dinamica estructural ejemplos

Captulo 2 Conceptos bsicos de Dinmica Estructural

Captulo 2Conceptos bsicos de Dinmica Estructural2.1 Introduccin a las vibraciones mecnicas Los problemas de vibraciones los podemos encontrar en diversos sistemas y van desde problemas de vibraciones en maquinaria debido a desbalanceos en sus masas, vibraciones en las estructuras que soportan dichas maquinarias, vibraciones en edificaciones debidas a movimientos ssmicos, hasta vibraciones en fuselajes de aeronaves, solo por mencionar algunos de los problemas en donde se deben de evaluar los efectos de las vibraciones mecnicas. En Mxico se emplea el sistema mtrico decimal, en donde las unidades base son: Longitud: Metro( m) Fuerza: Kilogramo (kg) Tiempo: Segundo (s) Este es un sistema gravitacional en donde las fuerzas dependen del valor de la aceleracin de la gravedad. El Kilogramo (kg) tambin llamado kilogramo fuerza, es lo que pesa un Kilogramo masa o kilogramo patrn (cilindro de Platino e Iridio que se encuentra en la Oficina Internacional de Pesas y Autor: Alfredo A. Pez Robles ESIA-ZAC

Medidas cerca de Pars) y estar en funcin de la aceleracin de la gravedad (g). De acuerdo con la segunda ley de Newton: La fuerza resultante aplicada a un cuerpo es igual al producto de la masa y la aceleracin del cuerpo: Por lo tanto, el peso o la fuerza debida a la atraccin gravitacional, es: Y la masa en nuestro sistema, es una unidad derivada: La unidad de masa se denomina unidad tcnica de masa

(UTM): En cambio en el sistema internacional (SI), la masa es una cantidad base y es la cantidad de masa del Kilogramo Patrn que convencionalmente se le asign una masa de un kilogramo. En el SI, la unidad de fuerza es derivada, teniendo la idea de que una fuerza se mide por la aceleracin que produce, as, la fuerza necesaria para que un cuerpo de 1 kg (masa) se acelere 1 m/s2 recibe el nombre de Newton (N) : Entonces, el kilogramo masa pesa 9.81 N, considerando que la aceleracin gravitacional vale 9.81 m/s2. As, si en el sistema mtrico decimal un kilogramo fuerza es lo que pesa un kilogramo masa, esto es, 1 kgfza= 9.81 N, entonces, 1 N = 0.10191 kgfza. Pgina 23


En el estudio de la dinmica estructural se debe de tener en cuenta que las cargas o excitaciones, son fuerzas cuya magnitud, direccin o punto de aplicacin puede variar en funcin del tiempo. Debido a lo anterior, en nuestro estudio se considera con carcter dinmico cualquier accin, propiedad o respuesta de la estructura que vare en funcin del tiempo. 2.1.1 TIPOS DE EXCITACIONES DINAMICAS a).- Excitaciones Peridicas: Son aquellas que se repiten por ciclos a lo largo del tiempo:

Con esta funcin se puede representar el problema que aparece en maquinarias que tienen ciertas excentricidades.

b).- Excitaciones no-peridicas: Se identifican segn su duracin, como cortas, medianas y de larga duracin.

F (t)

t

Figura 2.2 Cargas de corta duracin, se aplican en perodos de T tiempo pequeos que se denominan impulsos.

Figura 2.1 Funcin peridica con amplitud F0, repite todas sus caractersticas despus de un tiempo determinado llamado periodo T.

Autor: Alfredo A. Pez Robles

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Para saber si la duracin es pequea o no, se debe de comparar con el perodo de la estructura. Por ejemplo, las explosiones son cargas de impulso. Ya que su duracin puede ser mucho menor que la del periodo de oscilacin de la estructura: A,(g) A diferencia de los problemas estticos, los parmetros en los problemas dinmicos estn en funcin del tiempo, esto es, tanto las caractersticas de la carga o excitacin, como las de las propiedades de la estructura, 2.1.2 Caractersticas de los problemas dinmicos

varan o dependen del tiempo.

Tambin se generan fuerzas de inercia al perturbar el equilibrio de las masas de la estructura, tales fuerzas de Figura 2.3 Cargas de mediana duracin. En caso de registros ssmicos, hay grandes impulsos que daan la estructura. inercia son de sentido contrario al desplazamiento x, ya que la inercia es la propiedad de la masa de oponerse al cambio de movimiento. Las fuerzas de inercia son proAunque los sismos pueden ser cargas que contengan impulsos, se consideran cargas de mediana duracin. La aceleracin del terreno debido a un sismo, es un ejemplo de este tipo de carga. 2.1.3 Equilibrio Dinmico Imaginemos que podemos tomar una fotografa de una estrucCargas dinmicas de Larga Duracin tura en movimiento en un instante de tiempo, para que se pueda plantear la ecuacin de equilibrio con todas las fuerzas que Cargas de Viento en estructuras (puede durar horas) Fuerzas de oleaje en Plataformas Marinas Cargas de corrientes submarinas Autor: Alfredo A. Pez Robles ESIA-ZAC Pgina 25 intervienen en ese instante, a este planteamiento se le conoce como equilibrio dinmico o Principio de DAlembert. porcionales a la aceleracin y valen:


Con el procedimiento anterior se puede establecer la ecuacin de movimiento de la estructura. P(t) m x

Considerando que la masa de la estructura de la figura 2.4 se concentra principalmente al nivel de la trabe y de la losa, el diagrama de cuerpo libre para aplicar el equilibrio dinmico en la direccin del movimiento, ser:

fd fs fs

(2.1) Figura 2.4 Fuerzas que intervienen en el equilibrio dinmico de una estructura: Fuerzas elsticas to , Fuerzas de inercia . , Fuerzas de amortiguamienPor lo tanto, la ecuacin de movimiento del sistema es: (2.2)

1.- Fuerzas Restauradoras (fs): En el ejemplo anterior las columnas del marco se deforman elsticamente y proporcionan una fuerza de sentido contrario al desplazamiento. Si las columnas se mantienen trabajando elsticamente siguen una ley de variacin elstica en funcin de su rigidez y del desplazamiento. En este caso habra fuerzas elsticas restauradoras en ambos sentidos, ya que la masa se desplazara de izquierda a derecha y despus en sentido contrario, hasta el desplazamiento mximo xo. ESIA-ZAC Pgina 26

En ese instante de tiempo (t), se tienen que considerar las siguientes fuerzas que intervienen cuando a la estructura se le perturba con la aplicacin de una fuerza dinmica: 1. Fuerzas restauradoras elsticas (o inelsticas) 2. Fuerzas de amortiguamiento 3. Fuerzas de inercia 4. Fuerzas excitadoras Autor: Alfredo A. Pez Robles


fS k 1 -xo xo x

En el punto C de la figura 2.6 se inicia la descarga despus de que la estructura ha fluido por primera vez y en ese instante la velocidad de la masa vale cero ( ), para comenzar a incre-

mentarse pero con un movimiento de sentido contrario de la masa por lo que la deformacin disminuye e incluso puede cambiar de signo cuando la velocidad de la masa es negativa .

Figura 2.5 Relacin fuerza-deformacin para un sistema elstico, fs = k x (obviando que el desplazamiento est en funcin del tiempo x x(t) ). Tambin se observa que en los ciclos de carga y descarga posteriores hay prdida de resistencia y tambin prdida de rigidez (tramo D-E con menor pendiente), debida a la degradacin del Cuando los desplazamientos de las columnas son grandes, el comportamiento elstico deja de ser vlido y pasa a ser inelstico, a partir del punto A de la fig. 2.6, en tal caso las fuerzas ya no dependen solo del desplazamiento , sino tambin de la velocidad de la masa y de la historia de desplazamiento previa, es decir, cuando los elementos resistentes llegan a la fluencia, sufren deformaciones ms grandes que las que se presentaron en la etapa elstica, por lo que el material de la estructura se degrada perdiendo tanto rigidez como resistencia en cada ciclo de carga. material de la estructura, como por ejemplo el agrietamiento del concreto o pandeos locales en la estructura de acero, entre otros factores.


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ra, y tambin de la friccin entre la estructura y los elementos no estructurales.

