Tutorial Cabri 2

Matematica asistida por ComputadoresAsistente matematico para el CABRI

PABLO GONZALEZ*

20 de octubre de 2009

*Esp. en Educacion Matematica

1. RED GEOM PARA MAESTROS INVESTIGADORES

EN LA RESOLUCION DE PROBLEMAS GEOME-

TRICOS DEL TRIANGULO CON APOYO DE CABRI

GEOMETRE

BIENVENIDOS !

Estimados profesores

La Universidad del Magdalena y la Universidad del Norte les presenta el tutorial para el mane-jo del programa de geometrıa dinamica Cabri geometre II, el Cabri es un programa comercialdesarrollado por Texas Instruments que permite hacer geometrıa, tanto al estilo sintetico comoal euclideo.El programa permite experimentar, analizar situaciones geometricas de muy diversotipo, comprobar resultados, inferir, refutar y tambien, aunque parezca mentira, demostrar. Sepueden dibujar lugares geometricos y envolventes a familias de curvas. Permite realizar ani-maciones y construir graficas de funciones asociadas a problemas geometricos, lo que es rnuyinteresante para familiarizar a los alumnos con el concepto de funcion y con el de grafica deuna funcion.Este programa puede ser usado con efectividad en los contenidos de Geometrıa que se impartenen ensenanza primaria y media. Por las facilidades, desde el punto de vista didactico, que ofreceel mismo puede ser utilizado tanto por profesores como por estudiantes. Mediante este asistentese pueden realizar diferentes actividades docentes, entre ellas: laboratorios, trabajos extraclases,trabajos investigativos. Ademas, permite al profesor construir ejemplos para ilustrar conceptos,metodos y motivar a los alumnos hacia la solucion de problemas reales.

2 Esp. PABLO GONZALEZ

A continuacion se explican brevemente las opciones que presenta el asistente, en los 11 gruposque aparecen en su barra de herramientas. Recordamos que, a diferencia de otros asistentes, eneste caso se requiere mantener presionado el boton izquierdo del raton, tanto para ver como paraseleccionar las opciones de cada grupo. Para comenzar El programa se ejecuta con el archivoCABRI2.exe Una vez comenzado el programa aparece la ventana de presentacion y debajo lapantalla de trabajo, la cual se ilustra a continuacion.

BARRA DE HERRAMIENTAS

Compuesta de once opciones segun diseno de la plataforma de Windows, cada una desarrollauna serie de sub -opciones, a las que accederemos al mantener apretado el boton principal delmouse, deslizandolo luego hasta la herramienta deseada.

Primer grupo


“puntero ”

Sirve para seleccionar objetos ya construidos, para cambiarlos de posicion (siempre y cuandono se trate de objetos dependientes). Un objeto seleccionado se puede cambiar de color, etc.Para seleccionar objetos distintos de una sola vez hay que mantener pulsada la tecla SHIFT.Con el puntero tambien podemos seleccionar una zona rectangular, por ejemplo para copiarla ypegarla en otro archivo o bien en un programa de dibujo para incluir posteriormente la imagengeometrica en un texto.

“Giro”

Sirve para girar un objeto alrededor de un punto: hay que seleccionar el punto y luego elobjeto que queremos girar (se puede combinar con “animacion”)

“Semejanza”

Aumenta o disminuye un objeto (utiliza el centro de la figura geometrica). Si se seleccionaprimero un punto y despues una figura geometrica, por ejemplo un triangulo, la transformacionutiliza ese punto. (se puede combinar con “animacion”)

“Giro y Semejanza”

Permite una accion combinada de las dos opciones anteriores, tambien se puede actuar sobreuna figura o bien sobre una figura despues de haber seleccionado un punto.


Segundo grupo“Punto”

Punto: Dibuja un punto

Se selecciona punto y en la pantalla se marcan un puntos y obtenemos la siguiente figura.

Punto sobre objeto: Igual que “punto”pero se entiendeque el punto debe ir sobre otro objeto (por ejemplo sobre una recta).

Se traza la figura sobre la cual vamos a colocar el punto, Se selecciona punto sobre objetoy senalamos en la figura el sitio donde deseamos el punto y obtenemos la siguiente figura.

Punto de interseccion: Seleccionados dos objetos,crea el/los punto/s de interseccion de ambos.

Se selecciona punto de interseccion y senalamos los objetos a los que vamos a hallar la in-terseccion y obtenemos la siguiente figura.

Tercer grupo“Rectas”

Recta: Dibuja una recta

Se selecciona recta y en la pantalla se marcan dos puntos y obtenemos la siguiente figura.


Segmento : Dibuja segmentos a partir de puntos.

Se selecciona segmento y en la pantalla se marcan dos puntos que son los extremos del segmentoy obtenemos la siguiente figura.

