5-ESPIRALES CON CABRI

Octubre 2002 • 2002 Urria 61

Espirales con Cabri-Géomètre

ESPIRALES CON CABRI – GÉOMÈTRE

Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén (*)

En nuestros trabajos de Geometría, o más exactamente de Cabri-geometría, los firmantes deeste artículo, solemos tener siempre un pequeño recuerdo para las espirales. Somos conscien-tes de que un recurso como Cabri permite excursiones por parajes geométricos poco frecuen-tados y éste es un hecho que debe aprovecharse. Así: el acercamiento a las cónicas como luga-res geométricos o como envolventes de curvas, la aparición tan sencilla de la Astroide, laCardiode, el Óvalo de Descartes o del Caracol de Pascal, que se convierten en figuras habi-tuales, resultarían sin su concurso casi inabordables. Pero gracias a Cabri-Géomètre y espe-cialmente al movimiento que se puede imprimir a los puntos a través de las animaciones y desus posibilidades cinemáticas, las curvas ilustres antes citadas y otras muchas dejan de ser unasimple y hierática imagen del libro de texto, pasando a convertirse en objetos geométricos quepueden ser representados a partir de ciertas condiciones y cuyas propiedades se pueden inves-tigar sin necesidad de los recursos algebraicos, que, por su desconocimiento en estas etapas,las hacían inaccesibles para nuestro alumnado.

1. ¿POR QUÉ ESPIRALES?

Son éstas unas curvas que al margen de sus propiedades matemáticas nos resultan muy cono-cidas, ya que tienen una notable presencia en el entorno físico en el que nos desenvolvemosy refuerzan nuestros diálogos al servirnos de imagen a la hora de describir ideas o situacionesrecurrentes pero cambiantes. Efectivamente, aparecen como adorno en la cerámica popular,en los forjados de ventanas y balcones de nuestras ciudades y pueblos y se alude a la espiralde violencia o al curriculum en espiral como latiguillos que dicen poco a fuerza de repetidos.

Fijarnos en tales situaciones, bastaría, quizá, para asumir que esas curvas conviven con noso-tros, pero sería precipitado suponer por eso que las conocemos, pues, la información queacerca de ellas se tiene, es bastante precaria. Por otro lado, afirmar que las espirales no perte-necen al mundo escolar, sería erróneo, pues hablar del estilo dórico precisa de una ineludiblereferencia a los capiteles en forma de espiral y cuando se trata del universo, es paso obligadoel de las galaxias espirales, tanto más, cuando la nuestra, la Vía Láctea, es una de ellas. Sinembargo, desde la perspectiva de los contenidos que aportan las matemáticas a la formacióndel alumnado de Secundaria son curvas inexistentes. A la pregunta: ¿por qué, si el arte o laastrofísica nos muestran esa imagen en los libros de texto, las matemáticas les dan la espalda?Nuestra respuesta como profesores del área aludida sería poco más que encogernos de hom-bros.

(*) Profesores de Enseñanza Secundaria de Matemáticas. Navarra

Si recurrimos a la memoria y la activamos en nuestra época escolar, descubriremos su totalausencia en los estudios preuniversitarios y si la situamos en los recuerdos de facultad, enton-ces sí se ilumina su imagen, unida a las coordenadas polares —situación ésta que parece jus-tificar su ausencia anterior— y al estudio de hélices y helicoides, pues el paso del plano alespacio y su recíproco, aunque vertiginosos, resultan más naturales de lo que parece.

No son las espirales curvas sencillaspara dibujar, tampoco con Cabri-Géomètre, cierto, pero en nuestra opi-nión su interés intrínseco bien merece elpequeño esfuerzo que les hemos dedi-cado. En los párrafos anteriores se hacíaun escueto comentario sobre su presen-cia permanente en nuestro entorno, perosería injusto no mencionar que el serhumano tiene con las formas espiralesuna relación que podríamos calificar deatávica. Efectivamente, han servido parasimbolizar la eternidad, la renovacióncíclica y los periodos solares, buenasmuestras de ello quedan en los petrogli-fos que por todos los rincones del pla-neta atestiguan que nuestros antepasa-dos se servían de ellas para plasmar en

piedra su asombro e indefensión ante la naturaleza y el mundo que les rodeaba. De ese carác-ter litúrgico pasarían a representar el laberinto, metáfora de lo anterior, y a servir de orna-mentación en ajuares, tocados y vestidos. De la mano del arte sigue llegándonos su mensajede continua renovación, de forma que aparecen en la pintura, escultura y, en general, en eldiseño, tanto de pequeños objetos como de estructuras complejas.

