CONCEPTOS GEOMETRICOS A TRAVES DE CABRI GEOMETRE II

Luis Miguel Rangel Álvarez E-mail: lmral@hispavista.com

Juan Pablo Garcés Toledo E-mail: jpgt@hispavista.com

RESUMEN:La propuesta se circunscribe en el campo del uso de

las nuevas tecnologías en el aprendizaje de conceptos matemáticos del currículo.

Específicamente en el campo de la geometría. Se desarrollan construcciones de objetos geométricos como los siguientes: líneas, planos, figuras como el

triángulo, círculos, polígonos; como también el establecimiento de relaciones métricas y atributos

medibles de estos objetos.

IntroducciónEl programa Cabri-Geometre II fue diseñado por Jean Marie Laborde y Franck Bellemain en la Universidad de Joseph Fourrier de Grenoble (Francia) y experimentando en sus aulas. Se trata de un programa para hacer geometría de forma práctica, visual e interactiva, que permite experimentar, analizar situaciones geométricas de diverso tipo, permite comprobar resultados, inferir, refutar, consultar propiedades, simular, descubrir regularidades y también aunque parezca sorprendente demostrar. El programa es fácil de usar y la experiencia ha demostrado que los alumnos se familiarizan rápidamente con él; éste puede ser utilizado en forma gratuita bajándolo de la página www.matematicas.net/programateca/windows/cabri, www.ti.com entre otras.

Este pequeño tutorial ofrece una esquemática descripción del programa y propone la realización de algunos ejercicios concretos con la finalidad de adquirir habilidad y destreza en su utilización. Esperamos que sea de utilidad para todos aquellos que utilicen el programa por primera vez, y que puedan introducirlo en el salón de clase.

CABRI GEOMETRE IIPARTES DE LA VENTANA CABRI

Tiene una zona de trabajo que ocupa toda la pantalla, a excepción que de la parte superior en la que encuentran, por un lado la barra de menús, propia de cualquier programa de Windows y por otro, la barra de herramienta, en la que se despliegan menús con los diferente comandos para realizar las distintas construcciones geométricas, por ejemplo, puntero, , se utiliza para seleccionar, mover y manipular objetos. La zona de trabajo pretende ser un cuaderno borrador en el que se experimentan las construcciones geométricas. De hecho su nombre Cabri se forma a partir de las palabras “cahier de brouillon”.

BARRA DE HERRAMIENTAS

Cada menú de la barra de herramienta contiene comandos clasificados del siguiente modo:

Primer grupo ("Puntero"):

Puntero:

Sirve para seleccionar objetos ya construidos, para cambiarlos de posición (siempre y cuando no se trate de objetos dependientes). Un objeto seleccionado se puede cambiar de color, etc. Para seleccionar objetos distintos de una sola vez hay que mantener pulsada la tecla SHIFT. Con el puntero también podemos seleccionar una zona rectangular, por ejemplo para copiarla y pegarla en otro archivo o bien en un programa de dibujo para incluir posteriormente la imagen geométrica en un texto.Giro : Sirve para girar un objeto alrededor de un punto: hay que seleccionar el punto y luego el objeto que queremos girar (se puede combinar con "animación")Semejanza : Aumenta o disminuye un objeto (utiliza el centro de la figura geométrica). Si se selecciona primero un punto y después una figura geométrica, por ejemplo un triángulo, la transformación utiliza ese punto. (Se puede combinar con "animación")Giro y semejanza: Permite una acción combinada de las dos opciones anteriores, también se puede actuar sobre una figura o bien sobre una figura después de haber seleccionado un punto.

Segundo grupo ("Puntos"):

Punto : Dibuja un punto.

Punto sobre objeto : Igual que "punto" pero entiende que el punto debe ir sobre otro objeto

Punto de intersección : Seleccionados dos objetos, crea el punto de intersección de ambos.

Tercer grupo ("Rectas"):

Recta : Dibuja una recta. Si desea la recta horizontal, presione la recta shift, ¿Qué sucede si lo que mueve el Mouse o las teclas direccio-nales?Segmento : Dibuja segmentosa partir de dos puntos.Semirrecta : Dibuja una semi-rrectaVector : Dibuja un vectorTriángulo : Dibuja un triánguloPolígono : Dibuja un polígono. Para cerrarlo y acabar hay que volver al primer punto utilizado.Polígono regular : Dibuja un polígono regular: marcamos el centro y si nos movemos en sentido horario dibuja un polígono convexo regular. Si nos movemos en sentido antihorario obtenemos un polígono estrellado

Cuarto grupo ("Curvas"):

Circunferencia : Dibuja una circunferencia a partir de su centro y utilizando otro puntoArco : A partir de tres puntos dibuja el arco determinado por el primero y el último sobre la circunferencia determinada por los tres puntos.Cónica : A partir de cinco puntos dibuja la cónica que pasa por ellos.

Quinto grupo ("Construir"):

Quinto grupo ("Construir"):

Recta Perpendicular : Dibuja una recta que pasa por un punto y es perpendicular a otra recta. Hay que marcar un punto y una recta (el orden no importa).Recta Paralela : Dibuja una recta que pasa por un punto y es paralela a otra recta. Hay que marcar un punto y una recta (el orden no importa).Punto Medio : Dibuja el punto medio de un segmento o de dos puntos.Mediatriz: traza la perpendicular por el punto medio entre dos puntos extremos de un segmento. Bisectriz : Dibuja la bisectriz determinada por tres puntos (extremo, origen, extremo del ángulo)Suma de Vectores : A partir de dos vectores cualesquiera y de un punto, dibuja el vector suma aplicado a ese punto.Compás : Dibuja una circunferencia señalando su centro y un segmento cualquiera para utilizar su longitud como radio.

