FUNDAMENTOS TERICOSENFOQUE ACTUAL DE LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS Desde la didctica de las ciencias se ha subrayado la diferencia entre un mero ejercicio y un problema (Gil y Martnez-Torregosa 1983; Gil y colaboradores, 2002): en el caso del ejercicio, el sujeto conoce desde el principio el modo en que debe ser resuelto; en el caso del problema, no- Si el sujeto resolutor, tras la lectura del enunciado, activa representaciones almacenadas en su memoria suficientemente completas como para integrar simultneamente los datos, la demanda y el procedimiento de unos a otros(es decir, para plantear, resolver y responder) entonces se trata de un ejercicio. Pero si para ello el sujeto requiere realizar inferencias para completar representaciones parciales activadas en su memoria, entonces se trata de un problema(el sujeto no conoce cmo dar respuesta a las preguntas desde el principio).Otros autores (Prez F., 1995; Labarrere A., 1994), hacen referencia al desconocimiento de la va de solucin en los problemas para que se le pueda considerar como tal. Aunque esta posicin en principio resulta apropiada, se debe tener en cuenta que existen muchas situaciones en las que la persona desconoce el camino o va de solucin y que no resultan problemas para l pedaggicamente hablando, an suponiendo que desee resolverlo, dado que no cuenta con las posibilidades personales (cognitivas e instrumentales) para ello. Los autores proponen que, para que un problema cumpla su funcin pedaggica deber estar, adems ubicado en la zona potencial de desarrollo del sujeto que lo trata de resolver, o sea, que con determinados niveles de ayuda pueda resolver. Cuando los nexos, relaciones ,son accesibles directamente a la persona se est haciendo referencia al concepto de ejercicio, o sea el ejercicio demanda del sujeto la utilizacin de instrumentaciones y conocimientos que caen en el rea de su zona actual de desarrollo, cuando son accesibles ,solamente ,de manera indirecta o sea, precisando ayuda, se est haciendo referencia al concepto de problema .De manera que el problema debe caer ,para considerarse didcticamente como tal, dentro de la zona potencial de desarrollo, de lo contrario, no cumplira funcin alguna pues al irse fuera de sus posibilidades se torna insoluble por el sujeto.Analicemos:Situaciones Problemticas Ejercicios de aplicacin

Implica un proceso de descubrimiento de estrategias para llegar al resultado Se conoce de antemano el mtodo para llegar al resultado.

Son el marco de aplicacin de cualquier bloque temtico de la matemtica geometra, medida, clculo, etc.Son tiles para aplicar una solucin matemtica previamente aprendida: problemas de adicin, divisin, etc.

Supone una fuerte inversin de energas y afectividad .A lo largo de la resolucin se suelen experimentar sentimientos de: ansiedad, confianza, frustracin , entusiasmo, alegra, etc.No suele implicar la afectividad.

Implica PENSAR.Implica MECANIZAR

Ejemplo: Un lechero dispone nicamente de dos jarras de 3 y 5 litros de capacidad para medir la leche que vende a sus clientes cmo podr medir cuatro litros sin desperdiciar la leche? Buscando agua, una rana cay en un pozo de 30m de hondo. En su intento de salir, la obstinada rana consegua subir 3 metros cada da, pero por la noche cuando dorma, resbalaba y bajaba 2 metros. Podras decir cuntos das tard la rana en salir del pozo? Ejemplo: Un rbol mgico duplica cada da su altura. Si hoy mide 2 metros cunto medir maana?

Calcular :22 - 10 + 5

OBJETIVOS Y HABILIDADES A DESARROLLAR EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS.Al empezar su escolaridad, los estudiantes, ya poseen cierto nivel de desarrollo de sus estructuras cognitivas, llevan al aula una considerable experiencia matemtica ,a partir de la cual pueden seguir avanzando en la construccin de su conocimiento lgico-matemtico, hacer conjeturas y elaborar modelos matemticos a partir de situaciones problemticas de su realidad.

