FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

AO DE LA DIVERSIFICACIN PRODUCTIVA Y DEL FORTALECIMIENTO DE LA EDUCACIN

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA

FACULTAD DE INGENIERIA CIVILESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

CURSO: ANALISIS SISMICO CATEDRATICO:ING. JOSE BULEJE GUILLENAlumnos:

CICLO Y SECCION: X ciclo bICA PERU2015

DEDICATORIA:A nuestros docentes que mediante la exigencia y consejos nos motivan a ser cada vez mejores profesionales y personas.

CONTENIDO DEL TRABAJO

FUNDAMENTO DE DINAMICA ESTRUCTURAL

1. INTRODUCCION2. MODELOS DINAMICOS MODELOS ESTRUCTURALES GRADOS DE LIBERTAD DINAMICOS3. SISTEMAS LINEALES DE 1 GRADO DE LIBERTAD MODELADO DE ESTRUCTURAS ECUACION DE MOVIMIENTO A PARTIR DE 2 LEY DE NEWTON A PARTIR DEL PRINCIPIO DALEMBERT A PARTIR DE LOS TRABAJOS VIRTUALES A PARTIR DEL PRINCIPO DE HAMILTON

VIBRACION LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO

1. INTRODUCCIONLa dinmica estructurales un rea del anlisis mecnico de las construcciones que estudia el efecto de las acciones externas que producen vibraciones. Su desarrollo comienza en el siglo XIX con las investigaciones de Lord Rayleigh sobre los efectos del sonido en cuerpos elsticos las cuales an tienen validez.Actualmente esta rea de la Mecnica presenta un estado avanzado de desarrollo pues se ha logrado establecer mtodos de clculo para estructuras lineales y no lineales sometidas a acciones deterministas o aleatorias.El anlisis dinmico de estructuras consiste en determinar la respuesta (desplazamientos, velocidades y aceleraciones) de estructuras sometidas a excitaciones (acciones dinmicas).Los parmetros ms significativos de la respuesta son los desplazamientos relativos mximos y aceleraciones absolutas.Este captulo introductorio comienza con la definicin de algunos trminos bsicos en la dinmica estructural.Se hace la deduccin de las ecuaciones del movimiento dinmico de un sistema sencillo es decir de un grado de libertad.Luego se describen brevemente las principales cargas dinmicas que actan sobre las estructuras y se discute la utilidad de los sistemas sencillos para representar el comportamiento de estructuras ms complejasLas principales acciones dinmicas que actan sobre las estructuras son las siguientes: Motores y equipos mecnicos. Terremotos. Vientos. Oleaje. Otras: FUNDAMENTOS DE LA DINAMICA ESTRUCTURAL2. MODELOS DINAMICOS:En un modelo dinmico, los elementos que intervienen en la modelizacin no permanecen invariables, sino que se consideran como funciones del tiempo, describiendo trayectorias temporales. El anlisis de un modelo dinmico tiene por objeto el estudio de la trayectoria temporal especfica de alguno/s de sus elementos.2.1. MODELOS ESTRUCTURALESDesde el punto de vista del clculo numrico, la respuesta ssmica de una estructura es el resultado de filtrar la seal ssmica a travs de la misma estructura. La obtencin de dicha respuesta, es decir, un anlisis ssmico, requiere la definicin previa, tanto del movimiento del terreno, como de las caractersticas estructurales. El sujeto del anlisis no es la propia estructura, sino un modelo mecnico de la misma que, en este caso, es dinmico.

La definicin de tal modelo depende del tipo de estructura analizado y pretende no slo proporcionar una descripcin realista de su comportamiento, sino tambin de desarrollar una serie de relaciones entre las acciones y la respuesta que describan el modelo matemtico del problema. En s, la modelizacin de una estructura debe seguir los pasos del siguiente diagrama:

Las caractersticas fsicas a tener en cuenta en la definicin de un modelo estructural son la masa, el amortiguamiento y la rigidez de la estructura. Un clculo completo supone determinar la respuesta ssmica en todos los puntos de la estructura, esto es, en un nmero infinito de puntos y en un nmero tambin infinito de instantes de tiempo, lo cual impide que se pueda dar una solucin numrica al problema.Con objeto de permitir el clculo numrico, se definen modelos dinmicos con un nmero finito de puntos predeterminados en los cuales se pretende calcular la respuesta.2.2. GRADOS DE LIBERTAD DINMICOSSon los grados de libertad que tienen asociada masa y para los cuales puede conocerse las vibraciones o movimientos a lo largo del tiempo.Desde el punto de vista dinmico, interesan los grados de libertad en los que se generan fuerzas generalizadas de inercia significativas; es decir, fuerzas iguales a masa por aceleracin o momento de inercia por aceleracin angular.