Transferencia de Medidas : Si hemos obtenido la medida de un segmento, o bien un número con "edición numérica", o bien tenemos un número como resultado de un cálculo realizado con la "calculadora" de Cabri, se puede transferir esa medida (longitud) a una semirrecta; obtenemos un punto a la distancia indicada del origen de la semirrecta. Se puede transferir una medida a un punto para así dibujar la circunferencia de centro el punto y de radio la medida. También se puede transferir la medida a una circunferencia señalando la circunferencia, un punto de la misma para obtener un nuevo punto a la distancia indicada medida sobre la circunferencia en sentido antihorario.

Lugar Geométrico: Un ejemplo es más útil que cien palabras: Dibujar un triángulo y construir su baricentro. Supóngase que nos interesa dibujar el lugar geométrico descrito por el baricentro cuando uno de los vértices del triángulo recorre la circunferencia. Con la herramienta "lugar geométrico" seleccionar primero el punto que describe el lugar geométrico y, después, el punto del que depende la construcción. Inmediatamente podemos ver el lugar geométrico correspondiente. (Ahora podemos analizar el resultado, medir, etc., y razonar o demostrar el porqué de la solución).La herramienta "lugar geométrico" también permite dibujar envolventes de familias de curvas. Ejemplo: dibujar una circunferencia, marcar un punto P sobre ella, dibujar una circunferencia cuyo centro C esté sobre la primera y que pase por el punto P. Hallar el "lugar geométrico" descrito por esa circunferencia (la segunda) cuando su centro C se desplaza sobre la primera circunferencia.Redefinir Objeto : Permite redefinir un objeto

Sexto grupo ("Transformar"):

Simetría Axial : Permite obtener simetrías respecto a un eje.Simetría : Permite obtener simetrías respecto a un punto.Traslación : Utilizando un vector dibuja la imagen de un objeto mediante la traslación definida por el vector.Rotación : Se utiliza para rotar objetos. Con la herramienta correspondiente se selecciona el objeto que se desee girar, el centro de rotación y el ángulo de rotación (este ángulo se puede escribir con "edición numérica")Homotecia : Obtiene la figura homoté-tica de una figura dada. Se selecciona el objeto, el centro de homotecia y el factor de homotecia (edición numé-rica)Inversión : Permite obtener el inverso de un punto respecto de una circunfe-rencia de inversión. Se seleccionan el punto y la circunferencia de inversión.

Séptimo grupo

("macros"; macro = proceso automático):

Séptimo grupo ("macros"; macro = proceso automático):

Estas herramientas permiten definir macros que automatizan procesos largos que se van a repetir muchas veces. Por ejemplo, si vamos a dibujar muchos triángulos de los que nos interesa obtener su baricentro no es necesario repetir el mismo proceso cada vez; basta crear una macro. Dibujaríamos un triángulo, construiríamos su baricentro y a continuación elegiríamos la primera herramienta ("objetos iniciales "), con ella seleccionaríamos el triángulo, a continuación con "objetos finales " señalaríamos el baricentro y, por último, con "definir macro " daríamos un nombre a la macro, por ejemplo baricentro y tendríamos a nuestra disposición, a partir de ese momento, la macro "baricentro" en este grupo de herramientas. Ahora dado un triángulo cualquiera, utilizando esa macro, obtendríamos inmediatamente el baricentro. Esta macro iría asociada al archivo con el que estuviéramos trabajando y estaría disponible cada vez que se volviera a abrir el archivo. Si nos interesa tener una macro disponible para utilizarla en otros archivos, conviene guardarla como archivo-macro, cosa que se hace en la tercera fase de la creación de la macro. Solamente hace falta activar la casilla "Guardar archivo". Así podemos guardar ese archivo-macro en el directorio que queramos y utilizarlo posteriormente en cualquier archivo (llamando a la macro con: archivo\abrir\"*.mac")

Grupo octavo ("Comprobar propiedades")

Estas herramientas permiten comprobar si: tres puntos están alineados, si dos rectas son paralelas, perpendiculares, si un punto (el primero) es equidistante de otros, dos y si un punto pertenece a un objeto .

Grupo noveno ("Medir")

Distancia y Longitud : Sirve para medir segmentos, longitudes entre dos puntos, perímetros de triángulos, medir longitudes de circunferencias y de arcos.Área : Permite calcular áreas de triángulos, polígonos (construidos con la herramienta "polígono"), de circunferencias y de cónicas.Pendiente : Calcula la pendiente de rectas, segmentos, vectores y semirrectas.Ángulo : Sirve para medir ángulos: 1) extremo, origen, extremo, ó 2) ángulo de una marca de ángulo

Ecuación y Coordenadas : Muestra la ecuación de una recta, circunferencia o de una cónica obtenida con "cónica". También permite ver las coordenadas de un punto.Calcular: Abre una calculadora que permite operar con números introducidos directamente, pero también con medidas de segmentos, ángulos, áreas, números escritos con "edición numérica". Dispone de las funciones más habituales. Al pulsar en el símbolo "=" se obtiene el resultado que se puede arrastrar manteniendo el ratón pulsado a cualquier lugar de la pantalla. (Ese resultado se puede transferir o volver a utilizar para otras construcciones o cálculos).Tabular : Permite obtener una tabla cuyo tamaño se ajusta con el ratón (esquina inferior derecha). Los datos de la primera fila se añaden pinchando directamente sobre ellos. Para obtener una segunda fila después de modificar la construcción, se utiliza la tecla "tabulador" y los nuevos datos se añaden automáticamente. Para eliminar filas o columnas basta seleccionarlas y utilizar la tecla "supr".