La resolucin de problemas, permitir que el estudiante manipule los objetos matemticos, active su propia capacidad mental, ejercite su creatividad, reflexione y mejore un proceso de pensamiento. Esto exige que los docentes planteen situaciones que constituyan desafos, de tal manera que el estudiante observe, organice datos, analice, formule hiptesis, reflexione ,experimente, empleando diversas estrategias ,verifique y explique las estrategias utilizadas al resolver el problema ;es decir, valorar tanto los procesos como los resultados. La capacidad para plantear y resolver problemas, dado su carcter integrador, posibilita el desarrollo de otras capacidades, la conexin de ideas matemticas, la interaccin con otras reas con los intereses y experiencias de los estudiantes (DCN 2009).A licia Cofre y Lucila Tapia, consideran los siguientes objetivos y habilidades a desarrollar en la resolucin de problemas:

OBJETIVOS:

Conocer conceptos matemticos bsicos.

Comprender el significado de la operatoria.

Desarrollar habilidades intelectuales.

Fomentar una imagen positiva de s mismo.

Desarrollar hbitos de pensamiento creador independiente.

Desarrollar la comprensin de simbologa y lenguaje verbal.

Relacionar simbologa y lenguaje verbal.

Adquirir mtodos de recoleccin, organizacin e interpretacin de informacin.

HABILIDADES: Clasificar

Seriar, jerarquizar.

Relacionar, combinar, comparar.

Analizar, formular preguntas.

Organizar

Experimentar

Planificar. Transferir.

Generalizar.

Simbolizar.

Comunicar, usar lenguaje Matemtico.

Pronosticar, estimar.

Inventar, crear, descubrir.

Valorar, evaluar.

Ejemplo 1: (Objetivo: conocer concepto de paralelogramo. Habilidad: Clasificar, experimentar)Puede enfocarse una clase que trate las caractersticas de los paralelogramos desde una perspectiva de resolucin de problemas. El profesor que cuenta con una serie de cuadrilteros como los de la figura, hace que los nios descubran el criterio que sigue el profesor para ordenar las figuras .Un posible criterio es colocar todos los paralelogramos dentro de uno de los crculos y todos los no paralelogramos dentro del otro.

A su vez, cada uno de los nios toma una figura y decide en cual de los crculos colocarla. El profesor va diciendo si o no a medida que cada alumno coloca una figura. A lo largo de todo el proceso, se pide a los nios que piensen en las caractersticas comunes a las figuras de cada crculo, una vez situadas todas las figuras, se discuten las caractersticas comunes .El resultado es que los nios aprenden a definir los paralelogramos y enunciar sus caractersticas en el contexto de una actividad que los incita a pensar.Ejemplo 2: (Objetivo: Comprender el significado de la sustraccin. Habilidad: Relacionar, combinar,generalizarr.)Igualmente puede presentarse insertas en situacin de resolucin de problemas las operaciones bsicas de resta.Se pide que cada nio ponga trece cuentas pequeas (garbanzos, etc.) debajo de una mano y, sin mirar ,saque a la vista 6 de ellas .El profesor pregunta :puedes saber cuntas quedan todava debajo de la mano?.Se invita a los nios a poner en comn sus estrategias resolutotas .Es posible que se den las siguientes respuestas:Aqu fuera hay seis; seis ms seran doce, as que tienen que quedar siete.

Aqu tienes seis. Cuatro ms hacen diez y tres ms hacen trece; cuatro y tres son siete .Quedan siete. La clase discute entonces la resolucin de problemas de sustraccin a travs de ir sumando CLASIFICACIN DE SITUACIONES PROBLEMTICAS.Hay diversos criterios para clasificar las situaciones problemticas. Desde la forma de presentacin de los problemas hasta el tipo de habilidades que desarrolla.