Sin olvidar, por supuesto, que además de su valor simbólico, las espirales tienen una presen-cia importante en la naturaleza. Las conchas de los caracoles y otros moluscos, el crecimientode muchas plantas y flores —en particular de girasoles y piñas—, la lengua de las mariposas—espiritrompa— o de los camaleones son buenos ejemplos de ello. Y más, pues esa mismaforma está en muchas galaxias y en laestructura más elemental de la vida: lascadenas de ADN.

Incluimos en este artículo algunas imá-genes que refrendan lo dicho, no con laintención de subrayar algo conocido portodos, sino porque, de cara a su estudioen clase, resulta pertinente mostrar encuantas ocasiones sea posible que lasMatemáticas, muy a menudo, prestan unmodelo potentísimo a propuestas odesafíos que proceden del pensamientohumano y que esta disciplina se ha for-jado sirviendo de cauce a su estudio ysistematización .

SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA62

Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén

Imagen 2. Caracol común

Imagen 1. Vincent Van Gogh “Noche Estrellada”

2. DATOS ELEMENTALES

Volviendo al campo geométrico, lo primero que cabe señalar es que no puede hablarse deespiral, sino de espirales y que en sentido más amplio es más pertinente hablar de formasespirales, pues la dificultad que conlleva su representación ha obligado a considerar “falsasespirales” que pueden someterse a una sencilla construcción mediante la regla y el compás.

Queda dicho que su conocimiento y uso se pierde en la larga noche paleolítica, pero su apa-rición en la Geometría se sitúa de la mano de Arquímedes de Siracusa (282-212 a.d.C.) quienescribió un tratado titulado “Sobre las espirales”, aunque él mismo la atribuye a Conon deAlejandría, su contemporáneo y amigo. El interés por esta curva parece ligado a la soluciónde los más famosos problemas de la antigüedad clásica: la trisección del ángulo y la cuadra-tura del círculo. Hermosas y fecundas cuestiones que, lamentablemente, debemos dejar almargen, pues nos separarían demasiado del objetivo que nos proponemos con este artículo.

La espiral de Arquímedes, pues no es otro su nombre, se define como el lugar geométrico des-crito por un punto del plano que partiendo del extremo de una semirrecta la recorre unifor-memente mientras que ésta gira en torno a su extremo también uniformemente (en coordena-das polares). Vemos que el movimiento que simboliza y sugiere su forma aparece en su defi-nición a través de una traslación y un giro.

Arquímedes demostró importantes propiedadesde esta curva, en especial sobre su longitud y lasuperficie que encierra, y las utilizó para resol-ver los citados problemas.

Deberían de pasar más de 1800 años para que elmundo de las espirales se viera incrementadocon una aportación de Descartes (1596-1650): laespiral logarítmica. Para definirla, supondremos,



Imagen 4.Petroglifo de Laxa das Rodas. Galicia

Imagen 3.Petroglifo de Piedra de Polanco. Panamá

La espiral de la izquierda corresponde a r = u, mientras que lade la derecha es r = 5u. Estas imágenes muestran que la“forma no varía”, pues un cambio de escala conveniente lasmuestra iguales

como en el caso de la espiral de Arquímedes, que en una semirrecta su extremo se desplaza sobreella de manera que la longitud del segmento determinado por las posiciones de partida y finalde ese extremo aumenta de forma continua, mientras que la semirrecta gira uniformemente. Esdecir que el punto que describe ese lugar geométrico está sometido a una dilatación y un giro(en coordenadas polares). El hecho de que este involucrado el crecimiento continuo determinala aparición del número “e”.