Grupo décimo ("VER"):

Grupo décimo ("VER"):

Etiqueta : Sirve para etiquetar objetos (puntos, etc.)Comentarios: Se utiliza para añadir texto, generalmente explicaciones. El tamaño de la ventana de texto se puede se puede modificar con el ratón (actuando sobre el borde). Si quisiéramos modificar el tamaño más tarde basta pulsar dos veces con la herramienta puntero y después modificar el tamaño. Para modificar las propiedades de la fuente, se selecciona el texto y se utiliza en la barra de menús: "Opciones/Fuente/.....".Edición Numérica : Sirve para añadir números. Posteriormente se puede modificar su valor pinchando con la herramienta puntero dos veces seguidas sobre el número.Marca de Ángulos : Permite añadir marca de ángulos señalando extremo, vértice, extremo.Fijar/liberar: Sirve para fijar o liberar la posición de un punto.

Traza Activada/Desactivada: Al activar la traza de un punto u otro objeto, éste marca su rastro al ser movido. Para desactivar la traza se selecciona el objeto por segunda vez con la misma herramienta. Una traza se borra al modificar el tamaño de la ventana o al pinchar sobre las barras de desplazamiento vertical u horizontal.Animación: Hace que un punto u objeto se desplace independientemente del resto de la escena. Se pincha sobre el punto y se añade un muelle en la dirección contraria a la de la fuerza instantánea que queremos que actúe sobre el objeto. La longitud del muelle es proporcional a la de la fuerza. Para aumentar o disminuir la velocidad se utilizan las teclas "+" o "-". La animación se interrumpe pinchando en cualquier lugar.Animación Múltiple: Igual que la anterior pero permite actuar en varios lugares y comienza la animación cuando pulsamos "Enter"

Grupo undécimo ("Dibujo"):

Grupo undécimo ("Dibujo"):

Ocultar/Mostrar : Permite ocultar objetos. Generalmente se utiliza para ocultar elementos que han servido para realizar la construcción y que, por ello, no pueden ser eliminados.Color : Seleccionamos un color y después el objeto cuyo color queremos cambiar (también un "comentario").Rellenar : Seleccionada la herramienta elegimos color y seleccionamos el objeto. Para anular la acción se repite la acción con el mismo color.Grosor : Permite cambiar el grosor del contorno de un objeto.Punteado : Se selecciona un modelo de punteado y después el objeto que queramos modificar.

Modificar Apariencia: Permite modificar la apariencia de: puntos, marcas de ángulo, segmentos, ejes de coordenadas (cartesianos y polares) y comentarios.Ocultar Ejes/Mostrar Ejes : Permite añadir unos ejes de coordenadas. Se pueden trasladar moviendo el origen, girar en conjunto girando el eje de abcisas, y el eje de ordenadas se puede girar independientemente. La escala se puede cambiar arrastrando la unidad y cambiándola de lugar (En algunas prácticas que involucran transferencias de medidas a los ejes he tenido algún problema por el hecho de haber cambiado la escala). La herramienta "transferencia de medidas" se puede utilizar para transferir medidas a los ejes.Nuevos Ejes : Permiten añadir otros ejes de coordenadasDefinir Cuadrícula : Se selecciona el sistema de ejes coordenados y muestra la cuadrícula. Para volver a ocultarla basta seleccionar uno de sus puntos y pulsar "Supr"

ACTIVIDADES ELEMENTALES

1.- Rectas. Posición de dos rectas en el plano: Secantes, perpendiculares y paralelas.

ACTIVIDAD 1: Dibuja un punto. Ponlo mas gordo. Dibújale en color verde. Muévelo por la pantalla. ACTIVIDAD 2: Dibuja una línea recta. Muestra la página entera. ¿Dónde acaba la recta? Coloréala de rojo. Ponla con trazo discontinuo(------) ACTIVIDAD 3: Traza la recta paralela a la anterior que pase por el punto

verde. Coloréala de azul. Traza la recta perpendicular a la rojas por el punto verde.

Coloréala de amarillo. ¿Cómo son entre si las rectas amarilla y azul? ¿Cuántas rectas puedes trazar que sean paralelas a la recta roja?

ACTIVIDAD 4: Traza dos rectas que sean secantes. Mide el ángulo que

forman. Mueve una de ellas hasta que se conviertan en paralelas.

¿Qué ha pasado con el ángulo? Mueve una de ellas hasta que sean perpendiculares. ¿Lo

consigues? Dile a tu profesor que te explique lo que ocurre. 2.- Segmento. Punto medio y Mediatriz.ACTIVIDAD 5: (Ocultar herramienta mediatriz) Dibuja un segmento y nombra AB los extremos del mismo. Halla su punto medio. Ponlo en color negro. Dibújalo en trazo

gordo. Halla la mediatriz del segmento. Mide el ángulo que forma el segmento con su mediatriz. 3.- Ángulos. Tipos de ángulos. Bisectriz. Medida de ángulos

con el transportador. Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice.

