelerGeometra experimental con Cabri: una nueva praxeologa matemticaEducacin Matemtica, vol. 17, nm. 3, diciembre, 2005, pp. 121-140,

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EDUCACIN MATEMTICA, vol. 17, nm. 3, diciembre de 2005, pp. 121-140 Santillana 121

Geometra experimental con Cabri:una nueva praxeologa matemtica

Martn Eduardo Acosta Gempeler

RReessuummeenn:: A pesar del gran potencial didctico del software de geometra dinmica,los profesores de matemticas experimentan serias dificultades para integrarlo en laenseanza. En este artculo exponemos la falta de una prctica de referencia comouna de las causas de esta situacin. Proponemos, entonces, la geometra experi-mental como prctica de referencia de la geometra dinmica e ilustramos, me-diante un ejemplo de resolucin de problemas, las nuevas tcnicas y tecnologas(en el sentido de la teora antropolgica de la didctica) que pueden implemen-tarse como parte de esa prctica.

Palabras clave: geometra dinmica, resolucin de problemas, tcnicas y tec-nologas, matemtica experimental, enseanza de la geometra.

.RRssuumm:: Malgr le grand potentiel didactique des logiciels de gomtrie dynami-que, les enseignants ont de srieuses difficults pour les intgrer dans lenseigne-ment. Dans cet article nous soulignons le manque dune pratique de rfrencecomme une des causes de cette situation. Nous proposons la gomtrie expri-mentale comme pratique de rfrence de la gomtrie dynamique et nous illus-trons, laide dun exemple de rsolution de problmes, les nouvelles techniqueset technologies (dans le sens de la thorie anthropologique du didactique) quipeuvent tre dveloppes comme partie de cette pratique.

Mots clefs: gomtrie dynamique, rsolution de problmes, techniques et tech-nologies, mathmatique exprimentale, enseignement de la gomtrie.

Fecha de recepcin: 9 de enero de 2005.

122 EDUCACIN MATEMTICA, vol. 17, nm. 3, diciembre de 2005 Santillana

Geometra experimental con Cabri: una nueva praxeologa matemtica

LA GEOMETRA DINMICA Y LA ENSEANZA:NECESIDAD DE UNA NUEVA PRAXEOLOGA MATEMTICA

El software de geometra dinmica ha experimentado un rpido desarrollo y difu-sin en aos recientes y distintos trabajos de investigacin resaltan sus potencialesen la enseanza de las matemticas (Laborde, 1995; Laborde y Capponi, 1994).Sin embargo, la utilizacin de la geometra dinmica por parte de los profesores dematemticas se muestra problemtica y compleja. Incluso en las instituciones concondiciones de infraestructura favorables (disponibilidad de equipos y licencias,inters de parte de los profesores), los estudios revelan un uso bastante limitadodel software (Ruthven et al., 2004).

Una de las razones que explican esta dificultad es un desequilibrio entre elpunto de vista matemtico y el punto de vista didctico entre los usuarios delsoftware de geometra dinmica. A diferencia de otros software de matemticas,la geometra dinmica fue destinada desde su origen a la enseanza, por lo que sereconoce fcilmente su vocacin didctica y se resaltan sus potencialidades en la en-seanza; pero como la comunidad matemtica no lo ha integrado dentro de suprctica profesional, no se lo reconoce como una herramienta legtima para hacermatemticas ni se estudian las repercusiones de su utilizacin en la produccinde nuevo conocimiento. En otras palabras, se acepta la necesidad de una nuevaprctica de la enseanza de las matemticas que introduzca la utilizacin de lageometra dinmica, pero no la necesidad de una nueva prctica de las propiasmatemticas que utilice esta herramienta.

Tal como lo seala la teora antropolgica de la didctica (TAD) (Bosch yChevallard, 1999), los puntos de vista didctico y matemtico no pueden to-marse de manera independiente; ambos forman parte de una misma totalidad:el estudio de las matemticas. Toda praxeologa didctica depende de una pra-xeologa matemtica que pretende construir y, a su vez, toda praxeologa ma-temtica implica una praxeologa didctica que permita su nacimiento en laprctica. Pretender modificar la praxeologa didctica para utilizar el softwaresin modificar la praxeologa matemtica es una tarea imposible: el profesor dematemticas se ver enfrentado a una forma de trabajo de los alumnos queno podr reconocer legtimamente como trabajo matemtico, pues difiere de lapraxeologa matemtica que l debe ensear y, por lo tanto, terminar restrin-giendo a un mnimo la intervencin del software en el trabajo matemtico delos alumnos.