Semirrecta : Dibuja una semirrecta

Se selecciona semirrecta y en la pantalla se marcan dos puntos y obtenemos la siguiente figura.

Vector : Dibuja un vector

Se selecciona vector y en la pantalla se marcan dos puntos, el primer punto es el origen o ex-tremo del vector, con el segundo punto se da la direccion del vector y obtenemos la siguientefigura.

Triangulo : Dibuja un triangulo

Se selecciona triangulo y en la pantalla se marcan tres puntos que son los vertices del trianguloy obtenemos la siguiente figura.

Polıgono : Dibuja un polıgono. Para cerrarlo hay que volver al primer punto utilizado.Se selecciona poligono y en la pantalla se trazan tantos lados como necesitemos finalizando enel punto inicial y obtenemos la siguiente figura.

Polıgono regular : Dibuja un polıgono regular: marcamos el centroy si nos movemos en sentido horario dibuja un polıgono convexo regular.Si nos movemos en sentido anti horario obtenemos un polıgono estrelladoSe selecciona poligono regular y en la pantalla al pulsar un punto (centro del poligono) apareceuna circunferencia, al pulsar otro punto, obtenemos en el punto central un numero que nosindica el numero de lados del poligono regular y obtenemos la siguiente figura.


Cuarto grupo“Curvas ”

Circunferencia : Dibuja una circunferencia a partir desu centro y utilizando otro punto

Se selecciona circunferencia y en la pantalla al pulsar un punto (centro del poligono) apareceuna circunferencia, al pulsar otro punto, obtenemos en el punto central un numero que nosindica el numero de lados del poligono regular y obtenemos la siguiente figura.

Arco : A partir de tres puntos dibuja el arco determinadopor el primero y el ultimo sobre la circunferencia determinada por los tres puntos.Se selecciona arco y en la pantalla tres puntos describen el arco correspondiente y obtenemosla siguiente figura

Conica : A partir de cinco puntos dibuja la conica que pasa por ellos.

Se selecciona conica y en la pantalla trazamos cinco puntos que describen la conica que pasapor ellos y obtenemos la siguiente figura


Quinto grupo“Construir”

Recta perpendicular : Dibuja una recta que pasa por un punto yes perpendicular a otra recta. Hay que marcar un punto y una recta (el orden no importa).

trazamos la recta u objeto al cual se le va a encontrar la perpendicular y el punto por elque debe pasar, seleccionamos recta perpendicular y senalamos la recta u objeto y el punto (encualquier orden) y obtenemos la siguiente figura

Recta paralela :Dibuja una recta que pasa por un punto y es paralelaa otra recta. Hay que marcar un punto y una recta (el orden no importa)

trazamos la recta u objeto al cual se le va a encontrar la paralela y el punto por el que debepasar,seleccionamos recta paralela y senalamos la recta u objeto y el punto (en cualquier orden)y obtenemos la siguiente figura

Punto medio: Dibuja el punto medio de un segmentoo de dos puntos.Seleccionamos punto medio,senalamos el segmento o los dos puntos de los cuales queremosobtener su punto medio y obtenemos la siguiente figura


Mediatriz :Dibuja la mediatriz de un segmento o de dospuntos.

Seleccionamos mediatriz,senalamos el segmento o el objeto del cual queremos obtener su medi-atriz y obtenemos la siguiente figura

Bisectriz: :Dibuja la bisectriz determinada por punto de un lado,vertice y punto del otro lado del angulo

Seleccionamos bisectriz , senalamos un punto en un lado del angulo, el vertice y otro puntoen el otro lado del angulo del cual queremos obtener su bisectriz y obtenemos la siguiente figura

Suma de vectores : A partir de dos vectores cualesquiera yde un punto, dibuja el vector suma aplicado a ese punto.

Compas : Dibuja una circunferencia senalando su centro y unsegmento cualquiera para utilizar su longitud como radio.

Trazamos un segmento ,Seleccionamos compas, senalamos el segmento y obtenemos una cir-cunferencia cuyo radio es la longitud del segmento dado. obtenemos la siguiente figura


Transferencia de medidas : Si hemos obtenido la medida deun segmento, o bien un numero con “edicion numerica”, o bien tenemos unnumero como resultado de un calculo realizado con la “calculadora”de Cabri,se puede transferir esa medida, (longitud) a una semirrecta; obtenemos unpunto a la distancia indicada del origen de la semirrecta. Se puede transferiruna medida a un punto para ası dibujar la circunferencia de centro el puntoy de radio la medida.Tambien se puede transferir la medida a una circunferencia senalando lacircunferencia, un punto de la misma para obtener un nuevo punto a ladistancia indicada medida sobre la circunferencia en sentido anti horario.

Lugar geometrico : Con la herramienta “lugar geometri-co”seleccionar primero el punto que describe el lugar geometrico y, despues, elpunto del que depende la construccion. Inmediatamente podemos ver el lugargeometrico correspondiente. (Ahora podemos analizar el resultado, medir,etc., y razonar o demostrar el porque de la solucion).