En la prctica, solo es posible medir la cantidad de amortiguamiento en cada estructura a travs de instrumentacin y medicin del decremento de las amplitudes de cada ciclo cuando la estructura se encuentra vibrando libremente. Analticamente, la fuerza de amortiguamiento se puede idealizar por medio de un amortiguamiento viscoso que genera una fuerza directamente proporcional a la velocidad de la masa :

En donde c es el coeficiente de amortiguamiento de la estructura. Figura 2.6 Relacin fuerza-deformacin para un sistema inelstico. 3.- Fuerzas de inercia (fi): Las fuerzas de inercia tambin son de sentido contrario al movimiento ya que la inercia es la propiedad de la masa de oponerse al cambio de movimiento y tambin son 2.- Fuerzas de amortiguamiento (fd): Las fuerzas de amortiguamiento son de sentido opuesto al movimiento y disminuyen su amplitud en cada ciclo. En un edificio tales fuerzas pueden generarse en la friccin de las conexiones en el caso de estructuras de acero, de la friccin que se genera al abrirse y cerrarse las grietas en el caso de estructuras de concreto y mamposteEs por eso que en estructuras con poca masa, como es el caso de las techumbres ligeras de los almacenes y bodegas, las fuerzas de inercia son pequeas en comparacin con las fuerzas del empuje del viento y no rige el diseo por sismo. Autor: Alfredo A. Pez Robles ESIA-ZAC Pgina 28 proporcionales a la aceleracin de la masa de acuerdo con la segunda ley de Newton:


4.- Fuerzas Excitadoras

: Las fuerzas excitadoras pueden El modelo puede representar todas las fuerzas consideradas en el modelo de la figura 2.4 y se le puede llamar oscilador simple con amortiguamiento.

ser peridicas o no peridicas aplicadas al nivel de las masa o pueden ser fuerzas equivalentes debidas a la aceleracin del terreno en la base de la estructura debidas al sismo. En el caso de estructuras que soportan maquinaria las fuerzas se pueden definir como: En donde .

es la frecuencia de vibracin de la maquinaria o

fuerza excitadora. Y las fuerzas equivalentes debidas al sismo: En donde: es la aceleracin del terreno debido al sismo.

2.1.4 Modelacin de la estructura Figura 2.7 Oscilador simple con amortiguamiento

En los textos de vibraciones mecnicas se acostumbra a utilizar el modelo que se muestra en la figura 2.7, en tal modelo se desprecia la friccin de las ruedas con las que se desplaza la masa y su peso queda equilibrado por la reaccin vertical entre el piso y las ruedas, tales fuerzas no se consideran en la ecuacin de movimiento en el sentido horizontal.

Por otra parte, se sabe que el grado de libertad de una estructura, es el nmero de coordenadas independientes, necesarias para describir la posicin o configuracin deformada de una estructura y para los problemas dinmicos, en cualquier instante de tiempo, en el plano, una partcula tiene 2 grados de libertad (dx, dy) y un cuerpo rgido en tiene 3 Grados de Libertad (dx, dy, ).


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En una estructura se pueden tener un nmero infinito de grados de libertad, ya que tiene una infinidad de puntos, por ser continua, pero para el marco de la figura 2.8, se pueden discretizar los grados de libertad a seis grados de libertad, dos desplazamientos y un giro en cada nodo libre del siguiente marco:

Si consideramos que la viga es totalmente rgida en flexin, entonces solo tendramos el desplazamiento horizontal desconocido, entonces GL=1. A esta deformacin de las columnas de la estructura, sin giro en ambos extremos, se le conoce como deformacin de cortante.

GL = 6 GL = 1 Pero si: 1.- Las columnas son muy rgidas axialmente. 2.- Y la viga tambin. Figura 2.8 Grados de libertad de un marco plano GL=6 Figura 2.9 Marco con deformacin por cortante GL=1

Si no consideramos la deformacin axial de la viga y de las columnas, solo necesitamos calcular uno de los dos desplazamientos horizontales y no hay desplazamiento vertical en las direcciones 2 y 5, por lo tanto el grado de libertad se reduce de 6 a 3 desplazamientos desconocidos, es decir, dos desplazamientos angulares en las direcciones 3 y 6 y un desplazamiento lineal horizontal en la direccin 1. Autor: Alfredo A. Pez Robles ESIA-ZAC Pgina 30


Si sometemos al sistema anterior a una excitacin o carga dinmica y tendremos un sistema dinmico de un solo grado de libertad:

Figura 2.11 Rigidez al corte de columnas de marco plano.

Y por las dos columnas la rigidez lateral valdr: Figura 2.10 Marco plano para anlisis dinmico. El modelo anterior se puede hacer equivalente a un Oscilador La masa de las columnas es muy pequea comparada con la de la viga o sistema de piso, entonces se considera que la masa est concentrada al nivel de la viga o sistema de piso y es ah donde se deben considerar las fuerzas de inercia. Las columnas aportan rigidez o fuerzas elsticas: simple sin amortiguamiento, como el mostrado en la figura 2.12.

Figura 2.12 Oscilador simple sin amortiguamiento


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Cuando se analizan estructuras en 3 dimensiones como la que se muestra en el problema 2.1, se puede considerar la deformacin de cortante si el diafragma o sistema de piso es muy rgido y entonces se tendran 3 grados de libertad al nivel de cada losa donde se supone que se concentra la masa, esto es, desplazamiento de traslacin en X en Y y la rotacin o torsin del entrepiso con respecto al centro de masas alrededor del eje vertical Z. 2.2 Respuesta de sistemas con un grado de libertad

Cuando el movimiento se repite a intervalos de tiempo T, se le llama movimiento peridico, y la frecuencia con que se repite un ciclo es: en Hertz o ciclos por segundo.

A continuacin se desarrollar el planteamiento para encontrar la respuesta de sistemas de un solo grado de libertad ante diferentes tipos de excitaciones, lo anterior es importante, debido a que el comportamiento general de modelos de mltiples grados de libertad se puede entender a travs de planteamientos de sistemas ms simples. Figura 2.13 Sistema masa-resorte con movimiento armnico.

Tambin como se explic en el captulo anterior los espectros de respuestas se construyen a partir del anlisis de modelos de un solo grado de libertad.

En la figura 2.13 se ilustra el registro del movimiento armnico en una tira de papel, en donde A es la amplitud de la oscilacin medida a partir de la posicin de equilibrio de la masa y T es el periodo del movimiento.


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El movimiento peridico ms simple es el armnico, y se puede representar a travs de una funcin armnica como el seno o el coseno, en el caso del sistema masa-resorte de la figura 2.13, el movimiento se puede representar como: .

El movimiento armnico se repite cada 2 radianes y sabiendo que el tiempo que transcurre al completarse cada ciclo es el periodo T, entonces la frecuencia de vibracin del movimiento expresada en radianes por segundo es: Si el desplazamiento del movimiento armnico lo representamos como: (2.3)

Podemos obtener la velocidad y la aceleracin derivando con respecto al tiempo: (2.4) (2.5) Figura 2.14 Proyeccin sobre una circunferencia del movimiento armnico. De donde: (2.6)

El movimiento armnico se puede representar como la proyeccin de un punto sobre una circunferencia cuyo ngulo est en funcin de la frecuencia angular y del tiempo, como se muestra en la figura 2.14:


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2.2.1 Respuesta en vibracin libre sin amortiguamiento

La solucin general es la combinacin lineal empleando las dos raices:

La ecuacin que describe el movimiento de un sistema en vibracin libre sin amortiguamiento, como nuestro sistema masaresorte de la figura 2.13 es: (2.7) Sustituyendo la ecuacin 2.6 en la expresin anterior: La ecuacin 2.9 se puede transformar en:

(2.9) A partir de las condiciones iniciales del movimiento y empleando la ecuacin de Euler :

(2.10) De donde: La frecuencia o tambin: se le denomina frecuencia natural de vibracin . Se considera un ngulo de fase La transformacin anterior es similar a la que se presenta ms adelante para la ecuacin 2.23. Tambin la ec. 2.10, es equivalente a la ec. 2.3, pero considerando un ngulo de fase : (2.11) , ya que al desplazar la masa y en lo consiguiente se designar como

La solucin de esta ecuacin diferencial lineal de segundo orden, con coeficientes constantes y homognea es: (2.8) Derivando dos veces y sustituyendo en la ecuacin 2.7:

de la figura 2.13 de su posicin de equilibrio, el movimiento no inicia necesariamente en fase, es decir, desde el origen, ms bien, adelantado con un desplazamiento inicial x0 , que es necesario aplicar, para que el sistema quede vibrando libremente, como se muestra en la figura 2.15.