ACTIVIDAD 6: Dibuja un ángulo cualquiera. Marca tu ángulo y mídelo. Muévelo hasta conseguir todos los tipos de ángulos que

conozcas.

ACTIVIDAD 7: Traza la bisectriz del ángulo anterior. Mide los dos ángulos en que ha quedado dividido. Mueve uno de los lados del ángulo ¿cómo varía la

bisectriz? ACTIVIDAD 8: Traza un segmento cualquiera. Traza otro segmento con uno de sus extremos encima

del segmento anterior. ¿cómo se llaman los ángulos que forman? Mídelos. Con la calculadora suma los ángulos. Has una tabla con las medidas obtenidas así como con el

resultado de la suma. Mueve el lado común y pasa los datos a la tabla ¿qué

ocurre? ACTIVIDAD 9: Dibuja dos rectas secantes. Aquí hay cuatro ángulos. Halla su valor. ¿Qué observas? ¿Cómo se llaman estos ángulos?

4.- Polígonos. Diagonales de un polígono. ACTIVIDAD 10: Dibuja polígonos irregulares de diferentes formas. Rellénalos de colores. Dibuja un muñeco con diferentes

figuras geométricas. Coloréalo. ACTIVIDAD 11: Dibuja los polígonos regulares: cuadrado, pentágono.

hexágono,… ¿Cuántos puedes dibujar? ¿Qué ocurre al llegar al número 17? Estos polígonos se llaman

estrellados. Dibuja la estrella de Belem. Coloréalos. ACTIVIDAD 12: Traza las diagonales de un cuadrado ¿cómo son? Mide los ángulos que forman ¿qué posición tienen las

diagonales? ACTIVIDAD 13: Dibuja un pentágono. Traza sus diagonales. ¿cuántas tiene? ¿Qué figura forman las diagonales? Traza las diagonales de la nueva figura. ¿qué observas?

5.-Triángulos. Tipos de triángulos. Base y altura. Medida de los ángulos. Suma de los ángulos.

ACTIVIDAD 14: Dibuja un triángulo cualquiera ABC. ¿de que tipo es? ¿Cuál es la base? Traza su altura. ACTIVIDAD 15: Dibuja un triángulo rectángulo ABC Calcula cuanto miden los dos ángulos no rectos. Dibuja un árbol de Navidad. Coloréalo. 6.- Cuadriláteros. Trapezoides, trapecios, paralelogramos:

cuadrado, rectángulo, rombo y romboide. Propiedades del cuadrado: lados, ángulos, diagonales. Idem de los demás.

ACTIVIDAD 16: Dibuja 6 o 7 cuadriláteros. Clasifícalos. ¿te falta alguno?

Dibújalo. Coloréalos de diferentes colores. Muévelos todos por la pantalla. ACTIVIDAD 17: Dibuja los cuatro tipos de paralelogramos. Dibuja sus diagonales. ¿cómo son?, ¿qué ángulos forman?

ACTIVIDAD 18: Dibuja un cuadrilátero cualquiera. Calcula el valor de sus ángulos. Con la calculadora suma las medidas de los 4 ángulos. Mueve uno de los vértices ¿qué observas?. Suma de nuevo los

valores de los 4 ángulos. 7.- Representación en una cuadrícula. Coordenadas

cartesianas (solo en positivo).ACTIVIDAD 19:Representa en una cuadrícula los puntos siguientes: A(1,1); B(3,1); C(3,3); D(1,3). Únelos. ¿qué figura forman? E(0,1), B(1,2); C(2,7). Únelos. ¿qué figura forman? 8.- Circunferencia y círculo. Cuerda, radio, diámetro. Arco,

semicircunferencia. Medida de ángulos en una circunferencia. Área y perímetro.

ACTIVIDAD 20: Dibuja una circunferencia Dibuja uno de sus radios. Dibuja uno de sus diámetros. Dibuja una cuerda.

ACTIVIDAD 21: Dibuja arcos de diferentes tamaños. Intenta dibujar un arco que sea una semicircunferencia. ACTIVIDAD 22: Dibuja una circunferencia. Dibuja dos de sus radios. Calcula el ángulo que forman. ACTIVIDAD 23: Dibuja una circunferencia. Calcula su perímetro. Calcula el área del círculo. ¿En que unidades están dadas cada una de ellas?, ¿por qué? 9.- Simetría respecto a una recta. Eje de simetría.ACTIVIDAD 24: Dibuja una recta. Dibuja ahora la figura geométrica que quieras. Calcula la figura simétrica de la anterior con respecto a la

recta.

ACTIVIDAD 25: Dibuja un cuadrado Dibuja sus ejes de simetría. Coloréalos. Has lo mismo con las diferentes figuras geométricas que

conozcas: cuadriláteros, triángulos, circunferencias…. 10.- Áreas: triángulo, rombo y romboide.ACTIVIDAD 26: Dibuja un triángulo. Calcula su área. Mueve uno de sus vértices. ¿Qué observas? ACTIVIDAD 27: Muestra los ejes Muestra la cuadrícula. Dibuja un rombo. Calcula su área. Dibuja un triángulo que sea la mitad del rombo (puedes

hacerlo encima) Calcula su área. ¿Qué observas?

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS

Para empezar a utilizar el programa se proponen los siguientes ejercicios. Una vez elegida la herramienta adecuada, presionando la tecla F1, se activa la ayuda que ofrece el programa.