Al respecto, presentamos una clasificacin que considera la naturaleza y el contexto del problema como elementos para efectuar una diferenciacin (M. Vernica Daz y lvaro Poblete).Segn sta, los problemas son rutinarios y no rutinarios segn su naturaleza, y, por su contexto, un problema ser real, realista, fantasista o puramente matemtico.A. Problemas rutinarios: Son similares a los desarrollados durante el curso de instruccin, donde el alumno efecta una serie de secuencias que involucra una comprensin de conceptos y algoritmos para llegar a la solucin dada. Segn su contexto, hacemos la siguiente clasificacin de estos problemas:1. Problema de contexto real: si se produce efectivamente en la realidad y compromete al alumno a actuar.Ejemplo: Mide con un hilo el dimetro y la longitud de la circunferencia de tres monedas de distinto tamao. Establece la razn entre el dimetro y la longitud de la moneda .Qu puedes concluir de estas razones?

2. Problema de contexto realista: si es susceptible de producirse realmente. Se trata de una simulacin de la realidad o de una parte de la realidad.Ejemplo:Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias, durante 6 das, ha lavado 1200 kilos de ropa .Cuntos kilos de ropa lavar en 20 das trabajando 10 horas diarias?. 3. Problema de contexto fantasista: si es fruto de la imaginacin y est sin fundamento en la realidad.Ejemplo:Se han trado a la Tierra dos habitantes del planeta Kripton, Superman y Supernia. Para que a ambos no les afecte la kriptonita, necesitan tomar diariamente una cantidad de lquido equivalente a un noveno de su peso. Si Superman en 3 das consumi 21 litros de lquido, cunto lquido necesita tomar en una semana?4. Problema de contexto puramente matemtico: si hace referencia exclusivamente a objetos matemticos (nmeros, relaciones y operaciones aritmticas, figuras geomtricas, etc.)Ejemplo:Si los lados de dos cuadrados estn en la razn de1:3,en qu razn estn sus permetros?B. Problemas no rutinarios:Una caracterstica de estos problemas es que el alumno no ha intentado previamente el problema o uno similar a ste. Un problema entonces es no rutinario cuando no basta con aplicar una regla, sino que a fuerza de bsqueda y de intuicin hay que llegar a elaborar una solucin recurriendo al conjunto de conocimientos y experiencias anteriores.EjemploPlantea dos situaciones de la vida diaria que sean inversamente proporcionales y determina, en cada caso, el valor de la constante de proporcionalidad. Algunos autores al clasificar los problemas los han distinguido en abiertos y cerrados tomando como base de la clasificacin la calidad de respuestas o vas de solucin que admiten o exigen (ya sea de carcter lgico o creativo) (Bertoglia R, 1990, Gil P, 1997),Este ltimo refiere que en los problemas cerrados ,la solucin se deduce en forma lgica a partir de la informacin que aparece en el planteamiento del problema y que resulta suficiente para encontrar la respuesta correcta. Segn plantea, el resolutor dispone de toda la informacin, solo necesita integrarla aplicando los recursos de la lgica; por ello suelen llamarse problemas de inferencia lgica. En los abiertos, plantea, que el resolutor necesita ir mas all de la informacin recibida ,utilizndola de manera distinta y/o modificando los significados atribuidos a los elementos del problema .Los recursos lgicos resultan ahora insuficientes ,hay que apelar a la creatividad.FORMAS DE PRESENTACIN DE LOS PROBLEMAS Un aspecto fundamental en la resolucin de problemas es la forma de presentacin de los problemas. Esto es vlido para todos los niveles ya que una adecuada presentacin, afirman Alicia Cofr y Lucila Tapia, permitir al estudiante:

Sentir una motivacin para resolver el problema.