En donde se tienen dos races: Empleando la siguiente identidad trigonomtrica, la ecuacin Las races anteriores son complejos conjugados: 2.11 se transforma en:


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Llamando:

C1=

y

C2 =

(2.12)

Ahora podemos calcular la amplitud A, empleando las ecuaciones 2.12:

Sustituyendo C1 y C2 en la expresin anterior se obtiene la ecuacin 2.10. (2.14)

Debe de inducirse un desplazamiento y una velocidad inicial al sistema para sacarlo de su posicin de equilibrio para que el sistema comience a vibrar, y a partir de esas condiciones iniciales, se pueden determinar las constantes de la ecuacin 2.10. Y el ngulo de fase es: (2.15)

Sustituyendo t=0 en la ecuacin 2.10 : Y para la velocidad inicial, derivamos la ec. 2.10 :

Entonces la velocidad inicial para t=0: Por lo tanto, C1 es igual al desplazamiento inicial: Y C2 est en funcin de la frecuencia y la velocidad inicial:

Sustituyendo las constantes en la ecuacin 2.10: Figura 2.15 Vibracin libre a partir de las condiciones iniciales. (2.13)


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Problema 2.1 Considere la siguiente estructura de un puente, en donde se desea calcular la frecuencia y periodo natural de vibracin de: Z

Datos: La dimensiones de la losa del puente son: 10 x 7 x 0.3 m Sobre carga de la estructura: Cm adicional + Cv = 1000 kg/m2 Las columnas son IR 203 X 46.2, cuyas propiedades son: Ixx= 3446.4 cm4 Iyy= 762 cm4 E = 2038,000 kg/cm2

d = 10 m

Y b=7m

Solucin: a) Direccin Este-Oeste Clculo de rigidez lateral por cada columna: Kx = 12EIxx/h3 = 1317 kg/cm

h=4m

X

Como hay cuatro columnas en esta direccin: KE-W = 4 (131700)= 526800 kg/m N Determinacin de la masa de la estructura: El peso sobre la losa es: W= 1000 x 10 x 7= 70,000 kg El peso propio vale: W popo= 2400 x 10 x 7 x 0.3= 50,400 kg

a) Del movimiento en la direccin Este-Oeste b) Del movimiento en la direccin Norte-Sur c) Del movimiento de Torsin con respecto el eje vertical centroidal Z

Clculo de la frecuencia natural y el periodo:


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b) Direccin Norte-Sur Clculo de rigidez lateral por cada columna: Ky = 12EIyy/h3 = 291 kg/cm Como hay cuatro columnas en esta direccin: KN-S = 4 (29100)= 116400 kg/m Clculo de la frecuencia natural y el periodo:

Clculo de la rigidez torsional del entrepiso:

En donde:

y

es la distancia del centroide de la columna

al centro de rigidez o centro de torsin Ct del entrepiso, que en este caso, coincide con el centro de masas por tener una distribucin simtrica de rigideces como se ilustra en la planta de la estructura en la figura 2.16. Como se ha considerado el origen del sistema de referencia en el centroide de la planta, entonces las coordenadas del centro de torsin Ct son: xt= 0, Yt=0

c) Clculo de la frecuencia torsional del entrepiso:

En donde: Clculo de la Inercia rotacional: es la rigidez torsional del entrepiso es la inercia rotacional de la masa del entrepiso


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Problema 2.2 Calcular la historia de desplazamientos para la direccin Norte Sur, de la estructura del ejercicio anterior, a la cual se le ha sacado de su posicin de equilibrio a partir de las condiciones iniciales que se indican a continuacin, y ha quedado vibrando libremente. a) Desplazamiento inicial cm/s b) 15 cm ; = 80 cm/s 15 cm ; Velocidad inicial =0

Considere los 5 primeros segundos del movimiento: Solucin: Empleando la ecuacin 2.13:

La frecuencia y el periodo calculados anteriormente son:

Figura 2.16 Planta de la estructura en torsin

La frecuencia rotacional de la estructura vale:

Como cada ciclo de vibracin se completa en 2.04 s, se propone realizar los clculos a cada 0.05 s, para tener alrededor de 40 puntos de la grfica en cada ciclo. Se propone utilizar una hoja electrnica para facilitar los clculos:


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Se observan ms de dos ciclos durante 5 s; para el primer caso la velocidad inicial es cero, por lo que la pendiente de la tangente en ese punto es nula, entonces el desplazamiento inicial de 15 cm es la amplitud mxima. Para el segundo caso, se tiene una velocidad inicial de 80 cm/s, por lo que la amplitud mxima crece hasta 30 cm. 2.2.2 Respuesta en vibracin libre con amortiguamiento

La ecuacin de movimiento que incluye fuerzas de amortiguamiento es: (2.16) Consideraremos que la fuerza de amortiguamiento es proporcional a la velocidad de la masa, y se conoce como amortiguamiento viscoso:

En donde:

c = Coeficiente de amortiguamiento del sistema

Las fuerzas de amortiguamiento son tambin restitutivas, es decir, que se oponen al sentido del movimiento.


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La estructura que se muestra a continuacin, incluye ahora una fuerza de amortiguamiento viscoso que se debe considerar en la ecuacin de movimiento: m x

Entonces la solucin de la ecuacin 2.16 es:

Derivando dos veces y sustituyendo en la ecuacin 2.16:

En donde se tienen dos races:

FA

Kc

KcSi el amortiguamiento de la estructura se puede expresar como: y el valor del amortiguamiento crtico es: ,

Figura 2.17 Estructura en vibracin libre con amortiguamiento. tenemos que: El diagrama de cuerpo libre para la masa del sistema ahora ser: Diagrama de Cuerpo libre (2.17) Entonces las races son:


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Dependiendo del valor del amortiguamiento del sistema se derivan 3 casos para la solucin de las races anteriores:

La solucin del caso sub-amortiguado es la combinacin lineal empleando las dos races resultantes: (2.18)

Caso 1. Sistema con amortiguamiento crtico: Cuando Por lo tanto: entonces

Como el porcentaje de amortiguamiento es valor dentro del radical de la ecuacin (2.17) es:

, entonces el

Solo hay una raz y el movimiento no presenta oscilaciones.

Caso 2. Sistema Sub-amortiguado: Cuando entonces Llamando frecuencia natural amortiguada Las dos races son complejas y conjugadas:

El sistema oscilar disminuyendo progresivamente la amplitud del movimiento.

Por lo tanto, la solucin general es la combinacin lineal empleCaso 3. Sistema Sobre-amortiguado: Cuando entonces ciones iniciales: ando las dos races: (2.19) Despejando las constantes de la ecuacin a partir de las condi-

El sistema regresa a su posicin de equilibrio sin oscilar pero ms lentamente que en el caso del amortiguamiento crtico.

Estudiaremos el caso 2 para sistemas sub-amortiguados por ser de mayor inters prctico en dinmica estructural.

Para t=0 el desplazamiento inicial es: Y la velocidad inicial es:

(a) (b)


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Multiplicando la ec.(a) por

y sumando a la (b):

Recordando que la suma de dos complejos conjugados es dos veces la parte real: (2.21) Recordando tambin que el producto de dos complejos es:

Recordando que la resta de los conjugados complejos es dos veces la parte imaginaria: La parte real del producto es: En nuestro caso el producto de complejos es: En donde C y Sustituyendo el valor de : valen: (d) (c)

(e) Despejando C2 de la ec. (a):

Calculando la parte real del producto empleando la ecs. c,d y e:

Por lo tanto, tambin las constantes son complejos conjugados:

Por lo tanto:

Sustituyendo en la ecuacin 2.19: Sustituyendo en la ecuacin (2.21): (2.20) (2.22)


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La ecuacin anterior se puede escribir como: ] En donde las constantes valen: (2.23)

Empleando la expresin anterior, podemos escribir la relacin: (2.29) Por otra parte, el rango de valores de amortiguamiento estructural est entre 2% y 20%, por ejemplo para , la relacin

La expresin 2.23, es similar a la 2.10 que corresponde al caso de vibracin libre no amortiguada pero ahora se ha atenuado por la funcin exponencial, que hace que las amplitudes disminuyan en el tiempo debido al amortiguamiento del sistema . Anlogamente la expresin anterior tambin se puede escribir como: (2.24) Y la amplitud se calcula ahora como:

anterior resulta cercana a la unidad: Lo anterior indica que si el amortiguamiento es bajo, la frecuencia natural amortiguada es casi igual a la del sistema en vibracin libre sin amortiguamiento.