Esta curva fue también estudiada por Torricelli(1608-1647), quien consiguió su rectificación,pero sería el genio de Jacques Bernouilli (1654-1705), el que profundizó en sus estudio yexpuso sus sorprendentes propiedades. Estasson, por ejemplo, que su envolvente y su poda-ria respecto al polo son también espirales loga-rítmicas iguales a la dada. Pero lo mismo ocurreen el caso de su cáustica de reflexión y su cáus-tica de refracción para los rayos procedentes desu polo. Esa autosuficiencia impresionó tanto a

Bernouilli, que quiso que fuera grabada en la lápida de su tumba junto a la leyenda “Eademmutata resurgo” (Aún modificada, reaparezco). Parece que el encargado de tallar su lápida enla catedral de Basilea no conocía a fondo esta curva y se conformó con esculpir una espiralarquimediana.

El mismo Bernouilli descubrió la espiral parabólica (r2 = k.u) y con el tiempo irían apare-ciendo otras espirales:

• Hipérbolica (r.u = k).

• Sinusoidal (ra.ka cosau) que resulta ser una generalización de la Lemniscata deBernouilli, pues lo es para a = 2

• Cornu (en paramétricas )

Entre las falsas espirales, ya mencionadas, cabe destacar la de Durero o espiral áurea, que seconstruye mediante cuadrantes de circunferencia concatenados, a partir de cuadrados quesurgen de rectángulos áureos.

Esta información relativa a definiciones, propiedades y formas, aunque sobradamente cono-cida, es preciso tenerla muy presente a la hora de realizar las construcciones mediante Cabri-Géomètre que presentamos a continuación.



Ambas imágenes corresponden a r = eu/4. La forma es lamisma, aunque la de la de derecha es un detalle ampliado delintervalo (-4, 4), podríamos seguir aproximándonos al polo yseguir viendo la misma forma espiral

x = *0s cost2dt y = *0

s sent2dt, con e R.

Imagen 5. Galaxia M109 Imagen 6. Modelo para representar la Vía Láctea

3. ESPIRAL DE ARQUÍMEDES

En este apartado vamos a mostrar cómo Cabri puede servir para obtener construcciones diná-micas de esta curva. Debemos resaltar que en ninguno de los dos casos se van a usar coor-denadas, usaremos tan sólo el movimiento de un punto sobre el plano, movimiento que debecumplir ciertas condiciones.

3.1. Primera Construcción

Dispondremos de un punto O fijo en el plano, de una semirecta con origen en O y de unpunto A sobre la semirecta. En el instante inicial el punto A coincide con O. La semirecta giraen torno a O con velocidad angular constante y el punto A se desplaza sobre la semirecta avelocidad constante. Con estas condiciones la trayectoria que recorre el punto A es una Espiralde Arquímedes. Veamos ahora cómo realizar esta construcción con Cabri.

1. Trazamos un punto en el plano y lo etiquetamos con O

2. Trazamos una circunferencia con centro O y radio no demasiado grande.

3. Trazamos un punto sobre la circunferencia y la semirecta que une a O con este punto.Este va a ser el eje polar. Para distinguirlo de la semirecta móvil le cambiamos el color,por ejemplo rojo. Etiquetamos a esta semirecta como Eje Polar.



Imagen 7

Imagen 8

4. Para dibujar la semirecta que va a estar en movimiento en trono a O necesitamos apo-yarnos en la circunferencia. Trazamos un punto sobre la circunferencia y lo etiqueta-mos con M.

5. Trazamos la semirecta con origen en O y que pasa por M y sobre esta semirecta tra-zamos el punto A. Este es el punto que dibujará la espiral.

6. Necesitamos que M se desplace sobre la circunferencia a velocidad constante y queA recorra la semirecta también a velocidad constante. Para ello podemos usar la herra-mienta “Animación Múltiple”. Aplicamos la herramienta sobre los puntos A y M y acti-vamos la traza del punto A para que su trayectoria quede marcada sobre el planocuando lancemos la animación. Ahora basta con pulsar en el teclado sobre la tecla“Intro” ( ) y el resultado será parecido al siguiente:

Si se quiere se puede ahora obtener la ecuación polar de esta curva. Para ello basta con teneren cuenta que la velocidad de A es constante

k1 = r / t

y que la velocidad angular de la semirecta también lo es

k2 = ϑ / t

Ahora despejando t se obtiene



Imagen 9

Imagen 10

r = k1/k2ϑ = kϑ

Que es la ecuación polar de la Espiral de Arquímedes.