Por otra parte, la misma teora advierte sobre la imposibilidad de introducir

nuevos objetos ostensivos1 dentro de una praxeologa matemtico/didctica, sinque se d una reestructuracin global de dicha praxeologa (Bosch y Chevallard,1999). Precisamente este fenmeno es el que enfrentamos al tratar de introdu-cir la geometra dinmica en la enseanza. La geometra dinmica constituye unnuevo sistema de representacin de los objetos geomtricos que utiliza nuevosobjetos ostensivos, los dibujos computarizados, que se diferencian de los dibujossobre el papel precisamente por su dinamismo: pueden ser arrastrados y defor-mados en la pantalla, conservando las propiedades geomtricas que se les haasignado por el procedimiento de construccin. Cules son las consecuenciasmatemticas de la utilizacin de estos nuevos objetos ostensivos? Es decir, qutcnicas matemticas pueden emplear estos nuevos objetos dinmicos, y qu tec-nologas utilizar para justificar y explicar este empleo? Las respuestas a estas pre-guntas son indispensables para enfrentar la problemtica de la utilizacin de lageometra dinmica en la enseanza de las matemticas.

Podemos resumir diciendo que para poder ensear matemticas utilizandola geometra dinmica, primero debemos hacer matemticas utilizando la geo-metra dinmica. Por lo tanto, es indispensable desarrollar una nueva prctica delas matemticas y no slo de su enseanza. Necesidad que incluye la identifica-cin de nuevas tcnicas y tecnologas (en el sentido de la teora antropolgica dela didctica) que utilizan la geometra dinmica, su difusin y su discusin en elseno de la comunidad matemtica y de profesores de matemticas.

Como los programas de geometra dinmica no nacieron como parte de laprctica de los matemticos profesionales, no puede contarse con bibliografa dereferencia que describa su utilizacin matemtica. Por consiguiente, me he pro-puesto poner a prueba el potencial matemtico del programa Cabri, resolviendoproblemas no rutinarios de geometra plana.2 El trabajo que presento a conti-nuacin busca sintetizar los principales resultados de ese esfuerzo, y el nombrede esa nueva prctica es geometra dinmica experimental.

El profesor Jonathan Browein3 habla de la necesidad de reconocer la utiliza-

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1 La TAD postula que en el trabajo matemtico se manipulan dos clases de objetos: los ob-jetos ostensivos son aquellos que tienen una materialidad y pueden ser aprehendidos por lossentidos, mientras que los objetos no ostensivos no tienen ninguna materialidad. Estos dos ti-pos de objetos dependen uno del otro y no pueden existir por separado.

2 En la pgina web tecfa.unige.ch\problemes pueden encontrar ejemplos de algunos deesos problemas.

3 http://www.cecm.sfu.ca/organics/vault/expmath/expmath/html/expmath.html, pgina webconsultada en abril de 2005.

cin de computadoras en la investigacin matemtica como una prctica legtima,para lo cual propone definir las matemticas experimentales como aquellas que:

1. Utilizan la computadora para generar datos y poner a prueba sus conje-turas.

2. Hacen nfasis en los procesos de construccin del conocimiento ms queen su formalizacin.

3. Reconocen las ventajas de la formalizacin del conocimiento, pero noconsideran dicha formalizacin como condicin indispensable para la in-vestigacin y reconocen la legitimidad del conocimiento validado por la ex-periencia, en espera de una posible formalizacin.

Adaptando esta definicin, la geometra dinmica experimental puede definir-se como una prctica geomtrica que privilegia la observacin y manipulacinde los objetos geomtricos en la pantalla de la computadora, con la intencin deemitir conjeturas sobre las propiedades geomtricas de dichos objetos, conjetu-ras que se ponen a prueba mediante el arrastre, la medicin y la construccinde objetos auxiliares. La invalidacin de una conjetura en geometra experimen-tal puede considerarse equivalente a una demostracin de su falsedad por me-dio de un contraejemplo. Las conjeturas que no sean invalidadas por la expe-riencia se consideran verdaderas, en espera de una demostracin formal. Aunqueuna figura dinmica no puede constituir una demostracin de la validez de unaconjetura, s puede contribuir a la construccin de una demostracin formal,pues permite encontrar relaciones que pueden constituir encadenamientos lgi-cos de dicha demostracin.