En la fig se muestran 12 GDL estticos. Sin embargo, si las fuerzas de inercia importantes son solamente las que generan las masas m1 y m2 al moverse lateralmente y las deformaciones de los pisos en su plano se desprecian, tenemos un sistema de dos grados de libertad dinmicos, que son los desplazamientos laterales 1 y 2 de la figura.

Los grados de libertad dinmicos son aquellos en los cuales se generan las fuerzas inerciales (masa por aceleracin o momento de inercia por aceleracin angular). Por lo tanto, dichos grados son los que interesarn para realizar el anlisis.Los grados de libertad de una estructura se definen como aquellos desplazamientos que identifican su posicin deformada a lo largo del tiempo. En la figura, la estructura continua tiene un nmero infinito de grados de libertad, pues slo un nmero infinito de desplazamiento x(y,t) definen, su posicin deformada durante la vibracin.

La identificacin de los grados de libertad de una estructura es una operacin muy importante, que requiere cierto rigor, sabiendo de su influencia en los resultados del anlisis dinmico.Considerando que se quiere analizar el prtico plano principal Fig(c), teniendo en cuenta todos sus grados de libertad (GDL), los cuales seran 24 GDL esttico.En consecuencia, el nmero de grados de libertad del modelo puede tambin definirse como el nmero total de componentes de desplazamiento, segn los cuales las masas concentradas vibran.

Al ocurrir movimiento lateral, solo seran importantes las fuerzas de inercias generadas por el peso de cada piso, tal como se muestra en la figura, adems las deformaciones en su plano son despreciables. Lo cual indicara que ahora tenemos un sistema de 2 GDL dinmicos, que son los desplazamientos laterales 1 y 2.

Por lo anterior, no implica que los restantes giros y desplazamientos se anulen, sino que, aunque asuman valores diferentes a cero, las fuerzas de inercia son tan pequeas que pueden despreciarse.Se ha podido apreciar cmo se redujo un sistema de 24 GDL, lo cual implicaba una matriz de rigidez de 24x23, a uno de 2GDL que implicaba trabajar con una matriz de rigidez de 2x2. En resumen lo hecho fue una condensacin esttica, quedando as matrices de rigideces y de masas que corresponden a los mismos grados de libertad.

Se esquematiza un prtico tridimensional sometido a la accin de un sismo que produce vibraciones en la direccin X. Dicha direccin est contenida en el plano de simetra del prtico.

3. SISTEMAS LINEALES DE UN GRADO DE LIBERTADConsideremos el sistema de un piso mostrado en la figura, constituido por una masa concentrada que puede tener un desplazamiento horizontal (u), ligado al terreno mediante varios elementos verticales representados esquemticamente por dos columnas elsticas y por un amortiguador.Cuando el terreno experimenta un desplazamiento horizontal (s), en la ecuacin de equilibrio dinmico aparecen la fuerza de inercia, igual a la masa por su aceleracin absoluta X, la fuerza de rigidez y de amortiguamiento.En el caso ms sencillo, las fuerzas de rigidez y amortiguamiento son, respectivamente, proporcionales al desplazamiento u y a la velocidad de la masa con respecto a su base. c coeficiente o relacin de amortiguamiento.El sistema de m, c y k constituye un sistema lineal de un grado de libertad, con amortiguamiento viscoso o lineal.