3.2. Segunda Construcción

Esta construcción se basa en la Imagen 11. En ella la escuadra ABP rueda sin deslizamientosobre la circunferencia C, M es el punto de tangencia de la escuadra con la circunferencia,con lo que el punto P describe una espiral de Arquímedes. Notemos que en esta construcciónel lado BP de la escuadra mide exactamente el radio (R) de la circunferencia C.

Veamos como podemos simular con Cabri estaconstrucción. En primer lugar trazaremos la escua-dra ABP. Para ello basta con trazar el segmento ABy por B trazar una recta perpendicular a él. Sobre laperpendicular situamos el punto P y lo unimos con Bmediante la herramienta segmento. Finalmente ocul-tamos la recta perpendicular.

Ahora dibujamos la circunferencia C con radio el segmento BP. Para ello basta trazar un puntoO en el plano y usar la herramienta compás sobre O y el segmento BP.

Ya tenemos los elementos básicos de la construcción. Si queda poco espacio libre en la hojade dibujo podemos redimensionar la escuadra ABP, si cambiamos BP la circunferencia cam-biará pues su radio está ligado al segmento.

Ahora pintamos sobre C el punto de tangencia M y la recta tangente a C por M. Basta con tra-zar el radio OM y la perpendicular al radio por M.



Imagen 11

Imagen 12

Este punto M se irá desplazando sobre C para simular la rodadura de la escuadra sobre C,veremos más adelante cómo simulamos el movimiento.

Necesitamos señalar un punto I sobre C. Sobre este punto estará el punto B de la escuadracuando vaya a empezar el movimiento de rodadura. Notemos que en ese momento el puntoP coincidirá con O.



Imagen 13

Imagen 14

Imagen 15

Veamos ahora cómo simular el movimiento de la escuadra sobre la circunferencia. En la figura

siguiente tenemos dibujado un cierto instante de la rodadura, desde I hasta M. Notemos que

al no haber deslizamiento el segmento BM mide lo mismo que el arco de circunferencia IM.

Este es el detalle que permite simular la rodadura, por lo que necesitamos dibujarlo, lo cual

haremos usando la herramienta Arco que nos proporciona Cabri.

Usando la herramienta Longitud podemos medir el arco IM. Ahora usamos la herramienta

transferencia de medidas: seleccionamos esta herramienta en su botón, apuntamos al número

que expresa la longitud del arco y clicamos sobre el punto B para transferirla. Obtenemos un

punto sobre el plano que está a distancia de B el arco IM. Ahora trazamos la circunferencia

con centro B y que pasa por M y obtenemos el punto M en la escuadra como corte del seg-

mento AB y esta circunferencia

Notemos que si desplazamos M sobre la circunferencia el nuevo punto M se desplaza sobre

la escuadra determinando los segmentos AM y MB. Este par de segmentos son los que debe-

mos llevar sobre la tangente a la circunferencia para que simulen el movimiento de la escua-

dra. Por tanto trazamos los segmentos AM y MB sobre la escuadra y ahora haciendo compás

los llevamos sobre la tangente:



Imagen 16

Imagen 17

Con el fin de clarificar la construcción ocultamos los elementos que no son ya necesarios.Seleccionamos la herramienta Ocultar/Mostrar y ocultamos las circunferencias del compás yla recta tangente. Nos quedará una figura como la siguiente:

Si ahora desplazamos el punto M sobre la circunferencia veremos como el segmento AB ruedasobre ella. Debemos advertir que esta construcción es aproximada ya que la medida del arcoIM no es exacta.



Imagen 18

Imagen 19

Imagen 20

Para terminar la construcción basta con trazar la perpendicular por B al segmento MB y hacercompás sobre B con el radio de la circunferencia, de esta manera obtenemos el punto P. Lasiguiente figura ilustra este final.

Ahora ocultamos la perpendicular y la circunferencia del compás con lo que nos quedará lafigura 22.

