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Por:

Luis Enrique Garca ReyesProfesor de Ingeniera Civil

UNIVERSIDAD DE LOS ANDESFacultad de Ingeniera

Departamento de Ingeniera CivilBogot, Colombia

1998

\.172l5 Garcla Reyes, Luis

Enrique.Dinmica estructu-

ral aplicad al rise~Sismico.

--,

Prohibida la reproduccin total o parcial de esiautorizacin escrita del autor.

Derechos Reservados.

Copyright 1998 por: Luis Enrique Garca ReyesCopyright 1998 por: Unversdad de los Andes

Carrera 2O N 84-14 Piso 7, Bogot, Colombia

ISBN: 958-33-0768-8

Impreso en ColombiaSegunda Impresin, Octubre de 199~).

Printed in Colombia

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ContenidoContenido iPrefacio ixPrlogo : xi

SECCION - I - SISTEMAS DINAlIDCOSDE UN GRADO DE LIBERTAD

Cnl'Uuro 1(;(;lV{;El~OS B ...lSffCOS lJI!) DIJ.VJ.l1'UC...11.1 Introduccin 31.2 Leyes de Newton -+1.3 Grados de libertad :ilA Masa, peso y sistema de unidades 61.5 Rigidez 81.6 Traba] o y energa 101.7 Amortiguamiento 11

1.7.1 Generalidades lJ1.7.2 Amortiguamiento viscoso 1I1.7.3 Amornguarner,.o de Coulomb 121.7A Amortiguamiento histertico ~ 12

1.8 Tipos de excitacin dinmica 13

CUJ)tulo 2.SIS'l'El'LlS DIJ.VLUTICflS DE lIN GBlllJII DE 1..IBERTAlJ

2.1 Vibracin libre no amortiguada 1S2.2 Vibracin libre amortiguada 20

2.2.1 Amortiguamiento crtico , 2L2.2.2 Amortiguamiento mayor que el crtico 232.2.3 Amortiguamiento menor que el crtico 232.2A Decremento logartmico 2:i

2.3 Vibraciones forzadas armnicas _ 272.-+ Vibraciones transitorias 31

2.-+.1 Respuesta a un impulso 322.-+.2 Excitacin arbitraria 33

2.5 Excitacin en la base 352.6 La energa en la respuesta dinmica 38

CUJ)t.ub.) 8OIITEN{;ION m: lA lrnSI~UEST.i:llJI..lVA...."ICA3.1 Introduccin -+33.2 Integral de convolucin -+33.3 Mtodo de la aceleracin lineal -+8:j.-+ Mtodo Beta de Newrnark 51

'inl1l1ca esrruc(.(UUI UP"L""" u ... _~_

3.5 Otros mtodos 553.6 Sistemas no lineales 553.7 Solucin en el dominio de la frecuencia 593.8 Uso del computador : 63

CA."itnlo 4SIS~IOS~ SI:S~"OGRi-ULlS y ~1(;ELEROGlliU1AS

4.1 Introduccin 654.2 Causas de los temblores 65

4.2.1 Tectnica y sisrnicidad global 654.2.2 Failas geolgicas 674.2.3 Mecanismo focal 684.2.-4 Premonitorios y rplicas 68

4.3 Ondas ssmicas 694.4 Sismogramas 694.5 Magnitud del sismo 69

4.5.1 Definicin de la magnitud de Richter 694.5.2 Tipos de magnitud 704.5.3 Magnitud de algunos sismos importantes 71

4.6 Intensidad del sismo 724.6.1 Escala de intensidades de Mercalli Modificada (ltvIJv1) 724.0.2 Mapas de isosistas 73

4.7 Tectnica y sismicidad colombiana 744.7.1 Emplazamiento tectnico 744.7.2 Sistemas de f'allamiento 744.7.3 Ssmcidad colombiana 75

4.8 Acelerogramas 774.8.1 Acelergrafos de movimiento fuerte 774.8.2 Registros acelerogrficos 774.8.3 Definicin de los movimientos mximos del terreno 794.8A Efecto de las condiciones locales del suelo 804.8.S Variacin v atenuacin de los movimientos ssmicos con la distancia 814.8.6 Tipos de temblores segn el aceierograrna 83

4.9 Estudios de amenaza ssmica 854.9.1 Metodologa 854.9.2 Amenaza ssmica en Colombia 87

4.10 Prediccin de sismos 96

Cnl,itnlo ;;ESPECTBfJS DE llESPlJESTA

5.1 Introduccin 975.2 Obtencin del espectro de respuesta 985.3 Relacin entre Sal Svy Sd 1015.4 Representacin tripartita 1025.5 Influencia de los movimientos mximos del terreno 1045.6 Relacin entre las diferentes componentes 1055.7 Espectros de algunos sismos 1095.8 Espectros de Fourier 1145.9 Programas para el calculo de espectros 116

ii

(;nlJiul() 6SlSTE61l-lS l1\TEL1STIC()S I)EUlV GBAl)() DE LIBERT.lU)6. IG.2

6.3

6A

6.56.6

6.76.8

Introduccin I 17Respuesta histererca I 186.2.1 Materiales y elementos estructurales elsticos e nelsrcos 1I 8G.2.2 Concreto estructural 1236.2.3 Acero estructural 1286.2.-4 Mampostera estructural 131Modelos matemticos de histresis 13-1:6.3.1 Generalidades 13-46:3.2 Elastoplstico 1356.3.3 Modelo de Rarnberg-Osgood 1396.3A Modelos con degradacin de la rigidez 1-43Conceptos de ductilidad, tenacidad

y capacidad de disipacin de energa 148Respuesta elstica equivalente l inelstica 152Efecto de la respuesta nelstica en el espectro 1546.G.1 Sistemas elastoplsticos 1,3-1:

Espectro de desplazamientos totales 156Espectro de aceleraciones mximas 159

6.6.2 Sistemas con rigidez degradante 1GOPrincipio de las deformaciones iguales 16-4Programa de computador "RESDIN" para la obtencin de la

de la respuesta dinmica elstica e inelstica 169

CCIIJUul() 7.6J.JJl'DHEl\.TOS SIS6HCOS DE DISEO7.1 Introduccin , 1737.2 Espectros elsticos de diseo I 7-1:

7.2.1 Espectros promedio de Housner 17-47.2.2 Mtodo de Newmark-Hall 1767.2.3 Mtodo de Newrnark-Blurne-Kapur 0 0 1797.2A Mtodo de Shibata-Sozen 1827.2.5 Comparacin de resultados 18-4

7.3 Espectros inelsticos de diseo 1877.3.1 Introduccin 1877.3.2 Mtodo de Newmark-Hall 1887.3.3 Procedimiento de Riddell y Newmark 1907.3.-1: Procedimiento de Shbata-Sozcn 192

7A Efecto en la forma del espectro de la magnituddistancia, duracin y tipo de suelo en el sitio 1~)-I:7A.l Efecto de la magnitud y la distancia a la falla 19-1:7A.2 Efecto de la duracin del sismo 1967A.3 Efecto de las condiciones geotcnicas locales 197

Procedimiento del ATC-3 198Procedimiento del Uniform Building Code 199Procedimiento del NEHRP-94 200

7.5 Estudios de amplificacin de onda 20-1:7.6 Familias de acelerogramas 2087.7 Espectros de diseo de los cdigos ssmicos 210

7.7.1 Desarrollo histrico del espectro en los cdigos sismicos 2107.7.2 Forma del espectro del ATC-:1 2117.7.3 Forma del espectro de las nuevas normas ssmicas colombianas 2 [{i

i i i

7.7A Forma del espectro del Cdigo de Ciudad de Mxico de 1993 2197.7.5 Forma del espectro del Uniform Building Code (UBC-94) 2217.7.6 Forma del espectro del NEHRP-94 2237.7.7 Forma del espectro del Eurocdigo-S 225

7.8 Comentarios sobre la seleccin de losmovmentos ssmicos de diseo 228

SECCI@N - II - SISTEMAS DINAMICOS DEVARIOS GRADOS DE LIBERTAD

ClI.j,Uulo S11\TIlODUCCIONAl.l ANALlSlS1tl-tTI~IClALDE ESTRUC'J.'lI1lAJ...~

8.1 Definiciones 2328.1.1 Introduccin 2338.1.2 Algebra lineal 2348.1.3 Operaciones con matrices 2358.1.4 Propiedades y operaciones con vectores 238

8.2 Sistemas de coordenadas y su transformacin 2398.3 Matriz de rigidez de un elemento de prtico plano 2448A Principio de contragradiente 2528.5 Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales 2538.6 Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura 2558.7 Apoyos de la estructura 2588.8 Solucin para fuerzas estticas por el mtodo de rigidez 260

Cl1l,itulo !-)illVAl..llSlt9 J.1lilTillCLU AVil.LVZill~{'1'" lELE~1El\.TOS PINITOS

9. ~ Introduccin 2739.2 Igualacin de grados de libertad 2739.3 Condensacin de grados de libertad 2789.4 Subesrructuracin 2819.5 Casos especiales 282

~1.5.1 Articulaciones y liberacin de grados de libertad en los elementos. 2829.5.2 Nudos rgidos ~869.5.3 Deformaciones por cortante 2899.5A Efecto de la variacin por temperatura 290

9.G Otros tipos de elemento 2959.6.1 Definiciones 2959.6.2 Elemento de cercha plana 2979.6.3 Elemento de cercha espacial 2989.6.-! Elemento de prtico plano 299

~J.6.5 Elemento de parrilla 3019.6.6 Elemento de prtico espacial 302

9.7 Elementos finitos 304~).7.1 Introduccin 304

~l.7.2 Procedimiento de anlisis utilizando elementos finitos 305

-.:-------------------

9.7.3 Tipos de elementos 3069.7.-l Formulacin de la matriz de rigidez de] elemento 3079.7.5 Ejemplo de anlisis utilizando elementos finitos 3129.7.6 Algunas observaciones sobre el uso de los elementos finitos :1]7

C~ll)Uul()1 (JECU11ClflNES IIE Ef~UlLI11IU(lllnv111'UCflEN SISTEl'L~~IIl~

l~tl='I(ISGl=.rWOS DE LIIIEI=.TAD

10.1 Introduccin 32110.2 Vibracin libre 32110.3 Ecuaciones de equilibrio para excitacin arbitraria 323JOA Ecuaciones de equilibrio para excitacin en la base 32"'1O.,) Ecuacin de Lagrange 326

(;(fIJilulo 11lIJl~ill""ZA(;ION',l1V1U.lIC.ll DE L-l ES'J'l='VCTIJB.il11.1 Introduccin 32911.2 Masa distribuida y masa concentrada 329

11.2.1 Masa distribuida 33011.2.2 Masa concentrada 333

11.3 Idealizacin de la rigidez 33911.3.1 Diafragma rgido 3-W

11.3.l(a) Se genera la matriz de ruiidez de cada prtico 34-l11.3.1(b) Se hacen las vigas inextensibles debido al efecto

de diafragma rgido 3451l.3.1(c) Se ajustan los grados de libertad verticales 34611.3.l(d) Se condensan los grados de libertad ,

rotacionales de los nudos 34711.3.l(e) Transformacin de los grados de libertad del prtico,

de un despiazarniento por piso a las tres qrudos delibertad por piso de cada diafragma :H8

11.3.l(f) Ensamblaje de la matriz de rigidez detoda la estructura 351

] 1.3.1 (g) Se determina la matriz de masa detoda la estructura :3 SI

] 1.3.l(h) Ecuaciones de equilibrio dinmico detoda la estructura :3 SI

] 1.3. 1(i) Obtencin de las fuerzas en los elementos unavez se conocen los desplazamientos de los gradosde libertad de los diafragmas 353

11.3.1U) Algunas observaciones acerca de la idealizacionde diafragma rgido toda la estructura 35-l

11.3.2 Diafragma flexible 36-l11.3.3 Diafragmas rgidos unidos por elementos flexibles 372

11.-l Sistemas sin diafragma 37311.5 Excitacin en varios apoyos 37311.6 Acople esttico y acople dinmico 380

/'

Inic(I estructuren lIjJlI( (n. ,u .u..... " ._.~

Cnl,itulol2SOLlJCION DE LA BESlUESTA lJI1Vl1l'HCA PARA.SISTE~JASCON tr-UUOS GllAlJOS DE LIBEIITAD12.112.212.312.412.512.612.7

Introduccin 385Solucin modal para el caso no amortiguado 385Ortogonalidad de los modos naturales 392Desacoplaje de las ecuaciones de movimiento 394Vibracin libre con condiciones iniciales 396Anlisis me '::'dl con amortiguamiento 401Solucin integrando las ecuaciones de movimiento 404

Cl41,ituW 18bmTOIJ(JS AT(;~mlUCOSEN EL ANALISIS l'IODAL13.1 Introduccin 40513.2 Mtodo directo 40513.3 Metodo del barrido 40613.4 Merodo de Iacob 41013.5 Mtodo de iteracin en un subespacio 41913.6 Cociente de Rayleigh 420

Cnl,itulo 14ANALISlS JIOD..\L CRONOl-,OGl(;O14.1 Introduccin 423

1~.2 Vibracin forzada armnica 42414.3 Vibraciones transitorias 43214.4 Excitacin en la base 43814.5 Anlisis modal planar para excitacin en la base 44114.6 Anlisis modal tridimensional para excitacin en la base de sistemas con

diafragma rgido 45014.7 Anlisis modal para excitacin en la basede sistemas con diafragma flexible 46914.8 Excitacin en varios apoyos y sistemas sin. diafragma 490

Cnl,itulo 1 sANIU"ISIS .L"OIJJ.tL ESPECTlfAL15.1 Introduccin 50515.2 Formulacin del anlisis modal espectral 50515.3 Mtodos de combinacin de la respuesta modal 519

]5.3.1 Generalidades 51915.3.2 Mtodo de la raz cuadrada de la suma de los cuadrados (RCSC) 51915.3.3 Mtodo de la combinacin cuadrtica completa (CCC) 52815.3A Combinacin de componentes horizontales 53]

15.4 Nmero de modos a emplear 54715.5 El mtodo de la fuerza horizontal equivalente 548

~-----------------------~ . pi11

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A la pri,nera lectlu-a dela Dinmica de Garcia

He aqu un libro que no sufre de los pecados de sus predecesores; un libro queempieza en el principio y termina en el final sin trazar meandros entre los dosextremos. No est escrito como un catlogo y tampoco pretende incluirlo todo. Significams bien un compromiso.

La dinmica es una ciencia madura. Entretanto, el diseo ssmico no es ni unaciencia ni ha alcanzado su madurez. La aplicacin de la dinmica a la ingeniera fueforzada inicialmente por la necesidad de entender el comportamiento de las mquinas.En este sentido, la dinmica aplicada contiene todo un arsenal de algoritmos creadores ybrillantes introspecciones aplicables a mecanismos bien definidos, excitados pormovmientos bien definidos, as mismo cuando no de carcter invariante. Ahora bien,aplicrr la dnrnica a estructuras cuyas caractersticas de rigidez y resistencia no seconocen plenamente y tampoco estn excitadas por movimientos agudamente descritos- antes o incluso despus del evento ssmico - requiere una perspectiva diferente y muydiferentes aptitudes. La tarea que se impuso el autor de preparar un texto referente alas estructuras, es ante todo una de resistir la tentacin de parafrasear los textosconsagrados, tales como aquellos escritos por Den Hartog y por .lacobseu-Ayre, antes deacometer el asunto de las estructuras.

Decir que el autor de este libro, Luis E. Garca, ha alcanzado la proeza demantener el objetivo en las estructuras es un dictamen que requiere el concurso demuchos lectores durante un perodo largo del tiempo. Pero es innegable que se las haingeniado para trazar un camino recto. Y es a este respecto que el libro representa unarara adicin a la literatura sobre dinmica estructural. Quizs su descripcin correctasea expresar que es el segundo texto que se mantiene fiel a las estructuras siendo elprimero el tomo escrito por Biggs y publicado hace ms de tres dcadas. Ahora, afirmarque el alcance, la certeza y la cohesin del texto de Garca es remnscente del clsico deBiggs es un elogio a ambos tratados. En la misma vena, puede decirse que la "DinmicaEstructural" de Garca es un digno compaero de la "Ingeniera Ssmica" de Sarria.Quin hubiera pensado que Colombia abrira las ms amplias "puertas a la percepcin"de la ingeniera ssmica?

El encaminamiento del texto no sorprende puesto que el autor Garca, a lamanera de Tiresias en el mito antiguo, ha experimentado ntimamente el mundo desdedos puntos de vista diametralmente opuestos: el acadmico y el pragmtico en su caso.El suma aos de ejemplar profesorado y posee la reputacin de haber pisado la fronteradonde se desarrolla el diseo automatizado de estructuras; esto simultneamente condesempearse como socio principal de una muy productiva firma dedicada al diseoestructural. El ha enseado. El ha diseado. El texto muestra las huellas tpicas de lasdos experiencias. La erudicin es inmaculada. Las explicaciones son completas;comienzan en la ciencia y culminan en la ingeniera prctica. Es este un libro quepertenece igualmente bien a la mesa de trabajo del estudiante y a la biblioteca delprofesional. Se puede aprender de l, as como utilizarlo como referencia fcil paraproblemas de diseo, y para lograr una mejor compresin de las bases de losprocedimientos de anlisis.

Quizs el logro fundamental del libro es su Captulo 5 dedicado a los espectroslineales de respuesta, aspecto esencial para entender los problemas del diseo, que el

1 El Profesor Sozen ha dejado saber que el ttulo de este prlogo es un prstamo deliberado ek john Keats ensu poema titulado "On Iirst looking ihto Chapmans Horner".

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autor no considera nra-dgrutarem explicar hasta en los detalles ms simples. Supaciencia y expertica con la materia tratada son admirables.

Se ha dicho que nada grande ha sido logrado sin entusiasmo. Este libro ha sidoescrito con entusiasmo. Ha sido escrito con base en la doble experiencia de la clase y dela prctica. Debe perdurar.

METE A. SaZENProfesor de Ingeniera Civil

Purdue UnversityLafayette, Indiana, USA

Enero de 1998

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Prlogo

Estas notas sobre dinmica estructural, estn enfocadas primordialmente alanlisis y diseo de estructuras, dentro del mbito de ingeniera civil, y con el nfasisprincipal en las solicitaciones ssmicas. Aunque los principios de la dinmica estructuraldatan de mucho tiempo atrs, su aplicacin a la ingeniera ssmica se remonta a soloalgunas dcadas. El presente trabajo nace como unas notas de clase del curso de pregradodel mismo nombre, el cual se dict por primera vez en el segundo semestre de 1973 en laUniversidad de los Andes en Bogot. A travs de los aos se han mantenido dentro delcontexto eminentemente prctico que ha tenido el curso. La intencin es que sirva de librode texto para un curso de un semestre en el tema, aunque el material en algunos aparteses ms extenso de lo que se alcanza a cubrir durante las horas de clase.

El tema se ha dividido en dos grandes secciones: una correspondiente a sistemasdinmicos elsticos e inelstcos de un grado de libertad (Captulos 1 a 7) y la segundacorrespondiente a sistemas dinmicos de varios grados de libertad (Captulos 8 a 17).

En la primera seccin se inicia, Captulo 1, con las Leyes de Newton y losfundamentos de la rigidez, la masa y el amortiguamiento. El Captulo 2 trata los sistemaslineales de un grado de libertad para los casos de vibracin libre, no amortiguada yamortiguada, vibraciones forzadas armnicas, vibraciones transitorias y el tema deexcitacin causada por movrnentos en la base del sistema, el cual se empleadirectamente en el estudio de estos sistemas ante excitaciones ssmicas. Por ltimo sediscute el tema de la transferencia e intercambio de energa en la respuesta dinmica. ElCaptulo 3 se dedica a los mtodos matemticos y numricos para obtener la respuestadinmica de sistemas lineales de un grado de libertad. El Captulo ..J: consiste en una breveintroduccin a la sismologa y a la evaluacin de la amenaza ssmica. El Captulo 5 tratalos espectros elsticos de respuesta de los sismos. El Captulo (j discute los sistemasineIsticos dinmicos de un grado de libertad. Por ltimo el Captulo 7 trata losmovrnentos ssmicos de diseo, sus caractersticas y los procedimientos para obtenerlos.

La segunda seccin sobre sistemas de varios grados de libertad, se inicia con unaintroduccin al anlisis matricial de estructuras (Captulos 8 y 9) con un enfoque directo asu empleo en la dinmica estructural, En el Captulo 10 se plantean las ecuaciones deequilibrio para sistemas dinmicos de varios grados de libertad. El Captulo 11 trata laidealizacin dinmica de la estructura, y los diferentes enfoques y conceptos que debentenerse en cuenta al idealizar dinmicamente las construcciones. En el Captulo 12 seplantea la solucin de las ecuaciones dinmicas de equilibrio para el caso linealmenteelstico. El Captulo 13 resume los mtodos ms empleados en la actualidad para laobtencin de los modos y frecuencia de vibracin de las estructuras. El Captulo 1..J: tratael anlisis cronolgico de la respuesta dinmica de sistemas lineales de varios grados delibertad y el Captulo 15 la solucin espectral de la respuesta de sistemas lineales devarios grados de libertad.

Se ha escogido en la presentacin el sistema internacional de medidas (SI), el cualpor ser un sistema consistente de unidades, es el ms apropiado para el trabajo endinmica estructural, adems de ser el sistema de uso obligatorio en las nuevas normassismo resistentes colombianas. Las referencias se indican por medio de [autor, ao]dentro del texto y el final en la Bibliografa se listan los diferentes trabajos empleados

ix

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como referencia en orden alfabtico por apellido del autor, seguido por el ao depublicacin.

Los ejemplos se desarrollaron empleando diferentes programas de computador,pero en general estn realizados utilizando hojas electrnicas de clculo, principalmenteExcel" de Microsoft", el programa Mathlab" producido por The Math Works Ine. , elprograma CAL91, desarrollado por el profesor E. Wilson de la Universidad de California,Berkeley. Adems muchos de los ejemplos se realizaron empleando los programasRESDIN, y ESPECTRO, desarrollados por el autor. El programa CAL91 se puede obtener atravs de NISEE (National Information Servce for Earthquake Engineering - Davis Hall,University of California, Berkeley). Los programas RESDlN y ESPECTRO se pueden obteneren la Asociacin Colombiana de Ingeniera Ssmica (Carrera 20 N 8-1-1-1, Oficina 502,Bogot, Colombia - Telfono 530-0826 - Fax 530-0827), o solicitar por emaiI a:

Capitulo 1

Conceptos bsicos de dinnnica

1.1 Introduccin

La dinmica, dentro del contexto de la mecaruca, es el estudio de los cuerpos, oconjuntos de partculas, en movimiento. La dinmica se divide en dos campos: lacinemtica, la cual estudia la geometra del movmiento, relacionando eldesplazamiento, la velocidad, la aceleracin y el tiempo, sin hacer referencia a lascausas del movimiento: y la cintica, la cual estudia la relacin entre las fuerzas queactan sobre un cuerpo, la masa del cuerpo y su movmiento, permitiendo predecir losmovtmentos que causan las fuerzas, o determinar las fuerzas necesarias para producirun movimiento dado.

Cuando un cuerpo se desplaza de una posicin de equilibno estable, el cuerpo tiende avolver a esta posicin al verse afectado por la accin de fuerzas que tienden arestaolecer la situacin de equilibrio; este puede ser el car., de las fuerzasgravitacionales en UT;. pndulo, o de las fuerzas elsticas impuestas por un resorte en elcaso de una masa apoyada en l. En general en el instante que el cuerpo vuelve a suposicin de equilibrio tiene alguna velocidad que lo lleva ms all de esa posicin,presentndose una oscilacin alrededor del punto de equilibrio. Estas oscilaciones en elcampo de la mecnica se denominan vibraciones mecnicas.

Si el cuerpo se considera como una unidad y se desprecian las deformaciones relativasentre sus diferentes partes se aplican los principios de la dinmica de cuerpos rgidos.Cuando es apropiado tener en cuenta los desplazamientos relativos entre las diferentespartes del cuerpo, se aplican los principios de la dinmica de cuerpos flexibles.

La dinmica estructural estudia las vibraciones de cuerpos flexibles, aunque en muchoscasos las deformaciones relativas entre algunas partes de la estructura son de un ordende magnitud tan pequeo, que pueden aplicarse los principios de la dinmica decuerpos rgidos en algunas porciones de la estructura.

La dinmica estructural se ha desarrollado ampliamente a partir de la apancion delcomputador digital. Sus fundamentos se remontan ms de dos siglos y medio atrs,pero puede decirse que el enfoque moderno proviene de las ltimas cuatro dcadas. Nosobra advertir que en la actualidad existen numerosos textos de dinmica estructuralque cubren con mayor profundidad muchos de los temas tratados aqu, algunos son lasreferencias [Berg, 1989), [Biggs, 1964], [Boiton, 1994], [Clough y Penzien, 19931,[Chopra, 1980], [Chopra, 1995], [Craig, 1981), [Fertis, 1995], [Humar, 1990], [Hurty yRubinstein, 1964], [Meirovitch, 19671, [Meirovitch, 1975], [Paz, 1991], iShabana, 19891,[Thomson, 1972], y [Timoshenko, Young y Weaver, 1974J.

2 Leyes de Newton

El problema del movimiento y sus causas fue durante siglos uno de los temas centralesde la filosofa. Solo hasta la poca de Galileo y Newton fue posible, gracias a ellos, ungran avance en su entendimiento. Isaac Newton (1642-1727), nacido en Inglaterra en elmismo ao de la muerte de Galileo, fue el arquitecto de lo que actualmente se conocecon el nombre de mecnica clsica. Newton llev a la madurez las ideas de Galileo y deotros que le precedieron.

Las conclusiones a que lleg Newton sobre el tema estn resumidas en sus tres leyes,las cuales son el fundamento de la esttica y de la dinmica, tanto de cuerpos rgidoscomo de cuerpos flexibles:

1a Ley de Newton: "Todo cuerpo permanece en su estado de reposo, o movimientouniforme rectilneo, a menos que sea obligado a cambiar ese estado debido a laaplicacin de cualquier tipo de fuerzas."Esta primera ley de Newton se conoce tambin con el nombre de Ley de Inercia. Losmarcos de referencia sobre los cuales se aplica son conocidos con el nombre de marcosinerciales. Estos marcos de referencia estn fijos con respecto a una estrella distante, ose mueven a velocidad constante con respecto a ella. Es importante anotar tambin quela 1a ley de Newton es vlida tanto para cuerpos sobre los cuales no acta ningunafuerza, como para aquellos sobre los cuales actan varias fuerzas cuya resultante esnula.

2a Ley de Newton: "La fuerza que acta sobre un cuerpo y causa su movimiento, es iguala la tasa de cambio del momentum del cuerpo. "

Dado que el momenturn Q, es igual a la masa del cuerpo por su velocidad, se puedeexpresar matemticamente como:

dxQ=rnv=rn-=mXdt

(1-1)

donde:Qrn

v

x

momentum del cuerpomasa del cuerpovelocidad del cuerpodesplazamiento del cuerpo o coordenada de localizacin del mismo

De acuerdo con la 2a ley de Newton y baio el supuesto de que la masa del cuerpopermanece constante, las fuerzas que actan sobre el cuerpo son iguales a la tasa decambio del momentum:

dQ d dv dx ..F=-=-(rnv)=rn-=rn-=rnx=rna

dt dt dt dt(1-2)

donde:Fa

resultante de las fuerzas que actan sobre el cuerpoaceleracin del cuerpo

Por lo tanto la 2d ley de Newton puede expresarse tambin como: La resultante de lasfuerzas que actan sobre un cuerpo es igual a la masa del cuerpo multiplicada por suaceleracin.

4k-o----------

Es importante anotar que la 1

ilu111icCl est ructurol aplicada al (lIS'l/u :"'''",''"

infinito de grados de libertad. Esto se resuelve por medio de una funcin matemticacontinua. Este mismo caso se puede visualizar acumulando porciones de la masa enalgunos puntos escogidos y tratndolas all como varias masas concentradas, tal comose muestra en la Figura l-l(c).

La cantidad de lugares donde se concentre la masa va a depender de la precisin que serequiera en la solucin del problema y de otros factores que se harn evidentes msadelante. Los sistemas de masa concentrada, en la medida que el nmero de puntosdonde sta se concentre se haga mayor, tienden en el lmite a convertirse en sistemascontnuos,

1.4 Masa, pesoy sistema de unidades

La masa, m, es una medida de la cantidad de materia. El peso, W, es una medida de lafuerza necesaria para impartir una aceleracin dada a una masa. En la tierra, al nivel delmar, la aceleracin que impone la gravedad del planeta se denomina g y tiene un valoraproximado de 9.81 m/s- (= 9806.65 rnm/s-, por acuerdo internacional, para serexactos). Por lo tanto el peso W que tiene una masa ID en la tierra, al nivel del mar, esigual al producto W =mg.

Se ha escogido en la presentacin el sistema internacional de medidas (S1), el cual porser un sistema consistente de unidades, es el ms apropiado para el trabajo endinmica. Los ingenieros por muchos aos utilizaron el sistema mtrico tradicional, osistema mks (metro-kilogramo-segundo), cuyas unidades son distancia, fuerza y rempo.En este rirno sistema el kilogramo es una unidad de peso, correspondiente al peso dem, litro de agua al nivel del mar, por esta razn es una unidad de fuerza que muchasveces se denomina kilogramo-fuerza (kgf), La tonelada dentro de este sistemacorresponde tambin a una unidad de fuerza y tiene un valor de 1000 kgf. En el sistemaSI las unidades son distancia, masa y tiempo. Como unidad de distancia se utiliza elmetro (m), como unidad de masa el kilogramo (kg) y como unidad de tiempo el segundo(s). Dentro de este sistema la unidad de fuerza es el Newton (N), definido como lafuerza que impone una aceleracin de 1 m/s? a una masa de 1 kg.

El sistema SI se estableci en la Decimoprimera Conferencia Mundial de Pesos yMedidas, que tuvo lugar en Sevres, Francia, en 1960. El sistema est basado en sieteunidades bsicas, que son para longitud el metro (m), para masa el kilogramo (kg), paratiempo el segundo (s), para corriente elctrica el amperio (A), para temperatura el kelvin(K), para intensidad luminosa el candela (cd) y para cantidad de substancia el mol (mol).Estas unidades tienen definiciones fsicas. Por ejemplo el metro (m) es la longitud de latrayectoria que viaja la luz en el vaco durante un intervalo de tiempo equivalente a1/299 792 -158 de segundo; y el kilogramo (kg) es igual a la masa de un prototpointernacional de iridio-platino, que conserva la Oficina Internacional de Pesos y Medidasen Sevres, Francia. A continuacin se presentan algunos conceptos bsicos del sistemaSI y se dan algunas conversiones que sern tiles para aquellas personas que no estnfamiliarizadas con l. Las unidades que se utilizan en el texto son las siguientes:

Unidades bsicas:distancia:masa:tiempo:

Unidades suplementaras:ngulo plano:

Unidades derivadas:frecuencia:fuerza:esfuerzo:

el metro (m).el kilogramo (kg),el segundo (s).

el radian (rad)

el hertz (Hz) l Hz = 1 s 1el newron (N) l N == l kg mis"el pascal (Pa) 1 Pa = 1 N/m 2

energa, trabajo joule (J) IJ=lNomEl sistema SI utiliza los siguientes prefijos: exa, E, (1018); peta, P, (1015); tera, T, (10 12) ;giga, G, (109); mega, 1\1, (lOG); kilo, k, (10 3) ; mili, m, (10 3) ; micro, J., (10 6) ; nano, n, (lO9);pico, p, (lO 12); femto, f, (1015); Yatto, a, (10 18).

El sistema SI requiere que se diferencie claramente entre masa y peso, en lo cual sedistingue de los sistemas de unidades "gravtacionales". La masa de un cuerpo esindependiente de su localizacin. Puede estar en el ecuador o en el polo, sumergido enagua, o en la Luna, y esto no afecta su masa pues la masa es la cantidad de materia queposee el cuerpo. La unidad de masa es el kilogramo (kg), la cual es igual a la delprototipo internacional (el cual tiene aproximadamente una masa igual a la de undecmetro cbico, o sea un litro, de agua al nivel del mar). La atraccin gravitacional dela tierra impone a un cuerpo en cada libre una aceleracin g, cuyo valor varaaproximadamente del orden 0.5 por ciento sobre la superficie de la tierra, pero que se leha dado un valor fijo estndar de 9.80() G')O m/s". Por lo tanto se requiere una fuerzade 9.80G G:)U N para sostener una masa de 1 kg sobre la superficie de la tierra, esto seconoce como el peso del cuerpo. Generalmente la masa de un cuerpo se obtienepesndolo, o sea comparando la atraccin graviracional de la masa con la de otraconocida por medio de una balanza; de ah la confusin comn entre masa y peso. En elsistema mtrico original se defini una unidad de fuerza equivalente a la que obtendrauna masa unitaria al ser acelerada un g. Esta unidad se conoce como elkilogramo-fuerza (kgf) o kilopondio, y corresponde a 9.806 65 N. Anlogamente, paraefectos de medir presin, o esfuerzo, en el sistema SI se utiliza el pascal (1 Pa = 1N/m2) , lo cual corresponde a valores relativamente pequeos, por esto se emplea elmegapascal (1 MPa = 10" Nzrn"), el cual corresponde a 10.197 kgf'/crn".Con el fin de evitar confusin en el uso del sistema SI, existen las siguientes reglasaceptadas internacionalmente respecto a la sintaxis que debe emplearse:

Nunca se intercambian minsculas y maysculas: mm y no 1v1M, o kg y no KG. Los smbolos no se alteran en el plural: kg, y no kgs, No se deja espacio entre el prefijo y el smbolo: \IPa y no M Pa. No se agrega punto al final del smbolo, a menos que sea el punto final de una

oracin. Los smbolos no son abreviaturas, por lo tanto: Pa y no Pase, m y no mts. En los productos de smbolos se utiliza un punto levantado: kN . m. En los cocientes se utiliza un solo simbolo de divisin, o pueden utilizarse potencias

negativas: kg/(m o s), o kg o m 10 SI, pero no kg/rn/s. Puede utilizarse punto, o coma, para indicar los decimales. dependiendo de la'

costumbre local. Esto significa que ninguno de los dos se debe utilizar para separargrupos de dgitos, para esto se utiliza un blanco. Eiemplo: g = 9.806 650 m/s",

Para nmeros menores que la unidad, no se omite el cero inicial: 0.123 y no .123. Debe haber siempre un espacio entre el nmero y las unidades: 12.3 rrr/s, excepto

cuando se trata de grados celsius: 12C. Las unidades cuyo nombre es el apellido de un cientfico, se emplean con

mayscula: N, Pa, etc., pero cuando se refiere a ellas no se utiliza la mayscula:pascales, etc.

Nota: Para facilitar la solucin de problemas de dinmica estructural, cuando se utilizael sistema internacional de unidades (5J), se recomiendan dos alternativas: (a) emplearmasas en I\Ig (rnegagramos = 1000 kg) Y rigideces en kN/m donde kN/m =J000 kg o m/s- o l/m = 1000 ' kg/s 2 , o sea que son totalmente equivalentes pues lasmasas se van a multiplicar por aceleraciones en m/s- y las rigideces por m; o (b)emplear masas en kg y rigideces en Nyrn, caso en el cual dado que 1 N = I kg o mis",las cuales tambin son equivalentes.

7

._._-- ->--~", --....--------------

s Rigidez

Todo cuerpo elstico que sea sometido a fuerzas externas, ya sean estticas odinmicas, sufre una deformacin. .1a,~e_define como la relacin entre estasfuerzas externas y las_deforn:Hl.J:iOllg::Lqu~ ellas inducen en el cuerpo, ICasomassimplecorresponde a un resorte helcodal, como el que-semstra esquemticamente en laFigura 1-2(a).

u

,,--",,,_P

P

(a) (b)

Figura 1-2 - Relacin fuerza-deplazamiento para un resorte

Cuando el resorte se estira debido a la aplicacin de una fuerza P en uno de susextremos, estando el otro extremo adherido a un apoyo, las deformaciones sonresistidas por medio de un trabajo interno que est asociado con la magnitud de ladeformacin del extremo libre. La relacin entre la fuerza que resiste el resorte y ladeformacin entre sus extremos tiene la forma mostrada en la Figura 1-2(b). En generalesta relacin no es totalmente lineal, pero cuando las deformaciones son pequeas sepuede idealizar como una linea recta.

La rgidez.es;porlo -tanto, la relacin entre las .fuerz.as y los desplazamientos y- - - --- , ,)---- ----'

usualmente se._d_e.:gomina.pQr, medio de la letra k. Matemticamente se expresa pormedio de la siguiente relacin: ,.'

k=Pu

(1--1:)

El mismo concepto se puede extender a cuerpos elsticos que tienen otras formas. Es elcaso, por ejemplo, mostrado en la Figura 1-3, en la cual se aplica una fuerza en la puntade una viga en voladizo, lo cual causa en su extremo libre un desplazamiento, u, en ladireccin de la fuerza.

Figura 1-3 - Relacin fuerza-deplazamiento para un voladizo

Utilizando los principios de la resistencia de materiales es posible demostrar que parael voladizo presentado en la Figura 1-3, la deflexn u, est dada por:

PL3u='--

3EI

donde L es la luz de la viga, E es el mdulo de elasticidad del material de la viga, e 1 esel momento de inercia de la seccin de la viga. En este caso la rigidez k, est dada por:

k = P = 3EIU L3

8k-o--------------

---~-,-------

La rigidez puede tambin definirse como la fuerza que debe aplicarse al sistema paraobtener una deformacin unitaria en la misma direccin y sentido de la carga.

.-\ continuacin se presentan varios casos comunes de rigidez para diferentes sistemas:

Tabla 1-1- Rigidez de algunos sistemas elsticos

Resortes en serie: 1k=

1 1-+-

k k 2 k k 2

Resortes en paralelo:k

k=k+k 2

k 2

Barra sometida a fuerza axial: AEk=-~ 1--.. L

i--L---j"

Barra sometida a torsin:

@ G} k= JGL '.Barra en voladizo:

t=L~ k = 3EIe-,~"._,~" _....-~,..~,-~ " .. ,--

Barra simplemente apoyada, fuerza transversal enel centro de la luz: :;111, . ,

K L3~ ~l L 1

-Barra empotrada-empotrada, fuerza transversal enel centro de la luz:

k =!?2EI

F~ ~ . L31- L "1Barra empotrada-simplemenie apoyada, fuerzatransversal en el centro de la luz:

k = 768E!

FU::j 7L3-~l L -1"

,,;

Barra simplemente apoyada, fuerza transversal enel cualquier punto:

k = 3EII~

l;=- a ~\\ a 2b21 L 1

.6 Trabajo y energaEl trabajo realizado por una fuerza al recorrer una distancia, Figura 1-4(a), est dadopor la siguiente expresin:

L

w= fFdl=FLo

(l-S)

Dibujando un grfico, como el mostrado en la Figura 1-4(b), en el cual se presenta elvalor de la fuerza P, contra la distancia recorrida L, es evidente a partir de la ecuacin(I-S), que el trabajo realizado por la fuerza es igual al rea bajo la curva que describe elvalor de la fuerza, con respecto a su variacin con la distancia recorrida, en este casouna lnea recta horizontal,

(a)

F~I

p

(b)L u

Figura 1-4 - Trabajo realizado por una fuerza

En el caso de una fuerza que se aplica en el extremo de un resorte, el valor de la fuerzaes cero cuando se inicia el desplazamiento, y al final su valor es igual al producto ku.

---x ux

I,.-"""'Q)_P

fin

".--0)_0inicio

FP t----,

(a) (b)

Figura 1-5 - Trabajo realizado por una fuerza que deforma un resorte

En este caso, que se muestra en la Figura loS, el rea bajo la curva corresponde altrabajo realizado por la fuerza, el cual es equivalente a la energa de deformacinacumulada en el resorte.

x x [1]X 1w= fPdu= fkudu= -ku2 =-kx2

o o 2 o 2(1-6)

La energa de deformacin, o energa potencial, acumulada en un resorte que esmantenido en un estado de deformacin por una fuerza, es igual a:

1 2Ep =-kx2(1-7)

donde x es la deformacin relativa entre los extremos del resorte.

10k---------

Cuando una masa m se encuentra en movimiento, la energa cintica que lleva la masaes:

1 2EC =-rnv2(1-8)

donde v es la velocidad de la masa. En todo sistema conservativo la energa total esinvariante, por esta razn la suma de la energa cintica y la energa potencial es igual auna constante:

(1-9)

y la derivada contra el tiempo de la energa es:

(1-10)

1.7 Amortiguamiento

1.7.1 Generalidades

En general en todo cuerpo en movimiento, este ltimo tiende a disminuir con el tiempo.La razn de esta disminucin est asociada con una. perdida de la energa presente en elsistema. Esta prdida de energa es producida por fuerzas de amortiguamiento o defriccin que obran sobre el sistema. La energa, ya sea cintica o potencial, setransforma en otras formas de energa tales como calor o ruido. Estos mecanismos detransformacin de energa son complejos y no estn totalmente entendidos, an hoy enda. No obstante, existen varias formas de describir estos fenmenos que en algunamedida se ajustan a la observacin. A continuacin se presentan algunas de las formasms utilizadas para describir los fenmenos de amortiguamiento.

1.7.2 Amortiguamiento viscoso

Un cuerpo que se encuentra en movimiento dentro de un fluido tiende a perder energacintica debido a que la viscosidad del fluido se opone al movmenro. Esta prdida deenerga cintica est directamente asociada con la velocidad de] movimiento. Ladescripcin matemtica del fenmeno de amortiguamiento viscoso es la siguiente:

donde:Faex

fuerza producida por el amortiguadorconstante del amortiguadorvelocidad relativa entre los dos extremos del amortiguador

(1-11)

En general se representa por medio del diagrama de la Figura 1-6(a), el cual recuerda losamortiguadores utilizados en los automviles, los cuales son amortiguadores viscosospues producen un efecto de amortiguamiento al forzar el paso de un fluido viscoso atravs de unos orificios en el mbolo de un pistn de accin doble.

11

.'I.(Uluca eSl,rUCI.lU(U U1J(I'LU-UU ~-. _

(a) (b)

Figura 1-6 - Relacin fuerza-velocidad para un amortiguador viscoso

El amortiguamiento vscoso se presta para una descripcin matemtica simple, lo cualpermite resolver las ecuaciones diferenciales de movimiento de un sistema dinmico sinmayor problema. Por esta razn se utiliza an en casos en los cuales la descripcinmatemtica no corresponde exactamente al fenmeno fsico.

'.7.3 Amortiguamiento de Coulomb

Este amortiguamiento corresponde al fenmeno fsico de friccin entre superficiessecas. La fuerza de friccin es igual al producto de la fuerza normal a la superficie N, yel coeficiente de friccin, /.l.

Se supone que el amortiguamiento deCoulomb es independiente de la velocidaddel movimento, una vez ste se inicia.Siempre se opone al movimiento, por lotanto tiene el signo contrario al de lavelocidad. J.LN

Matemticamente se puede expresar pormedio de la ecuacin (1-12):

Figura 1-7 - Amortiguamiento de Coulomb

(I -1

donde:Fa11N

fuerza producida por el amortiguamientocoeficiente de friccin dinmica (adimensional)fuerza normal a la superficie de friccin

Su tratamiento matemtico no puede realizarse por medio de funciones continuas,debido a que depende del signo de la velocidad, lo que introduce complejidad a lasolucin.

1.7.4 Amortiguamiento histerttco

La histresis es un fenmeno por medio del cual dos, o ms, propiedades fsicas serelacionan de una manera que depende de la historia de su comportamiento previo. Estetipo de amortiguamiento se presenta cuando un elemento estructural es sometido ainversiones en el sentido de la carga aplicada cuando el material del elemento seencuentra en el rango inelstico o no lineal. El hecho de que la curva de carga tenga unatrayectoria diferente a la curva de descarga conduce a que no toda la energa dedeformacin acumulada en el elemento se convierta en energa cintica en el ciclo dedescarga. Dependiendo del tipo de material la forma tanto de la curva de carga como lade descarga varia. A modo h.stratvo, en la Figura 1-8 se muestra el comportamiento,en trminos de fuerza-deformacin, de un elemento estructural construido con un

12~---------------------

material inelastco durante unos ciclos de carga y descarga, incluyendo reversin delsentido de las fuerzas aplicadas,

u

F

Figura 1-8 - Curva fuerza-deformacinpara un material inelstico

-~=----+-- -F;,

En la figura se ha marcado la fuerza defluencia Fy, a partir de la cual hay deformacinsin que se presente un aumento en la fuerza.Una vez se invierte el movimiento, se inicia elciclo de descarga, y el material reacciona deuna manera diferente a cuando fue cargado,hasta cuando llega a la fluencia en el ladoopuesto, -Fy

La acumulacin de energa de deformacincorresponde al rea bajo la curva de carga,Figura 1-9(a). Cuando el sistema descarga laenerga que el sistema transfiere paraconvertirse en energa cintica corresponde alrea bajo la curva de descarga, Fgura 1-9(b).La diferencia entre las dos reas correspondea energa disipada por el sistema y que seconvierte en calor, ruido u otros tipos de energa, Figura 1-9(c).

I(a) ciclo de carga

FtFy-r------==-......,

u u

(b) ciclo de descarga (c) energa disipada

Figura 1-9 - Disipacin de energa en un sistema inelstico

Aunque en algunos casos el comportamiento histertico de los elementos estructuralespuede describirse por medio de modelos relativamente simples como modeloelasto-plstico, en la gran. mayora de los casos hay necesidad de recurrir a modelosmatemticos ms complejos. En el Captulo ti se hace una descripcin detallada deestos fenmenos para diferentes materiales estructurales.

1.8 Tipos de excitacin dinmica

Toda estructura se ve afectada numerosas veces durante su vida por efectos dinmicosque van desde magnitudes despreciables, hasta efectos que pueden poner en peligro suestabilidad. Dentro de los tipos de excitacin dinmica que pueden afectar unaestructura, o un elemento estructural, se cuenta (vase la Figura 1-10) entre otros:

Causada por equipos mecnicos - Dentro de este grupo estn los efectos causados pormaquinarias y equipos que tengan componentes que roten o se desplacenperidicamente.

Causada por impacto - El hecho de que una masa sufra una colisin con otra, induceuna fuerza impulsiva aplicada sobre las dos masas, la cual induce vibraciones.

Causada por explosiones - Una explosin produce ondas de presin en el aire, omovmienros del terreno. -\mbos efectos afectan estructuras localizadas cercadel lugar de la explosin.

18

Causada por el viento - La intensidad de las presiones que ejercen el viento sobre lasestructuras vara en el tiempo. Esto induce efectos vibratorios sobre ellas.

Causada por olas - En las estructuras hidrulicas las olas inducen efectos dinmicoscorrespondientes a las variaciones del empuje hidrulico sobre ellas.

Causada por sismos - El efecto sobre las estructuras de los movmentos del terrenoproducidos por la ocurrencia de un sismo conduce a vibraciones importantes dela estructura.

tiempo

fuerza

~\ -,. ~V~I

[1_impactoequipos

mecnicos

explosiones

viento

t---------t-'--------------t--------------t

olas P \ tiempoVV~ ~ ~ ""'.............................. ~ '-'" '?"::~sismos

aceleracin

~ . .AhA .H Uempor '~VV 'V "V'

Figura 1-10 - Tipos d~ excitacin dinmica

14

s

Capitulo 2

Sisie"UUj dinn.icos deun grado ele libertad

2.1 Vibracin libre no amortiguada

En la Figura 2-l(a) se muestra un sistema elstico de un grado de libertad compuestopor una masa m, la cual puede deslizar sin friccin sobre una superficie horizontal ycuya posicin se describe por medio de la coordenada x, y por un resorte-que conecta lamasa con un apoyo inmvil,

_mX

(a)

ID kx_

(b)

Figura 2-1 - Sistema elstico de un grado de Iibf'!rtad

Bajo el supuesto de que la fuerza ejercida para deformar el resorte, ya sea en tensin oen compresin, es proporcional a la deformacin y siendo k la O),; ante deproporcionalidad, o rigidez, podernos determinar la fuerza que ejerce el resorte pormedio de:

donde:Frkx

fuerza ejercida por el resorte (N)rigidez del resorte (N/m)desplazamiento relativo entre los dos extremos del resorte (m)

(2-1)

La fuerza inercial que se tiene en la masa m debido a la aceleracin a, est dada, segnla segunda ley de Newron, por:

donde:Fm

x

F =-mx

fuerza inercial que obra sobre la masa (N)masa (kg)aceleracin de la masa (m/5 2 )

lB

(22)

inmica estructural ajJunlUlI ((( u ..,,, ~ ". __.. _

Esta fuerza inercial obra en la direccin contraria a la direccin de la aceleracin.Aplicando el procedimiento de "cuerpo Libre" en la masa, Figura 2-l(b), se obtienen lasdos fuerzas que obran sobre la masa, correspondientes a la fuerza ejercida por elresorte y la fuerza inercial. Por lo tanto, aplicando el principio de D'Alernbert:

Fr - F =k x + m x=O (2-3)

As se obtiene la siguiente ecuaClOn de equilibrio, correspondiente a una ecuacindiferencial lineal homognea de segundo orden:

m x s-k x e (2-4)

Dividiendo por m y llamando cJ- la constante klm, se obtiene:

(2-5)

y la solucin de esta ecuacin diferencial (2-5) es:

x(t) = Asen(rot)+ B cos(rot) (2-6)

donde A YB dependen de lascondiciones iniciales que indujeron el movtmentoPor lotanto, si se define x, como el desplazamiento que tena la masa en el momento t=O y Vocomo su velocidad tambin en el tiempo t=O, se obtiene:

X o = Asen(roO)+Bcos(roO)=B (2-7)

Ahora derivando la ecuacin (2-6):

x= Arocos(rot) - B rosen(rot) (2-8)

que al tiempo t=O es igual a:

V o =Arocos(mO)-Broscn(roQ) = Aro (2-9)

y entonces

A=~ro

(2-10)

Por lo tanto la solucin de la ecuacin (2-5) se convierte en:

x(t) = ( ~ )sen(rot) + X o cos(rot)donde:Vo velocidad de la masa en el instante t=O (m/s)x, desplazamiento de la masa en el instante t=O (m)ro frecuencia natural del sistema (rad/s)

(2-11)

El haber introducido un desplazamiento y una velocidad iniciales a la masa hace questa oscile con un movimiento peridico: a partir del momento (1=0) en que seintrodujeron estas condiciones iniciales. En la Figura 2-2 se presenta el grfico deldesplazamiento de la masa con respecto al tiempo, correspondiente a la solucin de laecuacin (2-11).

i6~-~----~--h

x-'- ..:.... -...

penodoT b:~;~i~;~.:.c;:.!.;.;..-.i~~;iF,l~':>..ro-o: "'.~J .- tFigura 2-2 - Desplazamiento de la masa en .el tiempo ante . ", "'''',.,-.,~~_

condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad

Puede verse que se trata de un movimiento peridico. Esta periodicidad hace que elvalor de x sea el mismo cada (21t1ro) segundos. Por lo tanto, es posible definir lossiguientes trminos:

ro = g;= frecuencia natural del sistema en radianes por segundo (rad/s)rof =- = frecuencia natural del sistema en ciclos por segundo o Hertz (Hz L/s)21t

2It 1T =- =- = perodo natural del sistema en segundos (s)

ro f

Estas relaciones se han enmarcado para resaltar su importancia.

============================================

Eiemplo 2-1

UItCiL CCiLjCiL qlH' tiene IH'LCiL f'l'LCiLSCiL 1Itr. 1000 kg es soltCiLlltCiL lItesllte 1 metro lite CiLLtluu soine eL centro liteLCiL LllZ lite I1HCiL VigCiL sif'npLef'lte/tte CiLYJ0I:1UlltCiL. de m(A,sa ~tcspreciabLe. La VigCiL tievLe IU'La L,u L de10 ID 1:1 SIl, seccilt tielte 0.20 m de CiL/tdw p(lr 0.50 m de CiLLto_ Estri constrtdCiL de IU'L I'ltCiLteriCiLL(HijO f'ltdlO de eLasiicidallt E es 25 000 MPa. Elt La Fig/UCiL 2-3 se mlH'strCiL eL sistel1tCiL.

masa 1000 kg --

0.2 m-t-tmOS m

seccin

10m

.Figura 2-3 - Viga sobre la cual se deja caer una masa

SILIJOIticltdo (,j1H' LCiL CUjCiL (,jlted(A. toLuLI1te/tLe udlwrid(A, U Lu vigCiL a pwtir deL flwlnel1Jo deLCCillt(A,clo LfticiaL detlf' en('()l1trarse I1HU dcscriYJCin deL l'ltovimiel'Lto OSCiLlA-torio ql1t' se genera.

17~- .; __ ._,._.'c_.... ,--",,,,,,,~ _

rlnicH est r!IClUnll

Cavi, tJase CI1 o wtt.erior. se rJl1.ede p~aVl-tear ~a ecnacilt d.fereu:ia~ de eqlLbro segt'ut laeW.a(Vl- (2-4-). en la Cltal se ~"a tOlnlA.O COVVLO niveL e reJerevu:ia (x=O). et niveL al C/HA.L seel.lLCOvLtrara LIA. vigu con Lucaja coLocaliLa lelttaVlteltte. o sea aL l'tveL liLe La liLeJLexn esttica oe'de Luviga evteL centro liLe S11. L,1Z (oe = WIk = rnglk):

mx+kx=O

o ividieJtliLo por m :

La soLncim. de uCIi.Crdo con Lu emacim (2-11). es:

x(t) = ( :; )sen(cot) + X o cos(cot)

Alwra. eli. f'i f1UH11.f'-I1.W deL fnrJlA.uo e La caja con LIA. vigu. eL cl1.aL se dCJlte conto t=O. eLdesrJLazalniento de Lu VHIA.Sa es cero. por Lo tanto Xo=O.

Para OtJtcfter LIA. veLocilA.d qlv~ tievlf La VltaSU, eJt eL 11WI1tfltW deL impacto se debe obte/ter Lavefoci(;{.ll.d qttf Lielte La caju riesfJl1rs rie I"utl('r ({A.IAG.1m Inetrn. La energ(;j, cltticcl (mv2/2) ;jltftiene Lu cuja en eL num1eltlo del lmplA.ClO es uJlA.L lA. La ellergf",, rJotevtciaL qli.C le/te av"tes desoLtarLa (wh). Por Lo tWtto:

mv2/2 = wh Ij dado qlle rn = w/g. sc.ohtene v2 = 2gh.

v2 = 2gh = 2 . 9.8 . 1 = 19.6 m 2/s2

Lu vcLoddad de La caja el1. eL V11CHnenlO deL ln!',acto es. entonces.

v =4.43 mis

Por lo taltlo Vo es 4.43 mis Ij La rieJkxim CI1 el cel11ro de /IJ. LIE en CltlA.Lqler instr;uHe esyntsrieL ilnr,acto se fJllede o!'ltener de:

x(t) = (vJro) sen(cot) + x, cos(rot) =(4.43/50) sen(50t) + (O) cos(50t) =: 0.0886 sen(50t)

..---... /b", I -~/ -, I/ \ / \

I i\ i I \1/ ,\ I I \

\ I --! \ ;~\ I / \ I /i \.. :/ ,\...._./ -l

"-'f

0.100.080.060.04

x(t) 0.020.00

(m) -0.02-0.04-0.06-0.08-0.10

0.00 0.05 0.10 0:15 0.20 0.25

tiempo t (s)

Figura 2-5 - Deflexin de la viga en el centro de la luz

~{l1UC(J eSITU("((U ' "pi" Innl U' .

La f'l'txnu cieflexLl'L ciLnvvca 0We tiene Lu viga eVL SIl, centro de La LHz se ,presel1ta evi, dil1stul'Lte Cltul'LCO 50t = rrJ2, o sea CI{,w1cio t = rrJ100 = 0.0314 s. lJ esta citjLexivL tiene IH'L valor de0.0886 ID, igltaL u La uvnpLitltci de LujlH1Cin S11150iciaL.

LG1, mximujlterza 'Lt'rciu[ lijlte impCH'Le el VlwvilnLento (/\, LCA viga es iglAJ a Lajlterzu estUcuGjlte ILUI'lrfu l'Lecesiciuci de colocar /"lrMa ohtener LIA l'l'LisH'La oLeflexil'L de 0.0886 ro, o se.

0.0886 k = 0.0886' 2.5' 106 = 221500 N

A esta vl1Lsm Jlterzu se J1aecie LLegur cuLwJw'LoLo L l'l'Lximu ceLerci~'L Id Vl11YlLicl1oLoLapor Lu Vl'Ls. L emudv\' de La aceLercil'L se ouuene derivando dos veces COI'Ltr el tiempo LaeCltuci\'L cid aesYJLcuamie~tto Gj/U' se obtuvo (/\'1'Lterioff'J'LCf'Lte. La cltL se presenta ae rtltevo (/\,

cm'Lti~'L1 t(/\,di'l:

x(t) =0.0886 sentcot)

aerLVi'LoLo IU'L vez se ohterte [ eC/tadl'L de LuveLoda(/\,d:

x(t) =0.0886 ro cosot)

x(t) = -0.0886 (f)2 sen(rot) = -221.5 sen(rot)

Lu Vl'Lxiina ceLerdl'L se r1reSel'Lta C/ttimao 50t =rr/2. o sea Cltnclo t =rr/l00 = 0.0314 s. o seaClt(/\'i'1d.O el despLcuamiel'LLo t(/\,m~)Ll'L es mxLvno. 11 tiene ai1 vaor de -221.5 mls2 . Por Lo t(/\,l'Lto LmxLm(/\,jaerz terciuL correspol'Lae :

F =-m x =-1000, -221.5 =221500 N

Opte es el mismo valor oL! te~do unte rioff'J'Lel'Lte.

vaLe L(/\, pei'L (esaLt(/\,r Lvl eltCrVlte aifert:ftCirA lijltf se ()LJtev~dr~l. si [CA. mja se c.o!u,,,- sin dejarLucaer. caso en el clt(/\,L La carg SO~'lYe Lu vLgu sera 1000 kg x 9.8 mls2 =9800 N 11 La mxLVl'L(/\,atjLexii'L verticaL Gjlte tel'LoLrfu Lu vig serfu oe = PIk = 9800/2.5 . 106 = 0.004 ro = 4 mm. Debeavertirse qlte Ls oLeJLexim'Lt's o~lte~'Littas correSpm'Laef'L It~ticamef'Lte Lu YItMte DiLl'LVltlca. !j (;jIteLa vLga tiene IU'L(/\' agLexLi'L e'trlLca. COi'L 1m valor Lg/taL a 4 mm. o seu Gjlte Las osciLacimtesoLil'Lvl'LLc.as SOi'L aeJLexLmtes reLatwas COVi, respecto a esta atjLexLf'L esttica.

2.2 Vibracin libre amortiquadaLos movimientos oscilatorios tienden a disminuir con el tiempo hasta desaparecer. Estose debe al amortiguamiento que se presenta, el cual hace que parte de la energa sedisipe. Las causas de este amortiguamiento estn asociadas con diferentes fenmenosdentro de los cuales se puede contar la friccin de la masa sobre la superficie de apoyo,el efecto del aire que rodea la masa, el cual tiende a impedir que ocurra el movrnenro,la no linealidad del material del resorte, entre otros.

Existen numerosas maneras de describir matemticamente el efecto de friccin. Dentrode estos modelos, uno de los ms utilizados es el que se conoce comoamortiguamiento viscoso (vase la Seccin 1.7). E~ el amortiguamiento viscoso la

20l.:----.---------------------- ~_.L

fuerza de amortiguamiento es directamenteproporcional a la velocidad relativa entrelos-e:~r~ill-os-del ~lmortlguaaor, lo cual s puede descriiJ;:_p_or!lH~di9j;ie.lasiguienteecuacin:

donde:Fae

X

fuerza producida por el amortiguador (N)constante del amortiguador (N s/rn)velocidad relativa entre los dos extremos del amortiguador (mis)

(2 -12)

En la Figura 2-6 se muestra un sistema lineal amortiguado de un grado de libertad. Elgrado de libertad est descrito por la ordenada x, la cual indica la posicin de la masam. A esta masa, colocada sobre una superficie sin friccin, estn conectados un resortecon constante de rigidez k y un amortiguador cuya constante es c.

(a)

IDkx-

cx-

-mX

(b)

Figura 2-6 - Sistema tlneel amortiguado de un grado de libertad

De la aplicacin del procedimiento de cuerpo libre sobre la masa, se obtienen las tresfuerzas que obran sobre ella, correspondientes a la fuerza del resorte F" descrita por laecuacin (2-1); la fuerza inercial producida por la aceleracin de la masa, dada por laecuacin (2-2) y por la fuerza ejercida por el amortiguador dada en la ecuacin ('2-12).Utilizando el principio de D'Alembert puede plantearse la siguiente eruacin:

y al reemplazar las definiciones de las diferentes fuerzas:

kx-t-cx>- (-mi) = O

(2-13)

(2 -14)

lo cual conduce a la siguiente ecuacin diferencial lineal homognea de segundo orden:

mx t-cx-t kx e Il

La ecuacin caracterstica de la ecuacin anterior es:

cuyas races son:

-C+~C2 -4mkA= -2m

o sea

-c+Jc2 -4mkA1 = - - - - - -2m

21

(2-15)

(2-16)

(2-17)

(2-17a)

~Dillnlica eszruceurr ({Pll~UUu

(2-26)

donde x, YVo son el desplazamiento y la velocidad iniciales respecttvamente.

X..,i

------------=~~""""""---->- t

Figura 2-7 - Respuesta de un sistema con amortiguamiento igual al crtico

Este es un movimiento aperidico pues no hay oscilacin, como puede verse en laFigura c-7. Este es el caso en el cual el sistema regresa de la manera ms rpida a sucondicin de reposo.

2.2.2 Amortiguamiento mayor que el critico

En este caso ~ > 1. Tomando los valores de 11.1 y 11.2 de las ecuaciones (2-22) y (2-23) e,... introducindolos en la ecuacin (2-18),

se obtiene:x(t) = e-~cot[A e~~2-lcot + B e_~~2_l cot]

(2-18)

(2-27)

A Y B son constantes arbitrarias que dependen de las condiciones iniciales. En este casoel movmenro tambin es aperidico como en el caso de amortiguarnento critico, con lediferencia que el movimiento decrece ms lentamente que cuando se tieneamortiguamiento igual al crtico, .

2.2.3 Amortiguamiento menor que el critico

Corresponde a la posibilidad de mayor inters por cuanto se presenta vibracin. La granmayora de aplicaciones prcticas en vibraciones estn regidas por este caso debido alhecho de que la gran mayora de los sistemas estructurales tiene valores deamortiguamiento bajos. En este caso ~_..'S._!:_Tomando los valores de 11.1 y A2 de lasecuaciones (2-22) y (2-23) puede verse que la parte interna de los radicales es negativa,por lo tanto la solucin es imaginaria:

Aplicando la transformacin de Euler, la cual se expresa como:

e iy =cos(y)+isen(y)

e-iy = cos(y) - i sen(y)

(2-28)

(2-29a)

(2-29b)

I.JIIUlIIU\, \.t: '-,~,H.... "' ...... ,~. ~ __

se obtiene una forma no imaginaria de la ecuacin (2-28):

(2-30)

Al resolver las constantes e y D para las condiciones iniciales de desplazamiento inicialXo, y velocidad inicial vo , se obtiene:

(2-31)

donde COa se conoce como la frecuencia amortiguada y est definida por:

(2-32)

El movimiento disminuye de amplitud exponencialmente como se muestra en la Figura2-8. La porcin oscilatoria tiene un perodo un poco mayor que el que tendra unsistema no amortiguado con la misma rigidez y masa:

T = 21t = 21ta roa Jl- ~2 ro (2-33)

x

X o

-f------+----I-------\----I---~--.~~t

Figura 2-8 - Respuesta de un sistema con amortiguamiento menor del crtico

Ejemplo 2-2UtiLlZCJtVLcto los dlttos ctel Ejeml'llo 2-1, e~t el Cltltl se ctej caer IUtlil. Clil.jeA. COV11UteA. mlil.slt cte 1000kg sobre ItVLeA. vigeA.1j UptE' el sistemlt CO~1jIUttO ttene IHtltjrecl,teteieA. It;ltml cte50 rad/s. se cteseeA.enrontrar leA. ~n(;ixltlt ltnt~litltct cteL vlOvif'nie~tto ctltcto (~HR el sistemlt eA.hom teVlR It~tltI11Ortigltlil.mietto e cte 5000 N slm.

EL coejtcteate cte eA.f'lwrtiglteA.mieltto crtico, ~, se obtiete cte:e 5000~=--= =0.05=5%

2mro 21000,50

Dlil.uto qlH' el co\ficiette cte tJLf11.ortiglleA.f11.eVl,to crtico c.'> I1tCVWI' ql{e llil. lualil.u1. el 111OV1CVltOest aescrilO por:

L.24ll-----~------

~----

AL rcel1wLazar Los vaLores ayroynados, tolnuvLus ud ejel1tyLo ).-1, se ov,UeI1e:

U;-'/;):,; ".iF;){:(H

lilllicu estructural ajJIICU(UI (Ir ({.:,ellll .7"."",,_

Tomando el cociente entre la amplitud de dos picos sucesivos XJX+l Y por medio de laecuacin (2-31), es posible obtener:

El logaritmo natural de este cociente se conoce con el nombre de decrementologartmico:

Xi -~Ol(t-t. ) ~01f--=e ..+ =e" aXi+l

(2-]-l)

(2-35)

a partir del cual es posible calcular ~:

(2-36)

X

Figura 2-10 - Clculo del decremento logartmico

El valor del decremento logartmico para valores pequeos de b se convierte en:

(2-37)

Por lo tanto, disponiendo de un registro de las oscilaciones es posible entoncesdeterminar el coeficiente de amortiguamiento crtico con facilidad. Cuando elmovimiento decrece muy poco, debido a que el amortiguamiento es pequeo, el valordel decremento logartmico puede obtenerse comparando las amplitudes localizadas nciclos aparte por medio de:

1 (X.)b=-ln -'-n Xi+o

(2-38)

lIIl____di26

L-...-------------------------

------------_.-----

Ejemplo 2-3EL 11wvLvvLevLtCl CVL vLbmdll1 LLbre e IU1 sLstel1tu ecred e Juta amrLLtli e 0.155 ID a 0.006ID aL cMJO c 22 cctos. Se escu saber wL es e corjicnte e af1Wrgl1W1elttcJ crco e1sLsLema. S.Lu soL/teln es:

(0.~:78)1+(0.~:78r

s= -;====== 0.0235 = 2.35%1 (0.155)b = -In -- = 0.1478 Y2~ 0.006

2.3 Vibraciones forzadas armnicasEn la Figura 2-11 se presenta un sistema de un grado de libertad a cuya masa se leaplica una fuerza que vara en el tiempo con una periodicidad constante. Esta fuerzaperidica puede describirse por medio de Fosen(Qt), de la cual podemos decir que sumximo valor es Fo Y que tiene una frecuencia de Q rad/s. Del cuerpo libre es posibleplantear la siguiente ecuacin de equilibrio:

mx + ex + kx = Fosen(Qt) (2-39)

ex

_mx

(al (hJ

Figura 2-11 - Sistema de un grado de libertad sometido a excitacin armnica

La solucin de esta ecuacin diferencial no homognea de segundo orden se divide endos partes: una solucin homognea y una solucin particular. La solucinhomogneacorresponde a la respuesta ante las condiciones iniciales, la cualse rige por la ecuacin

(2-1~) Y dependiendo del valor del coeficiente del amortiguamiento crtico tiene lasdiferentes soluciones planteadas anteriormente. La solucin particular depende de lafuerza externa que se le impone al sistema. Es importante anotar que la parte de larespuesta correspondiente a la solucin homognea desaparece pasado algn tiempopues el amortiguamiento la diminuye; por lo tanto, slo la solucin particular es deinters cuando ha transcurrido algn tiempo despus de iniciado el movimiento.

Puede suponerse que la solucin particular tiene la siguiente forma:

x =Xsen(Qt -

:CIJilllllica est rllC(llr(l1 (I[>ucuczu Ul "''''''HU .'-......_".-----------"'----------------------

Al derivar contra el tiempo la ecuacin (2-40) se llega a:

x= XQcos(Qt-

~.,

y el ngulo de desfase ~ con respecto a la excitacin:

eQtauk_mQ2 (2-46)

Realizando las transformaciones apropiadas, las ecuaciones anteriores se convierten en:

(;)[I-(~rr +H~)J

2~(~)tan = 2

1-(~)

(2-45a)

(2-46a)

La ecuacin (2-45) describe un fenmeno clsico de resonancia. Cuando el coeficiente deamortiguamiento crtico ;, es igual a cero y la relacin entre frecuencias (Q/ro), es igual ala unidad, el denominador de la ecuacin (2-45) es cero y por lo tanto la amplificacinse convierte en infinito.

3.0,------,-----rr-.,.-..,.,------r----,-----------,

\-----t- 1; = 0.02.5 +--------j---H-~""'k_----'H---+----__t----_+_---__J

U-------t-1; = 0.1

2.0 +-------j---IJ'-I---+-+---\t---+--------j---- - - -l .\-\\---t-1; =0.2

Fo /k 1.5 +------!---/>~--__+_--+\\_-+___,,____~:_+----+_

0.5 +--------j--------="""i-=-=""-=----?"l--;;:~"""'-_+---

3.(J2.52.01.5QjO)

1.00.50.0c:----1------4-----+----4----i-------j

0.0

Figura 2-14 - Amplificacin dinmica

El hecho de que el amorrguamento no sea cero indica que este denominador esdiferente de cero y por lo tanto la amplificacin, aunque de magnitud importante, tieneun valor finito. Es posible demostrar que el mximo valor de X se obtiene cuando:

(2-47).....~"", "

En la Figura 2-14)se muestra la amplificacin dinmica en funcin del cociente entre lasfrecuencias, (Q/ro). Es importante anotar que la amplificacin est dada en funcin del

29

~1D;.1JIlIUIHIlU Il:~".u""",u,."" "~r'-,- -;;.."

..

1,.desplazamiento esttico del sistema (F.,Ik), el cual corresponde a la deflexin quetendra el sistema si la fuerza F, se aplica muy lentamente.

En algunos casos es conveniente expresar la ecuacin (2-40) como una suma de un senoy un coseno, en vez de un seno ms un ngulo de desfase. Definiendo ~ = Q/ro yutilizando sen(a - y) =sella cosy- cosa seny, obtenemos:

(2-48)y

Fox(t)= 2k [(1-132)sen(Qt)-21;13cos(Qt)]

[1-/32] + [21;/3]2

Ejemplo 2-4

(2-49)

UV\, taltCjlte ete l/l.glta con It,ftl/l. seccinI10rizoIttl/l.L etc 1 ID2 etc rca estcolocarte eit Ll/l. plll.ltc ';Itperior ete lutaCOLIHitlta ttdJ/l/l.r ete 8 ID ete aLtivacltlja secci.: tiOte IUt cHrnetro d =0.25 ID con 1~.ltl/l. rJured t = 0.01 ID aeespesor Ij COltstnal/l. de /Ut rnateril/l.LCOV\, 1m fiWdltLO de eLus ticidaet E =200000 MPa.

EVI. Ll/l. rJwte iviferior eteL tWtCjlie ILl/l.1jIme-{. bmi1vlu (,1(' (.\.gl~.a Wtf ejerce liVl.a

Jlterzl/l. horizol1.taL l/l.Yf1w!'Lm ete Fo =100 N con lutl/l.jrecltevLcLl/l. Q =5 rad/s.EL tlll.ltCj/{.(' Vl/l.(O I'LCLtiljcltdo Ll/l.coL/u1tltl/l.. tievLf IUtU rnl/l.Sl/l. de 500 kg.EL l/l.vJtOrtiglil/l.I1eltto ctcL sistenll/l. es ~=2% de t crtico.

8m

rea = 1 m2

h

no 0001 m0.25m

Dseccion de la columna

Figura 2-15 - Tanque de agua

Elt Ll/l. Fgltxu 2-15 se rnlteSUu corno est etiSpl1.eStO el sistenua. Se desea Sl/l.lJCr Ll/l. aLluyu deLugltiA. cieL tl/l.ltCj/1.e rJl/l.YU Ll/l. CltiA.L se preseJll,t.aVl. Las Incixilnl/l.sjlterziA.S horizoVl.tl/l.Les illal1.cietl/l.S r10r LiA.bornlll/l.1j el VJtOl1tefltojLector (111.e proetlM:nlestasJ'terzlLS en Ll/l. lIase ete La coLIUnltl/l..EL sisterna p/1.ede ideaLizarse corno lUla coLlunltiA. ea voLctetizo COI'L IUliA. Inl/l.sa ell La purtesaperior. AL upLimr Ima Jlterza horizol'LtaL P el'L La piA.rte stperior ete La coLt.trnVl.a es posibLeobtener por cltl/l.LCj/er rnt.odo de resistenci de li1.ateril/l.Les (viA.sf La Seccilt 1.5) La sigl1.el'Lt.ereLacLVl.:

P= k S = 3EI 8L3

80_-1-.

E = 200 000 MPa1 = 1t t d3/S = n- 0.01 . (0.25)3/ 8 = 6.14 . 10-5 m"L=Sm

entonces

k = 3'200000'6.14.10-5/83= 72 000 N/m

La ntL1SL1 corresrlO/tae L1 LIA, mL1SL1 deL t.UltqIH? U LL1 coL/tf'ltVLL1, ms LL1 deL L1g/1 UI1.e cont.e/tgL1eL t.Wtu /1,e

m = mtan+col + magua = 500+ h- 1 m 2 ,1000 kg / m:' = 500+ 1000h (kg)

LL1jreutcnci(A, ItL1w,mL deL sistentL1 es:

{k I 72000ro = V-;;; = ~ 500+1000h rad/seg

Ui Inxi'1114 jl1.e/7.l1 IwrizcllttuL se yrodltcC' cl1.wtdo se ticlte LL1 mxintL1 w1tpLitI1.&t () scucl1,wldosc preselt1.l1L rcsOltL1ltciL1. Esto OrJ1rrc' c/t,L1ltdo eL cociente fJjro es igl1.L1L L1:

Q = ~l- 2V = ~1- 2(0.02)2 = 0.9996 == 1.0ro

72000ro = =Q =5 rad / seg

500+1000h

h= 72000/52-500

=2.38 m1000

C/1wtdo eL ug/tU til'/'lC' /HtL1 L1LUuu ig/~,14L 14 2.3~ m se preseltt14 L14 mxiln14 Lv0Ll.t'ltciu 'de LuVi~JmCim CUl15Ui14 por Lu tJo/'J14 ,tl' L1gt~,L1, LL1 mxmn, 14mpLit/~,d de L14 defiexilt lLOriZ0I1tuLse obtie/'Lt' por nteaio {Le LueCl1,ucilL (2-45):

(~ )[l-(~rr +s(~)r

( 100 )l72000

LL1 mxim,L1jI1.erZU es por Lo tWtto,

P = k X = 72 000 . 0.035 = 2520 N

Uet Inxlno ''lWI1telttO en Lu b14se de LL1 COLl1./'lUtU es

M = P L = 2520 . 8 = 20 160 N . m

:31i.".'----~-, .........------------------

Dinmica estructural aplicada a/ (/Isellu '')'''''''nv

2.4 Vibraciones transitorias

La determinacin de la respuesta de un sistema de un grado de libertad que se veafectado por una excitacin que no es ni peridica ni armnica presenta un grado decomplejidad mayor. No obstante, el planteamiento matemtico de su solucin esrelativamente sencillo. En muchos casos prcticos donde se tienen excitaciones que nose prestan a una descripcin matemtica hay necesidad de recurrir a mtodosnumricos para obtener la solucin. Desde la aparicin del computador la alternativa deutilizar soluciones por medio de mtodos numricos ha cobrado mayor popularidad ypuede afirmarse que an en muchos casos para los cuales existe solucin trascendental,se recurre al computador. A continuacin se presentan los fundamentos matemticosdel problema, y posteriormente en el Captulo 3, la solucin por medio de mtodosnumricos.

2.4.1 Respuesta a un impulso

Un impulso es una fuerza de gran fuerza tmagnitud que acta durante un tiempomuy corto.

El efecto del impulso est definido pordos parmetros, el valor de la fuerza y suduracin. En la Figura 2-16 se muestra unimpulso cuya fuerza tiene una magnitudF y que obra por un instante de tiempo At.

F

tiempo, t

La magnitud del impulso F est definidapor:

~t

Figura 2-16 -Impulso

t+t.t

F= fFdtt

(2-50)

Utilizando la segunda ley de Newton, ecuacin (1-2), la cual se puede expresar corno:

dvF=ma=m-dt

(2- 51)

Aceptando que la derivada de la velocidad es expresable corno un diferencial seobtendra:

F=m AvAt

(2-52)

y al reordenar:

F .M=mAv (2-53)

por lo tanto la magnitud del impulso F =FM, es equivalente a la masa multiplicada porU;} cambio en velocidad, m Av.

Al aplicar lo anterior a un sistema elstico de un grado de libertad imponiendo unimpulso a la masa del sistema, o sea una fuerza de magnitud definida por en intervalo~------...;.---

de tiempo muy corto, se le est produciendo un cambio de velocidad Llv, que esequivalente a:

Llv = F Mm

(2-54)

Por lo tanto, el sistema sufre un cambio de velocidad pero no de desplazamiento. Estoes totalmente equivalente a imponer una condicin inicial de velocidad vo, mientras quela condicin inicial de desplazamiento Xo, es nula. La condicin inicial de velocidad es:

Fv=-

o m(2 -55)

Entonces para un sistema no amortiguado en vibracin libre con condiciones iniciales,ecuacin (2-11), la respuesta al impulso para cualquier tiempo t despus de suaplicacin es:

(V '1 [ F 1 (

x(t)= ;; )sen(rot)= mro Fen~rot)

y anlogamente para el sistema amortiguado, ecuacin (2-31), se obtiene:

que al incluir la definicin de ro" se convierte en:

(2-56)

(2-57)

58)

Es evidente que esta ecuacion adolece de la claridad que requiere la definicin deimpulso: "Es una fuerza de gran magnitud que acta durante UD tiempo muy corto".

Desde el punto de vista de ingeniera "gran" y "corto" no pasan de ser apreciacionesimperfectas sobre un fenmeno. Lo anterior se aclara en el numeral siguiente, dondeesta definicin se utiliza para plantear una integracin clsica.

Basta recordar que el trmino F = FM provino de expresar como diferencias lasderivadas de la 2a Ley de Newton y que por lo tanto al expresarla nuevamente entrminos diferenciales F = F dt, Y para un impulso aplicado en cualquier tiempo r lasecuaciones (2-56) y (2-58) se pueden expresar diferencalmente como:

~!I

I

. F('t) { }dx = --sen ro(t - 't) d'tmro

y para el caso con amortiguamiento:

dx e F('t) e-~0l(t-'t){sen[~1_~2 ro(t-'t)]}d'tmro~

(2-59)

(2-60)

. jJillallllca eSI Hll(((llll ..1'.." ..... '" .....

2.4.2 Excitacin arbitraria

Cuando un sistema como el mostrado en la Figura 2-17 se somete a una excitacinarbitraria expresada en trminos de fuerza, como la indicada en la Figura 2-18, esposible dividirla en una serie de impulsos que se aplican en el tiempo 't y que tienen unaduracin dt.

t1:

F(t}

d1:

oF

Figura 2-17 - Sistema lineal amortiguado Figura 2-18 - Excitacin Arbitraria

Al integrar el efecto de cada uno de estos impulsos diferenciales variando r; se obtienepara el caso sin amortiguamiento:

t l'x(t) = fdi =-f F('t)sen{ro(t- 't)}d't

o meo o(2-61)

y para el caso con amortiguamiento: ,

(2-62)

Estas integrales se conocen como integrales de convolucin o de Duhamel, ycorresponden a la solucin particular del sistema. Si hay condiciones iniciales haynecesidad de adconarles la solucin homognea, ecuaciones (2-11) Y (2-31)respectivamente,

Ejemplo 2-5Uv\, SlStt'I1tl/l. ae IUt gmao ae LLbertC/ta siv,l/l.VVWrUIIW'lenlo 1;=0. es sometido l/l. Ll/l.jlterzC/t VltOstmal/l. en Ll/l. Fig/tm 2-19. covwcLdC/tcon eL ItOVl"tLlre aeJlutCiHt escl/l.Ln.

Debe encontrarse Ll/l. resm,estC/t eVI,aeSpLlil.Zl/l.VleJtlO rJl/l.m c/tGlLCj/er tleVl1po t.

UtLLiZl/l.ltao Ll/l. eCI1-l/l.cLv, (2-61) se obuene.Figura 2-19 - Ejemplo 2-4

Excitacin con una funcin escaln

t P tx(t) =-J.-f F('t)sen{ro(t- 't)}d't =_0f sen{ID(t- 't)}d't

mro o mIDo

p [ ]' p= _0 .!.COS{ID(t- 't)} = --(l- cosrot)meo ro o k

84

--~._---_. __ .- ---- -- ---

[Ii, Lu Fignm 2-20 se I1tl1-estm eL grfico de Lu resYJI1-estu. Los f1txil1wS valores de La resYJI1-estu seotJtieVLeVL CltGUi,GLO cos(rot) es ig/taL a -1.0. Lo CIt.uL ocurre pum valores GLe rot = 1t, 31t, 57t, ...... , etc.FL vuor fltW

La fuerza en el resorte, o elemento estructural, est descrita por la constante del resortemultiplicada por el desplazamiento relativo entre sus extremos, ecuacin (2-1):

(2-64)

De igual manera la fuerza ejercida por el amortiguador, ecuacin (2-12), se determinapor medio de la constante del amortiguador multiplicada por la velocidad relativa entresus extremos:

(2-65)

Al aplicar el principio de D'Alembert se obtiene:

(2-66)

Lo cual conduce a la siguiente ecuacin diferencial de equilibrio:

(2-67)

Si se define la variable u para describir el desplazamiento relativo entre la masa y labase de apoyo del sistema, entonces:

(2-68)

que al derivarla contra el tiempo conduce a:

y al derivarla nuevamente:

(2-69)

Reemplazando (2-6P, ('2-69) y (2-70) en la ecuacin (2-67) se obtiene la siguienteecuacin:

mu-s c-e ku -mxo

" " .,

u= x-xo y (2-70)

(2-71)

1!1

rLa cual indica que un sistema al que se le introduce movmiento en su base esequivalente a un sistema con su base fija al cual se le aplica una fuerza igual a la masadel sistema multiplicada por el negativo de la aceleracin del terreno. Utilizando laecuacin (2-62) se obtiene la siguiente solucin para la respuesta del sistema:

(2-72)

Ejemplo 2-6UVI, sistevl1lt de Itl1 grltdo de lil-wrtltd COl1ltmortigH,ltVltiel1to 1;: como I:'l mo:.tmGo en llt Figlult2-22, es sometirto lt IHtlt ltcelemcivl, en SIl, bltse tltl corno se maestm en lu FigIWA, 2-23(~). LltCltltl correspoVLde lt lu SltVlllt (,1e dos JIUtCiOlteS eSCltLVL COVltO ml1,eslm llt Figlult 2-23(l-I), Lltltcelemcilll del terreno :lo, es 0.20g Ij el tiemr}o t, de C{,IH'ucift de lu ltceLemdm es de 10 s.

3f)

Debe eVlcmtlmrse ~u resYJltestu e~t tnninos de des/'l~ClZwniento YJum w,u~qler tievn/'lo t. /'lumIHt sistelnu con IUt /'lerot'to T, t'te 2 s l:1 1m coeJiciente t'te Hltortig/twniento crtico~, de 5%.

t

t a t(a)

o

301---------

o--1--X

o

,

!I!tiI

-30'-- _(b)

Figura 2-22 - Ejemplo 2-6 - Sistemasometido a excitacin en su base

Figura 2-23 - Ejemplo 2-6Aceleracin en la base

utiLizultdo ~iIL e(/.A~t (2-72) se olltievle YJum O~ t < t,.:

Por medio t'te Lu sig/ente soLltcin de L;l integmL:

eayfeay sen(\3y)dy = 2 2 [asen(\3y) - 3 cos(\3y)]

a +\3

AL reuLizur Lus tteWilLLes corres/'l0ltdiCltU's se LLegr~ YJum t z t,., u:

:37

~., lJitUl/lllCa eSIJ"U("HUHI "JJ"~l"'" , ... " .. " ".".,--"

Pam 11,v\, sistema COVL 11,11. perroeto T. etc 2 s U I1YL cotJieievLte ete a1tortigljwnie~tto crtico ~. etc5%, con uta aeeLemcilt eteL terreno ao. etc O.20g U 11,11. tiCfltpO t, ete etuacit etc La aecLcm.civl.etc 10 s. se obtiene La respl1.esta f1tostmeta en La FLglua 2-24.

2018161410 12t (s)

864

0.2

0.1 II

u(t) 0.0(ro)

-0.1

-0.2

-0.3

-004o 2

Figura 2-24 - Respuesta

2.6 La energa en la respuesta dinmica

En la Seccin 1.6 8e discuti el trabajo asociado con la deformacin de un elementoestructural elstico, representado por medio de un resorte, y la energa de deformacinque se tiene, mientras el elemento se mantenga deformado, ecuacin (l-7). As msrno,se present la energa cintica asociada con una masa que est desplazndosedinmicamente con una velocidad, ecuacin (l-8). Por tratarse de un sistemaconservativo, el cual no recibe ni disipa energa, sta ltima se mantiene constante.

Figura 2-25 - Energa durante la vibracin libre

!

I, -

_J

Energa PotencialEnerga Cintica

88

En la Figura 2-25 se muestran los estados de energa de un sistema dinmico, noamortiguado, durante dos ciclos de vibracin inducida por el desplazamiento inicialforzado de una masa apoyada elsticamente.

Se le impone a la masa una deformacin inicial, correspondiente a "o. En ese instante lanica energa que existe en el sistema es la energa potencial, acumulada como energade deformacin en el resorte. Esta energa corresponde a:

E - 1 kx2P-"2 o (2-73)

como se dedujo en la ecuacion (1-7). El sistema no tiene ninguna fuente de energadiferente a sta. Al soltar la masa, esta tiende a volver a su posicin de equilibrio,donde el resorte no tiene ninguna distensin; y por lo tanto no tiene ninguna energaacumulada que le impida estar en un estado de reposo. Al iniciar su bsqueda delestado de reposo se desplaza hacia su posicin de equilibrio adquiriendo una velocidad,como resultado de su tendencia intrnseca de mantener la energa constante dentro delsistema. La adquisicin de velocidad hace que la masa, o el sistema, adquiera unaenerga cintica, que se expresa a travs de su velocidad instantnea, dada por laecuacin (1-8):

(2-7-!)

donde v, es esa velocidad instantnea. En el punto en que el resorte llega a su situacinde cero distensin, expresada a travs de un desplazamiento x = O en la grfica 2-25,toda la energa potencial que tenia el resorte se ha

':;:. -----------"-----------

Si imponemos un desplazamiento diferencial dx, y se integra, se obtiene el trabajo quehacen todas estas fuerzas durante un desplazamiento x.

o

x d2 x dx x xf ID-i-dx+ J c-dx+ Jkxdx= fFEdxo dt o dt o o

(2-77)

(2-78)

Esta ltima ecuacin nos da el balance de energa del sistema en cualquier instante t,siendo EA la energa disipada por el amortiguador y EE la energa que aporta laexcitacin al sistema.

Para el trabajo de la fuerza inercial, reemplazando:

d2x dx . d2x dx . .2dx ee xdt y --=- se obtiene --dx=-xdt=1.x dtdt2 dt' dt2 dt 2

que en (2-77), conduce ax d 2 t

Ec = J ID ~ dx = f IDt x2dto dt o

Por lo tanto la energa cintica en cualquier instante t, es:

Para el trabajo de la fuerza del amortiguador:x d t

EA = Jc~dx= f cx2dto dt o

Para el trabajo de la fuerza del resorte:x

E p = fkxdx = t lu2o

(2-79)

(2-80)

(2 -81)

(2-82)

{2-83}

Por lo tanto la energa potencial acumulada en el resorte en cualquier instante tes:

(2-8-l)

El lado derecho de la ecuacin (2-77) corresponde al trabajo realizado por la fuerza queinduce la excitacin. Por lo tanto, para cualquier instante t la energa est distribuida deacuerdo con:

t t

t IDx2+fcx2dt+tk x2 = fFE(t)xdto o

40

(2-8 S)

Tomemos el caso de excitacin armnica de una fuerza de amplitud Fo Y frecuencia a,donde FE(t)=Fo sen(at). En la Seccin 2.3 se dedujo que la respuesta del sistema se puededescribir por medio de la siguiente ecuacin:

x=Xsen(Qt-

Para el caso de excitacin en la base, la ecuacin diferencial que rige la respuesta seobtuvo en la Seccin 2.5, y est dada por:

m+ cu-- ku = -mxo (2-93)

donde u es el desplazamiento relativo entre la masa y la base de la estructura, puesu =x-xs, Este caso es exactamente igual al planteado en la ecuacin (2-75), solo que en laenerga que entra al sistema debido a la excitacin, hay necesidad de reemplazar:

y derivando contra t y haciendo las transformaciones trigonomtricas apropiadas:

Esta energa est medida con respecto a la velocidad relativa entre la masa y su base. Sitomamos el caso no amortiguado, la solucin de la respuesta del sistema es:

yu t

EE = f (-mxo)du= -mf Xo udto o

_ltu(t) =-f xo('t)sen[ro(t - 't)]d't

ro o

t

t) =-f Xo('t)co.;~ro(t-'t)]d'to

t t

= - cos(rot)fXo('t)cos(ro't)d't - sen(rot)fXo('t)sen(ro't)d'to o

(2-94)

(2-95)

(2-96)

(2-97)

~.f

III,

Ahora reemplazando (2-97) en la ecuacin (2-95), y dividiendo por m:

2E ~ . t t t__E = Jxo(t)cos(rot)dt Jxo('t)cos(o}t)d:t-r Jxo(t}sen(wt)dt fxoCt)gen(on)d.'!: (2-98)

m o o o o

Cambiando la variable 't por t, obtenemos la siguiente expresin para la energa medidacon respecto a la base de la estructura, que induce el acelerograma a un sistema sinamortiguamiento:

(2-99)

Posteriormente, en la Seccin 5.8, se ver que el lado derecho de la ecuacin (2-99)corresponde al espectro de Fourier del acelerograma.

l-.. -------,------

SisJJ1OS, sislnogrcu.UJS yacererogranJaS

Capitulo 4

4.1 Introduccin

El presente texto no pretende cubrir temas tan amplios y especializados como son lasismologa y la ingeniera ssmica. No obstante para efectos de poder explicar algunosaspectos fundamentales de la respuesta sismica de estructuras se requieren algunosconocimientos bsicos sobre estas disciplinas. Las personas interesadas en ampliar susconocimientos sobre el tema deben dirigirse a publicaciones especializadas como lareferencia [Sarria, 1995al.

4.2 Causas de los temblores

4.2.1 Tectnica y sismicidad global

Al aceptar la comunidad cientfica el hecho de que la corteza terrestre est en un estadopermanente de cambio, la explicacin sobre las causas de los sismos fue adquiriendoconnotaciones cada vez ms realistas. La corteza terrestre es relarvarnent. )~"da. Seextiende hasta profundidades de 70 km en los ocanos y 150 km bajo los continentes.Es muy vlida la analoga, IGere y Shah, 19841. de que al comparar la Tierra con unhuevo duro, la corteza tendra un espesor semejante a la cscara y sta estarafracturada en una serie de fragmentos que en la Tierra se conocen con el nombre deplacas tectnicas.

i~

Figura 4-1 - Placas tectnicas de la Tierra

6.5l _

1

t

Figura 4-3 - Zona de subduccin

En general las fronteras entre placas tectnicas no son superficies de fallamientosimples y nicas. El movimiento relativo entre las dos placas se extiende a grupos defallas paralelas a la subduccin y los sismos no solo ocurren en estas fallas sinotambin en fallas transversales a las fronteras entre placas, formadas tambin por losmovrnenros entre ellas.

4.2.2 Fallas geolgicas

Las fallas geolgicas que son capaces de producir sismos se conocen con el nombre defallas activas. Los esfuerzos que induce en la corteza terrestre el movimiento entreplacas en la subduccin producen fallamientos dentro de la placa, algunas vecesalejados de la zona de subduccin. En razn de lo anterior, la acumulacin de energacausada por la imposicin de movmento puede conducir a deslizamientos pequeos,pero permanentes. En este caso no se presentan sismos.

Cuando la friccin entre las superficies del fallamento es alta se produce lo que sellama un engatillamiento de la falla. Cuando la energa acumulada vence esta friccin sepresenta un deslizamiento sbito de la falla, asociado con la liberacin de la energaacumulada, lo cual produce el sismo.

(a) Falla transeurrente de desplazamiento izquierdo

(e) Faifa de desplazamiento normal

(b) Faifa transeurrente de desplazamiento derecho

(d) Falla de desplazamiento inverso

I1

Figura 4-4 - Tipos de movimiento en las fallas geolgicas

En la Figura -l--l se muestran los tpos de fallamiento de acuerdo con el movimiento enla falla. La distancia de A a B corresponde al desplazamiento de la falla. En los casosmostrados en las Figuras +4 (a) y (b), la falla presenta desplazamiento lateral, con ladireccin del movmienro identificado como derecho o izquierdo. Ntese que ladireccin del movimenro es independiente del lado que se tome como referencia. Lasfallas de desplazamiento normal, Figura 4-4(c) presentan movimiento normal a la fallapero no hay desplazamiento lateral. En los casos de desplazamiento inverso, Figura

e:

Dinmica estructural aplicada al diseo SISllllCO

4-4(d), el movimiento tambin es normal a la falla sin desplazamiento lateral,presentndose compresin entre dos puntos opuestos localizados a travs de la falla.Las tasas de desplazamiento relativo en las fallas varan entre unos milmetros por aohasta un mximo cercano a 100 mm/ao. El desplazamiento sbito que se presenta alocurrir un sismo en la falla puede variar entre menos de 100 mm y hasta 10 metros.Hay evidencia de grandes desplazamientos ocurridos durante sismos importantes. Porejemplo el sismo de San Francisco, California, ocurrido el 18 de Abril de 1906,involucr 430 km de la falla de San Andrs. El movimiento en la falla fueprincipalmente horizontal alcanzando un mximo de 6 metros al norte de SanFrancisco. El mximo desplazamiento vertical observado fue del orden de un metro.

4.2.3 Mecanismo focal

-\Al ocurrir un sismo, el punto donde se inicia la ruptura es el punto donde comienza laliberacin de energa del sismo, y se conoce con el nombre de hipocentro o foco delsismo. Para un sismo pequeo es razonable considerar el hpocentro como el puntodonde se libera la energa. En un sismo grande donde la ruptura puede involucrarcientos de kilmetros cuadrados de superficie de falla, el punto de inicio de laliberacin de energa sigue siendo el hipocentro del temblor, pero en general no esdescriptivo de la zona de fallarniento. El epicentro es la proyeccin sobre la superficiede la Tierra del hipocentro y la profundidad focal es la profundidad del hipocentro,medida desde el epicentro. La distancia focal es la distancia al hipocentro desde unpunto cualquiera de referencia.

Dado que la superficie de la roca en la falla no es lisa ni uniforme, la propagacin de laruptura a travs de ella no ocurre a una velocidad constante, sino a travs de una seriede movimientos sbitos. Esto explica, en alguna manera, la forma irregular y aleatoriade las ondas que produce el sismo. La zona de ruptura se extiende a partir del foco entodas las direcciones, llegando hasta la superficie en algunos casos. En la medida que elfoco es ms profundo, las caractersticas de la roca all son diferentes, debido a lamayor presin y temperatura a que se encuentran sometidas comparativamente con lasde la roca en la superficie; esto conduce a que la forma como ocurre la ruptura seadiferente. La explicacin prevaleciente en la actualidad esta asociada con cambios en elvolumen de la roca, como consecuencia de cambios en el estado de fase del materialque las compone, algo similar al cambio de volumen que le ocurre al agua cuando latemperatura baja de 4' C, [Bolt, 1993b], aunque existen diversas teoras al respecto.En general los sismos se dividen en: superficiales, cuando ocurren a profundidadesmenores de 70 km, de foco intermedio, entre 70 y 300 km, Y profundos cuando suprofundidad es mayor de 300 km. Existen registros de sismos hasta profundidades de700 km. Desde el punto de vista de los efectos del Sismo, definitivamente, entre mssuperficial, mayor su predisposicin de producir daos. En aquellas regiones de laTierra donde existen cadenas montaosas importantes, suelen presentarse sismosdentro de toda la gama de profundidades, mientras en aquellas regiones donde lacorteza terrestre es delgada, hay una mayor preponderancia de los sismos superficiales.

4.2.4 Premonitorios y rplicas

En algunos casos se presentan uno o varios sismos pequeos, antes de la ocurrencia delevento prin-;:lP~l. Estos eventos se conocen con el nombre de~prf!monitQdQs. De igualmanera;' con posterioridad a un sismo importante, se presentan temblores de menormagnitud, a los que se les conoce con el nombre de riP-Jicas. Slo los sismossuperficiales y de profundidad moderada producen rplicas, las cuales son de granimportancia para determinar el plano de falla, y esta es la razn por la cual se instalanredes sismolgicas mviles con posterioridad a un sismo de importancia.

68

I[

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I

1I

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4.3 Ondas ssmicas

La energa liberada por el sismo se propaga por medio de varos tpos de ondas ssmicas.Las ondas de cuerpo que se generan en el punto de ruptura incluyen ondas P (primariasu ondas de dlatgdnt las cuales manifiestan desplazamientos de las partculas en lamisma direccin de la propagacin de la onda, y !1Jl~S (~gcunclliJ::.1 u ondas dcortante) que manifiestan desplazamientos de las partculas en la direccin

perpendicular a la direccin de propagacin.

Cuando las ondas llegan a la superficie, se reflejan pero al mismo tiempo inducenondas.de super{jcie entre las cuales se cuentan las olH:l~~_~_R..-l'..lejfLhY las -l'Jdas deLove--(Ondas R y L respectivamente). Las ondas de Love producen movmenioshorizontales transversales a la direccin de propagacin. Las ondas de Rayleighproducen rnovimentos circulares semejantes al de las olas en el mar. La amplitud deestas ondas decrece marcadamente con la profundidad medida desde la superficie.

4.4 Sismoqramas

Uno de los instrumentos empleados en sismologa es el sismgrafo, el cual es adecuadopara registrar sismos que ocurren a distancias apreciables, inclusive de miles dekilmetros. Los sismgrafos, en general, se salen de rango de medicin cuando el sismoocurre cerca a su localizacin. El registro obtenido por este instrumento se denominasismoqrama. En la Figura 4-5 se muestra un sismograma.

Figura 4-5 Sismograma

All puede identificarse la llegada en el tiempo de las ondas P y de las ondas S. Dadoque la ve