A continuacin tratar de ilustrar estas afirmaciones mediante un ejemplo deresolucin de un problema de geometra.

EJEMPLO DE RESOLUCIN DE UN PROBLEMA NO RUTINARIODE GEOMETRA UTILIZANDO LA GEOMETRA DINMICA

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Dado un tringulo cualquiera ABC y un punto cualquiera P, cul es el lugar geo-mtrico de puntos P tales que su tringulo simtrico-lateral y su tringulo anti-pedal sean perspectivos?



Definiciones:4



4 A fin de facilitar la lectura, en todas las figuras la forma y la posicin del tringulo ABCse mantienen invariables. Sin embargo, tambin se comprobaron todas las propiedades enun-ciadas deformando el tringulo ABC.

C

A

P

B

Tringulo simtrico-lateral: dado untringulo ABC y un punto P, el trin-gulo simtrico-lateral de P con respec-to a ABC es el tringulo formado porlos puntos simtricos de P con respec-to a los lados a, b y c.

C

AP

B

Tringulo pedal: dado un tringuloABC y un punto P, el tringulo pedalde P con respecto a ABC es el trin-gulo formado por los pies de las per-pendiculares a los lados a, b y c quepasan por P.

C

BAP

Tringulo antipedal: dado un tringu-lo ABC y un punto P, el tringuloantipedal de P con respecto a ABC esel tringulo tal que ABC es pedal deP con respecto a l.

A B

PC

R

Tringulos perspectivos: dos tringu-los se consideran perspectivos si lasrectas que unen sus vrtices respec-tivos son concurrentes. En la imagenpueden verse el tringulo simtrico-lateral de P (punteado) y el tringuloantipedal de P (punteado grueso) pers-pectivos, el punto de concurrencia delas tres rectas es el punto R.

IDENTIFICACIN DE LA FORMA DEL LUGAR GEOMTRICO.TCNICA DE DETECCIN DE PUNTOS

Como es corriente en un problema de lugar geomtrico, necesitamos ubicar gr-ficamente algunos puntos de ste con el propsito de identificar la forma y elgrado de la curva solucin.

La complejidad de las construcciones que implica este problema hace que sutratamiento con papel y lpiz sea sumamente costoso en tiempo y atencin. Encambio, la geometra dinmica nos permite hacer una construccin que puedeajustarse mediante el desplazamiento del punto P hasta obtener visualmente lacondicin de concurrencia, como se muestra en la figura 1. Es decir, construimos eltringulo ABC (de trazo continuo en la figura), el punto P y los tringulos simtrico-lateral (punteado grueso) y antipedal de P (en punteado delgado) y trazamos las rec-tas que unen los vrtices correspondientes de los dos ltimos tringulos. Luego arras-tramos P hasta una o varias posiciones en las que dichas rectas son concurrentes.

Se plantean entonces dos dificultades: primero, cmo asegurar que nuestrapercepcin visual de la concurrencia es lo suficientemente precisa y, segundo, enel caso de tener una precisin aceptable, cmo guardar una memoria de las po-siciones de P.

Para resolver la primera dificultad, podemos pedir a Cabri que dibuje los pun-tos de interseccin de las tres rectas que unen los vrtices correspondientes de



A B

C

PA B

C

P

Figura 1

los tringulos simtrico-lateral y antipedal. Estos puntos dan una mejor idea dela concurrencia de las rectas, pero an no nos permiten determinar el grado deprecisin de nuestro dibujo. En cambio, si tomamos el tringulo formado poresos puntos de interseccin (que llamaremos en adelante tringulo de concu-rrencia), podemos considerar el permetro de dicho tringulo como una medidade la exactitud de la construccin, pues cuando el permetro sea 0, necesaria-mente las rectas sern concurrentes. As que utilizaremos el dibujo dinmico pa-ra generar datos del permetro del tringulo de concurrencia, interesndonos enlas posiciones de P que arrojan un permetro cercano a 0.5