Lo más difícil está ya hecho, pues la espiral de Arquímedes es el lugar geométrico de P cuandoM recorre la circunferencia. Esto puede obtenerse de dos maneras:

1. Activamos la traza de P y arrastramos M sobre C en sentido contrario al de las agujasdel reloj.

2. Seleccionamos la herramienta Lugar Geométrico y se la aplicamos a los puntos P y Men ese mismo orden.

Las dos figuras siguientes muestran el resultado que se obtiene por cada uno de los dos cami-nos.



Imagen 21

Imagen 22

4. ESPIRAL LOGARÍTMICA

La construcción con Cabri de la espiral logarítmica se apoya en una propiedad característica,que por su importancia, se utiliza para denominarla. En efecto, la espiral logarítmica, o deBernouilli, también es conocida como espiral equiángula. Su representación se apoya en con-siderar dos progresiones, una aritmética para el parámetro angular y otra geométrica para elradio polar. Para ello generaremos un haz de semirrectas con vértice en el polo, construidomediante giros de ángulo constante a partir del eje polar. Los puntos de la espiral logarítmicaestarán situados sobre este haz de semirrectas, de manera que sus distancias al polo estén enprogresión geométrica.

El proceso descrito en el párrafo anterior sugiere un crecimiento, o decrecimiento, continuo,de ahí que la ecuación polar de esta espiral contenga al número “e”:

r = e kϑ k > 0 Crecimiento{ k > 0 Decrecimiento

Más aún, en el caso del crecimiento la espiral se va expandiendo, podríamos decir que se vadesenrollando a partir del polo, y cuando haya decrecimiento la espiral se irá enrollando entorno al polo.



Imagen 23

Imagen 24

Veamos cómo dibujar cada punto de nuestra espiral. Tomamos como elementos de partida unsegmento AB, cuya longitud es L, y un ángulo a.

Con estos elementos construimos sobre el eje polar un triángulo rectángulo ABC cuyo ánguloen A es a y cuyo cateto AB es el segmento dado. La longitud de la hipotenusa AC será:

Sobre la hipotenusa AC construimos un nuevo triángulo rectángulo ACD, cuyo ángulo en Aes de nuevo a.

La longitud de la hipotenusa AD será en estecaso:

Reiterando la construcción obtenemos una suce-sión de triángulos rectángulos cuyas hipotenusasestán en progresión geométrica de razón 1/Cosa

Es evidente que los ángulos correspondientes a los extremos de las hipotenusas están en pro-gresión aritmética (na), con lo que dichos puntos están sobre una espiral logarítmica.

Veamos cómo realizar esta construcción con Cabri-Géomètre. Seguiremos un método itera-tivo, es decir, construiremos cada punto a partir del anterior usando las progresiones antesseñaladas. Cabri permite realizar tales iteraciones a partir de macroconstrucciones.

Se trata de un método iterativo, que trabajando con Cabri se obtiene mediante una “macro”,que permita la determinación de puntos según la pauta sugerida: un ángulo constante que serepite en cada giro y un punto que, en cada giro, determina con el polo un segmento cuyalongitud es el producto del anterior por una cantidad constante.

Iniciamos la construcción trazando un segmento AB y, mediante la edición numérica, elángulo que se irá repitiendo en la progresión aritmética. En nuestro caso lo hemos tomado de20 grados, pero podría ser cualquiera. Únicamente deberemos notar que cuanto más pequeñosea este ángulo mejor será la aproximación de la nube de puntos a la espiral deseada. Ahoradibujamos un punto en el plano y una semirecta con origen en este punto a los que etiqueta-mos como Polo y Eje Polar respectivamente. Finalmente mediante la herramienta compás tra-zamos una circunferencia con centro en el Polo y radio el segmento AB. La imagen siguienteilustra esta situación de partida.



A B••

Angulo: a

A B••

Polo

Eje Polar

Imagen 25

L1 =L

cos a

L2 = = = L [ ]L1

cos a1

cos aL

cos2 a

Imagen 26

2

Ln = = = L [ ]Ln-1

cos a1

cos aL

cosn a

n

Marcamos el punto de corte del Eje Polar con la circunferencia y etiquetamos con P1 a dichopunto. Ahora, con la herramienta segmento, trazamos el radio de circunferencia que une Polocon P1.