3.1. MODELADO DE LA ESTRUCTURAPor modelado definiremos al proceso mediante el cual se genera una Idealizacin matemtica que pretende representar la conducta real de la estructura a ser construida. Por ello este proceso conlleva a la toma de decisiones respecto a los siguientes aspectos: La geometra de la estructura, las propiedades de los materiales que la constituyen, la magnitud y ubicacin de cargas permanentes y variables, los tipos de elementos que la pueden representar con mayor fidelidad (1, 2 3 dimensiones), las conexiones internas entre estos elementos, los apoyos externos y la interaccin de la estructura con el medio circundante (suelos, lquidos u otros materiales). Para el anlisis, los elemento estructurales se clasifican en unidimensionales, cuando una de sus dimensiones es mucho mayor que las restantes, bidimensionales, cuando una de sus dimensiones es pequea comparada con las otras dos, y tridimensionales cuan ninguna de sus dimensiones resulta ser mayor que las otras. El proyectista debe elegir, en cada caso, el tipo de elemento ms adecuado para que el modelo estructural reproduzca adecuadamente el comportamiento buscado de dicho elemento.

Para conseguir el mejor diseo estructural, tenemos que calcular las fuerzas actuantes, momentos de flexin y torsin que actan sobre la estructura, por tanto, para realizar el anlisis estructural, se idealiza tanto la geometra de la estructura, como las acciones y las condiciones de apoyo mediante un modelo matemtico adecuado que debe, reflejar aproximadamente las condiciones de rigidez de las secciones transversales de los elementos, de sus uniones y de sus apoyos en el terreno. Para tener una idea de cun importante es el modelado y garantizar con ello el buen desempeo de la construccin, los requisitos que debe cumplir el modelo de anlisis se enuncian en los siguientes puntos.

Un modelado fiel de la estructura que incluya los componentes ms significativos Un anlisis confiable que suministre la respuesta dinmica ante el Sismo de diseo y los vientos de diseo. Un diseo y detallado cuidadoso que le permita a la estructura disipar Energa, en congruencia con los factores de ductilidad o de reduccin adoptados. Una construccin acorde con el proyecto estructural.

ELEMENTOS NO-ESTRUCTURALES

En el proceso de idealizacin del modelo, se debe observar la estructura ideal para el anlisis, se deben tener presentes aquellos elementos comnmente Denominados no-estructurales, pero que pueden contribuir a modificar la rigidez, las masas o la capacidad de disipacin de energa del sistema estructural. Algunos ejemplos podran ser ciertas paredes de cerramientos o algunos elementos ornamentales, las fachadas pesadas, las tuberas de gran dimetro, etc.

En particular debemos poner atencin sobre la necesidad de identificar aquellos elementos que puedan dar origen a conductas reconocidamente inadecuadas en la estructura y sus reacciones, como pueden; ser las paredes confinadas parcialmente que pueden provocar una disminucin en la longitud efectiva de las columnas confinantes dando pie a fallas frgiles por cortante; las paredes discontinuas en su plano vertical que dan lugar a entrepisos blandos con la subsiguiente concentracin de energa inelstica; las paredes distribuidas asimtricamente en planta que pueden generar efectos imprevistos en el diseo, etc. La identificacin de estos elementos y su consideracin en el modelo matemtico de la estructura es primordial para obtener resultados ms confiables.

PROPIEDADES DE LOS MATERIALES Probablemente el aspecto ms difcil de modelar concierne a las propiedades de los materiales debido a las incursiones en el rango inelstico que se permiten en la respuesta a diferentes acciones accidentales como son el sismo y el viento, en las numerosas estructuras tales como edificios, puentes y diversas instalaciones industriales; se debe destacar el aprovechamiento de la capacidad de disipacin de energa de los materiales en el rango inelstico de acuerdo a nuestras normas de diseo, las cuales tienen incorporado este como una manera de aprovechar mas la resistencia de los elementos estructurales.Debido a las dificultades asociadas a la caracterizacin de los materiales, en este rango de deformaciones particularmente en elementos de concreto armado, y debido principalmente a la complejidad del anlisis y de su respuesta dinmica no-lineal, las normas permiten un modelado en rango elstico y un anlisis lineal de respuesta dinmica, en el cual se incorpora de forma muy simplificada los efectos de la respuesta inelstica esperada. Todo lo anterior se puede obtener mediante el empleo de espectros de diseo reducidos en funcin de la capacidad de ductilidad del sistema estructural.Como consecuencia de lo anterior. La modelacin del material elstico requiere nicamente de especificar sus mdulos de elasticidad y de corte. No est de mas insistir en la conveniencia de incluir deformaciones por corte, fuerza axial y torsin, adems de las de flexin en la elaboracin de nuestro modelo matemtico, lo cual no conduce mayor complicacin en el clculo automtico. En casos especiales donde se requiera un anlisis inelstico, debemos introducir por completo la curva esfuerzo-deformacin del material, incluyendo la interaccin entre las fuerzas concurrentes a una seccin (cortantes, momentos, fuerza axial) lo cual incrementa notablemente el volumen de datos requeridos para definir el modelo. DISCRETIZACIN DE MASAS Una parte importante de la modelacin consiste en discretizar las masas en un nmero suficiente de puntos de manera que se aproxime a la conducta dinmica de la estructura. Como criterio general se persigue que dicha discretizacin permita la existencia de todos los modos de vibracin que pueden tener una contribucin significativa en la respuesta dinmica. No existen recetas para ello, el proceso de discretizacin de estructuras irregulares puede exigir la aparicin de un profesional con cierto entrenamiento en dinmica estructural, por ello una recomendacin siempre valida es tratar con varios modelos, aumentando gradualmente el grado de discretizacin y evaluando la convergencia de los resultados. EDIFICIOS DE VARIOS NIVELES En el caso de edificios altos, la presencia de sistemas de piso de elevada rigidez en su propio plano (respecto a la rigidez de la estructura) permite la elaboracin de modelos matemticos con n grados dinmicos de libertad por losa. Entonces se hace mencin en que el modelo se basara en las siguientes hiptesis:1. La losa posee una rigidez infinita en su plano.2. Las masas estn localizadas solo en las losas (se concentran all las masas de columnas, muros, apndices, etc.)3. Solo se consideran las inercias de las masas asociadas al movimiento en su propio plano, lo cual equivale a despreciar la inercia vertical y las rotaciones del eje horizontal.4. Despreciamos la componente vertical de las acciones accidentales, sean un sismo o viento.Es claro que esta idealizacin de los edificios, por cierto utilizada universalmente en el diseo, puede perder validez en el caso de poseer grandes aberturas en su sistema de piso, o con una excesiva relacin de aspecto (largo/ ancho) en planta, o con sistemas de piso prefabricados con conexiones inadecuadas a la estructura que lo soporta que pueden dar lugar a distorsin de la forma de la planta. En estas situaciones es recomendable el uso de modelos ms refinados que incorporen la flexibilidad en el plano del sistema de piso lo cual conlleva a la definicin de un numero bastante mayor de grados de libertad.

MTODOS DE ANLISIS ESTRUCTURAL EMPLEADOS EN LOS PROGRAMAS DE MODELACIN ESTRUCTURAL

Representada la estructura por su modelo matemtico y conocidas las acciones Actuantes, el objetivo principal que se espera en el anlisis es la determinacin de valores confiables de su respuesta esttica y dinmica a fin de proseguir con su diseo o con la verificacin de las capacidades de sus elementos estructurales. Las condiciones que en principio deben satisfacer todo anlisis estructural son las de equilibrio y las de compatibilidad, teniendo en cuenta el comportamiento tenso-deformacional de los materiales.Los mtodos de clculo para abordar el anlisis global de una estructura se Clasifican en:a. Anlisis Linealesb. Anlisis no lineales

ANLISIS LINEALES

Los mtodos prescritos en la gran mayora de normas de diseo por viento y ssmico, son procedimientos de anlisis lineales, congruentes con la hiptesis de sistemas elsticos adoptados en la idealizacin matemtica. Conociendo el sistema estructural puede experimentar incursiones inelsticas significativas bajo la ocurrencia del sismo normativo o viento ms frecuenta, por tanto es de esperarse que estos mtodos tienen un carcter aproximado y solo pueden suministrarnos una estimacin de la respuesta dinmica real. Puesto que aceptamos la linealidad podemos en consecuencia hacer la superposicin de los modos principales de vibracin del sistema estructural, lo cual constituye la base de los mtodos normativos.

ANLISIS NO LINEALES El anlisis no lineal requiere, para un nivel determinado de carga, un proceso iterativo, de sucesivos anlisis lineales, hasta converger a una solucin que satisfaga las condiciones de equilibrio, tenso deformaciones y de compatibilidad. Dichas condiciones se comprueban en un nmero determinado de secciones, dependiendo de la discretizacin, que deber ser suficiente para garantizar una adecuada representacin de la respuesta estructural. Las verificaciones correspondientes al estado lmite de fatiga se realizan a partir de los Resultados obtenidos a travs de un anlisis global lineal de la estructura.

CLASIFICACIN DE LOS MTODOS DE ANLISIS Para tener idea de cundo debemos emplear un tipo de anlisis dependiendo la Estructura, se han elaborado mtodos que van desde el ms simple, hasta los ms Complejos, teniendo en cuenta su correspondencia al desarrollo histrico: 1. Anlisis Esttico 2. Anlisis Dinmico Plano 3. Anlisis Dinmico Espacial 4. Anlisis Dinmico con Diafragma Flexible 5. Anlisis InelsticoPara poder utilizar los mtodos simples, se requiere que la estructura cuente y satisfaga con los requisitos y condiciones de regularidad que se encuentran Implcitamente definidas en las hiptesis que cada mtodo sustentan en particular. Solo aquellos que si satisfacen los requisitos de uniformidad en la distribucin de Masas, rigideces, resistencias y capacidad dctil, tanto en planta como en eleva-cin, se puede aplicar el mtodo ms simple, de Anlisis Esttico. Para aplicar el Anlisis Dinmico Plano, se exige que la estructura posea irregularidades moderadas e sus plantas, especialmente aquellas irregularidades significativas en su elevacin. El anlisis Dinmico Espacial, puede manejar todas las irregularidades tanto en planta como en elevacin, y puesto que estos mtodos son fciles de manejar, su uso es ms frecuente en este tipo de programas de modelacin, ya que basan sus principios en que la rigidez del sistema de piso en su plano es infinita, pero cuando esto no es verdadero, se tienen que recurrir a un Anlisis Dinmico con Diafragma Flexible. En el anlisis inelstico se resalta la necesidad en el caso de estructura de importancia vital, que posean irregularidades crticas que pueden dar origen a concentraciones de energa inelstica que puedan amenazar la seguridad global del sistema, como son los edificios con muros discontinuos en sus plantas inferiores.

3.2. ECUACIN DEL MOVIMIENTO

A PARTIR DE LA 2DA LEY DE NEWTON

Newton resumi tres leyes, las cuales son el fundamento de la esttica y de la dinmica, tanto de cuerpos rgidos como de cuerpos flexibles:1ra. Ley de Newton todo cuerpo permanece en su estado de reposo, o movimiento uniforme rectilneo, a menos que sea obligado a cambiar ese estado debido a la aplicacin de cualquier tipo de fuerzas. Conocida como ley de la inercia.2da. Ley de Newton la fuerza que acta sobre un cuerpo y causa su movimiento, es igual a la tasa de cambio del momentum del cuerpo3ra. ley de Newton a toda accin se opone siempre una reaccin de igual magnitud; o las acciones mutuas entre dos cuerpos son siempre iguales y opuestasDado que el momentum Q, es igual a la masa del cuerpo por su velocidad, se puede expresar matemticamente como:

Por lo tanto la 2da ley de newton puede expresarse tambin como: la resultante de las fuerzas que actan sobre un cuerpo es igual a la masa del cuerpo multiplicada por su aceleracin.Es importante anotar que la 1ra ley de newton es un caso especial de la 2da ley, ya que si la aceleracin es cero, entonces la resultante de las fuerzas tambin es igual a cero. En este caso el cuerpo est en reposo, o se mueve a una velocidad constante. La aceleracin cero conduce a lo que llamamos esttica, mientras que los casos de aceleracin diferente de cero nos llevan al campo de la dinmica.Con posterioridad de Newton, D Alembert sugiri que la ecuacin (1-2) se escribiera de una manera similar a la ecuacin de equilibrio en esttica (F=0), en la forma que se conoce como principio de D Alembert:

El principio de DAlembert hace evidente que la denominada fuerza inercial (ma) acta en la direccin opuesta a la direccin de la aceleracin del cuerpo.

A PARTIR DEL PRINCIPIO DE DALEMBERTLas ecuaciones del movimiento de cualquier sistema dinmico representan expresiones de la segunda ley de Newton segn la cual la velocidad de cambio del momento de una partcula m es igual a la fuerza actuando sobre ella. Esta relacin se puede expresar matemticamente mediante la ecuacin diferencial:

Donde p(t) es el vector de la fuerza aplicada y (t) es el vector posicin de la partcula de masa m. Para la mayora de problemas de anlisis estructural dinmico se puede asumir que la masa no vara con el tiempo con lo que la ecuacin se puede rescribir:

Donde los puntos representan derivacin respecto del tiempo. La ecuacin anterior, indicando que la fuerza es igual a la masa por la aceleracin, se puede rescribir nuevamente de la forma:

En cuyo caso, el segundo trmino m v(t) se conoce como fuerza inercial resistente a la aceleracin de la masa m.El concepto de que una masa desarrolla una fuerza inercial proporcional pero opuesta a su aceleracin es conocido como Principio de DAlembert. Es un recurso muy conveniente en problemas de dinmica estructural porque permite expresar las ecuaciones del movimiento como ecuaciones de equilibrio dinmico. La fuerza dinmica p(t) puede representar muchos tipos de fuerzas actuando sobre la masa: apoyos elsticos que se oponen a los desplazamientos, fuerzas viscosas que resisten velocidades y fuerzas externas definidas independientemente. As, si se introduce una fuerza interna que resiste aceleraciones, la ecuacin del movimiento es meramente una expresin de equilibrio de todas las fuerzas que actan sobre la masa. En muchos problemas simples la va ms directa y adecuada para formular las ecuaciones de equilibrio directas. Para poder estimar la respuesta ssmica de una estructura, el ingeniero civil especialista en estructuras se vale de un modelo matemtico cuyas propiedades mecnicas y dinmicas se procura sean las mismas que posee la estructura. Uno de los modelos ms simples y ms empleados para estimar la respuesta ssmica de edificios, es el sistema de un grado de libertada. Este modelo se caracteriza por ser un sistema dinmico en el que la masa est concentrada en un solo punto. FORMULACIN DE LA ECUACIN DE MOVIMIENTO PARA UN SISTEMA DE 1 GLDEn el sistema mostrado, podemos distinguir dos casos:

Para el modelo (a), aplicando el principio de DAlembert, tendramos:

EQUILIBRIO DE FUERZAS PARA 1 GLD

Al aplicar una fuerza exterior F(t), se genera aceleracin, velocidad y desplazamiento para un cierto instante t; a causa de esto se producen fuerzas:

La ecuacin final anterior es la de movimiento correspondiente a 1 GLD con carga exterior y amortiguamiento.Para el modelo (b) de la figura, el planteo es similar, solo que no tiene fuerza exterior aplicada y la fuerza de inercia se ve afectada por la aceleracin total de la masa:

Entonces, la ecuacin de movimiento queda:

La ecuacin final anterior es la ecuacin de movimiento para 1 GLD con aceleracin de apoyo (ssmico) y amortiguamiento. Un caso general sera la inclusin de aceleracin de apoyo y fuerza exterior:

RESOLUCIN DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTOExisten diversos mtodos propuestos para ser empleados para la solucin de la ecuacin de movimiento. Cada mtodo tiene ventajas y desventajas, de acuerdo al tipo de estructura y la carga.Los mtodos numricos de solucin pueden clasificarse del siguiente modo: MTODO DE SOLUCIN PASO A PASOEl mtodo de solucin ms completo para el anlisis dinmico en un mtodo incremental en el cual las ecuaciones van siendo resueltas en los tiempos t, 2t, 3t, etc. Hay un gran nmero de mtodos de solucin incremental. En general, estos mtodos involucran una solucin de todo el conjunto de ecuaciones de movimiento en cada incremento de tiempo. En el caso de un anlisis no lineal, puede ser necesario reformular la matriz de rigidez de todo el sistema estructural para cada paso. Adems, se efectuarn iteraciones dentro de cada incremento de tiempo, para satisfacer las condiciones de equilibrio. Como los requerimientos de cmputo son significativos, estos mtodos pueden emplearse para resolver sistemas estructurales con pocos cientos de grados de libertad .Adicionalmente, en estos mtodos de solucin, el amortiguamiento numrico o artificial debe ser incluido, con el propsito de obtener soluciones estables. En ciertos casos de estructuras con comportamiento no lineal sujetas a movimientos en la base, es indispensable el empleo de los mtodos de solucin incremental.En sistemas estructurales muy grandes, se ha encontrado que la combinacin de los mtodos incrementales y de superposicin modal ha sido eficiente para sistemas con un pequeo nmero de elementos no lineales. MTODO DE SUPERPOSICIN MODALEs el mtodo ms comn y efectivo de los procedimientos para el anlisis ssmico de sistemas estructurales lineales. Este mtodo, luego de evaluar un conjunto de vectores ortogonales, reduce el gran conjunto de ecuaciones generales de movimiento a un pequeo nmero de ecuaciones diferenciales desacopladas de segundo orden. La solucin numrica de estas ecuaciones implica una gran reduccin del tiempo de cmputo.Con este mtodo se obtiene la respuesta completa, en su variacin en el tiempo, de los desplazamientos de los nudos y fuerzas en los elementos debidos a un movimiento determinado en la base.Se ha demostrado que los movimientos ssmicos excitan a la estructura principalmente en sus frecuencias ms bajas. Por lo general, las aceleraciones del terreno son registradas, en los acelerogramas digitales, con intervalos a razn de 100 o 200 puntos por segundo. De manera que la informacin de las acciones ssmicas no contiene frecuencias por encima de los 50 ciclos por segundo. En consecuencia, si no se consideran las frecuencias altas y las correspondientes formas de modo en la respuesta de un sistema, no se introducirn errores.El mtodo tiene dos desventajas. En primer lugar, se produce una gran cantidad de informacin, la cual requiere un enorme esfuerzo computacional, donde se consideren todas las posibilidades de la verificacin del diseo como una funcin de tiempo. En segundo lugar, el anlisis debe repetirse para diferentes registros ssmicos - frecuentemente tres registros como mnimo - con el propsito de asegurar que todos los modos significativos sean excitados. ANLISIS MODAL ESPECTRALEl anlisis modal espectral (o mtodo de la respuesta espectral) es un mtodo ventajoso para estimar los desplazamientos y fuerzas en los elementos de un sistema estructural. El mtodo implica el clculo solamente de los valores mximos de los desplazamientos y las aceleraciones en cada modo usando un espectro de diseo, el mismo que representa el promedio o la envolvente de espectros de respuesta para diversos sismos, con algunas consideraciones adicionales expuestas en los cdigos de diseo. Luego se combinan estos valores mximos, por ejemplo mediante un promedio ponderado entre la media y la raz cuadrada de la suma de los cuadrados de tales valores mximos; otro mtodo es el de la combinacin cuadrtica completa (mtodo CQC), que considera adems una correlacin entre los valores modales mximos. De este modo, se obtienen los valores ms probables de desplazamientos y fuerza. ANLISIS EN EL DOMINIO DE FRECUENCIASEste procedimiento es empleado para resolver las ecuaciones de movimiento en el dominio de frecuencias. Para ello, las fuerzas externas F(t) son expresadas en una expansin de trminos de series de Fourier o integrales de Fourier. La solucin est dada en nmeros complejos, cubriendo el espacio de - a . Este procedimiento es muy efectivo para cargas peridicas como en vibracin de maquinarias, problemas de acstica, efectos de las olas de mar y de viento. Sin embargo, el uso de este mtodo para resolver problemas de ingeniera ssmica tiene las siguientes desventajas: Por lo general, el entendimiento de las matemticas en el mtodo involucradas puede ser difcil de entender para los ingenieros. La verificacin de las soluciones tambin podra ser difcil. Las acciones ssmicas no son peridicas. Sin embargo, los registros ssmicos del terreno, el movimiento de la base, pueden ser transformados al dominio de frecuencias con algoritmos especiales y, luego de realizar los anlisis y las operaciones involucradas,volver a ser transformados para obtener la respuesta del sistema en el tiempo. Para acciones ssmicas, el mtodo no es numricamente eficiente. El mtodo es aplicable a sistemas estructurales lineales. A PARTIR DE LOS TRABAJOS VIRTUALESSi el sistema estructural que deseamos analizar es relativamente complejo involucrando un nmero importante de puntos de masa o cuerpos de dimensin finita interconectados, las ecuaciones de equilibrio directas de todas las fuerzas que actan en el sistema puede resultar dificultoso. Con frecuencia, las distintas fuerzas que intervienen pueden ser expresadas en trminos de los desplazamientos (grados de libertad) pero sus relaciones de equilibrio pueden no ser evidentes. En estos casos, el principio de los desplazamientos virtuales permite la formulacin de las ecuaciones del movimiento en sustitucin de las relaciones de equilibrio directo.El principio de los desplazamientos virtuales puede expresarse de la siguiente manera: si un sistema que se encuentra en equilibrio bajo la accin de un grupo de fuerzas o cargas determinadas, se somete a un desplazamiento virtual compatible con las condiciones de contorno del sistema, el trabajo total realizado por la totalidad de las fuerzas es nulo. Con este principio, anular el trabajo total de las fuerzas durante el desplazamiento virtual es equivalente a un estado de equilibrio. As pues, las ecuaciones de respuesta de un sistema dinmico pueden establecerse identificando en primer lugar, todas las fuerzas que actan en las masas que forman el sistema incluyendo las fuerzas inerciales de acuerdo con el Principio de DAlembert. Entonces, las ecuaciones del movimiento se obtienen separadamente introduciendo un desplazamiento virtual tipo correspondiente a cada uno de los distintos grados de libertad e igualando el trabajo realizado a cero. La mayor ventaja de este mtodo de aproximacin es que los trabajos virtuales son valores escalares y pueden ser sumados algebraicamente, mientras que las fuerzas actuantes en la estructura son vectoriales y slo pueden superponerse vectorialmente.Para ilustrar el principio de los trabajos virtuales en la ecuacin del movimiento de un sistema con un solo grado de libertad ,consideramos el oscilador amortiguador que se muestra en la figura (a) con su correspondiente diagrama de cuerpo libre en la figura (b).Este sistema esta en equilibrio(equilibrio dinamico ) , puesto que la fuerza de inercia ha sido incluida entre las fuerzas externas .En consecuencia ,el principio de los trabajos virtuales es aplicable .Si se supone un desplazamiento virtual ,el trabajo total hecho por las fuerzas mostradas en la figura ( b) es igual a cero ,o sea

Puesto que ha sido escogido arbitrariamente como distinto de cero, el factor de la ecuacin mostrada debe ser cero. De modo que tenemos la ecuacin (2) que es la ecuacin diferencial del movimiento de un oscilador amortiguado

Oscilador simple-mecanico

A PARTIR DEL PRINCIPIO DE HAMILTONLa forma de abordar los problemas para establecer las ecuaciones vectoriales de equilibrio es hacer uso de la forma diferencial de las cantidades de energa escalares. El concepto diferencial ms aplicado generalmente es el principio de Hamilton que se expresa como,

DONDE:T = Energa cintica total del sistemaV = Energa potencial del sistema, incluyendo energas de deformacin o potencial de cualquier fuerza conservativa externa.Wnc = Trabajo realizado por las fuerzas no conservativas que actan en el sistema incluyendo el amortiguamiento y cualquier fuerza exterior arbitraria. = Variacin tomada durante el intervalo de tiempo.El principio de Hamilton postula que la variacin de la energa cintica y potencial ms la variacin del trabajo realizado por las fuerzas no conservativas consideradas durante un intervalo (t1, t2) debe ser nulo. La aplicacin de este principio conduce directamente a las ecuaciones del movimiento para un sistema estructural dado. Este proceso difiere del mtodo de los desplazamientos virtuales en que la inercia y las fuerzas elsticas no estn involucradas explcitamente; en cambio aparecen las variaciones de las energas cintica y potencial. As pues, esta formulacin presenta la ventaja de tratar exclusivamente cantidades puramente escalares de energa, mientras que las fuerzas y desplazamientos que aparecen para representar los efectos correspondientes en el anlisis mediante el trabajo virtual son todas de carcter vectorial aunque sus trminos del trabajo son escalares.

Cabe destacar que al Principio de Hamilton puede aplicarse a problemas estticos. En este caso, el trmino de la energa cintica T se anula, y los trminos restantes de la integral no varan con el tiempo de modo que la ecuacin anterior se reduce a:(V - Wnc) = 0Que es una expresin conocida como la mnima energa potencial usada en los anlisis estticos.3.3. VIBRACION LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO

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