Actividad Nº 1: Aproximación del número (pi)El número (pi) se obtiene como la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Uno de los procedimientos que se utilizaban en la antigüedad para dar una aproximación de la longitud de la circunferencia, consistía en construir dos polígono regulares: uno inscrito y otro circunscrito, y calcular sus perímetros. De esta forma, se obtienen la longitud de la circunferencia como un número comprendido entre los perímetros de los polígonos inscrito y circunscrito. Está claro que en cuanto mayor sea el número de lados de los polígonos utilizados la aproximación será mejor. Veamos como se realiza esto con cabri.

1. dibuja un circunferencia con centro “0” 2. construye un diámetro “AB”: activa recta, señala el

punto “0”. Cuando aparezca por este punto, has clic con el Mouse, mueve el Mouse hasta pasar por la circunferencia. Cuando aparezca en esta circunferencia has clic con el Mouse. Activa Punto(s) de Intersección, señala recta. Cuando aparezca esta recta clic con el Mouse, luego señala la circunferencia, y cuando aparezca esta circunferencia has clic con el Mouse. Nombre “A” y “B” a los puntos extremos del diámetro con el comando Etiqueta. Activa Segmento, y señala los puntos “A” y “B”. para ocultar la recta, activa Ocultar/Mostrar y señálala. Activa de nuevo Puntero

3. construye un octágono inscrito en dicha circunferencia. Activa Polígono Regular has clic con el Mouse en el punto “0”, cuando el radio de la circunferencia coincida con la dibujada, pulsa de nuevo con el Mouse. Por último, moviéndote en el sentido de las manecillas del reloj has clic en cuanto aparezca el octágono (8 lados).

4. construye el octágono circunscrito a dicha circunferencia. Con Segmento, traza desde el centro “0” dos radio de vértice consecutivos. Activa Recta Perpendicular para dibujar las rectas perpendiculares a dichos radios en los respectivos vértices. Elige Punto(s) de intersección y marca el punto de corte de estas dos rectas. Llama a este punto “C”. “0C” es el radio del octágono circunscrito. Oculta las dos rectas y los dos radios, seleccionando Ocultar/mostrar y señalando dichos elementos. Activa polígono regular, has clic en “0”, marca el punto “C”, para determinar el radio y por último desplázate en el sentido de las agujas del reloj hasta que aparezca octágono, entonces has clic. Con Color, cambia el color del octágono circunscrito para distinguirlo del inscrito. Aparecerá una paleto de colores y el puntero de transformará en un pincel al señalar con él el polígono.

5. mide los perímetros de los polígonos. Activa Distancia y Longitud y señala el octágono inscrito, cuando aparezca perímetro de este polígona, has clic con el Mouse, y cuando aún esté parpadeando escribe “octágono inscrito =”. Repite los mismos pasos para medir el octágono circunscrito.

6. mide la longitud del diámetro. Activa Distancia y Longitud y señala el segmento “AB”, cuando aparezca la longitud de este segmento has clic con el Mouse y cuando aún esté parpadeando escribe “diámetro =”

7. cambia la precisión de las medidas a ocho decimales. Activa Puntero y señala con el Mouse los números obtenidos anteriormente. Pulsa sucesivamente la tecla + para aumentar la precisión de las medidas. La tecla – sirve para disminuir la precisión de las mediadas.

8. aproximación del número (pi). Activa Calcular, señala el número que da la medida del octágono inscrito, la tecla /, la longitud del diámetro y la tecla =. El resultado arrástralo con el Mouse a un lugar libre de la ventana de dibujo y has clic. Desactiva la calculadora, tecla off. Aumenta la precisión a ocho decimales. Activa comentario, señala el resultado y cuando aparezca este texto has clic y en el lugar de resultado escribe “octágono inscrito/Diámetro =”. Repite los mismos pasos pero con el octágono circunscrito.

9. modifica el radio de la circunferencia, ¿Qué observas?

Actividad Nº 2: Triangulo equilátero

Como Cabri no dispone de una herramienta directa que dibuje un triangulo equilátero conociendo el lado, tendrás que construirlo siguiendo los siguientes pasos.

1. dibuja un segmento de extremos “AB”2. para encontrar la posición del vértice “C”, activa

Circunferencia, construye una circunferencia con centro en “A” y radio “AB”, luego otra con centro en “B” y radio “BA”. Elige punto(s) de intersección y has clic en las dos circunferencias. Etiqueta uno de los puntos de intersección como “C”. activa Triángulo, has clic en “A”, “B” y “C”, aparecerá el triángulo equilátero deseado.

3. Comprueba que es equilátero. Mide la longitud de cada uno de los lados. Elige Distancia y longitud has clic en “A” y luego en “B”, después en “B” y “C” y por último en “C” y en “A”. para determinar la amplitud de los ángulo interno, elige Ángulo y has clic en “B”, “A” y “C” para medir el ángulo “A”, y así sucesivamente para los demás ángulos “B” y “C”.

Actividad Nº 3: Construcción de un cuadrado a partir del lado

1. Dibujo un segmento de extremos “P” y “Q”. 2. traza las perpendiculares a dicho segmento en “P” y

en “Q” respectivamente. 3. Traza la circunferencia de centro “P” y radio “PQ” y la

circunferencia de centro “Q” y radio “QP”. Los otros dos vértices del cuadrado “R” y “S” son los puntos de intersección de las rectas perpendiculares y las circunferencias.

4. Oculta todos los elementos de la construcción excepto los puntos “P”, “Q”, “R” y “S”.

5. Activa Polígono, y has clic en cada uno de los puntos “P”, “Q”, “R”, “S” y “P”. comprueba que es un cuadrado midiendo la longitud de cada uno de los lados.