Ahora enfrentamos la segunda dificultad: conservar una memoria de las po-siciones de P que dan una solucin aceptable. Cabri nos ofrece dos herramien-tas para visualizar la trayectoria de un punto: el lugar geomtrico y la traza. Ellugar geomtrico describe la trayectoria de un punto dependiendo del desplaza-miento de un segundo punto sobre un objeto determinado; en este caso, comoP no depende de ningn punto ni se mueve sobre un objeto determinado, el lu-gar geomtrico no puede utilizarse. La traza hace que un punto determinadovaya dejando huellas en las posiciones que ocupa durante su desplazamiento,por lo que podramos utilizarla en nuestro caso, pero tiene el inconveniente deque P dejar huella independientemente de si su posicin produce un valor



5 La obtencin del valor 0 nicamente mediante el arrastre es prcticamente imposible, yaque los puntos representados en la pantalla no son todos los puntos del plano, sino slo unamuestra discreta de ellos, porque la pantalla tiene un nmero limitado de pixeles.

A B

C

P

Figura 2. Tringulo de concurrencia lleno

aceptable de la concurrencia o no. As que la nueva dificultad consiste en lograrque P deje una traza nicamente cuando el valor del permetro del triangulo deconcurrencia sea cercano a 0.

Para resolver esta dificultad, podemos crear un punto condicional, es decir,un punto que existe si y slo si el permetro del triangulo de concurrencia es cer-cano a 0. En Cabri, los puntos de interseccin aparecen o desaparecen depen-diendo de la condicin de que los objetos se corten o no y permiten crear aspuntos condicionales. Creamos primero una expresin numrica que representeel grado de precisin aceptable de la cercana a 0 (objeto modificable a volun-tad) que llamaremos . Luego mostramos los ejes de coordenadas y transferimosesa medida sobre el eje de las abscisas, y construimos un segmento de 0 a . Asi-mismo, transferimos el permetro del tringulo de concurrencia sobre el eje de lasabscisas y trazamos una recta perpendicular a dicho eje por ese punto (rectapunteada en la imagen). El punto de interseccin de esta recta con el segmento[0, ] existe si y slo si el permetro del tringulo de concurrencia es menor oigual a . Llamemos Q a ese punto de interseccin.

La dificultad ahora es transferir ese punto sobre P de manera que deje unahuella para las posiciones de P que tengan una medida aceptable de la concu-rrencia. Si construimos el punto R simtrico de P con respecto a Q y luego el sim-trico de R con respecto a Q, obtenemos un punto S que est en la misma posicinde P y que responde a la misma condicin que Q.6 As que, aplicando la traza al



6 Este procedimiento se conoce con el nombre de macro PingPong. Vase Abracadabrihttp://www-cabri.imag.fr/abracadabri/).

A B

P

11

eQ

e = 1

C

Figura 3

punto S, si desplazamos el punto P obtendremos una traza de su posicin cadavez que el permetro del tringulo de concurrencia es menor o igual a (y este podemos modificarlo a voluntad).

En la figura 4 puede verse la traza que ha dejado el punto P al moverlo portoda la pantalla, para = 1.

Esta tcnica de deteccin de puntos que cumplen aproximadamente unacondicin dada puede mejorarse si hacemos que P se mueva sobre un objeto bi-dimensional, de manera que podamos construir el lugar geomtrico de S con res-pecto a P. Para obtener ese objeto bidimensional, se construye un polgono cru-zado sobre la base de un cuadrado cuyos lados se dividen en 50 partes iguales,7

obteniendo una cuadrcula de la regin del plano que ocupa dicho cuadrado, yP puede redefinirse como punto sobre el polgono.



7 Se construye un cuadrado utilizando un segmento como lado, se divide cada lado delcuadrado en 50 partes iguales y, con la herramienta Polgono, se seleccionan uno a uno lospuntos de manera que el interior del cuadrado quede cuadriculado.