Redefinir objeto : Permite redefinir un objeto

sexto grupo“Transformar ”

Simetrıa axial: Permite obtener simetrıas respecto a un eje.

Trazamos el objeto al cual se le va a hallar la simetria axial, y la recta o segmento que tomamoscomo eje. seleccionamos simetria axial, senalamos el objeto y el eje . obtenemos la siguientefigura


Simetrıa central: Obtiene la simetrıa central del objeto selec-cionado respecto a un punto.

Trazamos el objeto al cual se le va a hallar la simetria central , y el punto que tomamoscomo centro. seleccionamos simetria central , senalamos el objeto y el centro . obtenemos lasiguiente figura

Traslacion : Utilizando un vector dibuja la imagen de un objetomediante la traslacion definida por el vector.

Trazamos el objeto que se va a trasladar y un vector que nos va a definir la direccion y lalongitud o distancia que se va a trasladar el objeto ,Seleccionamos traslacion, senalamos elobjeto y el vector . obtenemos la siguiente figura

Rotacion : Se utiliza para rotar objetos. Con la herramienta cor-respondiente se selecciona el objeto que se desee girar, el centro de rotacion yel angulo de rotacion (este angulo se puede escribir con “edicion numerica”)

Trazamos el objeto que se va a girar, el punto centro de rotacion y con edicion numerica onumero el angulo de giro,Seleccionamos rotacion y senalamos el objeto,el centro y el angulo degiro. obtenemos la siguiente figura

Homotecia : Obtiene la figura homotetica de una figura dada. Seselecciona el objeto, el centro de homotecia y el factor de homotecia (edicionnumerica)

Inversion :


septimo grupo“Macros ”

Estas herramientas permiten definir macros que automatizan procesos largos que se van a repetirmuchas veces. Elegimos la primera herramienta con ella seleccionamos los elementos inicialesde la construccion, a continuacion con “objetos finales”senalarıamos el resultado de la misma,por ultimo, con “definir macro”darıamos un nombre a la macro. Esta macro irıa asociada alarchivo con el que estuvieramos trabajando y estarıa disponible cada vez que se volviera a abrirel archivooctavo grupo“Comprobar propiedades ”

Estas herramientas permiten comprobar si: tres puntos estan alineados, si dos rectas son par-alelas o perpendiculares, si un punto (el primero) es equidistante de otros dos y si un puntopertenece a un objeto.


Noveno grupo“Medir ”

Distancia y longitud : Sirve para medir segmentos, longitudesentre dos puntos, perımetros de triangulos, longitudes de circunferencias yde arcos.

Area : Permite calcular areas de triangulos, polıgonos (construi-dos con la herramienta ”polıgono”), de circunferencias y de conicas.

Pendiente : Calcula la pendiente de rectas, segmentos, vectoresy semirrectas.

Medida de angulo: Sirve para medir angulos: 1) extremo,origen, extremo, o 2) angulo de una marca de angulo

Ecuacion y coordenadas : Muestra la ecuacion de una recta,circunferencia o de una conica obtenida con conica”. Tambien permite verlas coordenadas de un punto.

Calculadora : Abre una calculadora ordinaria, que disponede las funciones mas habituales. Al pulsar en el sımbolo -”se obtiene elresultado que se puede arrastrar manteniendo el raton pulsado a cualquierlugar de la pantalla. (Ese resultado se puede transferir o volver a utilizarpara otras construcciones o calculos).


Decimo grupo“Ver ”

Nombrar : Sirve para etiquetar objetos (puntos, etc.)

Texto : Se utiliza para anadir texto, generalmente explicaciones.El tamano de la ventana de texto se puede modificar con el raton (actuandosobre el borde).

Numero : Sirve para anadir numeros. Posteriormente se puedemodificar su valor pinchando con la herramienta puntero dos veces seguidassobre el numero.

Marca de angulos : Permite anadir marca de angulos senalandoextremo, vertice, extremo.

Fijar/liberar : Sirve para fijar o liberar la posicion de un punto.

Traza : Al activar la traza de un punto u otro objeto, este marcasu rastro al ser movido. Para desactivar la traza se selecciona el objeto porsegunda vez con la misma herramienta. Una traza se borra al modificar eltamano de la ventana o al pinchar sobre las barras de desplazamiento verticalu horizontal.

Animacion : : Hace que un punto u objeto se desplace indepen-dientemente del resto de la escena. Se pincha sobre el punto y se anade unmuelle en la direccion contraria a la de la fuerza instantanea que queremosque actue sobre el objeto. La longitud del muelle es proporcional a la de lafuerza. Para aumentar o disminuir la velocidad se utilizan las teclas “+.o “-”.La animacion se interrumpe pinchando en cualquier lugar.


Animacion multiple : Igual que la anterior pero permite actuaren varios lugares y comienza la animacion cuando pulsamos “Intro”

Undecimo grupo“Dibujo ”

Ocultar/Mostrar : Permite ocultar objetos. Generalmente se utilizapara ocultar elementos que han servido para realizar la construccion y quepor ello, no pueden ser eliminados.

Color : Seleccionada la herramienta elegimos color y selec-cionamos el objeto. Para anular la accion se repite la accion con el mismocolor.

Rellenar : Seleccionada la herramienta elegimos color y selec-cionamos el objeto. Para anular la accion se repite la accion con el mismocolor.

Color del texto : Seleccionamos un color y despues el texto cuyocolor queremos cambiar

Espesor : Permite cambiar el grosor del contorno de un objeto.

Punteado : selecciona un modelo de punteado y despues el objetoque queramos modificar.

Aspecto : Permite modificar la apariencia de: puntos, marcas deangulo, segmentos, ejes de coordenadas (cartesianos y polares .


Ocultar ejes/Mostrar ejes : Permite anadir unos ejes de coor-denadas. Se pueden trasladar moviendo el origen, girar en conjunto girandoel eje de abscisas, y el eje de ordenadas se pude girar independientemente.La escala se puede cambiar arrastrando la unidad y cambiandola de lugar.La herramienta “transferencia de medidas”se puede utilizar para transferirmedidas a los ejes.

Nuevos ejes :Permiten anadir otros ejes de coordenadas

Rejilla :Se selecciona el sistema de ejes coordenados y muestrala cuadrıcula. Para volver a ocultarla basta seleccionar uno de sus puntos ypulsar “supr.”

Practicas en generalUna vez familiarizados con las opciones que brinda este asistente, vamos a pasar de manerainmediata a desarrollar las habilidades en su utilizacion. Con tal intencion, proponemos que serealicen los siguientes ejercicios.Elementos y movimientos

a) Dibujar una recta y moverla.

b) Trazar un segmento y moverlo hasta que corte la recta.

c) Marcar un punto sobre el segmento y el punto de interseccion de la recta con el segmento.

d) Dibujar dos circunferencias con centros en los puntos marcados

e) Desplazar el segmento hasta que no tenga interseccion con la recta. Despues volver a laposicion anterior en que si tiene interseccion.

f) Intentar desplazar los centros de las circunferencias.(ver fig. 1)

fig.1

Circunferencias y movimientos

a) Dibujar una circunferencia. Modificar el tamano.

b) Dibujar otra circunferencia con el centro en la circunferencia anterior. Dibujar una terceracircunferencia con la condicion de que tenga un punto sobre la primera.

c) Animar los puntos que se han marcado sobre la primera circunferencia.


transferencia de medidas

a) Dibujar un segmento. Medirlo.

b) Marcar un punto. Transferir la medida del segmento anterior a este punto.

c) Dibujar una circunferencia y marcar un punto sobre ella. Transferir la medida del primersegmento a la circunferencia a partir del punto marcado sobre ella. Construir un arco sobrela circunferencia cuya amplitud sea la medida transferida.

d) Modificar la longitud del primer segmento y observar el efecto producido.

e) Modificar el tamano de la circunferencia y observar el efecto.(ver fig.2)

fig.2

Triangulos

a) Dibujar un triangulo ABC (dar nombre a cada punto marcado).

b) Desplazar el triangulo, los vertices y las etiquetas.

c) Marcar un punto exterior a la region definida por el triangulo. Trazar una paralela y unaperpendicular a uno de sus lados que pase por ese punto.

d) Mover el punto. Borrarlo despues

e) Dibujar la mediatriz de AB.

f) Dibujar la bisectriz de ∠CAB

g) Desplazar A. Ocultar la bisectriz

h) Hacer aparecer la bisectriz y ocultar la mediatriz

i) Desplazar los otros dos vertices y observar lo que pasa.(ver fig.3)

fig.3


problemas

1. Pedro y Pablo viven en dos casas separadas en el campo. Cada dıa se citan en el puntomedio del camino recto que une sus casas y pasean por un camino que se encuentra siemprea la misma distancia de las dos casas. Hacer un diseno con Cabri que represente estasituacion. Desplazar los puntos que representan a las casas y observar como se modificala construccion.

2. a) Dibujar un triangulo (utilizar tres segmentos para sus lados). Construir otro cuyoslados sean iguales a el (utilizar la herramienta compas). Cuando se haya construidointentar desplazar los vertices de estos dos triangulos(ver fig.4 )

fig.4

b) Hacer lo mismo con un cuadrilatero.

3. a) Dibujar un cuadrilatero. Construir otro cuadrilatero que tenga los vertices en lospuntos medios del primero. Investigar propiedades.

b) Investigar propiedades que se verifiquen en cuadrilateros circunscritos, es decir enaquellos cuadrilateros que tengan sus cuatro vertices sobre una circunferencia.

Triangulos en los Puntos Medios

a) Dibujar un triangulo cualquiera

b) Dibujar el triangulo que se forma uniendo los puntos medios de sus lados

c) Investigar relaciones entre los triangulos que se forman

d) Mostrar los ejes.

e) Construir la macro“triangulo en los puntos medio“ y usarla para una secuencia de triangulosen puntos medios (ver fig. 5)

fig.5


CONSTRUCCIONES GEOMETRICASTriangulo Rectangulo

a) Dibujar un segmento AB.

b) Construir un triangulo rectangulo con el angulo recto en A.

c) Verificar que el triangulo sigue siendo rectangulo aunque se desplace el rectangulo inicial ocualquiera de sus vertices.

Cuadrado

a) Dados dos puntos A y B, dibujar un cuadrado en el que esos puntos sean dos verticescontiguos.

b) Cuando se haya construido borrar todas las lıneas accesorias v dejar solamente el cuadradoy sus vertices.

c) Desplazar cada uno de los vertices y asegurarse de que sigue siendo un cuadrado (hay verticesque no se pueden mover)

d) Investigar otros procedimientos para construir el cuadrado (utilizar otras herramientas delos menus de Cabri Geometry II)

e) Hacer una nueva construccion en la que A y B sean los vertices opuestos del cuadrado.

Macro del CuadradoConstruir la macro cuadrado.mac que realice un cuadrado a partir de dos puntos:

a) Objetos iniciales: los puntos A y B

b) Objetos finales: el polıgono cuadrado.

c) Definir macro: cuadrado

d) Grabar como: cuadrado.mac

e) Comprobar que funciona correctamente.

Obtencion del numero π

a) Dibujar una circunferencia. Medir su longitud.

b) Trazar una recta que pase por el centro de la circunferencia. Marcar el diametro de lacircunferencia, y ocultar la recta.

c) Activar la calculadora y obtener el resultado del cuociente entre la longitud de la circunfer-encia y el diametro.

d) Activar el menu Opciones/Preferencias para mostrar este resultado con el maximo de cifrasdecimales.


CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS FUNDAMENTALESElabore macros sobre las siguientes construcciones:

1. Trazar una recta perpendicular en el punto medio de un segmento.

2. Trazar una recta perpendicular a un segmento por un punto cualquiera situado sobre el.

3. Trazar una recta perpendicular a un segmento desde un punto exterior.

4. Trazar una recta paralela a un segmento por un punto exterior.

5. Construir un angulo que mida 60◦ usando regla y compas.

6. Construir un angulo que mida 45◦ usando regla y compas.

7. Trazar la bisectriz de un angulo dado.

8. Determinar el centro de una circunferencia dada.

9. Construir la circunferencia que pasa por tres puntos no alineados.

10. . Dividir un segmento de recta en n partes iguales.

A continuacion presentamos en detalle los pasos para la construccion de cada una de las activi-dades descritas anteriormente.

Actividad N◦1:Trazado de una recta perpendicular en el punto medio de un segmento

1. Trace el segmento AB

2. Con el compas teniendo como radio la longitud de AB haga centro en los puntos A y Bsucesivamente y trace dos circunferencia que se corten en los puntos C y D.

3. Trace la recta determinada por los puntos C y D. La recta CD se denomina mediatriz delsegmento AB.

4. Determine el punto de interseccion de la recta CD con el segmento AB. Tal punto deinterseccion es el punto medio del segmento AB.

Actividad N◦2:Trazado de una recta perpendicular a un segmento por un punto cualquierasituado sobre el

1. Trace el segmento AB.

2. Marque un punto C sobre el segmento AB.

3. Con el compas, haga centro en el punto C y, con una abertura arbitraria, trace dos arcosque corten al segmento AB en los puntos D y E.

4. Trace la mediatriz del segmento DE.


Actividad N◦3:Trazado de una recta perpendicular a un segmento desde un punto exterior


2. Marca un punto C exterior al segmento AB.

3. Con el compas, haga centro en el punto C y trace un arco que corte al segmento AB enlos puntos D y E.

4. Con el compas, haga centro en los puntos D y E sucesivamente y trace arcos que se cortenen el punto F.

5. Trace la recta CF.

Actividad N◦4:Trazado de una recta paralela a un segmento por un punto exterior.


2. Marca un punto C exterior al segmento AB.

3. Trace la recta perpendicular L al segmento AB desde el punto C.

4. Trace la recta perpendicular L’ a la recta L en el punto C.

5. Verifique que la recta L’ y el segmento AB son paralelos.

Actividad N◦5:Construccion de un angulo que mida 60◦ usando regla y compas

1. Trace una semirrecta AB.

2. Con el compas y considerando una abertura igual a la longitud AB, haga centro en lospuntos A y B sucesivamente y trace arcos que se cortan en el punto C.

3. Trace la semirrecta AC.

4. Marque el angulo ∠BAC.

5. Mida el angulo ∠BAC.

Actividad N◦6:Construccion de un angulo que mida 45◦ usando regla y compas

1. Trace una semirrecta AB.

2. Trace una recta L perpendicular a la semirrecta AB en el punto B.

3. Con el compas, haciendo centro en B y considerando una abertura igual a la longitud AB,trace un arco de circunferencia que corte a la recta L en el punto C.

4. Trace la semirrecta AC

5. Marque el angulo ∠CAB.


6. Mida el angulo ∠CAB.

Actividad N◦7:Trazado de la bisectriz de un angulo dado

1. Trace el angulo de vertice O

2. Con el compas, haga centro en el punto O y trace un arco que corte a tal angulo en lospuntos A y B.

3. Haga centro en los puntos A y B y trace dos arcos que se corten en el punto C.

4. Trace la semirrecta OC.

Actividad N◦8:Localizacion del centro de una circunferencia dada

1. Trace una circunferencia,

2. Ubique tres puntos distintos cualesquiera en tal circunferencia: A, B y C.

3. Trace los segmentos AB y BC.

4. Trace la mediatriz del segmento AB.

5. Trace la mediatriz del segmento BC.

6. Determine el punto de interseccion de estas mediatrices. Tal punto de interseccion es elcentro de la circunferencia.

Actividad N◦10:Division de un segmento de recta en n partes iguales


2. Trace una semirrecta con origen en el punto A y que no este contenida en el segmentoAB.

3. Con el compas, haga centro en A y con una abertura arbitraria, trace un arco de circun-ferencia que corte a tal semirrecta en el punto 1. Utilizando la misma abertura de compas,haga centro en 1 y trace un arco de circunferencia que corte a la semirrecta en el punto2. Ası, sucesivamente, hasta trazar n divisiones en tal semirrecta.

4. Enumere los puntos de corte del 1 al n.

5. Una el punto n con el punto B.

6. Trace rectas paralelas al segmento nB que pasen por los puntos n - 1 n - 2, ..., 2, 1 .

7. Determine los puntos de corte de estas rectas paralelas con el segmento AB.


EXPLORACIONA continuacion se muestra como podemos emplear el asistente para explorar en geometrıa

Tarea N◦1: Interseccion de dos rectas

1. Traza dos rectas que se cortan.

2. Marca los angulos opuestos por el vertice.

3. Mide las amplitudes de estos angulos.

Explora de la siguiente forma:

a) Mueve una de las rectas y analiza que sucede con las amplitudes de los angulos opuestospor el vertice. ¿A que conclusiones puedes llegar ?

b) Marca los angulos adyacentes.

c) Mide las amplitudes de estos angulos.

d) Halla la suma de las amplitudes de estos angulos.Explora de la siguiente forma:

a) Mueve una de las rectas y analiza que sucede con la suma de las amplitudes de los angulosadyacentes. ¿A que conclusiones puedes llegar ?

Tarea N◦2: Relacion entre dos rectas y una secante a ellas

1. Traza dos rectas cualesquiera y una que las corte (recta secante).

2. Marca los angulos conjugados, alternos y correspondientes.

3. Mide las amplitudes de estos angulos.

4. Halla la suma de las amplitudes de los angulos conjugados.


a) Mueve una de las dos rectas trazadas (no la secante) y analiza que sucede con las amplitudesde los angulos alternos, correspondientes y con la suma de los angulos conjugados, cuandolas rectas tienden a ser paralelas. ¿A que conclusiones puedes llegar ?

Tarea N◦3: Propiedad de la mediatriz de un segmento

1. Traza segmento y determina su punto medio

2. Traza una recta perpendicular a este segmento que pase por el punto medio.

3. Asocia un punto a la recta.

4. Determina las distancias (longitudes) de este punto a los extremos del segmento


5. Haz lo mismo pero para un punto que esta fuera de la mediatriz.


a) Mueve una de las dos rectas trazadas (no la secante) y analiza que sucede con las amplitudesde los angulos alternos, correspondientes y con la suma de los angulos conjugados, cuandolas rectas tienden a ser paralelas. ¿A que conclusiones puedes llegar ?


a) Mueve el punto a lo largo de la recta y analiza que sucede con las longitudes de los segmentos.¿A que conclusiones puedes llegar ?

Tarea N◦4: Relacion entre arco y angulo central en una circunferencia

1. Construye una circunferencia y determina dos puntos sobre ella.

2. Marca el angulo central y el arco correspondiente, determina sus amplitudes.

3. Compara dichas amplitudes.

Explora de la siguiente forma

a) Mueve uno de los puntos del arco a lo largo de la circunferencia y analiza que sucede con lasamplitudes del angulo central y del arco correspondiente. ¿A que conclusiones puedes llegar?

Tarea N◦5: Medianas en un triangulo

1. Construye un triangulo y un segmento cuyos extremos sean un vertice del triangulo y unpunto del lado opuesto (definir en este momento la seviana).

2. Construye el punto medio del segmento.


3. Mueve el extremo de segmento que esta en el lado del triangulo hasta hacerlo coincidircon el punto medio (definir en este momento mediana de un triangulo).

4. Construye las otras dos medianas del triangulo. ¿Que relacion existe entre ellas? (Definirel punto de interseccion de las medianas).

Explora de la siguiente forma

a) Mueve uno de los vertices del triangulo y analiza que sucede con el baricentro. ¿A queconclusiones puedes llegar?(puedes analizar la situacion cuando el triangulo es isosceles yequilatero)? ¿El punto es siempre interior al triangulo?

b) Mide las distancias entre los vertices del triangulo y el baricentro, ası como las longitudes delas medianas. Determina las razones. ¿A que conclusion puedes llegar ?. Explora moviendouno de los vertices. Enuncia la propiedad encontrada.


Tarea N◦6: Alturas en un triangulo

1. Construye un triangulo y traza una recta perpendicular por un vertice del triangulo allado opuesto (Definir en este momento la altura de un triangulo).

2. Construye las otras dos alturas del triangulo. ¿Que relacion existe entre ellas? (Definir elpuntode interseccion de las alturas).Explora de la siguiente forma:

3. Mueve uno de los vertices del triangulo y analiza que sucede con el ortocentro. ¿A queconclusiones puedes llegar?(puedes analizar cuando el triangulo es isosceles y equilatero)?¿Y si es rectangulo el triangulo que observas?

4. ¿El punto es siempre interior al triangulo?

5. ¿Existira alguna propiedad similar al baricentro?

Tarea N◦7: Mediatrices en un triangulo

1. Construye un triangulo ABC y las mediatrices de dos lados del triangulo. ¿Que relacionexiste entre estas dos rectas?Explora de la siguiente forma:

a) ¿La tercera mediatriz pasa siempre por el punto de interseccion de las otras dos?

b) ¿Este punto de interseccion G es siempre interior al triangulo? (Definir el punto deinterseccion de las mediatrices)

c) La circunferencia de centro G y radio GA, ¿contiene siempre a los otros vertices?

d) ¿Que se puede decir de las distancias de G a los vertices del triangulo?.

e) Elabora una conjetura relativa a las mediatrices de un triangulo.

f) Describe como construir la circunferencia que pasa por los vertices de un triangulo.

NOTA: Hacer la misma tarea, pero relativa a las bisectrices del triangulo

Tarea N◦8: Suma de los angulos interiores de un triangulo

1. Construye un triangulo.

2. Mide las amplitudes de sus angulos interiores. ¿Cual es su suma?Explora de la siguiente forma:

a) Mueve uno de los vertices del triangulo y analiza que sucede con la suma. ¿A queconclusiones puedes llegar ?

b) Enuncia la propiedad encontrada.

Tarea N◦9: Propiedad del angulo exterior



2. Mide las amplitudes de sus angulos interiores y la amplitud de un angulo exterior.

3. ¿Que relacion existe entre la amplitud del angulo exterior y la suma de las amplitudes delos angulos interiores no adyacentes a el?Explora de la siguiente forma:

a) Mueve uno de los vertices del triangulo y analiza que sucede con la suma. ¿A queconclusiones puedes arribar?


Tarea N◦10: Desigualdad triangular


2. Mide las longitudes de sus lados.

3. Determina la suma de dos de estas longitudes y comparala con la tercera.Explora de la siguiente forma:

a) Mueve uno de los vertices del triangulo y analiza que sucede con la suma y el tercerlado. ¿A que conclusiones puedes arribar?


Tarea N◦11: Relacion entre lados y angulos en un triangulo


2. Mide las amplitudes de sus angulos interiores y las longitudes de sus lados.


a) Mueve uno de los vertices del triangulo y analiza que sucede con los angulos y los ladosdel triangulo. ¿A que conclusiones puedes arribar?

b) Enuncia las propiedades encontradas.

Tarea N◦12: Suma de los angulos interiores de un cuadrilatero

1. Construye un cuadrilatero.

2. Mide las amplitudes de sus angulos interiores. ¿Cual es suma?Explora de la siguiente forma:

a) Mueve uno de los vertices del cuadrilatero y analiza que sucede con la suma. ¿A queconclusiones puedes arribar?



CONSTRUCCION DE CONICASElipse

Para construir la elipse seguir los siguientes pasos:

1. Traza una circunferencia con centro en un punto F1 y radio cualquiera

2. Ubica un punto (F2) en el interior de la circunferencia y toma un punto Q sobre lacircunferencia.

3. Traza los segmentos F1Q Y F2Q.

4. Traza la mediatriz de F2Q,y llama P al punto de interseccion entre esta mediatriz y elsegmento F1P

5. halla el lugar geometrico del punto P cuando Q se mueve.