Actividad Nº 4: Macros

Si deseamos realizar un nuevo triangulo equilátero o un cuadrado, la herramienta Macro nos permite agilizar el proceso de la construcción de estas figuras así. Si deseas dibujar un triángulo equilátero como el realizado en la Actividad Nº 2. Procedemos así:1. retome la actividad Nº 2. Activa la herramienta Macro, señala como elementos iniciales de la macro los puntos “A” y “B” (es importante el orden en que se señalen estos puntos) del triángulo equilátero y como Elementos Finales el triángulo equilátero. Llama triángulo equilátero a la macro así definida, así como al elemento final de la macro y guárdala con el nombre de triángulo.Mac

2. realiza una macro con el nombre de triángulo equilátero a partir de dos puntos.

Has varias pruebas y comprueba que la macro funciona correctamente.

Hexágono regular: realiza una macro que construya un hexágono regular a partir de dos puntos que serán dos vértices contiguos del hexágono, llámala hexágono y guárdala en el archivo Hexágono.Mac

Actividad Nº 5: Teorema de Pitágoras

Comprobación de un teorema. Vamos a probar con Cabri, la relación que existe entre los lados de un triángulo rectángulo conocida como el teorema de Pitágoras .

En primer lugar debes construir un triangulo rectángulo del siguiente modo:

1. dibuja un segmento “AC” 2. construye un triángulo rectángulo con el ángulo recto en

“C”3. construye, apoyándote de la macro Cuadrado .Mac un

cuadrado sobre cada uno de los catetos “AC” y “CB” y otro sobre la hipotenusa “AB”

4. mide la superficie de cada cuadrado y suma (con la calculadora) el área de los cuadrados construidos sobre cada uno de los catetos.5. comprueba que se verifica el teorema de Pitágoras aunque se modifique el triángulo rectángulo.

Actividad Nº 6: Pitágoras Generalizado

Actividad Nº 6: Pitágoras Generalizado

En esta actividad vamos a probar que el teorema se cumple también para polígonos irregulares semejantes construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo.

1. construye un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en “A”.

2. dibuja un polígono “P” irregular sobre el cateto “AC”.3. mide la longitud de los lados del triángulo “AC”, “AB” y

“BC”. 4. calcula los cocientes: “AB/AC” y “BC/AC”5. dibuja el vector “CA”6. traslada el polígono “P”, según el vector “CA”: elige la

herramienta Traslación, has clic sobre polígono “P” y luego sobre el vector “CA”.

7. mide el ángulo “CAB” (90º). 8. rota el polígono “P” trasladado con centro en “A” y ángulo

“CAB” (90º): elige la Rotación, has clic en el polígono, luego en el vértice “A” y por último en el ángulo “CAB” (90º).

9. realiza una Homotecia del polígono anterior con centro en “A” y razón AB/AC: elige Homotecia, has clic en polígono, en “A” y luego en el número de la razón AB/AC.

10. realice una Simetría de centro en “A” del polígono trasladado en el numeral 6.: elige Simetría, has clic en el polígono y en “A”.

11. mide el ángulo “BCA”.12. rota el polígono anterior concentro en “C” y ángulo

“BCA”: elige la Rotación, has clic en el polígono, luego en el vértice “C” y por último en el ángulo “BCA”.

13. realiza una Homotecia del polígono anterior con centro en “C” y razón BC/AC: elige Homotecia, has clic en polígono, en “C” y luego en el número de la razón BC/AC.

14. mide las áreas de los polígonos sobre los lados y comprueba la relación pitagórica.

Ejercicio:

1. Pruebas el teorema para triángulos sobre los lados, polígonos regulares sobre los lados, semicírculos como se indican en las siguientes construcciones:

2. aplicando sucesivamente el teorema de Pitágoras se

consigue representar segmentos cuyas longitudes son, como lo indica la figura.

3. Reproduce con cabri la figura anterior e indica la longitud de los segmentos que aparecen en la espiral.

Actividad Nº 7: El baricentro

1. construye un triángulo cualquiera “∆ABC”.2. construye las tres medianas del triángulo y determina su

punto de intersección “G”: activa punto medio, y has clic en cada uno de los lados del triángulo, aparecerán los puntos medio de cada uno de los lados y etiquétalos como “A’”, “B’” y “C’”.

3. construye las medianas correspondientes a los vértices del triángulo.

4. activa Punto(s) de intersección y determina el baricentro.5. desplaza los vértices del triángulo para deformarlo. ¿Qué

propiedades se conservan en la figura?6. mida los segmentos “GB’” y “BB’”. Halla la razón GB’/ BB’. Has lo mismo con las otras medianas. ¿Qué propiedad cumplen estas razones?7. define una macro que trace el baricentro de cualquier triángulo.

Actividad Nº 8: El circuncentro

1. dibuja un triángulo cualquiera “∆ABC”.2. construye las mediatrices y determina su punto de

intersección “O”: activa mediatriz y has clic sobre cada uno de los lados del triángulo.

3. con Punto(s) de intersección halla “O”.4. dibuja los segmentos “OA”, “OB” y “OC”. Mide sus

longitudes.5. desplaza arbitrariamente los vértices ¿Qué observas de las tres longitudes anteriores? 6. dibuja la circunferencia circunscrita al triángulo “∆ABC”.7. define una macro que trace el circuncentro de cualquier triángulo.