Figura 4

= 1

e

C

BA

P

11

Una vez redefinido, puede ocultarse el polgono y de todas maneras podemosarrastrarlo a partir del segmento que sirvi de base a la construccin del cuadra-do. Al solicitar a Cabri el lugar geomtrico de S con respecto a P, se obtiene unaregin del polgono y podemos activar la traza de ese lugar geomtrico de ma-nera que, cuando arrastramos el segmento de base por la pantalla, obtenemosuna imagen del lugar geomtrico solucin.8

PRIMERA CONJETURA: EL CIRCUNCRCULO



8 Para una mejor representacin, es necesario deseleccionar la opcin Unir puntos dellugar geomtrico, para obtener nicamente los puntos calculados y no los segmentos que losunen. De esta manera obtenemos en la pantalla dos curvas lmite que encierran una nubede puntos.

= 1

BPA

C

= 0.5C

A B

P

Figura 5

En esta serie de imgenes, donde se hizo una reduccin gradual de , puedeidentificarse el circuncrculo como parte del lugar geomtrico solucin. Esta con-jetura puede verificarse fcilmente construyendo el circuncrculo y redefiniendoP como punto sobre l.

De esta manera podemos constatar que el tringulo antipedal de un puntodel circuncrculo se reduce al punto antpoda (diametralmente opuesto) y, por lotanto, es perspectivo con el tringulo simtrico-lateral. Esta observacin nos dala clave para construir una demostracin, pues basta con mostrar que el trian-gulo antipedal de todo punto del circuncrculo se reduce al punto antpoda.



= 0.1

BA

C

P

A B

C

P

Figura 6. Permetro del tringulo de concurrencia = 0.00 cm

Demostracin

Por definicin, los lados del tringulo antipedal de P con respecto al tringuloABC deben ser perpendiculares a las cevianas AP, BP y CP. Sea t1 la perpendi-cular a PA por A y t2 la perpendicular a PB por B, y Q el punto de corte de t1 yt2; como el tringulo PAQ es rectngulo en A, est inscrito en el crculo de di-metro PQ, al igual que el tringulo PBQ; por lo tanto, el punto Q es el antpodade P en el crculo APB.

Ahora bien, si P est en el circuncrculo, los circuncrculos de los tringulosAPB, BPC y APC son iguales y, por lo tanto, los tres antpodas coinciden.

Como el tringulo antipedal se reduce a un punto, necesariamente las rectasque lo unen a los vrtices del simtrico-lateral son concurrentes.

SEGUNDA CONJETURA: UNA CBICA CIRCUNSCRITA

La forma de la otra parte del lugar geomtrico solucin aparentemente es unacbica circunscrita al tringulo de referencia.9 Para verificar esta conjetura nece-sitamos construir la cbica como lugar geomtrico y redefinir P como punto so-bre ella. Si al hacer esta redefinicin obtenemos un tringulo de concurrencia depermetro 0, habremos verificado experimentalmente la conjetura. Si por el con-



9 Para poder emitir esta conjetura, es necesario estar familiarizado con las distintas for-mas de las cbicas. El lector puede convenir que podramos aproximar esa forma trazandouna recta y una elipse, con lo cual se muestra la plausibilidad de la conjetura.

A B

C

P

Q

t2t1

trario obtenemos un tringulo de concurrencia de permetro diferente de 0, ten-dremos un contraejemplo que demostrar la falsedad de la conjetura. Para cons-truir una cbica cualquiera se necesitan nueve puntos de sta.10

Problema de la construccin del lugar geomtrico:tcnica de los puntos nodales

Nuestro problema en este momento es encontrar nueve puntos que pertenezcana la cbica de la conjetura, a fin de utilizarlos para construirla. Una variacin dela tcnica de deteccin de puntos se mostrar eficaz en este caso. Se trata deconsiderar las curvas de nivel definidas por distintos de aproximacin. Concre-tamente, consideremos tres intervalos disjuntos para : (0.1), (3.4) y (6.7). Cadauno de esos intervalos en el eje x produce un punto de interseccin con la rectaperpendicular por el punto que representa el permetro del tringulo de concu-rrencia, y cada uno de esos puntos de interseccin produce puntos condicionalessobre P con sus respectivos lugares geomtricos (de distintos grosores en la figu-ra 8).



10 R. Cuppens, Faire de la gomtrie suprieure en jouant avec Cabri gomtre II, tomo2, Brochure APMEP nm. 125.

C

A B

Figura 8.