Problema 2.3 Repetir el inciso b) del ejemplo 2.2 para los siguientes valores de amortiguamiento y comente los resultados:

Considere 10 segundos del movimiento (2.25) Y el ngulo de fase es: (2.26) Donde la frecuencia natural amortiguada y el periodo amortiguado son: (2.27) (2.28) A continuacin se muestran algunos valores empleando la hoja electrnica de clculo para facilitar los clculos: Autor: Alfredo A. Pez Robles ESIA-ZAC Pgina 43 Para : Solucin: Utilizaremos ahora la ecuacin 2.22 y 2.27 correspondientes al caso de vibracin libre amortiguada:



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Se observa que los sistemas con mayor amortiguamiento, reducen la amplitud en menor tiempo y menor nmero de ciclos.

Si consideramos la razn entre dos amplitudes del movimiento consecutivas, empleando la ecuacin 2.24, :

2.2.3 Decremento logartmico

Es de inters prctico poder conocer el valor del amortiguamiento de un sistema estructural, lo anterior se puede realizar de manera experimental a travs de la observacin de las amplitudes de dos ciclos consecutivos cuando el sistema se encuentra en vibracin libre. Tal metodologa recibe el nombre de Decremento Logartmico y a continuacin se establece su planteamiento y se dan algunos ejemplos prcticos: Cuando el amortiguamiento del sistema es bajo como es el caso del amortiguamiento estructural, la expresin anterior se simplifica: (2.30) Si las amplitudes se miden durante m ciclos de observacin del movimiento, el cual se repite cada TD, y procedemos anlogamente: Al logaritmo natural del cociente de dos amplitudes consecutivas lo llamaremos Decremento Logartmico :

(2.31)


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Despejando el valor del amortiguamiento de la ecuacin 2.31: (2.32) Tambin es usual, escoger dos valores de amplitud hasta que la amplitud despus de m ciclos sea la mitad del valor inicial, esto es: No es posible evaluar analticamente la fraccin del amortiguaCuando ocurre lo anterior, la expresin 2.32 se puede aproximar de la siguiente manera: miento de determinada estructura, debido a la incertidumbre que hay en los valores de su rigidez k y de su masa m. 2% 5% 10% 20% (ciclos) 5.5 2.2 1.1 0.55

(2.33)

Por eso, en la prctica, es posible instrumentar modelos de laboratorio o estructuras reales para poder determinar su porcentaje de amortiguamiento . Como es ms fcil medir las acele-

Habr que observar en cuantos ciclos la amplitud se reduce a la mitad de su valor inicial, esto es, determinar .

raciones experimentalmente, la expresin 2.32, se puede emplear como:

As, empleando la ecuacin 2.33, se puede establecer la relacin entre el valor del porcentaje de amortiguamiento y el nmero de ciclos , adems se puede comprobar los valores de la

(2.34)

tabla siguiente de manera aproximada observando las grficas del problema 2.3:


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Problema 2.4 A partir del registro de aceleraciones de un modelo en vibracin libre, determinar el porcentaje de amortiguamiento del sistema. P(t) m x

Ciclo 1 21 Solucin:

Tiempo (s) 1.2 5.4

Aceleracin mx.(g) 0.82 0.033

FA

Kc

Kc

Emplearemos la ecuacin 2.34

Diagrama de Cuerpo libre

2.2.4 Respuesta ante excitacin armnica

Las cargas armnicas se presentan en los problemas de desbalanceo de maquinarias pero su estudio es de utilidad para el anlisis smico dinmico. Para el sistema de la figura anterior, la ecuacin de movimiento En la figura 2.18 se incluye una fuerza externa o excitadora que hace que el sistema se comporte dinmicamente: es: (2.35) Figura 2.18 Estructura en vibracin libre con amortiguamiento.


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En este caso, podemos definir la carga o fuerza de excitacin con una magnitud que vara de acuerdo a una funcin arm-

Sustituyendo H en la ecuacin 2.37, se tiene la respuesta del movimiento debido a la carga armnica y recibe el nombre de solucin particular:

nica como el seno en funcin del tiempo y con una frecuencia angular :

La ecuacin de movimiento sin considerar amortiguamiento es:

La relacin de la frecuencia de la excitacin a la frecuencia natural del sistema la podemos designar como:

(2.36)

Adems, en la expresin anterior se puede sustituir la deformacin esttica

La solucin de la ecuacin de movimiento anterior, tambin es armnica y tiene ahora la siguiente forma:

(2.38)

(2.37)

La solucin particular corresponde a la vibracin forzada, en este caso debido a una fuerza armnica y tambin se le conoce

Sustituyendo el valor de

y de

en 2.35:

como respuesta estacionaria o permanente, porque permanece debido a la fuerza excitadora en el sistema.

La solucin debe incluir la parte complementaria que corresponde al caso de vibracin libre ecuacin 2.10:


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Esta parte de la respuesta tambin se le conoce como respuesta transitoria, porque aunque en teora, la vibracin libre permanecera indefinidamente, en realidad la vibracin disminuye paulatinamente, debido a las fuerzas de amortiguamiento inherentes en todos los sistemas y eventualmente el movimiento cesa, por lo que la respuesta se denomina transitoria. Sustituyendo las constantes en la ec. 2.39:

Por lo tanto, la solucin completa incluyendo las dos partes es: (2.40) (2.39) La parte de la solucin que considera la respuesta permanente o estacionaria, contiene el trmino Se pueden determinar las dos constantes de la expresin anterior, a partir de las condiciones iniciales: . deformacin esttica ficacin dinmica. , el cual amplifica la

, por lo que se le llama factor de ampli-

Aplicando la primera condicin a la ec. 2.39, para t=0 :

Para el caso de vibracin con carga armnica con amortiguamiento, se puede realizar un desarrollo anlogo y llegar a la

Derivando la ecuacin 2.39:

siguiente expresin, que tambin es la suma de la solucin complementaria o transitoria ms la solucin particular o estacionaria:

Aplicando la segunda condicin, para t=0, y despejando C2 :

(2.41)


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En este caso la respuesta permanente o estacionaria contiene el trmino la deformacin esttica . y , se calculan aplicando las , que es el factor de amplificacin de

2.3 Respuesta de sistemas con varios grados de libertad

A continuacin se plantearn las ecuaciones de movimiento para sistemas de varios grados de libertad:

Las constantes de la ecuacin

condiciones iniciales empleando la respuesta total de la ecuacin 2.41. d = 10 m

Z

Se puede plantear como ejercicio la deduccin de la ecuacin 2.41 y la grfica del factor de amplificacin dinmica para este caso en funcin de la relacin de la frecuencia de la excitacin con respecto a la del sistema, para observar la tendencia de la amplificacin cuando . h=4m

Y b=7m

X

N

Figura 2.19 Estructura de 6 grados de libertad, 3 por cada nivel Autor: Alfredo A. Pez Robles ESIA-ZAC Pgina 50


En la figura 2.19 se muestra una estructura con 6 grados de libertad, considerando que cada sistema de piso es un diafragma rgido, esto es, la rigidez en su plano es mucho mayor que la de las columnas portantes, por lo que tendremos 3 grados de libertad por cada losa, traslacin en la direccin X, traslacin en la direccin Y, y el giro del entrepiso alrededor del eje vertical Z.

Y para el primer nivel:

Figura 2.20 Equilibrio dinmico de Estructura de 2 grados de libertad Tomando en cuenta que la aceleracin total de cada una de las masas es la suma de la aceleracin del terreno Si planteamos el equilibrio dinmico solo en la direccin X, la estructura tendra un grado de libertad por nivel, como se muestra en la figura 2.20, observe que los desplazamientos que se consideran x1 y x2 son desplazamientos relativos, as, el diagrama de cuerpo libre para la masa del segundo nivel ser: Autor: Alfredo A. Pez Robles ESIA-ZAC Pgina 51 leracin propia de cada masa : , ms la ace-


Para la masa 1:

Finalmente, la ecuacin de movimiento en forma matricial es:

(2.42)

Para la masa 2:

La ecuacin matricial anterior, se puede generalizar para n masas e incluir fuerzas de amortiguamiento, as tendremos un sistema de ecuaciones de n x n :

Rescribiendo las ecuaciones anteriores en forma matricial:

(2.43)

2.3.1 Valores propios o caractersticos

Si consideramos a la estructura en vibracin libre y sin amortiEn la expresin anterior observamos que la aceleracin del terreno debida al sismo, se puede tomar como una fuerza equivalente de excitacin y la podemos escribir en funcin de la matriz de masas multiplicada por un vector unitario J, como: guamiento, la ecuacin 2.42 se transforma en: (2.44) Se plantear la siguiente solucin para la estructura vibrando libremente, que es una solucin anloga a la de un sistema de un grado de libertad, en este caso , es un vector de amplitudes para cada una de las masas:


ESIA-ZAC

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(2.45)

tud A distintos de cero, el determinante del sistema debe ser nulo:

Desarrollando el determinante se llega a un polinomio de grado Derivando dos veces: (2.46) (2.47) En algebra lineal a este problema se le conoce como problema Sustituyendo en la ecuacin de movimiento: de valores caractersticos, valores propios o eigen-valores. n igualado a cero, el cual tendr n races ( noce como polinomio caracterstico. ), al cual se le co-

Los valores de las races del polinomio caracterstico son las (2.48) frecuencias naturales de vibracin de la estructura .

En la ecuacin anterior, hay tres posibles soluciones:

La estructura que se muestra en la figura 2.21, con dos grados de libertad, un desplazamiento horizontal por cada nivel, tendr

a) Cuando A = 0 ;

no hay amplitud del movimiento esta solu-

dos modos de vibracin, a cada modo de vibracin le corresponde una frecuencia de vibracin.

cin no interesa y se le denomina trivial.

b) Cuando dos valores del argumento.

; solo se cumple para determina-

A la primera frecuencia natural de vibracin, que es la de menor valor, se le llama frecuencia o modo fundamental de la estructura.

c) Cuando

; Este es un sistema de ecuacio-

nes lineales homogneo y para que existan valores de la ampliAutor: Alfredo A. Pez Robles ESIA-ZAC Pgina 53


La estructura del marco de dos niveles de la figura 2.21, se puede idealizar a travs de un modelo de masas y resortes, en donde cada resorte representa la rigidez lateral de cada entrepiso, como se representa en la figura 2.22. En cada masa se concentra el peso de cada entrepiso, esto es, carga muerta ms carga viva accidental.

En la figura 2.22 se representa el marco de la figura 2.21 por medio de un sistema de masas y resortes, y las configuraciones deformadas que adopta la estructura cuando vibran libremente a la frecuencia correspondiente a sus dos primeros modos de vibracin.

M2 K2 K2

K1

M1

K1

Figura 2.21 Estructura con dos grados de libertad, una traslacin por nivel. Figura 2.22 Primer y segundo modo de vibracin


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Llamando grado:

, tenemos el siguiente polinomio de segundo

Problema 2.5 Determinar las frecuencias y modos de vibrar de la estructura de la figura 2.20: La rigidez lateral de las columnas es , y para dos coDespejando las races:

lumnas por entrepiso se tiene una rigidez lateral equivalente de:

a) Frecuencias de vibracin Matriz de rigideces:

Como

, entonces sacaremos raz cuadrada: rad/s rad/s

Matriz de masas

La menor de estas frecuencias, es la del primer modo de vibracin o modo fundamental, por lo tanto:

Se debe de anular el determinante del sistema:

rad/s rad/s Y los periodos de vibracin son:


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Podemos asignar arbitrariamente un valor para pejar de cualquiera de las dos ecuaciones a :

, y des-

Lo anterior lo podemos hacer ya que las configuraciones modales solo representan la posicin relativa de las masas con respecto a las dems, as la configuracin para el primer modo, se ilustra en la figura 2.23. b) Formas modales La ecuacin caracterstica para el primer modo de vibrar con , es: Procediendo en forma similar, la ecuacin caracterstica para el segundo modo de vibrar con , es:

Realizando operaciones, queda:

En la expresin anterior, los subndices de los elementos del vector de amplitudes , significan:

Podemos asignar arbitrariamente un valor para pejar de cualquiera de las dos ecuaciones a :

, y des-

Entonces la configuracin para el segundo modo es: Realizando operaciones, queda:


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A continuacin presentaremos dos mtodos numricos de aproximaciones sucesivas que se pueden implementar fcilmente en hoja electrnica de clculo y servirn para calcular los modos y frecuencias naturales de vibracin del edificio que se muestra en la figura 2.24.

El edificio mostrado se puede idealizar a travs de un modelo de masas y resortes como se muestra en la secuela del mtodo. Las masas se obtienen dividiendo el peso de cada entrepiso entre la aceleracin de la gravedad Figura 2.23 Frecuencias y formas modales de la estructura

2.3.2 Mtodos numricos para calcular modos de vibracin

En un modelo de un solo nivel la rigidez lateral del entrepiso esta bien definido como se ilustr en la figura 2.10 y 2.11.

Cuando la estructura tiene ms grados de libertad ya no es prctico resolver el polinomio caracterstico como se hizo en el problema anterior. Cuando la estructura es de varios niveles, las rigideces de cada entrepiso dependen de la distribucin de fuerzas laterales en cada marco y en cada nivel. Se pueden emplear mtodos numricos de aproximaciones sucesivas o mtodos matriciales para implementarse en la computadora. Lo anterior, se hace tomando en cuenta que la rigidez de entrepiso se puede definir como la relacin entre la fuerza cortante que acta en determinado entrepiso de un marco y el desplaAutor: Alfredo A. Pez Robles ESIA-ZAC Pgina 57


zamiento horizontal relativo de los dos pisos que lo componen, es decir, para determinar la rigidez de entrepiso es necesario conocer la configuracin del sistema de fuerzas laterales que obran sobre cada marco de la estructura, lo cual inicialmente no se conoce con precisin.

las frmulas de Wilbur o por medio de un programa de computadora basado en el mtodo matricial de rigideces.

Para resolver lo anterior, es posible adoptar hiptesis simplificatorias, como las de las frmulas de Wilbur (Bazn y Meli, 2003, pp.62), que para edificios de marcos regulares suponen una configuracin de fuerzas laterales proporcional a la definitiva del anlisis y dan una buena aproximacin de las rigideces de entrepiso.

En la prctica, el procedimiento anterior se emplea cada vez menos, y el anlisis dinmico de edificios se realiza empleando un programa de computadora comercial sin necesidad de calcular las rigideces laterales de manera aproximada.

Problema 2.6 Determinar el modo y la frecuencia fundamental de vibracin de la siguiente estructura, empleando el mtodo de Newmark, a continuacin se describe la secuela del mtodo idealizando la estructura a travs de un modelo de masas y resortes.

En el captulo 4, se explicar como realizar el anlisis dinmico de un edificio empleando un programa de computadora e incluyendo los efectos de torsin que indican las normas de diseo.

Para el ejemplo que se ilustra a continuacin se supone que las rigideces de entrepiso ya se han calculado, ya sea empleando Autor: Alfredo A. Pez Robles ESIA-ZAC W3=196.2 t Pgina 58


1) Suponer una configuracin inicial de desplazamientos para el K3=100 t/cm W2=294.3 t K2=200 t/cm W1=392.4 t K1=300 t/cm primer modo de vibrar, usualmente se proponen valores de desplazamiento cuyo valor sea igual al nmero de nivel correspondiente a cada masa :

Figura 2.24 Edificio de tres niveles

a) Mtodo de Newmark.

2) Fuerzas de inercia en cada masa. Las fuerzas de inercia son iguales a , pero como an no conocemos

Este mtodo se aplica para calcular el primer modo de vibracin de estructuras estrechamente acopladas, es decir, estructuras cuyas masas se conectan solamente a las de los pisos superior e inferior por medio de resortes que idealizan la rigidez lateral los entrepisos correspondientes.

, entonces se trabaja con las fuerzas de inercia divididas entre la frecuencia del primer modo, :

Secuela del mtodo de Newmark:


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3) Cortantes de entrepiso. Los cortantes son las fuerzas de inercia acumuladas desde la masa del ltimo nivel: : 5) Configuracin de desplazamientos. Los desplazamientos se obtienen acumulando las deformaciones de entrepiso desde el primer nivel: :

4) Deformacin de entrepiso. Se obtienen dividiendo cada fuerza cortante entre la rigidez de entrepiso correspondiente:


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6) Frecuencia aproximada del primer modo. Se obtiene dividiendo el valor de desplazamiento inicial entre el obtenido en el paso anterior, , cuando el cociente es

aproximadamente el mismo para todas las masas, se ha encontrado la configuracin y la frecuencia de vibracin correspondiente al primer modo de vibracin:

Como an no hay convergencia, se tiene que realizar otra iteracin repitiendo los pasos del 1 al 6, solo que ahora la configuracin inicial se obtiene normalizando los desplazamientos del rengln 5 de la primera iteracin con respecto al desplazamiento de la primer masa (dividir entre el valor sealado):


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Entonces se puede sacar un promedio de los tres valores de frecuencia de la ltima iteracin: Tambin es recomendable determinarla a partir del cociente de Schwartz: (2.49)

Despus de la tercera iteracin se observan valores de la frecuencia fundamental aproximadamente iguales:

Finalmente, la configuracin del primer modo se obtiene normalizando los valores del 5 paso de la ltima iteracin con respecto al menor valor del desplazamiento:


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b) Mtodo de Holzer Una vez calculada la frecuencia y la configuracin del primer modo, podemos utilizar el mtodo de Holzer para los modos superiores, el cual tambin es aplicable para estructuras estrechamente acopladas. Secuela del mtodo de Holzer: 1) Suponer un valor de , mayor que el de la frecuencia del

5) Calcular la fuerza cortante del segundo entrepiso, aplicando el equilibrio de fuerzas horizontales: y despejando:

6) Calcular la deformacin del segundo entrepiso: 7) Calcular el desplazamiento de la segunda masa:

8) Calcular la fuerza de inercia de la segunda masa:

primer modo obtenida por algn otro mtodo, se propone 500. 2) Suponer el desplazamiento de la primera masa 3) Calcular la fuerza cortante del primer entrepiso: tomando en cuenta que 4) Calcular la fuerza de inercia de la masa 1: ,


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9) Repetir los pasos del 5 al 8 para las masas de los niveles superiores hasta el ltimo entrepiso, en donde por lo general resultar una diferencia o residuo entre el valor de la fuerza cortante y la fuerza de inercia, en esta iteracin (-125-25)= -150:

10) Se propone un valor de

, mayor que el propuesto

inicialmente, y se repite la secuela de los 9 pasos anteriores hasta que el residuo del paso 9 es muy pequeo del orden de algunas dcimas.

En esta iteracin, se observa que el residuo ha cambiado de signo, por lo tanto el valor de debe ser menor de 850 que se

propuso para la segunda iteracin. Recuerde que el valor de la frecuencia es una de las races del polinomio caracterstico y

por lo tanto al cambiar de signo nos indica que el valor propuesto debe reducirse.


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Despus de varias iteraciones se llega al valor de:

La configuracin del segundo modo se toma de las deformaciones de la ultima iteracin, entonces tenemos para el segundo modo una frecuencia natural de:

Repitiendo el procedimiento anterior para el clculo del tercer modo de vibrar de la estructura, obtenemos:


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2.3.3 Propiedades de Ortogonalidad de las matrices de Masas y de Rigideces

A partir de la ecuacin 2.48, que establece la solucin para el Recopilando los resultados para los tres modos de vibracin calculados: caso de vibracin libre sin amortiguamiento de un sistema de varios grados de libertad :

1 2.148 3.310

1 0.893 -1.473

1 -1.042 0.410 En donde planteamos que se debera de cumplir la siguiente ecuacin caracterstica:

Cada valor caracterstico o frecuencia natural de vibracin

,

satisface la ecuacin anterior y a cada una le corresponde un vector de amplitudes .

As, para un sistema de n grados de libertad le correspondern n frecuencias y n vectores de amplitud que satisfacen la ecuacin caracterstica.


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Los vectores de amplitud

, se les denomina vectores carac-

Analicemos la ecuacin caracterstica para los modos de vibracin y :

tersticos o formas modales y no representan la configuracin de desplazamientos reales de la estructura sino nicamente la proporcionalidad entre los desplazamientos de cada una de las masas:

Para el modo i:

(a)

Anlogamente para el modo j: (b) Premultiplicando la ecuacin (a) por el vector modal transpuesto : (c) Premultiplicando la ecuacin (b) por el vector modal transpuesto : (d) Como ambas matrices igualdades se cumplen: Figura 2.25 Proporcionalidad entre configuraciones modales y son simtricas, las siguientes


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Restando la ecuacin (d) de la (c):

Que se cumple cuando

. Anlogamente, la ecuacin ante-

rior nos indica tambin la propiedad de ortogonalidad de la matriz de rigideces . , enton-

Empleando otra vez la ecuacin (d), pero cuando Como las frecuencias de los modos en estudio son diferentes, entonces la diferencia del parntesis anterior no es cero, por lo tanto: (2.50) ces:

Similarmente, el triple producto de la expresin anterior, da un escalar que llamaremos rigidez modal o rigidez generalizada del modo i : (2.53)

La ecuacin anterior nos indica la propiedad de ortogonalidad de la matriz de masas Cuando , entonces: (2.51) .

De donde: (2.54)

El triple producto de la expresin anterior, da un escalar que llamaremos masa modal o masa generalizada del modo i :

Sustituyendo la propiedad de ortogonalidad de la masa de la ecuacin 2.50 en la ecuacin (d), tendremos:

(2.52)


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2.3.4 Modos Ortonormales

Cuando

, resulta: (h)

Es conveniente trabajar con los modos normalizados con respecto a la raz de la masa generalizada . Entonces las rigideces generalizadas de los modos normalizados son iguales a As, el modo normalizado i, ser: Recopilando las expresiones (e), (f), (g) y (h): Y la propiedad de ortogonalidad de la matriz de masas con los modos normalizados tambin se cumple: (e) Cuando , entonces: (f) Entonces los modos normalizados tienen masas generalizadas iguales a la unidad. Anlogamente, la propiedad de ortogonalidad de la matriz de rigidez con los modos normalizados tambin se cumple: Si agrupamos todos los (2.55) (2.56) (2.57) (2.58) .

vectores modales normalizados en :

una matriz que llamaremos Matriz Modal

(g)


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Entonces, podemos aplicar la propiedad de ortogonalidad para la matriz de masas empleando los modos normalizados aplicando la expresin 2.55 para todos los trminos fuera de la diagonal y la 2.56 para los trminos de la diagonal:

2.3.5 Ecuaciones de movimiento en coordenadas modales

En una estructura con n grados de libertad, con un vector de excitacin , tenemos que resolver un sistema de ecuacio.

nes de movimiento de

De manera similar a la ecuacin 2.35, podemos plantear la ecuacin de movimiento: Procediendo de igual forma con la matriz de rigidez y aplicando la expresin 2.57 para todos los trminos fuera de la diagonal y la 2.58 para los trminos de la diagonal: Mediante un cambio de variable, podemos transformar tal sistema y trabajar con ecuaciones desacopladas equivalentes a (2.59)

la ecuacin de movimiento para un sistema de un grado de libertad que llamaremos oscilador modal.

As, la suma de las respuestas modales, es decir, debidas a la participacin de cada oscilador modal son igual a los desplazamientos del sistema acoplado en un instante de tiempo dado.


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Introduciremos el siguiente cambio de variable en la ecuacin anterior de movimiento:

Las expresiones anteriores las podemos rescribir como:

(2.60) En donde: Vector de desplazamientos relativos al apoyo del sistema Matriz modal Vector de coordenadas generalizadas o modales de los modos de vibracin en funcin del tiempo. La coordenada generalizada Aplicando la ecuacin 2.60 para un sistema de 3 grados de libertad: guracin modal modifica o escala a la confi(2.61) Es decir, la sumatoria del producto de cada forma modal por cada coordenada generalizada:

en cada instante de tiempo. Como es una

sumatoria, cada modo tiene determinada participacin en la respuesta acoplada de la estructura .

En forma algebraica:

A partir de la ecuacin 2.60 y obviando que los vectores estn en funcin del tiempo, podemos establecer que:


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Sustituyendo en la ecuacin 2.59: Para la matriz de amortiguamiento, se considera un amortiguamiento proporcional a la combinacin lineal de las matrices de rigideces y masas: Ahora, emplearemos las propiedades de ortogonalidad de los modos, premultiplicando la ecuacin anterior por la matriz modal transpuesta : y en tal caso tambin es

diagonal con elementos nulos excepto en la diagonal, en tal caso se dice que el sistema tiene un Amortiguamiento Clsico, ya que se puede aplicar el anlisis clsico modal.

(2.62)

Por propiedad de ortogonalidad, los triples productos matriciales arrojan la matriz de masas modales o generalizadas matriz de rigideces modales o generalizadas elementos nulos excepto en la diagonal: y la

Desarrollando la ecuacin 2.62:

, ambas con (2.63)

Entonces para la i-sima ecuacin:


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En el segundo miembro de la ecuacin anterior, tenemos que es el i-simo vector rengln de la matriz modal transpuesta , que multiplicado por el vector columna de cargas da un

La solucin de la ecuacin anterior es similar a la ecuacin 2.16 y para el caso subamortiguado en vibracin libre es:

escalar, por lo tanto, la expresin anterior es igual a la ecuacin de movimiento para un sistema de un solo grado de libertad, ecuacin 2.2. ] Con el procedimiento anterior, hemos podido transformar un problema de n ecuaciones acopladas en uno de n ecuaciones desacopladas correspondientes a un oscilador modal de un grado de libertad. Por lo tanto, tendremos 2 incgnitas por cada oscilador modal, , o sea, se tienen 2n incgnitas pero tenemos 2n datos a partir de las condiciones iniciales para cada oscilador modal, . Cada oscilador modal tiene la masa la rigidez ra. , el amortiguamiento y Realizando el cambio de variable a la expresin anterior, a partir de las ecuaciones 2.60 y 2.61: de cada uno de los modos de vibrar de la estructuQue tambin se puede expresar como:

Si consideramos el oscilador modal en vibracin libre, tendremos la siguiente ecuacin de movimiento: ] (2.64)

Dividiendo entre

:


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Para encontrar las 2n incgnitas, emplearemos las propiedades de ortogonalidad de los modos normalizados y las condiciones iniciales de cada oscilador modal, as, cuando t=0 , las n constantes valen: Premultiplicando por : Cuando t=0 , las n constantes valen:

Premultiplicando por

: Los productos triples del segundo trmino, son nulos excepto cuando i=j , en cuyo caso, son igual a la masa generalizada del modo normalizado :

El triple producto del segundo trmino, es nulo excepto cuando i=j , en cuyo caso: (2.65) Despejando Derivando la ecuacin (2.64): 2.65: y, sustituyendo el valor de de la ecuacin

Y as, tendramos las n constantes conocidas.


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Como se dijo antes la respuesta tambin se puede escribir como:

2.3.6 Ecuaciones de movimiento en coordenadas modales para excitacin debida al sismo

Aplicando el cambio de variable

, para el caso de

la respuesta debida a la aceleracin del terreno debida al sismo, Que particularizando para sistemas de un grado de libertad, la forma modal vale , y entonces: (2.66) la ecuacin 2.43 se puede expresar como:

Premultiplicando por la matriz modal transpuesta a las propiedades de ortogonalidad:

y en base

(2.67)

En la ecuacin anterior, las matrices de masas, amortiguamiento y de rigidez generalizadas, en el primer miembro de la igualdad, son diagonales con elementos nulos fuera de la diagonal y, por lo tanto, el sistema quedara desacoplado, es decir, cada ecuacin es independiente de las dems.


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La ecuacin anterior es equivalente a la ecuacin (2.43) que aqu repetimos para comparacin: (2.68)

(2.71)

Ambas ecuaciones tienen la misma aceleracin del terreno como fuerza excitadora, pero para el caso de la ecuacin Entonces la i-sima ecuacin sera: 2.70, multiplicada por el factor (2.69) En el segundo miembro de la ecuacin anterior, tenemos que es el i-simo vector rengln de la matriz modal transpuesta , el cual, multiplicado por la matriz de masas tor columna unitario da un escalar. y por el vecSi en la ecuacin 2.71, el valor de la frecuencia y del porcentaje de amortiguamiento fueran iguales a los del modo i y llamando al desplazamiento , tendremos: ciente de participacin del modo i: (2.72) , al cual llamaremos coefi-

Dividiendo entre

, tenemos: (2.70) Entonces la respuesta , sera el desplazamiento de la ma-

sa en relacin con la base de un sistema de un grado de libertad de igual frecuencia y amortiguamiento que el del modo isimo. Autor: Alfredo A. Pez Robles ESIA-ZAC Pgina 76


As, el desplazamiento total de la masa k, de un sistema de Si multiplicamos esta respuesta por el factor de participacin modal , obtendremos la respuesta de la ecuacin 2.70: varios grados de libertad, es igual a la sumatoria del producto de la amplitud modal por que es el desplazamiento

del sistema de un grado de libertad, con las caractersticas de (2.73) masa, amortiguamiento y rigidez del modo i, por su coeficiente de participacin modal Lo anterior se deduce observando que el acelerograma , , en donde, , se puede obtener

con algn mtodo numrico de los expuestos para los sistemas de un grado de libertad:

para ambas ecuaciones, es el mismo y est factorizado por el coeficiente de participacin modal en la ecuacin 2.70.

(2.75) Una vez obtenida la respuesta de cada ecuacin desacoplada, podemos pasar de las coordenadas modales reales a las El coeficiente de participacin modal se puede desarrollar como: (2.76)

, empleando la ecuacin 2.60, que particularizndola

para la masa k-sima, y para el i-simo modo, es: (2.74)

Ahora, se sumarn las participaciones de todos los modos considerados, para obtener el desplazamiento total de la masa k:

Como hemos trabajado con las formas modales normalizadas, entonces , y entonces el coeficiente de participacin

modal se puede escribir como: (2.77)


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Podemos obtener las fuerzas en cada nivel de nuestra estructura, recordando que la fuerza ssmica en el nivel k debida a la contribucin del modo i es: (2.78)

2.4 Respuesta Ssmica no-lineal

2.5 Anlisis Modal Espectral

La ecuacin 2.75 nos sirve para conocer el desplazamiento de Empleando las ecuaciones 2.73 y 2.74: cada masa de la estructura para cualquier instante de tiempo, partiendo del hecho, de que conocemos el acelerograma del (2.79) temblor que nos interesa .

Para obtener el cortante en la base de la estructura debida al modo i, sumaremos las fuerzas ssmicas en cada nivel:

Pero para fines de diseo, nos interesara ms la respuesta mxima de la estructura ante un temblor que puede ocurrir durante su vida til.

(2.80) Por lo anterior, dicho temblor va a ocurrir en el futuro y sus inLa ltima sumatoria de la expresin anterior es el coeficiente de participacin modal como se expres en la ecuacin 2.77, por lo que: (2.81) En esta ecuacin, el trmino debe tener unidades de masa, tensidades no se pueden predecir, por lo tanto, tenemos que recurrir a los llamados espectros de diseo que especifican las normas o reglamentos de la localidad donde se pretende construir la estructura.

por lo que se le conoce como masa efectiva del modo i.