Actividad Nº 9: El incentro

dibuja un triángulo cualquiera “∆ABC”.1. construye las bisectrices y determina su punto de

intersección “I”: activa bisectriz y has clic sobre cada uno de los lados del triángulo. Para trazar la bisectriz del ángulo “A”, elige Bisectriz y has clic en “B”, “A” y “C”. Así mismo con los otros dos ángulo

2. con Punto(s) de intersección halla “I”.3. traza las perpendiculares a cada uno de los lados que

pasan por “I”.5. mide las distancias desde “I” hasta el punto de

intersecciónde las perpendiculares a cada uno de sus lados. Mueve el triángulo. ¿Qué observas?6. dibuja la circunferencia inscrita al triángulo “∆ABC”.7. define una macro que trace el incentro de cualquier triángulo

Actividad Nº 9: El ortocentro

1. dibuja un triángulo cualquiera “∆ABC”.2. traza las tres alturas. 3. con Punto(s) de intersección halla “O”.4. mueve el triángulo. ¿Cuándo el ortocentro esta dentro o

fuera del triángulo?5. define una macro que trace el ortocentro de cualquier

triángulo.Ejercicios1. comprueba que el baricentro,

ortocentro y circuncentro de cualquier triángulo están alineados. La recta que pasa por estos tres puntos se denomina Recta De Euler.

2. si desde un punto “P”de la circunferencia circunscrita a un triángulo “ABC”, distinto de los vértices, trazamos las perpendiculares a los lados, los puntos de intersección con los lados o sus prolongaciones, “T, S y R”, están alineados. La recta que los contiene se denomina recta de Simson.

Ejercicio 1.

Ejercicio 2.

Actividad Nº 10: Construcción de triángulos

El número mínimo de elementos conocidos para que un triángulo quede definido es tres, siempre que no sean los tres ángulos. Sin embargo, ¿es siempre posible realizar la construcción?. Se verá que según el tipo de elementos conocidos existirán dos, uno o ningún triángulo. Una vez construido un triángulo con Cabri, aprovechando la capacidad dinámica del programa, se pueden modificar los valores de los datos iniciales para observar si la construcción realizada sigue siendo válida, o bien si existe mas de una solución.

Conocidos un lado y dos ángulos cualesquiera. Datos iniciales: lado “C”, ángulos “A” y “B”:

1. Activa Comentarios para crear un cuadro de texto como el que sigue

2. Escribe el valor del lado “c”, en el cuadro anterior. Para ello, dibuja un segmento, mide su longitud y arrastra este valor al cuadro de texto. Introduce con edición numérica los valores de los dos ángulos “A” y “B”

3. dibuja una semirrecta de origen “A”, y con la herramienta Transferencia de Medidas, señalando la semirrecta y después la longitud del segmento, transfiere la longitud del lado “c” sobre dicha semirrecta. El punto obtenido es el vértice “B”.

4. gira la semirrecta de origen “A”, el valor del ángulo “A”

5. dibuja una semirrecta de origen “B”, que pase por “A”. gira esta semirrecta alrededor del punto de “B” un ángulo igual al opuesto de “B” (-B). Llama “C” al punto de intersección de las dos semirrectas giradas y construye el triangulo ∆ABC.

6. Modifica los datos iniciales y comprueba que siempre (“A” + “B”) < 180º, hay solución y además es única.

Conocidos dos lados y el ángulo comprendido. Lados: b y c Ángulo: A.

1. Dibuja dos segmentos y mide sus longitudes. Sus valores representan las longitudes de los lados b y c.

2. Introduce el valor del ángulo A con edición numérica.3. Crea con comentarios un cuadro de texto en el que

aparezcan destacados estos datos.4. Construye el ∆ABC de forma similar al ejercicio anterior y

comprueba que en este caso siempre hay solución (A < 180º) y además es única.

Conocidos los tres lados: Lados: a, b y c.

1. La introducción de los datos iniciales se realiza de forma análoga a los casos anteriores.

2. Dibuja una semirrecta de origen A, y con la herramienta transferencia de medidas transfiere la medida de la longitud del segmento c sobre dicha semirrecta, para obtener el vértice B.

3. El tercer vértice del triángulo se determina como el punto de intersección de dos circunferencia de centros A y B y radios b y a, respectivamente. Para dibujar dichas circunferencias, es necesaria la herramienta compás. Esta funciona de forma similar al de un compás de dibujo, y se emplea cuando se quiere dibujar una circunferencia de radio un segmento y centro un punto distinto a los extremos del mismo. Para dibujar la circunferencia, una vez activado compás, se señalan, en primer lugar el segmento y a continuación el punto, centro de la circunferencia.

4. Dibuja el triángulo ∆ABC.5. Modifica los datos iniciales haciendo clic sobre los datos

iniciales y observa que en algunos casos no hay solución

Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Lados a y b Ángulo A.

1. Construye dos segmentos, mide sus longitudes y nómbralos a y b.

2. Activa comentarios y organiza el cuadro de datos iniciales en el que se incluyen los valores numéricos correspondientes a las longitudes de los lados y la medida del ángulo A.

3. Crea una semirrecta de origen A, y transfiere sobre ella la longitud b, para obtener el vértice C.

4. Con rotación, gira esta semirrecta alrededor del punto A, siendo el ángulo de giro el valor de A.

5. Utiliza compás para dibujar una circunferencia de centro C y radio la longitud del segmento a.

6. Determina el punto B como la intersección de la circunferencia y la semirrecta girada.

7. Dibuja el triángulo ∆ABC.8. Modifica los datos iniciales y comprueba que hay varios

tipos de soluciones.