Algo que sorprende al observar la figura 8 es constatar que existen puntoscomunes a las tres zonas de solucin, lo cual debera ser imposible, puesto quelos intervalos son disjuntos. Surge la pregunta de cmo es posible que una po-sicin de P produzca un tringulo de concurrencia cuyo permetro est a la vezentre 0 y 1, entre 3 y 4, entre 6 y 7. Acercando P a cada uno de los puntos noda-les de estas curvas de nivel, podemos observar que aparentemente en esas posicio-nes de P, los tringulos simtrico-lateral y antipedal tienen un vrtice comn, conlo cual desaparece una de las rectas que definen el tringulo de concurrencia.En realidad esos puntos nodales son puntos de discontinuidad de las curvas,puesto que el permetro del tringulo de concurrencia es indefinido cuando Pocupa la posicin de cualquiera de esos puntos. Sin embargo, todas las curvasde nivel pasan por esos puntos de discontinuidad y, por lo tanto, tambin la c-bica solucin, para la cual tambin = 0, con lo cual podramos utilizar esospuntos para construir la cbica.

Nuestro problema ahora es determinar de manera exacta los puntos nodalesde esas curvas de nivel. Para lo cual vamos a tomar en el intervalo (-5; 5).

Para estudiar la posicin de los puntos nodales, colocamos puntos aproxima-damente en los cortes de la curva y luego eliminamos la traza y los tringulosauxiliares.



C

BA

Figura 9

Con ayuda de esta imagen podemos hacer varias conjeturas: primero, lospuntos nodales parecen ser simtricos con respecto a los lados del tringulo dereferencia. Adems, parecen estar sobre la mediatriz de cada lado. Por ltimo, pare-cen estar sobre el crculo con dimetro el lado del tringulo. Con estas tres con-jeturas es posible hacer la construccin para verificarlas. As que trazamos lasmediatrices de ABC y los crculos dimetro de cada lado, construimos los puntosde interseccin de cada mediatriz con su crculo correspondiente y luego redefi-nimos P sobre cada uno de los seis puntos obtenidos.

Observamos que, efectivamente, en cada uno de esos puntos el permetro deltringulo de concurrencia es inexistente, pues dos vrtices correspondientes delos tringulos simtrico-lateral y antipedal de P estn confundidos.



A

C

B

A

C

B

Figura 10

Figura 11

Demostracin

Sea P uno de los puntos de interseccin de la mediatriz de AB con el crculo dedimetro AB. Uno de los vrtices del simtrico-lateral de P es el simtrico de Pcon respecto a AB. Ahora bien, como lo vimos anteriormente, el vrtice del anti-pedal correspondiente a AB es el antpoda de P con respecto al crculo APB, quees exactamente el simtrico de P con respecto a AB.

As que ya tenemos 9 puntos por los cuales pasa la cbica circunscrita solu-cin del problema: los tres vrtices y los 6 otros puntos nodales. Slo nos que-da trazar la cbica por esos 9 puntos y redefinir P sobre ella:

De esta manera, podemos verificar que los puntos P de esta cbica producentringulos simtrico-lateral y antipedal perspectivos. La demostracin sinttica deeste resultado es particularmente compleja y requiere la revisin de toda la teo-ra sobre las cbicas. Sin embargo, existe una demostracin analtica, utilizandolas coordenadas baricntricas, en el sitio de Internet Cubics in the triangle pla-ne de Bernard Gibert.11 All tambin est clasificada esta cbica con el nombrede ortocbica.



A

C

B

11 http://perso.wanadoo.fr/bernard.gibert/index.html. Pgina consultada en abril de 2005.

Figura 12. Permetro del tringulo de concurrencia = 0.00 cm

TCNICAS DE GEOMETRA DINMICA EXPERIMENTAL (DETECCIN DE PUNTOS,PUNTOS NODALES, VERIFICACIN POR RECONSTRUCCIN)

La primera tcnica descrita es la de deteccin de puntos que cumplen una cier-ta condicin. Esta tcnica responde a la tarea de construir un cierto nmero depuntos que permitan describir la forma del lugar geomtrico buscado, que a suvez puede considerarse como una subtarea de la tcnica general del anlisis:considerar el problema resuelto y encontrar propiedades que se deducen de l ypermiten hacer su construccin.