ParabolaPara construir la parabola seguir los siguientes pasos:

1. Traza una recta y un punto F que no este en la recta

2. Ubica un punto Q arbitrario sobre la recta y traza la recta perpendicular que pasa por Qa la recta

3. Traza la mediatriz entre los puntos F y Q. Determina el punto de interseccion entre lamediatriz y la recta perpendicular, llamalo P.

4. halla el lugar geometrico de P, cuando Q se mueve

HiperbolaPara construir la hiperbola seguir los siguientes pasos:

1. Traza dos puntos F1 y F2

2. En cualquiera de ellos (Ej. F2) construye una circunferencia de radio arbitrario

3. Ubica un punto Q sobre la circunferencia y traza la recta que pasa por Q y F2, ademastraza el segmento F1Q

4. Traza la mediatriz del segmento F1Q, llama P el punto de interseccion de la mediatriz yla recta F2Q

5. Halla el lugar geometrico definido por P, cuando Q se mueve sobre la circunferencia

PROBLEMA

1. Dado un punto Q sobre una circunferencia con centro en F1 y un punto P exterior aella, determinar el lugar geometrico que genera la interseccion de la recta que pasa porP y Q con la recta que pasa por F1 y el simetrico de Q con respecto a la recta F1P ,cuando Q se mueve.


2. Antes de realizar el lugar geometrico, halla el simetrico del centro de la circunferencia(F1) y llamalo 2r. Explora que sucede cuando el punto P:

a) Se ubica a una distancia menor de 2r

b) Se ubica a una distancia igual a 2r

c) Se ubica a una distancia mayor a 2r

d) Tiende al infinito

PROCEDIMIENTO PARA CONSTRUIR LA GRAFICA DE FUNCIONES

Grafica De La Funcion: y = mx+ bPara construir la grafica de y = mx+ b, procedemos de la siguiente manera:

1. Definicion del dominio de la variable xSe recomienda en esta actividad restringir el dominio de la variable x para efectos decontrolar la visualizacion en la pantalla de las graficas deseadas.

a) Activa los Ejes de coordenadas rectangulares

b) Traza un segmento sobre el eje X de extremo a extremo de la pantalla, el cual representala restriccion del dominio de la variable y coloca un punto A sobre el.

2. Expresion algebraica de la funcion de primer grado:

a) Con Edicion numerica escribe los numeros 1 y 0.5, que seran los valores tomadosinicialmente como la pendiente m y el intercepto b respectivamente.

b) Crea en la parte izquierda de la pantalla un Comentario y=mx+b y ademas m=1 y b=0.5

3. Trazado de la funcion

a) Utilizando la herramienta Ecuacion y coordenadas obtener las coordenadas del puntoA.

b) Utilizando la herramienta Calcular determina el valor de y correspondiente al valor dela abscisa del punto A.

c) Con la herramienta Transferencia de medidas transferir el resultado de y obtenidosobre el eje de las ordenadas. Esto nos lleva a un punto B sobre el eje Y.

d) Traza rectas perpendiculares a los ejes coordenados por los puntos A y B para crearel punto correspondiente P(x, mx+b), que sera el punto de interseccion entre estasrectas. Para mejor visualizacion Oculta las rectas perpendiculares.

e) Halla el Lugar geometrico de los puntos P cuando el punto A toma valores en eldominio elegido.

4. Exploracion de la grafica de la funcion.


a) Para modificar la ecuacion coloca el cursor sobre uno de los parametros m y b ycambia sus valores y observa los efectos producidos en la grafica de la recta al variarestos parametros.

b) Puedes completar el ejercicio dandole Animacion al punto A sobre el segmento inicial(dominio) para observar el recorrido del punto P sobre la grafica.

EXTENSION DE LA ACTIVIDADSe puede aprovechar esta construccion extendiendola al analisis del comportamiento de rectasparalelas y perpendiculares.EJERCICIOS

1. a) Realiza un procedimiento analogo al anterior para analizar la grafica de la funcioncuadratica f(x) = a(x−b)2+c teniendo en cuenta que hay que preparar tres Edicionesnumericas para los coeficientes a, b y c.

b) Varıa el coeficiente a manteniendo fijo los otros dos parametros b y c. Realiza elmismo procedimiento con b y c.

c) ¿Que efectos se producen en la grafica al variar los parametros?

2. Repite el procedimiento anterior para las funciones:

a) Cubica f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d

b) Exponencial f(x) = kebx

c) Valor absoluto f(x) = k.|x+ a|+ b

d) Seno f(x) = a.Sen(x+ b) + c


Tutorial Cabri 2

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