Comprender y retener el concepto relacionado con el problema por resolver

Aprender cada vez ms acerca de cmo resolver problema.En la forma de presentacin de los problemas deberan incluirse tambin tablas de datos, informacin con apoyo grfico, esquemas, etc. Los problemas aritmticos verbales no slo contienen informacin numrica, sino que tambin contienen un texto escrito, es decir, tienen un contenido literal o verbal, una narracin.Una persona que intenta resolver un problema aritmtico verbal requiere de los siguientes tipos de conocimientos: a) conocimiento lingstico: Es el conocimiento de la lengua en la que est redactado el problema a resolverse. Un ejemplo de este tipo de conocimiento es el reconocer las palabras, determinar cules son los nombres o sustantivos. b) Conocimiento semntico: Es el conocimiento de los hechos acerca del mundo tales como: 120 minutos son 2 horas, o que los ros tienen corrientes que van ro arriba y ro abajo. c) Conocimiento esquemtico: Es el conocimiento de los tipos de problemas, por ejemplo si es un problema de velocidad, densidad, tiempo etc. d) Conocimiento operativo: Es el conocimiento de cmo llevar a cabo la secuencia de operaciones, como el procedimiento de una multiplicacin (Mayer,1986).Para que el enunciado sea traducible al lenguaje aritmtico, es preciso realizar un trabajo sobre el texto del problema que lo transforme en un nuevo texto en el que se hagan explcitos los elementos que han de intervenir en cada una de las traducciones elementales y que muestre la manera como stas han de enlazarse en la expresin aritmtica. Veremos, adems que este texto intermedio, se pueda construir con ms facilidad en un lenguaje grfico que es la estructura del problema.SELECCIN DE PROBLEMAS.Una seleccin de problemas que pretenda desarrollar habilidades matemticas debe caracterizarse por:

Incluir un amplio rango de estrategias de resolucin y formas de presentacin de los problemas.

Fomentar variadas formas de comunicacin tanto del proceso de resolucin como del resultado obtenido.

Incentivar la extensin del problema al estudio de temas que estn relacionados con el estudiante.

Sugerir el uso de variadas formas de trabajo y de estrategias en la resolucin de un mismo problema.

Fomentar la creatividad y permitir pensar en forma independiente.Ejemplo: LA CARRERA

En el pueblo en que vive Berta sus habitantes son muy buenos para hacer deportes porque dicen que eso les ayuda a mantenerse saludables.

Cuando comienza la primavera ellos organizan una maratn.

Este ao participaron 24 corredores y llegaron a la meta slo 20 corredores.

Cuntos se quedaron en el camino?

Antes de resolver el problema responde las siguientes preguntas:

Qu sucede en el pueblo en que vive Berta todos los aos?

Cuntas personas fueron a correr?

Qu dice el problema acerca de los que participaron?

Qu hay que calcular?

Resuelve el problema y comenta con tus compaeros y compaeras cmo lo hiciste y qu resultado obtuviste.

Ejemplo: EL SOBREPESOUn nio coma mucha comida chatarra y estaba con sobrepeso. El mdico le dijo que deba alimentarse mejor y hacer ejercicio para bajar de peso.

El nio se propuso seguir los consejos del mdico y comenz a comer verduras y frutas, y a practicar deportes.

Cuando inici esta nueva forma de vida pesaba 29 kilos y luego de transcurrido un mes pesaba 26 kilos. En cuntos kilos ha variado su peso?

Marca cul de las operaciones debes realizar para saberlo.

29 + 26 = 29 26 = Haz la operacin elegida y responde la pregunta

Ejemplo: EL REMEDIOPedro est enfermo. Durante una semana debe tomarse en total 18 tabletas de un remedio.

La caja en que viene el remedio trae 20 tabletas.

Su mam hizo la siguiente operacin:

20 18 = 2

Qu representa el 20 en esta operacin?

Qu representa el 18 en esta operacin?

Qu informacin obtuvo la mam de Pedro con el resultado de la operacin realizada?

Ejemplo: EL CONSULTORIO

En un consultorio atienden el doctor Prez y la doctora Muoz hasta ahora han atendido 13 pacientes.

En la sala todava quedan 7 pacientes por atender.

Cuntos pacientes atendi la doctora Muoz?

Cuntos pacientes atendi el doctor Prez?

Cuntos pacientes han sido atendidos hasta ahora?

Cul de los mdicos ha atendido ms pacientes?

Cuntas personas fueron al consultorio ese da?

Responde las preguntas seleccionadas y comenta tus respuestas con tus compaeros y compaeras.

Ejemplo: LA IMPORTANCIA DE CONSUMIR LECHE

Para fortalecer sus huesos los nios deben consumir alrededor de 800 unidades de calcio al da.

Un vaso de leche proporciona alrededor de 300 unidades de calcio.

Andrs se toma 2 vasos de leche al da.