Esta tcnica de deteccin de puntos puede considerarse como un perfeccio-namiento de la tcnica general del ajuste por desplazamiento, que es caracters-tica de la geometra dinmica. A diferencia de los dibujos estticos (en papel), losdibujos dinmicos (en la pantalla de la computadora) pueden modificarse de ma-nera continua mediante el arrastre de los objetos que los componen, y mantie-nen las propiedades que les fueron asignadas por construccin. En el ejemplomostramos cmo era posible desplazar el punto P hasta obtener visualmente laconcurrencia de las rectas. Este desplazamiento continuo sirve de base a un ti-po de razonamiento matemtico que no es de uso corriente en geometra, don-de estamos acostumbrados a la dicotoma verdadero/falso. Por el contrario, elclculo, que se preocupa por la continuidad y discontinuidad de las funciones,ha desarrollado las herramientas tericas que permiten tratar ese tipo de razo-namiento: en la vecindad de un cierto punto, los valores de la funcin tiendena. En nuestro caso podramos decir que, ante la imposibilidad de obtener laconcurrencia de manera exacta, podemos considerar el hecho de que en la ve-cindad de ciertos puntos la concurrencia tiende a cumplirse. La tcnica de de-teccin de puntos permite controlar el grado de precisin de la concurrencia, queya no se considera como una condicin verdadera o falsa, sino como una con-dicin lmite. Esta caracterstica, unida al hecho de que el software calcula la po-sicin de muchos puntos que cumplen ese grado de precisin, hace de la tcnicade deteccin de puntos una herramienta poderosa para determinar la forma delos lugares geomtricos buscados.

La segunda tcnica descrita es la de los puntos nodales o puntos de discon-tinuidad de la condicin lmite. Esta tcnica es una derivacin y un complementode la tcnica de deteccin de puntos. En efecto, una vez cuantificada la condi-cin de concurrencia, de manera que la podemos considerar como una condicinlmite a la que nos acercamos de manera continua, la existencia de puntos no-dales revela la discontinuidad de esa condicin. Al tomar distintos grados de



aproximacin de la concurrencia, cada uno de ellos da lugar a una curva solucin;si consideramos la familia de estas curvas, los puntos nodales son los puntos comu-nes a todas esas curvas y, por lo tanto, tambin pertenecen a la curva de e = 0.La tcnica de los puntos nodales utiliza la imagen en la pantalla de dos de esascurvas para determinar de manera exacta dichos puntos, los que, a su vez, se uti-lizan para la construccin del lugar geomtrico buscado.

Sobre la validacin experimental: la tcnica de validacinpor reconstruccin

El carcter experimental de este trabajo se reconoce en el recurso a la experien-cia para producir y validar conjeturas, recurso que generalmente se considera in-conveniente si no ilegtimo en geometra. En efecto, el gran esfuerzo de axioma-tizacin que caracteriza a la historia de la geometra es una manera de liberarsede las contingencias de la percepcin, la cual puede revelarse dudosa e inducira error. La geometra dinmica permite retomar la percepcin en el trabajo deinvestigacin, asegurando un control terico de sta mediante el arrastre. En es-te sentido, la geometra experimental se diferencia claramente de la geometraformal (axiomtico-deductiva) sin estar en oposicin con ella.

La posibilidad de deformar de manera continua una figura que mantiene du-rante el desplazamiento las propiedades que se le impusieron por construccinhace de la geometra dinmica un laboratorio de produccin de contraejemplospara toda conjetura que enuncia una implicacin simple entre dos propiedades.Supongamos que se tiene una figura con dos propiedades P1 y P2, de las cua-les conjeturamos la implicacin P1 entonces P2. Si logramos mostrar un casode figura en el que est presente P1 y no se cumpla P2, constituye un contrae-jemplo que demuestra (formalmente) la falsedad de la implicacin (P1^ P2 (P1 P2). As que, si construimos una figura a la que imponemos (por cons-truccin) la propiedad P1 y al deformarla por el arrastre obtenemos un caso enel que la propiedad P2 no se cumple, esa invalidacin experimental es equiva-lente a una demostracin formal.

Ahora bien, qu sucede si no logramos invalidar una conjetura por el arras-tre? La acumulacin de casos positivos de la implicacin constituye una demos-tracin de su validez? Naturalmente, la respuesta es no. Sin embargo, podemosdecir que el fracaso de una invalidacin experimental es una validacin provisio-nal de la conjetura hasta que se encuentre un contraejemplo o hasta que se



construya una demostracin formal.12 En ausencia de una demostracin formal,la no invalidacin constituye una validacin experimental que no excluye la po-sibilidad de que se encuentren contraejemplos.