Trazamos por P1 la recta perpendicular al radio y la etiquetamos con r. De esta manera casitenemos el triángulo rectángulo con el que obtendremos el segundo punto de la espiral.



Imagen 27

Imagen 28

Imagen 29

Para completar el triángulo buscado debemos trazar un ángulo de 20º en el Polo. Lograremostal cosa girando 20º el radio Polo-P1 en torno al Polo. Usaremos para ello la herramienta rota-ción y obtendremos el punto G1. Para clarificar la figura ocultamos el segmento Polo – G1.

Trazamos ahora la semirecta con origen en el Polo y que pasa por el punto G1. El corte deesta semirecta con la recta r nos proporciona el punto P2.

Estamos ya en condiciones de definir la macro que a partir de un ángulo y un punto nos pro-porciona el siguiente punto de la Espiral Logarítmica. Antes de definirla ocultamos los ele-mentos usados en la construcción y que no son datos ni resultados de la misma, es decir:Circunferencia, radio Polo – P1, recta r, punto G1 y semirecta Polo – G1. La siguiente imagenindica cuáles son los objetos iniciales y cuáles los finales. Por ejemplo, podemos llamar a estamacro EspiraLog.

Una vez que hemos definido la macro la podemos usar para trazar más puntos de nuestraEspiral Logarítmica. Llamamos a EspiraLog y apuntamos al 20 y a los puntos Polo y P2.Aparecerá el punto P3. Apuntamos a 20, Polo y P3, aparecerá P4.



Imagen 30

Imagen 31

Aplicando EspiraLog de forma reiterada, pero siempre sobre el último punto obtenido juntocon el Polo y el ángulo 20º, obtendremos una serie de puntos de la espiral. La imagensiguiente muestra el resultado de este proceso.



Imagen 32

Imagen 33

Imagen 34

5. ESPIRALES “CUADRADAS”

En este apartado presentamos una serie de construcciones relacionadas con la falsa espiral oEspiral de Durero. Los procedimientos de dibujo que se van a desarrollar no son de tipo lugargeométrico o sistema dinámico, como los de la Espiral de Arquímedes, sino que de nuevo sonde tipo iterativo como el de la Espiral Logarítmica. En consecuencia, definiremos algunasmacros que simplifiquen, o compliquen que todo es posible, las construcciones a realizar.

Las construcciones que siguen se obtienen a partir de cuadrantes de circunferencia obtenidos,a su vez, de “esquinas de cuadrado”. Este es el motivo por el que hemos titulado este apar-tado como espirales cuadradas.

5.1. Espiral cuadrada doble

Observemos la siguiente figura:

Está formada por la concatenación de esquinas de cuadrados, cuyo lado es doble del lado delcuadrado anterior en la serie. Sobre esta serie de cuadrados se puede construir una falsa espi-ral dibujando arcos de circunferencia:



Imagen 35

Imagen 36

Veamos un procedimiento iterativo para el dibujo de la serie de cuadrados. Se trata de obte-ner la esquina siguiente a una dada, de esta manera basta con reiterar el procedimiento paraobtener la espiral. El paso de una esquina a otra será almacenado en una macro de Cabri a laque llamaremos “EsquinaDoble”, con lo cual una vez que dibujemos la esquina de partidabastará con aplicar la macro tantas veces como sea necesario para dibujar la espiral.

Iniciamos el proceso con una esquina dibujada en pantalla. No detallamos cómo se obtienetal dibujo pues es una construcción muy simple.

Obtenemos en primer lugar el punto A4. Para ello basta con aplicar dos simetrías, la primerade A2 respecto de A3, obtenemos S, y la segunda de A3 respecto de S, con lo que obtenemosA4.

Ahora ocultamos el punto S y unimos A3 con A4 mediante un segmento. Ahora basta con tra-zar la perpendicular a A3A4 por A4 y mediante compás con centro en A4 y radio el segmentoA3A4 obtenemos el punto A5



Imagen 37

Imagen 38

Ocultamos la perpendicular, la circunferencia del compás y trazamos el segmento A4A5. Deesta manera terminamos la construcción que se va a almacenar en forma de macro.