División de un segmento según la proporción áurea.

1. Dibuja un segmento “AB” y señala su punto medio “M”.2. Llama D al punto de intersección de la circunferencia de centro

“B” y radio “BM” con la recta perpendicular al segmento que pasa por “B”.

3. une con un segmento los puntos “A” y “D” y encuentra el punto “E” de este segmento que está a la misma distancia del punto “D” que el punto “B”. para ello dibuja la circunferencia de centro “D” y radio “DB”.

4. el punto “C” intersección del segmento “AB” con la circunferencia de centro “A” y radio “AE”, es el punto que define la sección Áurea de “AB”. Compruébalo

AB/AC = AC/BC = 1,618033989 =ǿ

Ejercicios: 1. demuestra que la progresión geométrica cumple que:

Observa que cada término de la progresión se obtiene como la suma de los dos anteriores. Dicha progresión es conocida como la seria de Fibonacci.

,...,,,,1 432

32,21,1,,1 43210

construye la espiral Áurea

construya las siguientes figuras

Lugares Geométricos

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos del plano que cumplen una determinada propiedad.

Actividades

Bisectriz como lugar geométrico. Se entiende por bisectriz de un ángulo al lugar geométrico a los puntos del plano que están a igual distancia de las rectas que forman el ángulo. Para construir la bisectriz del ángulo formado por dos semirrectas como lugar geométrico has lo siguiente:

1. dibuja dos semirrectas “L1” y “L2”con punto de origen “B”.

2. activa punto Sobre Objeto y construye un punto “P” sobre la semirrecta “L1”.

3. dibuja una circunferencia de centro en B” y radio “BP”. Llama “C” al punto de contre con la semirrecta “L2”

4. Traza las rectas perpendiculares a “L1 y “L2 que pasan por “P” y“C” respectivamente. El punto de intersección de estas dos rectas “Q”, es un punto de la bisectriz.

5. activa Lugar Geométrico has clic en “Q” y luego en “P”

Parábola.

1. traza una recta “D” (directriz)2. elige punto sobre objeto y has clic sobre la recta, llámalo

“A”.3. traza una recta perpendicular a “D” por “A”.4. ubica un punto “F” (foco) en el plano que no pertenezca a

“D”.5. traza la mediatriz del segmento “FA”.6. determina el punto de corte de la perpendicular con la

mediatriz, llámalo “P”7. elige Lugar Geométrico, has clic en “P” y luego en “A”

Lugar geométrico del incentro:

Halle el lugar geométrico descrito por el incentro de un triángulo ABC inscrito en una circunferencia cuando uno de sus vértices, por ejemplo C, recorre la circunferencia.Dibuje una circunferencia (herramienta "circunferencia", 4º grupo de herramientas), dibuje un triángulo cuyos vértices estén sobre la circunferencia (herramienta "triángulo", tercer grupo de herramientas), etiquete los vértices como A, B y C ("etiqueta", penúltimo grupo). Dibuje dos bisectrices señalando el extremo, origen y extremo de los ángulos, por ejemplo: A, C, B, y, a continuación: A, B y C (herramienta "bisectriz", quinto grupo). Compruebe que todo funciona bien: mueva con la herramienta puntero sucesivamente los tres vértices y compruebe que la construcción se modifica correctamente (primer grupo)

Coloque un punto en la intersección de las dos bisectrices (herramienta "punto") y etiquételo como I. Oculte las bisectrices: . Utilice ahora la herramienta lugar geométrico (quinto grupo: ), señale primero el punto que va a dibujar el lugar, es decir el incentro I, y, a continuación, el punto del que depende el lugar geométrico, es decir C. Inmediatamente aparecerá el lugar geométrico buscado: dos arcos con extremos en A y en B (los extremos no pertenecen al lugar). Utilice ahora la herramienta "grosor" () en el último grupo y seleccione el lugar geométrico obtenido. A continuación seleccione la herramienta "color", también en el último grupo, seleccione el color verde y marque el lugar geométrico. El resultado obtenido será parecido al de la siguiente imagen:(Ahora, si lo desea, puede plantearse dónde están los centros de los arcos de forma experimental con Cabri. Después puede tratar de demostrar formalmente el resultado obtenido con Cabri)

Ejercicio: Halle el lugar geométrico descrito por el baricentro de un triángulo inscrito en una circunferencia cuando se mueve uno de sus vértices sobre la circunferencia. Se realiza de forma parecida al ejercicio anterior.Cardioide: Dibuje una curva podaría siguiendo las siguientes instrucciones. Se considera una circunferencia y sobre ella un punto fijo O. Se pide dibujar el lugar geométrico descrito por las proyecciones de O sobre las rectas tangentes a la circunferencia. (Se debe situar otro punto P sobre la circunferencia, dibujar el radio correspondiente a P, obtener la recta tangente a la circunferencia en P como recta perpendicular al radio y que pasa por P; grupo cuarto. Trace, a continuación la recta que pasa por O y es perpendicular a la tangente. El punto de corte lo llamaremos H. Utilice la herramienta "lugar geométrico" y señale primero el punto que dibuja el lugar, es decir H, y, después, el punto del que depende la construcción, P.)Las curvas obtenidas de esta forma se llaman podarias y en este caso concreto la podaria obtenida es una cardioide: