Documento Completo Parte Dinamica Estructural Aplicacion Final

7/22/2019 Documento Completo Parte Dinamica Estructural Aplicacion Final

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Material

complementarioIntroduccinalAnli sis EstructuralMtodoMatricialiterativo deStodollavianello*MetododelaDeterminante.

Recopilacin:PabloCruzUriarte(ingpablocruz.com)

Docentehorario:UCA2012.


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IntroduccinEnlassiguientespginasseincluyematerialcomplementarioparaefectuarelclculodelosparmetrosdinmicosenestructurasconmsdeungradodelibertaddinmico.EnlaprimerapartesemuestraunproyectodecursoefectuadoporelautoryendondeseilustraelmtododeiteracionessucesivasdeStodollaVianelloparaunedificiode2niveles.Seadjuntatambinelprocesoparaelanlisisdinmico,esdecirelclculodelasfrecuenciasyperodosdevibrarenunedificiode3nivelesempleandoelmtododelaDeterminante.Con elobjetivodequeelmaterialdeapoyoseadeutilidadenlarealizacindelosproyectosdecursodelaasignaturaIntroduccinalAnlisisEstructural,impartidaenelIICuatrimestredel2012enlaUniversidadCentroamericana(UCA).Ing.PabloCruzUriarte


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Anlisis Comparativo entre el Mtodo Esttico y el Mtodo Dinmico de Anlisis Modal

3.7.- METODO DINAMICO DE ANALISIS MODAL

3.7.1.- ANALISIS DEL EJE 2

Clculo de rigidez de columnas.

12*E*IK =

L3

12*2038.901781 Tn/cm 2 *22185.135cm 4 *4 columnasK1= (380cm)3K1= 39.568431 Tn/cm



Determinacin de la matriz de rigidez lateral (K).

K1+K2 -K2 0 79.947585 -40.379154 0

-K2 K2+K3 -K3 -40.379154 55.527646 -15.148492K=0 -K3 K3

=0 -15.148492 15.148492

Clculo de masas por nivel.

Wimi= gNOTA: Los pesos fueron calculados en laspginas No. 71 y 72.

34610.365600kg * 1Tnm1=

981cm/seg

2

1000 kg

m1= 0.035280699 ton-seg2/cm

34320.690000kg * 1Tnm2= 981cm/seg2 1000 kg

m2= 0.034985413 ton-seg2/cm

Mtodo Dinmico de Anlisis Modal


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5740.463298kg * 1Tnm3= 981cm/seg2 1000 kg

m3= 0.005851645 ton-seg2/cm

Determinacin de matriz de masa.

m1 0 0 0.035280699 0 00 m2 0 0 0.034985413 0M =0 0 m3

=0 0 0.005851645

Clculo de las frecuencias para cada uno de los modos devibracin.

|K W2*M| = 0

79.947585 -40.379154 0 0.0 35280699 0 0

-40.379154 55.527646 -15.148492 0 0.034985413 0

0 -15.148492 15.148492-W2

0 0 0.005851645=0

79.947585-0.035280699W2 -40.379154 0-40.379154 55.527646-0.034985413W2 -15.148492

0 -15.148492 15.148492-0.005851645W2=0

El desarrollo de este determinante conduce a la siguienteexpresin:

-7.22274291846e-6W6 + 4.65286688733e-2W4 80.3871827689W2 +24203.348107 = 0

Resolviendo la ecuacin anterior obtenemos:

W12= 379.556418024 seg-2 W1 = 19.482207730 seg

-1W2

2= 2431.62148381 seg-2 W2= 49.311474160 seg-1

W32= 3630.78873029 seg-2 W3= 60.256026506 seg

-1

Clculo del perodo para cada uno de los modos.

2 2*T1= W1

=19.482207730seg-1

T1= 0.322508896 seg



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2 2*T2= W2

=49.311474160 seg-1

T2= 0.127418322 seg

2 2*T3= W3

=60.256026506 seg-1

T3= 0.104274803 seg

Clculo de las formas modales

Para calcular los modos de vibracin, se reemplazan los valores deW2en la expresin K-W2*M*Z = 0.

Primer modo: Procediendo as con W12, se obtiene el siguiente sistema

homogneo de ecuaciones.

79.947585-0.035280699*379.556418024

-40.379154 0 Z11 0

-40.37915455.527646-

0.034985413*379.556418024-15.148492 Z21 0

0 -15.14849215.148492-

0.005851645*379.556418024 Z31

=

0

Se puede escoger arbitrariamente el valor de alguno de los Zij ;asumimos Z11= 1.00, entonces el valor de Z21y Z31, los obtenemos porsustitucin, en las ecuaciones anteriores.

Z11 1.000000000Z21 1.648290335Z1=Z31

=1.931478261

Segundo Modo: usando anlogamente W22.

79.947585-0.035280699*2431.62148381 -40.379154 0 Z12 0

-40.37915455.527646-

0.034985413*2431.62148381-15.148492 Z22 0

0 -15.14849215.148492-

0.005851645*2431.62148381Z32

=

0

Asumimos Z12= 1



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Z12 1.000000Z22 -0.144671695Z2=Z32

=-2.383407279

Tercer Modo: Usando anlogamente W32.

79.947585-0.035280699*3630.78873029

-40.379154 0 Z13 0

-40.37915455.527646-

0.034985413*3630.78873029-15.148492 Z23 0

0 -15.14849215.148492-

0.005851645*3630.7887029Z33

=

0

Asumimos Z13= 1, Despejando Z23:

[79.947585-(0.035280699*3630.7887029)]*1Z23= 40.379154

Z23= -1.192426650

-15.148492*(-1.192426650)Z33= 15.148492-(0.005851645*3630.7887029)

Z33= 2.962391959

Comprobacin de la Ortogonalidad de los modos conrespecto a las matrices de masa y rigidez.

a) Ortogonalidad con respecto a la matriz de masas:

ZjT*M*Zr= 0 si j r

Z1T*M*Z2=

0.035280699 0 0 1.0000000 0.034985413 0 -0.1446716951.00 1.648290335 1.9314782610 0 0.005851645 -2.383407279

=0

Z1T*M*Z3=

0.035280699 0 0 1.000 0.034985413 0 -1.1924266501.00 1.648290335 1.9314782610 0 0.005851645 2.962391959

=0

Z2T*M*Z3=



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0.035280699 0 0 1.000 0.034985413 0 -1.1924266501.00 -0.144671695 -2.3834072790 0 0.005851645 2.962391959

=0

b) Ortogonalidad con respecto a la matriz de rigidez:

ZjT*K*Zr= 0 si j r

Z1T*K*Z2=

79.947585 -40.379154 0 1.000000-40.379154 55.527646 -15.148492 -0.1446716951.00 1.648290335 1.931478261

0 -15.148492 15.148492 -2.383407279=0

Z1T*K*Z3=

79.947585 -40.379154 0 1.00-40.379154 55.527646 -15.148492 -1.1924266501.00 1.648290335 1.931478261

0 -15.148492 15.148492 2.962391959=0

Z2T*K*Z3=

79.947585 -40.379154 0 1.00-40.379154 55.527646 -15.148492 -1.1924266501.00 -0.144671695 -2.383407279

0 -15.148492 15.148492 2.962391959=0

Anlisis Ssmico Dinmico

Clculo del coeficiente de participacin de cada modo m, haciendouso de la ecuacin:

m1*imm= m1*im2

(0.035280699*1)+(0.034985413*1.648290335)+(0.005851645*1.931478261)1= (0.035280699*(1)2)+(0.034985413*(1.648290335)2)+(0.005851645*(1.931478261)2)

1= 0.685122131

(0.035280699*1)-(0.034985413*0.144671695)-(0.005851645*2.383407279)2= (0.035280699*(1)2)+(0.034985413*(-0.144671695)2)+(0.005851645*(-2.383407279)2)

2= 0.234967703



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(0.035280699*1)-(0.034985413*1.192426650)+(0.005851645*2.962391959)3= (0.035280699*(1)

2)+(0.034985413*(-1.192426650)2)+(0.005851645*(2.962391959)2)

3= 0.079910166

Clculo de matriz modal normalizada.

1.000000 0.6851221311.648290335 1.1292801871= 0.6851221311.931478261

1=1.323298502

1.000000 0.234967703-0.144671695 -0.0339931762= 0.234967703-2.383407279

2=-0.560023734

1.000000 0.079910166-1.192426650 -0.0952870113= 0.1822442.962391959

3=0.236725232

Forma Modal Normalizada



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3.7.1. CALCULO DE LAS FUERZAS Y CORTANTES SISMICOS (MODALES)MEDIANTE EL METODO DE ANLISIS DINMICO CON UN GRADO DE

LIBERTAD POR PLANTA

APLICANDO EL REGLAMENTO NACIONAL DE CONSTRUCCION

EJE 2Datos obtenidos del anlisis dinmico con un grado de libertad por Nivel.

1.a) En la Tabla anexa se indican los pesos y las coordenadas modales delos diversos pisos calculados mediante un anlisis modal.

Nivel Wi(Kg) 1 2 33 5,740.46 1.323299 -0.560024 0.236725

2 34,320.69 1.129280 -0.033993 -0.095287

1 34,610.37 0.685122 0.234968 0.079910

1.b) Perodo de los modos (Datos del Anlisis Dinmico)

T1= 0.3225089 Seg. Modo 1T2= 0.1274183 Seg. Modo 2T3= 0,1042748 Seg. Modo 3

Datos obtenidos aplicando la Norma Sismorresistente, (Tabla A-1, A-2,RNC-83, ver tabla en ANEXO I).2.a) Ubicacin y Zonificacin: Managua, Zona ssmica 62.b) Uso: Apartamentos, Grupo 2 Vida Econmica 50 aos

Probabilidad de dao aceptable 0.40Probabilidad de no excedencia 0.60Riesgo/ao 0.10Perodo de Retorno 100 Aos

Entonces, A= 0.352.c) Sistema Aporticado por lo tanto, el tipo de

Estructura es: Tipo IK 0.67

2.d) Factor de deformacin de dao dt= 3.002.e) Factor Intervalo de Confiabilidad Espectral (1+ Kt Vs) = 1.002.f) Factor de Reduccin R R= 0.70

Fuerzas modales .

Fim= Wi x imx m x Am/g Fim= Fuerza Lateral en el Piso i, modo m

m= Wi im am= Factor de participacin de cada modoWi m

2

Sm= Am/g x mx Wi Sm= Cortante en la base para el modo m



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2

m= 1 Wi im m= Fraccin de Masa total o participativaW Wi im

2 asociada con la respuesta en modo m

Modo 1: Se determinar el coeficiente ssmico c

Factor de Amplificacin Dinmica, Como T1 = 0.3225089 seg< 0.5 seg. D= 2

T1= 0.3225089 seg Perodo Fundamental

Se calcula V1= A*D*R*1/dt*(1+Kt Vs)*Wn/gV1= 0.35*2*0.7*(1/3)*1*Wn/g V1=0.163 Wn

c = 0.163

Haciendo uso del espectro de aceleraciones para anlisis dinmico modal,deducimos Am, en base al perodo modal

Am = c x gAm = 0.163 g

Se calcula el corte Basal

Sm= Am/g x mx Wi

Se construye la siguiente tabla: Modo 1

NIVEL Wi (Kg) Masa(kg-s2/m) 1 Wi 1 Wi 12 1 (Cte) 1 (Cte)3 5,740.46 585.16 1.323 7,596.346 10,052.234 0.938 1.000

2 34,320.69 3,498.54 1.129 38,757.675 43,768.275

1 34,610.37 3,528.07 0.685 23,712.327 16,245.840

74,671.52 7,611.78 Acumulados 70,066.35 70,066.35S1=0.938x74,671.52x0.163 = 11,444.17 kg

Clculo de la fuerza lateral Fim para cada piso, la cual se acumula paracalcular el cortante basal que debe ser igual al calculado en el paso

anterior.Por ejemplo, para el nivel 3 se tendr:

F31= Wix imx m x Am/g

F31= 5,740.46 x 1.323 x 1.000 x 0.163 = 1,240.74 kg



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NIVEL Peso (kg) 1 1(Cte) Fi1(kg) Vi1(kg)0.00

3 5,740.46 1.323 1.000 1,240.74 1,240.74

2 34,320.69 1.129 1.000 6,330.42 7,571.161 34,610.366 0.685 1.000 3,873.01 11,444.17

74,671.52

Se comprueban al final los valores comparando S1del nivel 1 con V11

V11= 11,444.17 Kg El Corte acumulado es igual al calculado

Cortes del Modo 1 OK(Puede haber diferencias poraproximaciones decimales)

S1= 11,444.17 Kg

Clculo del desplazamiento modal en cada piso

'im = dt x Am x 1/W2m x m x im

'11= 0.8677 cm

'21= 1.4302 cm

d'31= 1.6759 cm

Se r e p i t e e l cl c u l o p a r a l o s m o d o s 2 y 3 l o c u a l a p a r e c e r e s um i d o e n l a s

t a b l a s s i g u i e n t e s .

Fuerzas modales en el 2domodo. Se determinar el coeficiente ssmico

Factor de Amplificacin Dinmica, Como T2 =0.1274183seg < 0.5;entonces D =2

T2= 0.1274183 seg

Se calcula V2= A*D*R*1/dt*(1+Kt Vs)*Wn/g

V2= 0.35*2*0.7*(1/3)*1*Wn/g V2=0.163 Wn

c= c = .163

Haciendo uso del espectro de aceleraciones para anlisis dinmico modal,deducimos Am, en base al periodo modal

T2= 0.1274 seg



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Entonces Am=c*g= 0.163 g c = 0.163Se calcula el corte Basal

Sm= Am/g x mx Wi


NIVEL Wi (Kg) Masa(kg-s2/m)

2 Wi 2 Wi22 2 (Cte) 2 (Cte)3 5,740.46 585.16 -0.560 -3,214.796 1,800.362 0.050 1.0002 34,320.69 3,498.54 -0.034 -1,166.669 39.6591 34,610.37 3,528.07 0.235 8,132.318 1,910.832 74,671.52 7,611.78 Acumulados 3,750.85 3,750.85

S2= 0.050 x 74,671.52 x 0.163 = 612.64 kg

Clculo de la fuerza lateral Fim para cada piso, la cual se acumula para

calcular el cortante basal que debe ser igual al calculado en el pasoanterior.

Por ejemplo, para el nivel 3 se tendr:F32= Wi x im x m x Am/g

F32= 5,740.46 x -0.560 x 1.000 x 0.163 = -525.08 kg

NIVEL Peso (kg) 2 2(Cte) Fi2(kg) Vi2(kg)3 5,740.46 -0.560 1.000 -525.08 -525.082 34,320.69 -0.034 1.000 -190.56 -715.641 34,610.366 0.235 1.000 1,328.28 612.64 74,671.52


V12= 612.64 Kg El Corte acumulado es igual al calculado


S2= 612.64 Kg

Clculo del desplazamiento modal de cada piso


'12= 0.0464 cm

'22= -0.0067 cm

'32= -0.1107 cm



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Fuerzas Modales en el 3ermodo: Determinacin del coeficiente ssmico

Factor de amplificacin dinmica T3=0,104274803 seg < 0.5 seg;entonces D =2

Se calcula V3= A*D*R*1/dt*(1+Kt Vs)*Wn/gV3= 0.35*2*0.7*(1/3)*1*Wn/g V3= 0.163 Wn

c = 0.163Determinacin de la aceleracin espectral Am

En base al perodo Am = c*g = 0.163


Sm= Am/g x mx Wi


NIVEL Wi (Kg)Masa

(kg-s2/m) 3 Wi3 Wi32 3 (Cte) 3 (Cte)3 5,740.46 585.16 0.237 1,358.913 321.689 0.011 1.0002 34,320.69 3,498.54 -0.095 -3,270.316 311.6191 34,610.37 3,528.07 0.080 2,765.720 221.009 74,671.52 7,611.78 Acumulados 854.32 854.32

S3= 0.163 x 74,671.52 x 0.011 = 139.54 kg

Clculo de la fuerza lateral Fim para cada piso, la cual se acumula paracalcular el cortante basal que debe ser igual al calculado en el pasoanterior.


F33= 5,740.46 x 0.237 x 1.000 x 0.163 = 221.96kg

NIVEL Peso (kg) 3 3(Cte) Fi3(kg) Vi3(kg)3 5,740.46 0.237 1.000 221.96 221.962 34,320.69 -0.095 1.000 -534.15 -312.191 34,610.366 0.080 1.000 451.73 139.54 74,671.52


V13= 139.54 Kg

Cortes del Modo 3 OK

El Corte acumulado es igual al calculado(Puede haber diferencias poraproximaciones decimales)



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S3= 139.54 Kg



'13= 0.0106 cm

'23= -0.0126 cm

'33= 0.0313 cm

Fuerzas modales del anlisis modal: los valores finales del corte basal ycorte en cada piso se determinarn por combinacin de los respectivosvalores modales, tomando la raz cuadrada de la suma de los cuadrados decada valor modal.

NIVEL V1(kg) V2 (kg) V3(kg)(kg)

3 1,240.74 -525.08 221.96 1,365.432 7,571.16 -715.64 -312.19 7,611.311 11,444.17 612.64 139.54 11,461.41

COMBINACINCUADRTICA

DE LOS NODOS

Desplazamiento total en cada pisoNIVEL MODO 1 MODO 2 MODO 3

'i total(cm)

't1 't2 't33 1.6759 -0.1107 0.0313 1.6802 1.4302 -0.0067 -0.0126 1.4301 0.8677 0.0464 0.0313 0.869

m,VV 2

1



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ESTRUCTURA IDEALIZADA

EJE 2



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3.7.2.- ANALISIS DEL EJE B

Clculo de rigidez de columnas.

12*E*IK =L3




Determinacin de la matriz de rigidez lateral (K).

K1+K2 -K2 0 38.533618 -15.928388 0-K2 K2+K3 -K3 -15.928388 18.189524 -2.261136K=0 -K3 K3

=0 -2.261136 2.261136

Clculo de masas por nivel.

Wimi=g

NOTA: Los pesos fueron calculados en la seccin3.6.3, EJE B, pgina 50.

97508.933 kg * 1Tnm1= 981cm/seg2 1000 kg

m1= 0.099397 ton-seg

2

/cm

97112.404 kg * 1Tnm2= 981cm/seg2 1000 kg

m2= 0.098993 ton-seg2/cm



17/80


16312.731 kg * 1Tnm3= 981cm/seg2 1000 kg

m3= 0.016629 ton-seg2/cm

Determinacin de matriz de masa.

m1 0 0 0.097359 0 00 m2 0 0 0.098993 0M =0 0 m3

=0 0 0.016629

Clculo de las frecuencias para cada uno de los modos devibracin.

|K W2*M| = 0

38.533618 -15.928388 0 0.099397 0 0-15.928388 18.189524 -2.261136 0 0.098993 0

0 -2.261136 2.261136-W2

0 0 0.016629=0

38.533618-0.099397W2 -15.928388 0-15.928388 18.189526-0.098993W2 -2.261136

0 -2.261136 2.261136-0.016629W2=0

El desarrollo de este determinante conduce a la siguienteexpresin:

-0.000163622828478W6 + 0.115745950405W4 19.6415422026W2 +814.15564955 = 0

Resolviendo la ecuacin anterior obtenemos:

W12= 62.4946020365 seg-2 W1 = 7.90535274586 seg

-1W2

2= 167.382541723 seg-2 W2= 12.9376405006 seg-1

W32= 485.632845167 seg-2 W3= 22.037078871 seg

-1

Clculo del perodo para cada uno de los modos.

2 2*T1= W1

=7.90535274586 seg-1

T1= 0.795892 seg



18/80


2 2*T2= W2

=12.9376405006 seg-1

T2= 0.486205 seg

2 2*T3= W3=

22.037078871 seg-1

T3= 0.287365 seg

Clculo de las formas modales

Para calcular los modos de vibracin, se reemplazan los valores deW2en la expresin |K W2*M|Z = 0

Primer modo: Procediendo as con W1

2, se obtiene el siguiente sistemahomogneo de ecuaciones.

38.533618-0.099397*62.323369389

-15.928388 0 Z11 0

-15.928388 18.189524-0.098993*62.323369389

-2.261136 Z21 0

0 -2.261136 2.261136-0.016629*62.323369389

Z31

=

0

Asumimos Z11 = 1.00, entonces el valor de Z21 y Z31 losobtenemos por sustitucin, en las ecuaciones anteriores.

Z11 1.000000Z21 2.030277Z1=Z31

=3.749179

Segundo Modo: usando anlogamente W22.

38.533618-0.099397*167.00194394

-15.928388 0 Z12 0

-15.928388 18.189524-0.098993*167.00194394

-2.261136 Z22 0

0 -2.261136 2.261136-

0.016629*167.00194394

Z32

=

0

Asumimos Z12= 1

Z12 1.000000Z22 1.377046Z2=Z32

=-6.034989



19/80


Tercer Modo: Usando anlogamente W32.

38.533618-0.099397*478.06956231

-15.928388 0 Z13 0

-15.928388 18.189524-0.098993*478.06956231

-2.261136 Z23 0

0 -2.261136 2.261136-0.016629*478.0695631

Z33=

0

Asumimos Z13= 1, Despejando Z23:

[38.533618-(0.099397*478.06956231)]*1Z23= 15.928388Z23= -0.567091

-2.261136*(-0.564091)Z33= 2.261136-(0.016629*478.06956231)Z33= -0.224215

Comprobacin de la Ortogonalidad de los modos con respecto a lasmatrices de masas y rigideces.

a) Ortogonalidad con respecto a la matriz de masas:

ZjT*M*Zr= 0 si j r

Z1T*M*Z3=

0.099397 0 0 1.000 0.098993 0 -0.5640911.00 2.203027 3.7491790 0 0.016629 -0.224215

=0

b) Ortogonalidad con respecto a la matriz de rigidez:

ZjT*K*Zr= 0 si j r

Z1T*K*Z3=

38.533618 -15.928388 0 1.00-15.928388 18.189524 -2.261136 -0.5640911.00 2.203027 3.749179

0 -2.261136 2.261136 -0.224215=0



20/80


Anlisis ssmico dinmico

Clculo del coeficiente de participacin de cada modo m, haciendouso de la ecuacin:

m1*imm= m1*im2

(0.099397*1)+(0.098993*2.030277)+(0.016629*3.749179)1= (0.099397*(1)2)+(0.098993*(2.030277)2)+(0.016629*(3.749179)2)1= 0.489381

(0.099397*1)+(0.098993*1.377046)+(0.016629*(-6.034989))2=

(0.099397*(1)2)+(0.098993*(1.377046)2)+(0.016629*(-6.034989)2)

2= 0.151619(0.099397*1)+(0.098993*(-0.564091))+(0.016629*(-0.224215))

3= (0.099397*(1)2)+(0.098993*(-0.564091)2)+(0.016629*(-0.224215)2)3= 0.302336

Clculo de matriz modal normalizada.

1.000000 0.4893812.030277 0.9935791= 0.4893813.749179

1=1.834777

1.000000 0.1516191.377046 0.2087862= 0.151619-6.034989

2=-0.915019

1.000000 0.302336-0.564091 -0.1705463= 0.302336-0.224215

3=-0.067788



21/80


Forma Modal Normalizada



22/80


3.7.2.11. CALCULO DE LAS FUERZAS Y CORTANTES SISMICOS (MODALES)MEDIANTE EL METODO DE ANLISIS DINMICO CON UN

GRADO DE LIBERTAD POR PLANTA

APLICANDO EL REGLAMENTO NACIONAL DE CONSTRUCCIONEJE B

Datos obtenidos del anlisis dinmico con un grado de libertad por Nivel.

1.a) En la Tabla anexa se indican los pesos y las coordenadas modales delos diversos pisos calculados mediante un anlisis modal.

Nivel Wi(Kg) 1 2 33 16,312.73 1.834777 -0.915019 -0.0677882 97,112.40 0.993579 0.208786 -0.1705451 97,508.93 0.489381 0.151619 0.302336

1.b) Perodo de los modos (Datos del Anlisis Dinmico)

T1= 0.795892 Seg. Modo 1T2= 0.486205 Seg. Modo 2T3= 0.287365 Seg. Modo 3

Datos obtenidos aplicando la Norma Sismorresistente, (Tabla A-1, A-2,RNC-83, Ver tabla en ANEXO I)2.a) Ubicacin y Zonificacin: Managua, Zona ssmica2.b) Uso: Apartamentos, Grupo 2 Vida Econmica 50 aos

Probabilidad de dao aceptable 0.40Probabilidad de no excedencia 0.60Riesgo / ao 0.10Perodo de Retorno 100 Aos

Entonces, A= 0.352.c) Sistema Aporticado por lo tanto, el tipo de

Estructura es: Tipo IK 0.67

2.d) Factor de deformacin de dao dt= 3.002.e) Factor Intervalo de Confiabilidad Espectral (1+ Kt Vs) = 1.002.f) Factor de Reduccin R R= 0.70

Fuerzas modales .

Fim= Wi x im x m x Am/g Fim= Fuerza Lateral en el Piso i, modo m

m= Wi im m= Factor de participacin de cada modoWi im

2

Sm= Am/g x mx Wi Sm= Cortante en la base para el modo m



23/80


2

m= 1 Wi imW Wi im

2m= Fraccin de Masa total o participativaasociada con la respuesta en modo m

Modo 1: Se determinar el coeficiente ssmico c

Factor de Amplificacin Dinmica, Como T1 = 0.795892 seg > 0.5 seg.Entonces D= 2*(0.5/T)0.5 D= 1.585

T1= 0.795892 seg. Perodo Fundamental

Se calcula V1= A*D*R*1/dt*(1+Kt Vs)*Wn/gV1= 0.35*1.585*0.7*(1/3)*1*Wn/g V1=0.129 Wn

c = 0.129

Haciendo uso del espectro de aceleraciones para anlisis dinmico modal,deducimos Am, en base al perodo modal

Am = (0.5/T)x c x gAm = 0.081 g


Sm= Am/g x mx Wi


NIVEL Wi (Kg)Masa

(kg-s2/m)1 Wi 1 Wi 12 (Cte) (Cte)

3 16,312.73 1,662.87 1.835 29,930.224 54,915.286 0.826 1.0002 97,112.40 9,899.33 0.994 96,488.845 95,869.2901 97,508.93 9,939.75 0.489 47,719.019 23,352.781 210,934.07 21,501.94 Acumulado 174,138.09 174,137.36

S1= 0.826 x 210,934.07 x 0.081 = 14,160.73 kg

Clculo de la fuerza lateral Fim para cada piso, la cual se acumula paracalcular el cortante basal que debe ser igual al calculado en el pasoanterior.


F31= 16,312.73 x 1.835 x 1.000 x 0.081 = 2,433.89 kg



24/80


NIVEL Peso (Kg.) 1 1(Cte) Fi1(kg) Vi1(kg)0.00

3 16,312.73 1.835 1.000 2,433.89 2,433.892 97,112.40 0.994 1.000 7,846.37 10,280.26

1 97,508.933 0.489 1.000 3,880.46 14,160.72 210,934.07

Se comprueban al final los valores comparando S1 del nivel 1 con V11

V11= 14,160.72 Kg. El Corte acumulado es igual al calculado


S1= 14,160.73 Kg.

Clculo del desplazamiento modal en cada piso


'11= 1.8741 cm

'21= 3.8049 cm

'31= 7.0262 cm

Se r e p i t e e l cl c u l o p a r a l o s m o d o s 2 y 3 l o c u a l a p a r e c e r e s um i d o e n l a s

t a b l a s s i g u i e n t e s .

Fuerzas modales en el 2domodo. Se determinar el coeficiente ssmico

Factor de Amplificacin Dinmica, Como T2=0.486205 seg. < 0.5;Entonces D =2

T2= 0.486205 seg.

Se calcula V2= A*D*R*1/dt*(1+Kt Vs)*Wn/gV2= 0.35*2*0.7*(1/3)*1*Wn/g V2=0.163 Wn

c =0.163

Haciendo uso del espectro de aceleraciones para anlisis dinmico modal,deducimos Am, en base al perodo modal.

T2= 0.4862 seg

Entonces Am= c*g = 0.163g



25/80



Sm= Am/g x mx Wi


NIVEL Wi (Kg.)Masa

(kg-s2/m)2 Wi 2 Wi22 2 (Cte) 2 (Cte)

3 16,312.73 1,662.87 -0.915 -14,926.459 13,657.993 0.095 1.0002 97,112.40 9,899.33 0.209 20,275.710 4,233.2841 97,508.93 9,939.75 0.152 14,784.207 2,241.567 210,934.07 21,501.94 Acumulados 20,133.46 20,132.84

S2= 0.095 x 210,934.07 x 0.163 =3,288.57 kg

Clculo de la fuerza lateral Fim para cada piso, la cual se acumula para

calcular el cortante basal que debe ser igual al calculado en el pasoanterior.


F32=16,312.73 x -0.915 x 1.000 x 0.163 = -2,438.06 kg

NIVEL Peso (Kg.) 2 2(Cte.) Fi2(kg) Vi2(kg)3 16,312.73 -0.915 1.000 -2,438.06 -2,438.062 97,112.40 0.209 1.000 3,311.80 873.741 97,508.933 0.152 1.000 2,414.83 3,288.57 210,934.07




S2= 3,288.57 Kg.



'12= 0.4354 cm

'22= 0.5996 cm

'32= -2.6278 cm



26/80


Fuerzas modales en el 3er Modo: Determinacin del coeficiente ssmico

Factor de amplificacin dinmica T3 = 0,287365 seg. < 0.5 seg.;entonces D=2

T3= 0.287365 seg.

Se calcula V3= A*D*R*1/dt*(1+Kt Vs)*Wn/gV3= 0.35*2*0.7*(1/3)*1*Wn/g V3= 0.163 Wn

c = 0.163Determinacin de la aceleracin espectral Am

En base al perodo Am = c*g = 0.163g


Sm= Am/g x mx Wi


NIVEL Wi (Kg.)Masa

(kg-s2/m)3 Wi3 Wi32 3 (Cte) 3 (Cte)

3 16,312.73 1,662.87 -0.068 -1,105.807 74.960 0.056 1.0002 97,112.40 9,899.33 -0.171 -16,562.035 2,824.5721 97,508.93 9,939.75 0.302 29,480.461 8,913.005 210,934.07 21,501.94 Acumulados 11,812.62 11,812.54

S3= 0.056 x 210,934.07 x 0.163 = 1,929.41 kg

Clculo de la fuerza lateral Fim para cada piso, lo cual se acumula paracalcular el cortante basal que debe ser igual al calculado en el pasoanterior.


F33=16,312.73 x -0.068 x 1.000 x 0.163 = -180.62 kg

NIVEL Peso (kg) 3 3(Cte) Fi3(kg) Vi3(Kg.)3 16,312.73 -0.068 1.000 -180.62 -180.622 97,112.40 -0.171 1.000 -2,705.15 -2,885.771 97,508.933 0.302 1.000 4,815.17 1,929.40 210,934.07



27/80




Cortes del Modo 3 OK(Puede haber diferencias por

aproximaciones decimales)S3= 1,929.41 Kg.



'13= 0.2993 cm

'23= -0.1688 cm

'33= -0.0671 cm

Fuerzas modales del anlisis modal: los valores finales del corte basal ycorte en cada piso se determinarn por combinacin de los respectivosvalores modales, tomando la raz cuadrada de la suma de los cuadradosde cada valor modal.

NIVEL V1(Kg.) V2(kg) V3(kg)(kg)

3 2,433.89 -2,438.06 -180.62 3,449.722 10,280.26 873.74 -2,885.77 10,713.301 14,160.72 3,288.57 1,929.40 14,665.04

COMBINACINCUADRTICA

DE LOS MODOS

Desplazamiento total en cada piso

NIVEL MODO 1 MODO 2 MODO 3'i total(cm)

't1 't2 't33 7.0262 -2.6278 -0.0671 7.5022 3.8049 0.5996 -0.1688 3.8561 1.8741 0.4354 -0.0671 1.925

m,VV 2

1



28/80

Anlisis

ComparativoentreelMtodoE

stticoyelMtodoDinmicodeAnlisisModal

EST

RUCTURA

IDEALIZADA

EJE

B

AnlisisSsmicoDinmico


29/80


30/80


31/80

El edificio est conformado de paredes exteriores de Panel Covintec, Las paredes internasson particiones de JPM, la estructura principal ser Metlica con entrepiso de losa mixta

de lmina troquelada y concreto reforzado.

II. CLASIFICACION ESTRUCTURAL.

De acuerdo con el Reglamento Nacional de la Construccin, RNC-83, el edificio seclasifica de la siguiente manera:Grupo: 2 Oficinas.Tipo: 3 Edificio de dos Plantas con prticos rgidos.K: 1.00Grado: B Calidad Regular.

III. CARGAS VIVAS.

OficinasCV= 250 kg/m2

CVR=100 kg/m2

IV. CARGAS MUERTAS

Zinc corrugado calibre 26= 5.4 Kg/m2

Cielo raso de Plycem con estructura de aluminio= 7 kg/m2

Peso de piso cermico= 30 Kg/m2

Peso de paredes de Covintec = 150 Kg/m2

Peso de particiones ligeras (Durock/ Gypsum) = 23 kg/m2

Ventanas de Vidrio Fijo con Estructura de Aluminio= 35 kg/m

2

C= 0.429


32/80

analisis dinamico edificio administrativo bautista final

Resolucion al problema del analisis modal para un edificio de dos nivelessiguiendo la metodologia empleada por el Ing. Gilberto Lacayo. (Metodo matricial Stodolla-Vianello).

Primeramente se ensambla la matriz de masas deledificio, para esto necesitamosconocer la masa de todos los elementos que locomponen tales como losas, vigas

y columnas, forros y particiones, paredes,escaleras, descanso, losa de techo,ductos y tuberias, etc. (calculo en hoja de excelanexa).

Matriz de masas:

x 0.34

Matriz de rigidez lateral del edificio:

16 es el numero de columnas.

La matriz de rigidez lateral es:

La matriz de flexibilidad es

file:///F|/analisis dinamico edificio administrativo bautista final.htm (1 of 10)8/23/2006 11:50:02 PM


33/80


x 8.29x10^-2 es la matriz de flexibilidad

La matriz dinamica para el PRIMER MODO DE VIBRACION es:

factor de la matriz de flexibilidad * factor de matriz de masas.

x 0.028

Configuracion caracteristica para el primer modo de vibracion

vector de prueba inicial:

Ecuacion carateristica para el primer modo de vibracion:

D1*u1=1/wl2*u1

Para la segunda iteracion se toma el valor de D1*u1 anterior como vector deprueba. asi:

Tercera iteracion



34/80


Cuarta iteracion

Quinta iteracion

los resultados son practicamente iguales.

SEGUNDO MODO DE VIBRACION

Aplicamos el principio de ortogonalidad.

para lo cual calculamos la transpuesta de la matriz de desplazamientos U1



35/80


La matriz traspuesta x la matriz de masas x el desplazamiento unitariosegundo debe ser igual a cero, o sea.

hacemos cero US1 y sustituimos el coeficiente de US2 en la matriz de masas.

A partir de esta y la matriz de masas, construimos lamatriz de eliminacion S1

recordando que:

y montamos la matriz dinamica para el segundo modo de vibracion que es

La configuracion caracteristica para el segundo modo de vibracion es:

por lo tanto necesitamos asumir un valor de prueba para los desplazamientos u2

Primera iteracion matricial.



36/80


Segunda iteracion matricial.

Tercera iteracion matricial.

Cuarta iteracion matricial.

Quinta iteracion matricial.

Sexta iteracion matricial.

Septima iteracion matricial.

Octava iteracion matricial.

Novena iteracion matricial.



37/80


Decima iteracion matricial.

En el problema presentado empleamos el valor obtenido en la novenaiteracion lo cual nos da los siguientes resultados.

de aqui w2=

el periodo T2

El vector U2, desplazamiento para el segundo modo de vibracion es:

AHORA PASAMOS AL TERCER MODO DE VIBRACION

No existe tercer modo de vibracion ya que hay tantos modos de vibracion comoniveles tenga el edificio, en nuestro caso, tiene solamente dos niveles por lo tantosolo existen dos modos de vibrar.

Con los valores de los vectores de desplazamiento para cada modo obtenemosla matriz modal para el sistema estructural la cual es:



38/80


Esta matriz de vectores de desplazamientos esta referida al nivel o piso de referencia uno,por lo cual es logico que los desplazamientos en los niveles superiores son mayores que enlos niveles inferiores por lo tanto se ordenan de arriba hacia abajo, asi:

Ahora procedemos a efectuar el analisis espectral que es la segunda parte del problema.

La clasificacin estructural siguiendo los lineamientos del RNC 83 son los siguientes.(esto es necesario para el calculo de las aceleraciones espectrales de acuerdo con el espectrode respuesta sumnistrado en el reglamento).Veamos:Grupo 1. Edificio destinado a uso como Biblioteca.Tipo 3. Edificios hasta de dos plantas con marcos rigidos de cualquier material o hibridos.Grado B. Sistema estructural con simetra aceptable, confiabilidad del sistema constructivo,control de los materiales, supervisin permanente.Zona Sismica: zona 6, que incluye Managua.Coeficiente Ssmico ltimo: De la tabla 14 del RNC.Cu=0.429.Los periodos de vibracion del edificio calculados son:

n de golpes=27segun el RNC es un SUELO MEDIO.

Aplicamos el articulo 23 del RNC 83 Influencia del suelo y del periodo del edificio.

Por lo tanto para suelos medios y duros con periodo mayor de 0.8 segundos(Ver espectro de aceleraciones del RNC 83).



39/80


La aceleracion para el primer periodo es

Ahora se pasa a efectuar numericamente en una hoja de calculo de excel.



40/80


Ahora se procede a calcular los desplazamientos espectrales.

Para el primer modo:

Para el segundo modo:



41/80


Ahora calculamos las fuerzas sismicas espectrales.

Para el modo 1:

Para el modo 2:

Las fuerzas sismicas estandarizadas son:



42/80

1

3.9 ANLISIS MODAL ELSTICO PARA UN EDIFICIO DE CINCO NIVELES.

Ilustraremos la aplicacin del mtodo de iteraciones matriciales en el anlisis deledificio de cinco niveles mostrado en la Fig (3.32) proyectado para construirse en elsector de San Antonio en Managua, en un sitio localizado entre las fallas Estadio y LosBancos, estructuras cuyo control tectnico se conoce desde el estudio de Durham H.W.(1939).

GEOLOGA LOCAL

La ciudad de Managua se localiza en una planicie de abanicos aluviales cuyo espesor

alcanza hasta unos 12m, constituidos por estratos entremezclados de materialespiroclsticos y suelos, ya que el lugar registra un historial volcnico cuyas deposicionesjunto con los materiales aluviales forman parte de la topografa de las planicies deManagua.Durante el Pleistoceno y el Holoceno la sedimentacin del rea de Managua fue de

piroclastos transportados por el agua y el viento, esta deposicin fue extensiva en lasplanicies, formando grandes abanicos aluviales siguiendo la ruta de los drenajes y depequeas escarpas de fallas, lo cual hace que la estratigrafa del rea sea variable,caracterizada por estratos horizontales indicativos de largos periodos de inactividadvolcnica.


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2

Existen en el rea aluviales espesos, con abundantes escombros y secuencias demateriales volcnicos depositados en capas tobceas, as como materiales gruesoscementados, arenas y gravas en la vecindad lacustre.

TECTNICA DEL LUGAR

La ciudad de Managua se localiza dentro de la depresin tectnica o Graben deNicaragua la cual se encuentra rellenada por materiales piroclsticos pertenecientes alvulcanismo Holocenico, cuya actividad principal se produjo en las estructurasvolcnicas alineadas desde Apoyeque hasta la regin del Nejapa y en la estructura delrea del Tiscapa.Esta unidad tectnica presenta las caractersticas de las estructuras producidas por losesfuerzos de tensin debidos a la depresin nicaragense y las estructuras individualesque integran la unidad.Existen evidencias de las tensiones en la regin del Graben, observndose adems

esfuerzos compresivos en los materiales lticos tobceos y en los materiales cementados,donde el fracturamiento presenta desplazamientos del orden de algunos centmetros.La informacin instrumental confirma que los esfuerzos confinados en la regin delPacifico de Nicaragua transfieren movimientos a lo largo de zonas de debilidadestructural, para nuestro propsito establecemos las relaciones de las fallas activasEstadio y Los Bancos con la posibilidad de que la energa acumulada produzcamovimientos en algunas fallas del sistema escalonado de Managua.

ESTRUCTURAS EXISTENTES EN EL SECTOR

Del Informe Tcnico de INETER titulado: Actualizacin del Mapa de Fallas

Geolgicas de Managua (ASDI, The World Bank Group, Managua 2002),transcribimos textualmente: (2)La ciudad de Managua se ubica dentro de la cordillera volcnica entre los volcanesApoyeque al noroeste y Masaya al sureste. En ella y en sus alrededores se reconocennumerosos pequeos edificios volcnicos y remanentes de volcanes: Santa Ana,Asososca, Tiscapa, Ticomo, Motastepe, entre otros.El subsuelo de Managua se caracteriza por la presencia de una secuencia volcano-sedimentaria donde se reconocen productos provenientes de los volcanes Masaya,Apoyeque, Apoyo, de los volcanes del lineamiento Miraflores-Nejapa, Motastepe y deotros edificios fuera de este lineamiento, como Chico Peln y Tiscapa que quedan ahoracomo remanentes de antigua actividad volcnica en el centro del rea de estudio. La

presencia de numerosos suelos fsiles demuestra la existencia de ciertos perodos decalma entre eventos volcnicos o tectnicos, que han permitidos el desarrollo de suelosde varios tipos (Hradecky et al., 1997).

El subsuelo de Managua se compone, a partir de la base, por productos del Grupo LasSierras, en los cuales se reconocen ignimbritas, ondas piroclsticas y piroclstos decada, relacionados a explosiones regionales de calderas que se han formado entre finaldel Terciario e inicio del Cuaternario. Sobre este grupo se depositaron secuencias

piroclsticas del Grupo Las Nubes y del Grupo Managua, las cuales estnsuficientemente descritas en Hradecky et al (1997) y en Hradecky (2001).

(2) Este es el estudio mas actualizado acerca del riesgo ssmico debido al sistema de fallas geolgicas de la ciudad de Managua.


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ESTRATIGRAFA DE MANAGUA

La geologa y estratigrafa de Managua ha sido objeto de estudio en varios proyectos,sin embargo, pocos de ellos, por ejemplo (Bice, 1983) y (Hradecky et al., 1997),

emplearon conceptos genticos en la clasificacin litolgica; muchos propusieron unaclasificacin litolgica con carcter ingeniero-geolgica, especialmente los estudioselaborados despus del terremoto de 1972 (Woodward-Clyde Consultants, 1975). Elreciente estudio geolgico del rea de Managua de Hradecky et al. (1997) mejor losconocimientos sobre la evolucin geolgica y estructural del rea de la capital,considerando indispensables utilizar los aspectos genticos, en particular vulcanolgicosy geomorfolgicos en la definicin de la amenaza de esta rea, as como en lasinvestigaciones cientfica

FALLAS GEOLGICAS Y LINEAMIENTOS

Woodward-Clyde Consultants (1975) presentan una descripcin de las fallas principalescon sus respectivas denominaciones, parmetros y caractersticas. Moore (1990) y, msrecientemente, el Grupo de Autores (1997, Reporte N3 de la MicrozonificacinSsmica de Managua) recopilaron informacin bibliogrfica de cada falla principal.El rea de Managua se ubica dentro de la Depresin de Managua, una estructuraorientada N-S, considerada secundaria, con las mismas caractersticas y origen de laestructura principal (Depresin de Nicaragua). Sus relaciones con la estructura principalno se conocen. Se trata de una estructura reciente de tipo extensional y activa, quedisloca la cordillera volcnica en sentido derecho por unos 13 Km. (discutido porFrischbutter, 1998).

La Depresin o Graben de Managua est limitada por la Falla Cofrada al este y ellineamiento Miraflores-Nejapa al oeste. Hacia el norte el graben se pierde dentro dellago y hacia el sector suroeste el graben es limitado por la Falla Mateare y la Falla Las

Nubes, mientras hacia el sur el lmite se encuentra dentro de las calderas de Las Sierras.Dentro del graben se encuentran fallas orientadas segn dos conjuntos conjugados: N-Sy NE-SW (Woodward-Clyde Consultants, 1975). Las fallas con orientacin N-Sgeneralmente tienen forma de arco, con direccin paralela a estructuras mayoresrelacionadas a colapsos volcnicos y presentan desplazamientos de tipo normal. Estasobservaciones sugieren que dichas fallas pueden estar relacionadas en el tiempo yespacio con el evento de subsidencia del graben. Las fallas con direccin NE-SW, en

particular N35E y N45E presentan desplazamientos laterales izquierdos (Woodward-

Clyde Consultants 1975). En el sector sureste del rea de estudio se pudieron reconoceradems lineamientos E-W y ENE-WSW, ESE-WNW. Pocas fallas presentan unaorientacin NW-SE, las cuales se pueden encontrar en el sector este y central del rea deestudio. LaFemina, Dixon y Strauch (2002) explican la orientacin preferencial NNE-SSO con desplazamiento lateral izquierdo de las fallas en la cadena volcnica comoacomodacin de los bloques tectnicos en la cadena volcnica. Segn este trabajo, los

bloques orientados paralelamente a la fosa ocenica, responden a la oblicua presin delproceso de subduccin en Nicaragua en forma de un tipo de fallamiento denominadobookshelf ("estantes de libros"). Mientras las fallas geolgicas en el centro de Managuafueron detonantes de destructivos terremotos en el siglo XX, no se sabe mucho sobre laactividad de las fallas al este y sur de la ciudad. Cowan et al. (1998) probaron con un


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estudio de Paleosismologa que la Falla Aeropuerto es activa, y, hace aproximadamente180 aos, fue fuente de un terremoto con magnitud comparable con la del terremoto deManagua 1972. Frischbutter (1998) habla de la posibilidad de migracin de la actividadhacia el este y que futuros terremotos fuertes podran ocurrir en las fallas de esta zona.

Strauch (1998) hizo simulaciones numricas de los posibles efectos de terremotoscausados por la Falla Aeropuerto y la Falla Cofrada.

FALLAS GEOLGICAS Y AMENAZA SSMICA

En la actualidad, en Managua viven alrededor de un milln de habitantes en una zonassmica y volcnicamente activa. La ciudad cuenta con una elevada densidad de fallasgeolgicas activas (Brown et al. 1973) y sufri en 1931 y 1972 dos terremotosdestructivos que causaron grandes perdidas de vidas humanas y enormes daosmateriales. Segn Segura et al. (2000), las fallas ssmicas locales, en trminosestadsticos, generan el 59 % de la amenaza ssmica total en Managua. El 41% restante

resulta de la zona de subduccin, de otras zonas en la cadena volcnica y de la zonamontaosa de Nicaragua. Esto subraya la importancia del conocimiento del fallamientolocal en Managua. Se cree que las fallas principales que atraviesan la parte central deManagua tienen pocos kilmetros de longitud y con esta caracterstica pueden generarterremotos relativamente moderados de magnitudes hasta 6.5 Richter. No obstanteresultan extremadamente destructivos porque el hipocentro es poco profundo, inclusivela ruptura corta la superficie, y la zona epicentral se ubica directamente en una ciudaddensamente poblada. Por otro lado, las fallas que forman los lmites Este y Oeste delgraben de Managua (Falla Cofrada, Falla Mateare), por ser ms largas y poderacumular ms energa, podran causar terremotos ms grandes (Strauch et al. 2000.Estudio de la Microzonificacin Ssmica de Managua) pero la densidad de poblacin es

ms baja en esta zona.La importancia de consideraciones geolgicas para la reconstruccin de Managua fueobvia despus del terremoto de 1972 (Schmoll, 1975). Como accin inmediata, lasAutoridades competentes de ese entonces encargaron un mapa de fallas y de la amenazassmica, que fue presentado, junto con la matriz de planeacin, por Woodward-Clyde en1975 al Vice Ministerio de Planificacin Urbana. Un plan regulador para lareconstruccin y el desarrollo de Managua fue realizado por la Secretara de ObrasPublicas de Mxico en 1973. A raz de las recomendaciones derivadas de estos estudiosse empezaron a requerir investigaciones geolgicas para la deteccin de fallasgeolgicas en Managua, las cuales se convirtieron desde entonces, en un requerimientotcnico necesario para todo propietario de terreno que deseara levantar una obra o

construccin civil de importancia. (Final del texto transcrito del Informe Tcnico deINETER)

Las estructuras ms importantes prximas a la zona considerada son:

Falla Estadio: Localizada en el viejo centro de Managua fue reconocida por vezprimera por Lientenant Dan I Sultan en 1931, siendo la causante del terremoto de Marzode 1931. Su relato histrico puede encontrarse en el estudio de Woodward Clyde Consultants Nov de 1975 Investigation of Active Faulting in Managua and VinicityBrown en 1973 indica que durante el evento del 23 de Diciembre de 1972 esta falla nose movi.


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Falla de los Bancos: Es paralela a la falla Estadio, corta diagonalmente al viejo bancocentral que continua por el parque Luis Alfonso Velsquez.Fue mapeada en detalle por Brown, Ward, Plafter (1973), el U.S.G..S.- Brown et al ledescribieron de largo 2.7 k.m, con desplazamiento lateral de 5.9cm, J .Kuant y Carlos

Valle la mapearon para el Catastro, fue descrita despus del evento de 1972 paracontrolar cuanto se desplaz, es una falla menor con estructura ramificada.

La secuencia estratigrfica del lugar del proyecto en orden de lo ms reciente a lo msantiguo es la siguiente: (1)

RELLENO SUPERFICIAL (R) Estos materiales se presentan en forma de escombros recientes,arenas limos, gravas.SUELO HOLOCENICO ( Hs ) compuesto de materiales finos de limos-arcillas y arenas finasALUVIAL HOLOCENICO (Hal ) consiste en materiales sueltos o poco consolidados de arenas limosas, limos, y gravasSUELO FOSIL ( Hfs ) consiste en materiales finos con trazos de gravas o fragmentos de rocas, arenas limosas irregularesPMEZ DE APOYEQUE (Haq ) este material es formado por fragmentos o pequeas capas de 4cm color blanco amarillentoFORMACIN SAN JUDAS ( Hsj ) son tefras de tipo basaltico escoriacio, lapilli, y cenizasALUVIALES MAS ANTIGUOS ( HPAL, Pa y Pal ) depsitos aluviales profundos con abundancia de fragmentos de PmezMATERIAL CONGLOMERATICO ARENOSO COMPACTO (Hmf ) materiales con comportamiento de roca ligeramente cementSUELO FOSIL (Hfs ) provienen de la formacin de Tobas, retiro o materiales aluviales de las unidades anterioresTOBA RETIRO ( Hrt ) material muy fracturado e intemperizado oxidado dndole el aspecto amarillento, algunas veces verdoso

EVALUACIN DEL RIESGO SSMICO PARA EL LUGAR

Por los estudios referidos y por el historial ssmico sabemos que la ciudad de Managuaes de alto riesgo con un sistema escalonado de fallas capaz de generar eventos con

profundidades focales superficiales menores de 30kmArce (1973) refiere el siguiente historial ssmico para el sector estudiado

FECHA MAGNITUD(Richter ) PROFUNDIDAD(km )31 Marzo 1931 5.3-5.9 Superficial4 Enero 1968 4.6 5.02 Enero 1972 4.3 5.0-10 (Hansen )23 Diciembre 1972 6.5 SuperficialHasta 1978 3.0 Superficial

El sitio puede estar expuesto a vibraciones ssmicas donde la influencia y efecto queocurriran a las edificaciones seria proporcional a la distancia focal y magnitud delevento, pudiendo originarse una Mmxima probada de 6.5 Richter y una magnitud

mxima creble M = 7.0Richter.La informacin disponible sobre el riesgo ssmico y la estratigrafa del lugar serutilizada en la construccin de los espectros de respuestas para el sitio del edificio

proyectado, empleando el programa Shake 92.Los espectros se construyerondescombolucionando las componentes N-S del acelerograma del evento del 23 deDiciembre de1972, y clasificando los suelos de los estratos, de acuerdo con el sistemaunificado de clasificacin de suelos (SUCS). Inicialmente consideramos un porcentajede amortiguamiento= 0.05para el suelo y = 0.02para el basamento rocoso.Posteriormente realizamos el anlisis modal elstico aplicando el mtodo deiteraciones matriciales de Stodolla-Vianello, mostrndose cada una de las etapas delanlisis modal, hasta obtener las figuras caractersticas y los periodos fundamentales

para los tres primeros modos de vibracin, valores que nos permitirn cuantificar los


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desplazamientos , las fuerzas ssmicas laterales y el momento de volcamiento inducidosen el edificio con las aceleraciones espectrales obtenidas para el lugar.La aceleracin pico del espectro Shake 92obtenida para el sitio a partir de laestratigrafa conocida, ser comparada con la aceleracin del espectro del (RNC1983)

correspondiente a la zona ssmica de Managua.El sistema estructural consiste bsicamente de un conjunto de marcos de tres crujas ycinco niveles en ambas direcciones ortogonales, los cuales se colaboran con diafragmasrgidos horizontales en las elevaciones de pisos y techo.El objetivo del ejemplo consiste en mostrar cada uno de los pasos que debern seguirsecuando se emplea este mtodo de anlisis modal-espectral elstico hasta obtenerse lasfuerzas cortantes directas en cada uno de los marcos constitutivos de la primera lnea dedefensa sismorresistente del sistema estructural analizado.

Fig. (3.32): Edificio simtrico estructurado en base a marcos rgidos de concreto


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En vista de la simetra del sistema estructural, no fueron cuantificadas las cortantesdebidas a la torsin elstica originada por las excentricidades entre el centro de masas yel centro de flexin del edificio, ni las debidas a excentricidades accidentales lo cual sehar en los ejemplos 3.10 y 3.11, los cuales presentan mejores caractersticas para

ilustrar el procedimiento a seguir en el anlisis torsionante de edificios.

El proceso de iteraciones matriciales para determinar las frecuencias correspondientes alos tres primeros modos de vibracin se realizo empleando el operadorMathcad 6.0El sistema estructural consiste bsicamente de un conjunto de marcos de tres crujas ycinco niveles en ambas direcciones ortogonales, los cuales se colaboran con diafragmasrgidos horizontales en las elevaciones de pisos y techo. La cimentacin consiste en unalosa rgidizada con nervios de concreto en cada eje de los marcos cimentada en unestrato elstico.

MATRIZ DE MASA DEL EDIFICIO.

La masa gravitatoria en cada nivel del edificio ser calculada para la combinacin de laCM+CVRdesglosada del siguiente modo:

No DESCRIPCION UM CANTIDAD CM(kg/m) CVR(kg/m) WCM(T) WCVR(T) W(T) M(Tseg/cm)01 Losa de pisos m 288 550 200 158.4 57.6 216T 0.2202 Vigas de

entrepisos yazotea

m 144 702(kg/m) 101.0 101T 0.10

03 Columnas deconcreto

m 72 600(kg/m) 43.2 43.2 0.05

04 Escaleras ydescanso m 25 900 300 22.5 7.5 30 0.03

05 Forros yparticioneslivianas

m 1000 120 120 120 0.12

06 Losa de techo m 288 550 100 158.4 28.8 187.2 0.1907 Equipos de

azoteam 288 118 34 34 0.03

08 Ductos ytuberas

m 288 25 7.2 7.2 0.01

09 Cargasmiscelneas

m 288 25 7.2 7.2 0.01

Masa de cada piso y del techo

m1=m2=m3=m4=m5= 0.54(Tseg/cm)

Matriz de masas:


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8

=( )M ..

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0.54Tseg2

cm

MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DEL EDIFICIO

Se empleara concretocon Ec = 282 (T/cm) = =504

125.208 105 cm4

Emplear la Ec (3.27): =K..12 E I

h3

=Kx =Kz =....12 16 282 5.208 105

4503309.445

T

cm

Matriz de rigidez lateral considerando que las vigas horizontales son mucho ms rigidasque las columnas, cuya seccion transversal se considera igual en todos los niveles deledificio.

=K ..

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

1

309.445T

cm

MATRIZ DE FLEXIBILIDAD

=F =K 1 =

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

1

1 1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

3

3

3

1

2

3

4

4

1

2

3

4

5

.3.232 10 3cm

T

MATRIZ DINAMICA PARA EL PRIMER MODO DE VIBRACION.

=( )D1 ...( )F ( )M 1.745 10 3


50/80

9

CONFIGURACION CARACTERSTICA PARA EL PRIMER MODO DE VIBRACION

Vector de prueba inicial: =u1

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

Ecuacin caracterstica para el primer modo de

vibracin. =.( )D1 u1 .1

12 u1 Primera iteracion matricial:

=.

1

11

1

1

1

22

2

2

1

23

3

3

1

23

4

4

1

23

4

5

1.0

1.11.2

1.3

1.4

.6

1

1.8332.483

2.933

3.167

Segunda iteracin matricial:

=.

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

3

3

3

1

2

3

4

4

1

2

3

4

5

1

1.833

2.483

2.933

3.167

.11.416

1

1.912

2.664

3.199

3.476

Tercera iteracin matricial:

=.

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

3

3

3

1

2

3

4

4

1

2

3

4

5

1

1.912

2.664

3.199

3.476

.12.251

1

1.918

2.681

3.226

3.509


51/80

10

Cuarta iteracin matricial

=.

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

3

3

3

1

2

3

4

4

1

2

3

4

5

1

1.918

2.681

3.226

3.509

.12.334

1

1.919

2.682

3.228

3.513

Quinta iteracin matricial

=.

1

1

1

11

1

2

2

22

1

2

3

33

1

2

3

44

1

2

3

45

1

1.919

2.682

3.2283.513

.12.342

1

1.919

2.682

3.2293.513

Para el grado de convergencia logrado, los valores de la frecuencia natural y del periodocorrespondiente al primer modo de vibracin son los siguientes:

=1

2 =..1.745 12.342 10 3 0.022 seg2

=1 .6.864

rad

seg

=T1 0.915seg

Fig. (3.33): Configuracin caracterstica para el primer modo de vibracin

SEGUNDO MODO DE VIBRACION

Para el clculo del segundo modo de vibracin partimos de la aplicacin del principiode ortogonalidad de los modos de vibracin, o sea:

=..TU1 M U2 0


52/80

11

=..( )1 1.919 2.682 3.229 3.513

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

u1

u2

u3

u4

u5

0

=u1 1.919u2 2.682u3 3.229u4 3.513u5

Ahora construiremos la matriz de eliminacin (S1)del primer modo de vibracinhaciendo u1=0y reemplazando los valores por los correspondientes a la fila i=1en lamatriz de masa (M)

MATRIZ DE ELIMINACIN DEL PRIMER MODO DE VIBRACION

=( )S1

0

0

00

0

1.919

1

00

0

2.682

0

10

0

3.229

0

01

0

3.513

0

00

1

MATRIZ DINAMICA PARA EL SEGUNDO MODO DE VIBRACION

La matriz dinmica (D1)correspondiente al segundo modo de vibracin se obtiene de lapremultiplicacin de la matriz dinmica (D)por la matriz de eliminacin del primermodo (S1) o sea:

=( )D1 .( )D ( )S1

CONFIGURACION CARACTERISTICA PARA EL SEGUNDO MODO DE VIBRACION


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12

Ecuacin caracterstica:

=.( )D1 u2 ...1

22 u2 1.745 103seg2

Vector de prueba inicial: =u1

1

1

0

1

1

Primera iteracin matricial:

=.

0

0

0

0

0

0.919

0.081

0.081

0.081

0.081

1.682

0.682

0.318

0.318

0.318

2.229

1.229

0.229

0.771

0.771

2.513

1.513

0.513

0.487

1.487

1

1

0

1

1

.1.203

1

0.169

0.169

0.169

0.663

Segunda iteracin matricial

=.

0

0

00

0

0.919

0.081

0.0810.081

0.081

1.682

0.682

0.3180.318

0.318

2.229

1.229

0.2290.771

0.771

2.513

1.513

0.5130.487

1.487

1

0.169

0.1690.169

0.663

.0.85

1

0.816

0.4340.147

0.927

Tercera iteracin matricial:

=.

0

0

0

0

0

0.919

0.081

0.081

0.081

0.081

1.682

0.682

0.318

0.318

0.318

2.229

1.229

0.229

0.771

0.771

2.513

1.513

0.513

0.487

1.487

1

0.816

0.434

0.147

0.927

.1.177

1

1.15

0.606

0.307

1.094


54/80

13

Cuarta iteracin matricial:

=.

0

0

00

0

0.919

0.081

0.0810.081

0.081

1.682

0.682

0.3180.318

0.318

2.229

1.229

0.2290.771

0.771

2.513

1.513

0.5130.487

1.487

1

1.15

0.6060.307

1.094

.1.357

1

1.262

0.6760.357

1.163

.

.

.

.

Novena iteracin matricial:

=.

00

0

0

0

0.9190.081

0.081

0.081

0.081

1.6820.682

0.318

0.318

0.318

2.2291.229

0.229

0.771

0.771

2.5131.513

0.513

0.487

1.487

11.308

0.714

0.372

1.201

.1.444

11.311

0.716

0.373

1.205

Para este grado de convergencia la frecuencia y el periodo natural correspondientes alsegundo modo de vibracin son los siguientes:

=1

2 =..1.444 1.745 103

2.52 103

seg2 =2 .19.92rad

seg

=2 .396.86 seg 2 =T2 =.2

19.920.315 seg

Fig. (3.34): Configuracin caracterstica para el segundo modo de vibracin.


55/80

14

TERCER MODO DE VIBRACION

Partiremos de la doble aplicacin del principio de ortogonalidad de los modos de la

siguiente manera:

=..T

U1 ( )M U3 0

=..T

U2 ( )M U3 0

Estas dos condiciones generan el siguiente sistema de ecuaciones las cuales nospermiten fijar los valores de u1y u2, dejando libre los valores de u3, u4 y u5

=u1 1.919u2 2.682u3 3.229u4 3.513u5 0

=u1 1.311u2 0.716u3 0.373u4 1.205u5 0

=u1 3.523u3 8.138u4 11.376u5

=u2 3.233u3 5.924u4 7.718u5

Ahora construimos la matriz de eliminacin del segundo modo de vibracineliminando en la matriz de masa las dos columnas correspondientes a los modoscalculados.

MATRIZ DE ELIMINACION DE LOS DOS PRIMEROS MODOS:

=S2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3.523

3.233

1

0

0

8.138

5.924

0

1

0

11.376

7.718

0

0

1

MATRIZ DINAMICA DEL TERCER MODO:

=D3 .D S2


56/80

15

CONFIGURACIN CARACTERSTICA PARA EL TERCER MODO DE VIBRACIN:


=.( )D3 u3 ...1

32 u3 1.745 103seg2

Vector de prueba inicial:

=u3

1

1

0

1

1

Primera iteracin matricial

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.29

0.943

0.057

0.057

0.057

3.214

1.71

0.71

0.29

0.29

4.617

2.142

1.142

0.142

0.858

1

1

0

1

1

.1.403

1

0.308

0.308

0.308

0.405

Segunda iteracin matricial

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.29

0.943

0.057

0.057

0.057

3.214

1.71

0.71

0.29

0.29

4.617

2.142

1.142

0.142

0.858

1

0.308

0.308

0.308

0.405

.0.483

1

0.104

0.54

0.34

0.499

Tercera iteracin matricial

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.29

0.943

0.057

0.057

0.057

3.214

1.71

0.71

0.29

0.29

4.617

2.142

1.142

0.142

0.858

1

0.104

0.54

0.34

0.499

.0.515

1

0.043

0.697

0.388

0.581


57/80

16

Cuarta iteracin matricial

=.

0

0

00

0

0

0

00

0

1.29

0.943

0.0570.057

0.057

3.214

1.71

0.710.29

0.29

4.617

2.142

1.1420.142

0.858

1

0.043

0.6970.388

0.581

.0.536

1

0.142

0.7990.438

0.646

.

.

.

.

.

.

.Duodcima iteracin matricial

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.29

0.943

0.057

0.057

0.057

3.214

1.71

0.71

0.29

0.29

4.617

2.142

1.142

0.142

0.858

1

0.306

0.936

0.564

0.78

.0.581

1

0.303

0.936

0.565

0.778

Para este grado de convergencia los valores de la frecuencia y el periodo naturalcorrespondientes al tercer modo de vibracin son entonces los siguientes:

=1 32 =..1.745 0.581 103 1.014 10 3 seg2 =3 .31.406 rad

seg

=32 .986.344 seg 2 =T3 =.2

31.4060.2 seg

Fig. (3.35): Configuracin caracterstica correspondiente al tercer modo.

Matriz modal para el sistema estructural en base a marcos rgidos en ambasdirecciones


58/80

17

=( )A

3.51

3.23

2.68

1.92

1

1.21

0.37

0.72

1.31

1

0.78

0.57

0.94

0.30

1

ACELERACIONES ESPECTRALES

El edificio se construir en un sitio cuya estratigrafa corresponde a las condicioneslocales previamente descritas, para el cual se construyeron los espectros de respuestasdescombolucionando el registro de acelerograma del terremoto del 23 de Diciembre de1972.El periodo predominante de vibracin del suelo Ts1 = 0.65 seg se obtuvo empleandomatrices de transferencia, permitindonos clasificar el suelo como Tipo III, al cual

corresponde el espectro para suelos medios del RNC1983.Los factores de amplificacin dinmica para los periodos predominantes de vibracindel sistema estructural segn el Art. 32 del RNC1983 son los siguientes:

T1=0.915seg>0.5seg

=.D ( )T1 =.20.5

T1

0.5

1.48

T2


59/80

18

Tipo 5:Sistema estructural constituido en sus direcciones principales de anlisis pormarcos arriostrados de concreto reforzado para resistir la totalidad de las fuerzaslaterales y verticales. El sistema de piso y techo constituyen diafragmas rgidos.

ESPECTRO DE AMPLIFICACION DINAMICA

SITIO DEL EDIFICIO DE CINCO NIVELES

0

5

10

15

0 5 10 15 20 25

FRECUENCIA ( Hz )

AM

PLITUD

Grado B:Sistema estructural con simetra aceptable, confiabilidad del sistemaconstructivo control de los materiales, supervisin permanente.

Zona ssmica 6:Incluye la ciudad de Managua y su entorno geogrfico segn el mapade isoaceleraciones del RNC 1983.

Coeficiente ssmico ultimo:De Tabla 14 del RNC 1983.Grupo 2Tipo 5Grado B Cu= 0.452Zona 6


60/80

19

Espectro de aceleraciones del RNC 1983

T1>0.5seg (T1) = =0.5

T1

0.5

0.739

0.10


61/80

20

COEFICIENTES DE PARTICIPACIN MODAL

MODO PISO ui Mi Miui Miui

=Ci = 1

5

i

.Mi ui

= 1

5

i

.Mi ui2

1 1.000 1.000 1.000 1.000

2 1.919 1.000 1.919 3.6821 3 2.683 1.000 2.683 7.198 C1=0.356

4 3.229 1.000 3.229 10.4265 3.513 1.000 3.513 12.341 12.344 34.6471 1.000 1.000 1.000 1.0002 1.311 1.000 1.311 1.718

2 3 0.716 1.000 0.716 0.512 C2=0.3004 -0.373 1.000 -0.373 0.1395 -1.205 1.000 -1.205 1.452 1.449 4.8211 -1 1.000 -1.000 1.0002 -0.303 1.000 -0.303 0.0918

3 3 0.936 1.000 0.936 0.876 C3=-0.2004 0.565 1.000 0.565 0.3195 -0.778 1.000 -0.778 0.605 -0.58 2.892

DESPLAZAMIENTOS ESPECTRALES

=i ..Ai Ci

i

2Ui

Primer modo:

=1 =..327.347 0.356

47.125

1

1.919

2.682

3.228

3.513

2.473

4.745

6.632

7.983

8.687

cm


62/80

21

Segundo modo:

=2 =..442.96 0.30396.86

1

1.311

0.716

0.373

1.205

0.335

0.439

0.24

0.125

0.403

cm

Tercer modo:

=3 =..442.96 0.20

986.344

1

0.303

0.936

0.5650.778

0.09

0.027

0.084

0.0510.07

cm

FUERZAS SISMICAS ESPECTRALES

=Fi =.Ki ij .Ki ( )i j Modo 1:

=F1 =.2.473 309.445 765.257 T=F2 =.2.272 309.445 703.059 T=F3 =.1.887 309.445 583.923 T=F4 =.1.351 309.445 418.06 T=F5 =.0.704 309.445 217.849 T

Modo 2:

=F1 =.0.335 309.445 103.664 T=F2 =.0.104 309.445 32.182 T

=F3 =.0.199 309.445 61.58 T=F4 =.0.365 309.445 112.947 T=F5 =.0.278 309.445 86.026 T

Modo 3:

=F1 =.0.09 309.445 27.85 T=F2 =.0.063 309.445 19.495 T=F3 =.0.111 309.445 34.348 T=F4 =.0.033 309.445 10.212 T

=F5 =.0.121 309.445 37.443 T


63/80

22

FUERZAS SISMICAS ESTANDARIZADAS

=F1 =765.257 2 103.664 2 27.85 2 772.748 T

=F2 =703.059 2 32.182 2 ( )19.495 2 704.065 T

=F3 =583.923 2 ( )61.58 2 ( )34.348 2 588.165 T

=F4 =418.06 2 ( )112.947 2 10.212 2 433.169 T

=F5 =217.849 2 ( )86.026 2 37.443 2 237.193 T

DISTRIBUCION VERTICAL DE LAS FUERZAS SISMICAS

El objetivo de este ejemplo es mostrar el procedimiento que debe seguirse para obtenerlas fuerzas ssmicas espectrales directas inducidas en edificaciones que puedanidealizarse como estructuras simples de cortante con parmetros discretos simplementeacoplados como el mostrado en la Fig (3.31)En el clculo de las fuerzas se considero la influencia de las condiciones locales delsuelo en las respuestas ssmicas incorporando las propiedades dinamicas de ste para la

seleccin del espectro de respuestas, lo cual constituye el propsito de este trabajo.El ejemplo tambin permite establecer las diferencias cualitativas existentes para eltratamiento de edificios de varios niveles y el de puentes tradicionales de varios vanoscomo el previamente analizado.


64/80

23

Fig. (3.36): Distribucin vertical de las fuerzas ssmicas y diagramas de momentospara estructuracin en base a marcos rgidos.


65/80

24

Ahora cambiaremos el sistema estructural, para la misma geometra del edificio,incorporando muros de cortante en sustitucin de los miembros verticales de los marcosy conservando las vigas y losas de pisos a como se aprecia en la Fig (3.37).

Con la incorporacin de muros de corte de concreto reforzado aumentamos la rigidezlateral del edificio y por ende disminuimos el valor del periodo fundamental devibracin, modificndose los valores de las fuerzas cortantes espectrales respecto a lasobtenidas para la estructuracin con marcos rgidos en ambas direcciones ortogonales.

Ahora la rigidez individual de cada pieza de muro se obtiene con la Ec (3.26):

Ec = 282 T/cm

=K.E t

.4 hL

3 .3 hL

H (m)PISO L (m) t (cm) K (T/cm) k (T/cm)

1y 2 4..50 2..50 30 162 6853,4y 5 4..50 2.50 25 135 539

Fig. (3.37): Estructuracin del edificio en base a piezas de muros de cortante.


66/80

25

La matriz de rigidez lateral es ahora la siguiente:

=( )K ..

2.54

1.27

0

0

0

1.27

2.27

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

1

539 Tcm

La matriz de flexibilidad es :

=( )F =

2.54

1.27

0

0

0

1.27

2.27

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

1

1 0.787

0.787

0.787

0.787

0.787

0.787

1.575

1.575

1.575

1.575

0.787

1.575

2.575

2.575

2.575

0.787

1.575

2.575

3.575

3.575

0.787

1.575

2.575

3.575

4.575

..1.85 10 3cm

T

Matriz dinmica para el primer modo de vibracin:

=.

0.787

0.787

0.787

0.787

0.787

0.787

1.575

1.575

1.575

1.575

0.787

1.575

2.575

2.575

2.575

0.787

1.575

2.575

3.575

3.575

0.787

1.575

2.575

3.575

4.575

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

2.001

2.001

2.001

2.001

1

2.001

3.272

3.272

3.272

1

2.001

3.272

4.543

4.543

1

2.001

3.272

4.543

5.813


=.( )D1 u1 ....1

12u1 0.787 10 3 seg 2

Empleamos el mismo vector de prueba empleado en el anlisis del sistema en base amarcos rgidos de concreto.

Proceso iterativo:

=.

1

1

1

1

1

1

2.001

2.001

2.001

2.001

1

2.001

3.272

3.272

3.272

1

2.001

3.272

4.543

4.543

1

2.001

3.272

4.543

5.813

1

1.1

1.2

1.3

1.4

.6.000

1

1.834

2.66

3.232

3.529

=.

1

1

1

1

1

1

2.001

2.001

2.001

2.001

1

2.001

3.272

3.272

3.272

1

2.001

3.272

4.543

4.543

1

2.001

3.272

4.543

5.813

1

1.834

2.66

3.232

3.529

.12.255

1

1.919

2.896

3.598

3.963


67/80

26

=.

1

1

1

1

1

1

2.001

2.001

2.001

2.001

1

2.001

3.272

3.272

3.272

1

2.001

3.272

4.543

4.543

1

2.001

3.272

4.543

5.813

1

1.919

2.896

3.598

3.963

.13.376

1

1.926

2.92

3.638

4.015

=.

1

1

1

1

1

1

2.001

2.001

2.001

2.001

1

2.001

3.272

3.272

3.272

1

2.001

3.272

4.543

4.543

1

2.001

3.272

4.543

5.813

1

1.926

2.92

3.638

4.015

.13.499

1

1.927

2.922

3.643

4.021

=.

1

1

1

11

1

2.001

2.001

2.0012.001

1

2.001

3.272

3.2723.272

1

2.001

3.272

4.5434.543

1

2.001

3.272

4.5435.813

1

1.927

2.922

3.6434.021

.13.513

1

1.927

2.923

3.6434.021

Para este grado de convergencia los valores de la frecuencia angular natural y delperiodo predominante de vibracin son los siguientes:

=1

12=..0.787 13.513 10 3 0.011 seg 2 =1 .9.535

rad

seg =T1 =

.29.535

0.659 seg

Aplicando el principio de ortogonalidad construimos la matriz de eliminacin delprimer modo:

=( )S1

0

0

0

0

0

1.927

1

0

0

0

2.923

0

1

0

0

3.643

0

0

1

0

4.021

0

0

0

1


68/80

27

La matriz dinmica para el segundo modo de vibracin es la siguiente:

=.

11

1

1

1

12.001

2.001

2.001

2.001

12.001

3.272

3.272

3.272

12.001

3.272

4.543

4.543

12.001

3.272

4.543

5.813

00

0

0

0

1.9271

0

0

0

2.9230

1

0

0

3.6430

0

1

0

4.0210

0

0

1

00

0

0

0

0.9270.074

0.074

0.074

0.074

1.9230.922

0.349

0.349

0.349

2.6431.642

0.371

0.9

0.9

3.0212.02

0.749

0.522

1.792

Proceso iterativo para el segundo modo:

=.

0

00

0

0

0.927

0.0740.074

0.074

0.074

1.923

0.9220.349

0.349

0.349

2.643

1.6420.371

0.9

0.9

3.021

2.020.749

0.522

1.792

1

1.50.75

0.40

1.2

.1.85

1

1.3510.768

0.332

1.156

=.

0

0

0

0

0

0.927

0.074

0.074

0.074

0.074

1.923

0.922

0.349

0.349

0.349

2.643

1.642

0.371

0.9

0.9

3.021

2.02

0.749

0.522

1.792

1

1.351

0.768

0.332

1.156

.1.641

1

1.385

0.827

0.325

1.22

=.

0

0

0

0

0

0.927

0.074

0.074

0.074

0.074

1.923

0.922

0.349

0.349

0.349

2.643

1.642

0.371

0.9

0.9

3.021

2.02

0.749

0.522

1.792

1

1.385

0.827

0.325

1.22

.1.67

1

1.4

0.853

0.322

1.25

=.

0

0

0

0

0

0.927

0.074

0.074

0.074

0.074

1.923

0.922

0.349

0.349

0.349

2.643

1.642

0.371

0.9

0.9

3.021

2.02

0.749

0.522

1.792

1

1.4

0.853

0.322

1.25

.1.689

1

1.404

0.863

0.32

1.261

Los valores de la frecuencia natural y del periodo correspondiente al segundo modo son:

=1

22=..0.787 1.689 10 3 1.329 10 3 seg 2 =2

.27.43rad

seg =T2 .0.23 seg


69/80

28

Empleando doblemente el principio de ortogonalidad de los modos podemos construirla matriz de eliminacin de los modos previamente calculados:

=u1 1.93u2 2.92u3 3.64u4 4.02u5 0

=u1 1.40u2 0.86u3 0.32u4 1.26u5 0

=u1 4.58u3 10.77u4 15.21u5

=u2 3.89u3 7.47u4 9.97u5

=( )S2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4.58

3.89

1

0

0

10.77

7.47

0

1

0

15.21

9.97

0

0

1

La matriz dinmica para el tercer modo es la siguiente

Proceso iterativo para obtener la figura caracterstica del tercer modo a partir de unvector de prueba arbitrario:

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.69

1.203

0.068

0.068

0.068

4.3

2.176

0.905

0.366

0.366

6.24

2.739

1.468

0.197

1.073

1

0.40

1

0.75

0.9

.0.701

1

0.528

1.013

0.742

0.889


70/80

29

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.69

1.203

0.068

0.068

0.068

4.3

2.176

0.905

0.366

0.366

6.24

2.739

1.468

0.197

1.073

1

0.528

1.013

0.742

0.889

.0.645

1

0.617

1.088

0.8

0.95

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.69

1.203

0.068

0.068

0.068

4.3

2.176

0.905

0.366

0.366

6.24

2.739

1.468

0.197

1.073

1

0.617

1.088

0.8

0.95

.0.649

1

0.69

1.148

0.854

1.006

=.

0

0

00

0

0

0

00

0

1.69

1.203

0.0680.068

0.068

4.3

2.176

0.9050.366

0.366

6.24

2.739

1.4680.197

1.073

1

0.69

1.1480.854

1.006

.0.665

1

0.728

1.1760.886

1.036

.

.

.

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.69

1.203

0.068

0.068

0.068

4.3

2.176

0.905

0.366

0.366

6.24

2.739

1.468

0.197

1.073

1

0.757

1.198

0.912

1.06

.0.668

1

0.781

1.216

0.934

1.081

Los valores de la frecuencia natural y del periodo correspondiente al tercer modo son:

=1

32=..0.787 0.67 10 3 5.273 10 4 seg 2 =3 .43.543

rad

seg =T3 =

.243.543

0.144 seg


71/80

30

La aceleracin espectral del RNC1983 para los tres modos es: A = 0.452g = 443 cm/seg

Matriz modal para el sistema estructural en base a muros de cortante.

=( )A

4.02

3.64

2.92

1.93

1

1.26

0.32

0.86

1.4

1

1.08

0.93

1.22

0.78

1

Puede apreciarse la aproximacin de un 5%entre el valor de la aceleracin A = 0.452gobtenida con el espectro del RNC1983y el valor de A = 0.478gcorrespondiente alespectro de aceleraciones construido con los datos geotcnicos para el sitio de la obra.


72/80

31

Los coeficientes de participacin modal son:

MODO PISO ui Mi Miui Miui

=Ci = 1

5

i

.Mi ui

= 1

5

i

.Mi ui2

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