La tcnica de validacin experimental puede resumirse as: si se tiene la con-jetura de que P1 implica P2, se construye P1 y se aplica el arrastre para buscarposibles casos donde no se cumpla P2; si no se encuentran contraejemplos, seconsidera validada la conjetura provisionalmente hasta que se encuentre un con-traejemplo o hasta que se construya una demostracin formal.

La exploracin de una figura dinmica en la que P1 y P2 son invariantes pue-de, adems, conducir a descubrir otras propiedades de la figura que puedenconstituir eslabones lgicos de la demostracin de P1 entonces P2. As fue como,en el ejemplo, la construccin de P sobre el circuncrculo no slo constituy unavalidacin experimental de la conjetura segn la cual el circuncrculo forma partedel lugar geomtrico buscado, sino que mostr que todo punto del circuncrculotiene un tringulo antipedal reducido a su punto antpoda, propiedad que sirvipara la demostracin de la conjetura.

CONCLUSIN

La geometra dinmica utiliza el principio de continuidad que sirvi de base alos desarrollos de la geometra proyectiva, pero que no ha sido objeto de un tra-tamiento formal en geometra. La formalizacin del concepto de continuidad fueresultado del estudio de las funciones, campo considerado hoy como distinto ala geometra: el clculo. Esta operacionalizacin de la continuidad en geometraconstituye un campo de problemas nuevo en las matemticas, y las implicacio-nes de su utilizacin an no se conocen. Hasta ahora, la comunidad matemti-ca no ha mostrado inters en esta nueva problemtica y se ha limitado a criticartoda prctica experimental como ilegtima y no rigurosa. Por su parte, la comu-nidad de profesores de matemticas acepta el valor didctico de la geometradinmica, pero no tiene las herramientas tericas suficientes para sustentar eltrabajo matemtico con estos nuevos objetos ostensivos. La didctica de las ma-temticas, que postula la dialctica entre lo didctico y lo matemtico, requiereprofundizar la investigacin sobre las implicaciones de esa operacionalizacin dela continuidad en geometra, tanto en la actividad matemtica, como en su en-seanza.



12 Esta afirmacin se basa en la teora de la falsacin de Karl Popper.

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

Borwein, J. et al., Experimental Mathematics: A Discussion, http://www. cecm.sfu.ca/organics/vault/expmath/expmath/html/expmath.html, pgina web con-sultada en abril de 2005.

Bosch, M. y Y. Chevallard (1999), La sensibilit de lactivit mathmatique auxostensifs, Recherches en Didactique des Mathmatiques, vol. 19, nm. 1,pp. 77-124.

Chevallard, Y. (1998), Analyse des pratiques enseignantes et didactique des mat-hmatiques: lapproche anthropologique, en R. Noirfalise (ed.), Actes de luni-versit dt de La Rochelle, Clermont-Ferrand, IREM, pp. 89-120.

Cuppens, R., Faire de la gomtrie suprieure en jouant avec Cabri gomtre II,tomo 2, Brochure APMEP, nm. 125.

Laborde, C. (1995), Designing Tasks for Learning Geometry in a Computer BasedEnvironment, en L. Burton y B. Jaworski (eds.), Technology in MathematicsTeaching A Bridge Between Teaching and Learning, Londres, Chartwell-Bratt, pp. 35-68.

Laborde, C. y B. Capponi (1994), Cabri-gomtre constituant dun milieu pourlapprentissage de la notion de figure gomtrique, Recherches en Didacti-que des Mathmatiques, vol. 14, nm. 12, pp. 165-210.

Ruthven, K. et al. (2004), Incorporating Geometry Systems into Secondary Mat-hematics Education: Didactical Perspectives and Practices of Teachers, Po-nencia presentada en la conferencia anual de la British Educational ResearchAssociation, Manchester, septiembre.

DATOS DEL AUTOR

Martn Eduardo Acosta GempelerUniversidad Joseph Fourier, [email protected]



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Acosta - Geometría Experimental Con Cabri Una Nueva Praxeología Matemática

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