Para definir la macro debemos dar primero sus objetos iniciales. En este caso es el segmentoA2A3 y para seleccionarlo como objeto inicial lo hacemos señalando sus extremos, primeroA2 y luego A3. Lo hacemos de esta manera para que no haya duda de dónde se debe realizarla concatenación con la siguiente esquina.

Definimos los objetos finales que son los segmentos A3A4 y A4A5. En este caso los podemosseleccionar apuntando a cada segmento pero en ese mismo orden.

Una vez seleccionados los objetos finales pasamos a la opción “Definir Macro”. Cabri debepresentar el siguiente cuadro:



Imagen 39

Imagen 40

Imagen 41

Asignamos a la macro que acabamos de definir el nombre “EsquinaDoble” y clicamos en OK.A partir de ahora y hasta que cerremos la sesión de Cabri, podremos usar EsquinaDoble comouna herramienta más del programa.

Para terminar de construir la espiral aplicamos de forma reiterada nuestra nueva herramienta.Para construir la esquina A5A6A7 seleccionamos EsquinaDoble y picamos sobre A4 y A5sucesivamente. Inmediatamente aparecerá nuestra esquina pero sin las etiquetas, esas lastenemos que poner nosotros.

Llamamos de nuevo a EsquinaDoble y picamos sobre A6 y A7, aparece la esquina A7A8A9.



Imagen 42

Imagen 43

Imagen 44

Vamos a dibujar ahora la falsa espiral. Para ello necesitamos dibujar los arcos de circunferen-cia que unen los extremos de cada esquina. Nuevamente vamos a usar una macro para eldibujo, a la cual llamaremos “ArcoEsquina”.

Para esta construcción necesitamos las herramientas Circunferencia y Arco. La construcciónes muy simple, pero para que Cabri acepte la construcción como macro deberemos introdu-cir algunos elementos auxiliares. Dejamos para el lector la justificación de esos nuevos ele-mentos o la búsqueda de una definición alternativa para ArcoEsquina.

En primer lugar obtenemos el centro de la circunferencia que soporta al arco A1A3. Para ellobasta con trazar las perpendiculares por A1 y A3 a los segmentos A1A2 y A2A3 respectiva-mente. El corte de ambas rectas, al que denotaremos por C1, es el centro buscado. Ahora conla herramienta circunferencia trazamos la que tiene su centro en C1 y pasa por A1.

Ocultamos las dos rectas que acabamos de dibujar y trazamos el segmento que une los pun-tos C1 y A2. Este segmento corta a nuestra circunferencia en un punto que es el que nos faltapara poder construir el Arco buscado.

Ocultamos ahora la circunferencia, el segmento y el centro C1. Con la herramienta arco tra-zamos el que une A1, el punto de corte de segmento y circunferencia y el punto A2. Nos que-dará la siguiente imagen:



Imagen 45

Imagen 46

Ya podemos definir la macro. Como objetos iniciales tomamos los puntos A1, A2 y A3 en esemismo orden. Como objeto final el Arco. Clicamos en definir macro y le damos el nombre deArcoEsquina.

Ahora aplicamos la macro sobre (A3,A4,A5) y obtenemos el segundo arco. La aplicamos sobre(A5,A6,A7) y aparece el tercer arco. La aplicamos sobre (A7,A8,A9) y tenemos el cuarto arco.Hemos obtenido la figura buscada:

Parece que nuestro objetivo se ha cumplido pues hemos conseguido dibujar dos falsas espi-rales, una concatenando esquinas cuadradas y otra empalmando cuadrantes de circunferen-cia. El método seguido exige dibujar primero la de cuadrados para, a partir de ella, obtener lade cuadrantes de circunferencia. ¿Es posible hacer las cosas al revés? Es decir, ¿podríamosdefinir un procedimiento, o mejor más de uno, que se base en dibujar primero la espiral decuadrantes y desde ella dibujar la de cuadrados? Es evidente que la respuesta será afirmativa.En lo que resta de este apartado presentaremos una construcción de las muchas que, casi contoda seguridad, se podrían obtener.

El procedimiento que vamos a presentar es de tipo iterativo. Observemos que al pasar de unaesquina cuadrada a la siguiente doblamos el lado de la esquina, por tanto también estamosdoblando el radio del arco. Además, las circunferencias que soportan arcos consecutivos sontangentes en el punto de empalme de los arcos, por tanto los centros de ambas circunferen-cias están alineados con el punto de empalme de arcos.