Est tomando la cantidad que se recomienda?

Antes de resolver el problema responde las siguientes preguntas y comntalas con tus compaeras y compaeros.

A qu se refiere el problema?

Qu informacin se conoce?

Cul es la informacin que se desea conocer?

OBTENIENDO INFORMACIN

Ejemplo: LA RIFA

Qu informacin se obtiene con cada una de las siguientes operaciones?

100 + 200 = 300 900 - 300 = 600

Comenta tu respuesta con tus compaeras y compaeros

Ejemplo: LA FIESTA DE CUMPLEAOS

Para celebrar el cumpleaos de Matas estaban invitados 10 nios y 5 nias.

El da de la fiesta haban enfermos 2 de los nios que estaban invitados, as que no pudieron ir. Todos los dems pudieron asistir.

Cuntos invitados llegaron a la fiesta de Matas.

Resolvi Alicia correctamente el problema?

Resolvi Luis correctamente el problema? Usaron Alicia y Luis el mismo procedimiento

para resolver el problema? Obtuvieron ambos el mismo resultado?

Ejemplo: LAS OFERTASEn el siguiente recuadro se anota una oferta.

Juana compr el pantaln y la blusa antes de que se hiciera la oferta. Cunto gast?

Qu otra pregunta puedes responder aprovechando la informacin que acabas de obtener?

Comntala con tus compaeros y compaeras y respndela.

Avergualo y comparte tu respuesta con el resto del curso.PRINCIPIOS BSICOS A CONTEMPLAR EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS MATEMTICOS. Presentar situaciones problemticas que fomenten el desarrollo de la imaginacin y la creatividad en el nio. Respetar los modelos de razonar del nio, aceptando su forma de resolver un problema, como una de las alternativas de solucin. Los contenidos que se consideran en el planteamiento del problema deben estar de acuerdo a la evolucin del pensamiento.

La resolucin de problemas debe abarcar un amplio campo, desde pequeos y sencillos planteamientos de problemas, hasta la realizacin de problemas complejos para cuya solucin se precisa ms de una operacin. Aplicar a la formulacin del problema el principio de la reversibilidad tanto como sea posible.

Hacer comprender al nio el valor del raciocinio, sea ste con materiales concretos o grficos.

Practicar una variedad de procedimientos, adems de respetar sus diferencias individuales, da al estudiante un conocimiento mas profundo, le permite comparar caminos. Es necesario contemplar situaciones problemticas que incluyan actividades verbales y manipulativas, razonamiento abstracto, lgico y aritmtico; bsqueda de patrones, orientacin espacial y problemas de ingenio.

Incluir situaciones problemticas que invitan a una gran cantidad de respuestas.

Contemplar en la programacin oportunidades para que el nio cree problemas.

En los premios gastamos S/. 200

Marca las preguntas que se pueden responder con la informacin dada.

Y en hacer los boletos gastamos S/. 100

S No

S No

S No

S No

S No

Alicia resuelve el problema as:

10 - 2 = 8

8 + 5 = 13

En la venta de boletos juntamos S/. 900

MDULO: MATEMTICA SESIN: 12 SEMESTRE: II - 2010

RESOLUCIN DE PROBLEMAS

BIBLIOGRAFIA

ALSINA I PASTELLS, Angel (2006). Como desarrollar el pensamiento Matemtico. Espaa: Eumo Editorial...

COFRE J , Alicia . (1996). Cmo Deasarrollar el Razonamiento Lgico Matemtico. Chile: Editorial Universitaria.

D.GATES, James. (1990). Estndares Curriculares y de Evaluacin para la Educacin Matemtica. Espaa: S.A.E.M.Thales

FERNNDEZ BRAVO, Jos .Antonio (2000). Tcnicas recreativas para la Resolucin de problemas Matemticos. Espaa: Walters Kluwer.

http://www.slideshare.net/reyessgus68/metodo-singapore-habilidades-presentation

Luis resuelve el problema as:

10 + 5 = 15

15 2 = 13

S No

S No

S No

S No

1 pantaln de S/.56

1 blusa de S/.52

por slo S/.95

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