La suma de las masas efectivas considerando todos los modos es igual a la suma de las masas de la estructura. Autor: Alfredo A. Pez Robles ESIA-ZAC Pgina 78


A diferencia de los espectros de respuesta que se estudiaron al final del primer captulo, los espectros de diseo carecen de los picos o mximos de los espectros de respuesta. Los espectros de diseo, se caracterizan por envolver las respuestas mximas de manera suavizada como se muestran en la figura 2.26. De la ecuacin 1.2, en donde la seudo-aceleracin mxima (A), ocurre en el instante que se presenta el mximo desplazamiento , tenamos: Los espectros de diseo tambin son grficas de la seudoaceleracin como fraccin de la gravedad en el eje de las or-

denadas, y los periodos de las estructuras T, en el de las abscisas.

De donde:

Podemos particularizar la ecuacin 2.74 para conocer la contribucin del modo i al desplazamiento mximo de la masa k, : (2.82) Figura 2.26 Espectro de diseo de la zona de suelo firme segn las NTC-Sismo-2004. Autor: Alfredo A. Pez Robles ESIA-ZAC Pgina 79

y para todas las masas del sistema:


(2.83) Esta es una regla de combinacin modal muy conservadora, ya 2.3.7 Reglas de combinacin modal A continuacin se enunciarn algunas reglas de combinacin modal, las cuales emplearemos en los ejemplos de aplicacin. que las respuestas mximas de cada modo , no ocurren

en el mismo instante de tiempo, por lo que la expresin anterior sera como el lmite superior para el valor de la respuesta mxima.

Cabe mencionar que existen algunas otras reglas que se exponen en Chopra, (2001). Rosenblueth (1951), desarroll otra regla de combinacin modal en su tesis doctoral, que se conoce como regla de la Raz CuaEmpleando la expresin anterior podramos calcular la deformacin mxima de la masa k-sima, sumando la participacin de todos los modos calculados: (2.85) drada de la Suma los Cuadrados (RCSC):

Esta regla de combinacin modal es apropiada, cuando las frecuencias naturales difieren al menos en 10 por ciento entre s. En general cualquier respuesta mxima de la estructura rmx , como las deformaciones de entrepiso, las fuerzas cortantes, etc., podran calcularse sumando las respuestas mximas considerando su valor absoluto:

Entonces para el caso de edificios de plantas asimtricas en donde los valores de las frecuencias estn muy cercanos y la limitacin mencionada no se cumple, podemos emplear la regla de Combinacin Cuadrtica Completa (CRC), propuesta por Rosenblueth y Elorduy, (1969):

(2.84) Autor: Alfredo A. Pez Robles ESIA-ZAC Pgina 80


(2.86) En donde:

Problema 2.7 En base al Anlisis Modal Espectral, determine los desplazamientos, fuerzas ssmicas y el cortante basal de la estructura del problema 2.6, considerando que el edificio tendr un uso de escuela y que se ubicar en Zona II y que se puede considerar un factor de reduccin de las fuerzas ssmicas por comportamiento ssmico Q= 3, segn las NTC-Sismo-2004:

y

Las formas modales las podemos concentrar en la siguiente matriz modal:

En la penltima expresin s es la duracin de la fase intensa del temblor, Rosenblueth, (1979) propuso para las normas de diseo ssmico del D.F., valores de s iguales a 20, 30 y 40 segundos para las zonas I, II y III respectivamente y de 50 segundos para suelos donde se desconocen sus caractersticas geotcnicas. T1= 0.473 s 1 2.148 3.310 T2= 0.222 s 1 0.893 -1.473 T3= 0.149 s 1 -1.042 0.410 Calculando los periodos para cada uno de los modos:


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Los desplazamientos mximos para cada modo de vibracin los podemos determinar con la ecuacin 2.82:

En donde la matriz de masas de la estructura es:

(ton-seg2/cm) Por lo que tendremos que calcular los factores de participacin y las seudo-Aceleraciones de vibracin calculados: , para cada uno de los modos Para el modo 1:

-Clculo de los factores de participacin, empleando la ec. 2.76:

El denominador de la expresin anterior, es igual a la unidad cuando los modos se normalizan con respecto a la raz cuadrada de la masa generalizada primero normalizaremos los modos: , ecuacin 2.77, por lo que Anlogamente para los modos 2 y 3:

Clculo de las masas generalizadas, empleando la ecuacin 2.51: Autor: Alfredo A. Pez Robles ESIA-ZAC Pgina 82


Ahora normalizaremos los modos con respecto a la raz cuadrada de la masa generalizada :

Modos Normalizados:

- Clculo de las seudo-Aceleracionesmodos de vibracin:

, para cada uno de los

Empleando la ecuacin 2.77 para calcular los modos de participacin de cada modo:

Ahora emplearemos el espectro de diseo para la zona II cuyos parmetros se especifican en la seccin 3 de las NTC-Sismo2004, y a continuacin se trascriben para poder graficar el espectro de diseo correspondiente:

Para el modo 1:

Anlogamente para los modos 2 y 3:


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En base al Espectro de diseo para zona II, obtenemos los valores de las Aceleraciones como fraccin de la gravedad:

Para estructuras en donde del factor de reduccin

, se emplea un valor menor

. Esta reduccin se realiza para es-

tructuras o modos de vibracin con un periodo muy corto lo que T1= 0.473 s A / g = 0.32 T2= 0.222 s A / g = 0.32 T3= 0.149 s A / g = 0.26 indica que se trata de una estructura muy rgida y por lo tanto se espera que tenga un menor comportamiento dctil.

Las aceleraciones correspondientes a cada modo, se pueden reducir empleando el factor de reduccin del factor de comportamiento ssmico seccin 4 de las NTC-Sismo-2004. Como se expondr en adelante, esta reduccin se hace para considerar que la estructura se puede comportar inelsticamente sin fallar, siempre y cuando se especifiquen materiales y detalles constructivos que garanticen tal comportamiento ssmico. , el cual depende

, como se indica en la

En nuestro problema, para los dos primeros modos, como , entonces: nicamente el periodo del tercer modo es menor que el Ta :


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La reduccin de las aceleraciones para cada modo ser:

Clculo de los desplazamientos relativos: Los desplazamientos relativos sern la diferencia de los desplazamientos de dos niveles consecutivos:

Desplazamientos mximos para cada uno de los modos: Empelando la ecuacin 2.76:

Clculo de los cortantes de entrepiso: Se obtienen multiplicando las rigideces de entrepiso por el desplazamiento relativo: Del problema 2.6 las rigideces de entrepiso son: K1 = 300 ton/ cm; K2 = 200 ton/ cm; K3 = 100 ton/ cm. Para el modo 1:


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Para el modo 2:

Para el modo 3:

Una vez calculados las respuestas de inters, y no antes, en este caso, desplazamientos y cortantes, podemos emplear algn criterio de combinacin modal para obtener la respuesta total ya que las respuestas mximas de cada modo no ocurren en el mismo instante de tiempo. En nuestro problema los periodos calculados resultaron: La expresin 9.2 de las Normas es equivalente a nuestra ecuaT1= 0.473 s T2= 0.222 s T3= 0.149 s cin 2.78, que se conoce como regla de la Raz Cuadrada de la Suma los Cuadrados (RCSC): Por lo tanto, podemos observar que los periodos naturales de vibracin difieren entre s, en al menos 10%, y aplicando lo especificado en la seccin 9 de las NTC-Sismo-2004:


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Desplazamientos totales:

Clculo de las masas modales efectivas:

Sabemos que la masa efectiva del modo i-simo es:

Desplazamientos relativos totales:

Suma de masas del edificio:

La suma de las masas modales efectivas es aproximadamente igual a la suma de las masas reales de la estructura analizada, Cortantes de entrepiso: lo que nos indica que el nmero de modos considerados en nuestro anlisis modal es suficientemente aproximado.

Finalmente verificaremos el valor del cortante basal que de conformidad con lo especificado en la seccin 9.3 de las NTCSismo-2004 se establece que:


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Por lo tanto:

Y de acuerdo a la seccin 9.3 de las NTC-Sismo:

Entonces aceptamos los resultados obtenidos en nuestro anlisis dinmico.

En nuestro anlisis dinmico modal, el cortante basal es:

Y el cortante basal esttico es:


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2.2.4 Vibracin Forzada con carga peridica

2.2.5 Vibracin forzada con carga arbitraria

2.2.6 Mtodos numricos para evaluar la respuesta


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