Imagen 47

Imagen 48

El método que vamos a seguir consiste en dibujar la sucesión de circunferencias soporte delos arcos con la ayuda de lo expuesto en el párrafo anterior. Crearemos una macro que tomecomo objetos iniciales la circunferencia del arco actual junto a un cierto punto, y que nos decomo objeto final la circunferencia soporte del arco siguiente. Procedemos ya a la creaciónde la macro.

En primer lugar dibujamos una circunferencia con centro en un punto C1 y sobre ella marca-mos un punto que etiquetamos como A1. Necesitamos marcar este punto para tener clarodónde va a empezar el primer arco de circunferencia.

Como cada arco es de amplitud p/2, el punto A3 final del arco se obtendrá trazando la per-pendicular al radio de A1 por C1. Este va a ser el punto de empalme, luego será también elpunto de tangencia de las dos circunferencias. Si llamamos C2 al centro de la circunferenciasiguiente, como C1, C2 y A3 están alineados y la nueva circunferencia tiene radio doble de laprimera, C2 será el extremo del diámetro por A3 de la circunferencia inicial. Dibujamos la cir-cunferencia con centro en C2 y que pasa por A3. Para terminar sólo nos falta el punto extremodel arco soportado por la circunferencia con centro en C2. Es evidente que dicho punto es elcorte de la paralela al segmento A1C1 por C2. Dibujamos ese punto, lo etiquetamos con A5y ya tenemos resuelta la construcción necesaria para definir la macro.



Imagen 49

Imagen 50

Ocultamos ahora todos los elementos accesorios de la construcción realizada. Ocultaremoslos puntos C1 y C2, el segmento A1C1 y las dos rectas. Dejaremos la figura como muestra lasiguiente imagen:

Almacenamos ya la macro. Como objetos iniciales tomamos el punto A1 y la circunferenciainicial. Como objetos finales la segunda circunferencia y el punto A5. Finalmente en definirmacro le damos el nombre “CircSiguiente”. Puede sorprender que el punto A3 no aparezca nien los objetos iniciales ni en los finales, pero es que este punto aparecerá por ser el punto detangencia de las dos circunferencias y haberlo dejado visible en la figura final.

La construcción de la espiral ya es inmediata, basta con aplicar CircSiguiente de forma reite-rada, la figura siguiente muestra el resultado de aplicarla dos veces, en A3 y A5.

Ahora basta con trazar arcos sobre las circunferencias y ya está. Dejamos para el lector la cons-trucción de la espiral de esquinas a partir de esta, ya que tal construcción es muy sencilla.



Imagen 51

Imagen 52

5. BIBLIOGRAFÍA

Bergasa, J.,García. M.V., Eraso, M.D. y Sara, S. (1996): Matemáticas: “Materiales didác-ticos”. Primer ciclo de E.S.O. Gobierno de Navarra, Pamplona

Bouvier, A. y George, N. (1984): “Diccionario de Matemática”, Akal, Madrid.

Boyer, C. (1986): “Historia de la Matemáticas”, Alianza, Madrid.

Taton, R. (1972): “Historia General de las Ciencias”, Destino, Barcelona.

Vinográdov, I.M. (Revisión española a cargo del Dr. José Vicente García Sestafe) (1993) :“Enciclopedia de la Matemáticas”, MIR & Rubiños – 1860. Madrid – Moscú.

OTROS RECURSOS

Vídeos didácticos: “Más por menos” Editado por TVE.

Imágenes procedentes de diferentes páginas Web y del archivo fotográfico de Joseí.

NOTAS

Sobre iconografía que ayude a formarse una idea clara de las espirales, sus propiedades y su presencia en la Naturaleza y el arte,aconsejamos utilizar en clase el capítulo de la colección de vídeos didácticos “Más por menos” dedicado a este tema, tituladoEl mundo de las espirales, donde pueden encontrarse sugestivas imágenes, además de un estudio bien presentado y funda-mentado Todo ello de la mano de Antonio Pérez Sanz, guionista y presentador de la serie.



Sofía V. Kovalevskaya (1850-1891)

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