1. -- , L I~ -." --.: 1.>: Por: Luis Enrique Garca Reyes Profesor de Ingeniera Civil UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Facultad de Ingeniera Departamento de Ingeniera Civil Bogot, Colombia 1998

2. .172 l5 Garcla Reyes, Luis Enrique. Dinmica estructu- ral aplicad al rise~ Sismico. --, Prohibida la reproduccin total o parcial de esi autorizacin escrita del autor. Derechos Reservados. Copyright 1998 por: Luis Enrique Garca Reyes Copyright 1998 por: Unversdad de los Andes Carrera 2O N 84-14 Piso 7, Bogot, Colombia ISBN: 958-33-0768-8 Impreso en Colombia Segunda Impresin, Octubre de 199~). Printed in Colombia , 3. ~-- ------------'-., '- Contenido Contenido i Prefacio ix Prlogo : xi SECCION - I - SISTEMAS DINAlIDCOS DE UN GRADO DE LIBERTAD Cnl'Uuro 1 (;(;lV{;El~OS B...lSffCOS lJI!) DIJ.VJ.l1'UC...1 1.1 Introduccin 3 1.2 Leyes de Newton -+ 1.3 Grados de libertad :i lA Masa, peso y sistema de unidades 6 1.5 Rigidez 8 1.6 Traba] o y energa 10 1.7 Amortiguamiento 11 1.7.1 Generalidades lJ 1.7.2 Amortiguamiento viscoso 1I 1.7.3 Amornguarner,.o de Coulomb 12 1.7A Amortiguamiento histertico ~ 12 1.8 Tipos de excitacin dinmica 13 CUJ)tulo 2 .SIS'l'El'LlS DIJ.VLUTICflS DE lIN GBlllJII DE 1..IBERTAlJ 2.1 Vibracin libre no amortiguada 1S 2.2 Vibracin libre amortiguada 20 2.2.1 Amortiguamiento crtico , 2L 2.2.2 Amortiguamiento mayor que el crtico 23 2.2.3 Amortiguamiento menor que el crtico 23 2.2A Decremento logartmico 2:i 2.3 Vibraciones forzadas armnicas _ 27 2.-+ Vibraciones transitorias 31 2.-+.1 Respuesta a un impulso 32 2.-+.2 Excitacin arbitraria 33 2.5 Excitacin en la base 35 2.6 La energa en la respuesta dinmica 38 CUJ)t.ub.) 8 OIITEN{;ION m: lA lrnSI~UEST.i:llJI..lVA...."ICA 3.1 Introduccin -+3 3.2 Integral de convolucin -+3 3.3 Mtodo de la aceleracin lineal -+8 :j.-+ Mtodo Beta de Newrnark 51 4. 'inl1l1ca esrruc(.(UUI UP"L""" u . . . _~_ 3.5 Otros mtodos 55 3.6 Sistemas no lineales 55 3.7 Solucin en el dominio de la frecuencia 59 3.8 Uso del computador : 63 CA."itnlo 4 SIS~IOS~ SI:S~"OGRi-ULlS y ~1(;ELEROGlliU1AS 4.1 Introduccin 65 4.2 Causas de los temblores 65 4.2.1 Tectnica y sisrnicidad global 65 4.2.2 Failas geolgicas 67 4.2.3 Mecanismo focal 68 4.2.-4 Premonitorios y rplicas 68 4.3 Ondas ssmicas 69 4.4 Sismogramas 69 4.5 Magnitud del sismo 69 4.5.1 Definicin de la magnitud de Richter 69 4.5.2 Tipos de magnitud 70 4.5.3 Magnitud de algunos sismos importantes 71 4.6 Intensidad del sismo 72 4.6.1 Escala de intensidades de Mercalli Modificada (ltvIJv1) 72 4.0.2 Mapas de isosistas 73 4.7 Tectnica y sismicidad colombiana 74 4.7.1 Emplazamiento tectnico 74 4.7.2 Sistemas de f'allamiento 74 4.7.3 Ssmcidad colombiana 75 4.8 Acelerogramas 77 4.8.1 Acelergrafos de movimiento fuerte 77 4.8.2 Registros acelerogrficos 77 4.8.3 Definicin de los movimientos mximos del terreno 79 4.8A Efecto de las condiciones locales del suelo 80 4.8.S Variacin v atenuacin de los movimientos ssmicos con la distancia 81 4.8.6 Tipos de temblores segn el aceierograrna 83 4.9 Estudios de amenaza ssmica 85 4.9.1 Metodologa 85 4.9.2 Amenaza ssmica en Colombia 87 4.10 Prediccin de sismos 96 Cnl,itnlo ;; ESPECTBfJS DE llESPlJESTA 5.1 Introduccin 97 5.2 Obtencin del espectro de respuesta 98 5.3 Relacin entre Sal Svy Sd 101 5.4 Representacin tripartita 102 5.5 Influencia de los movimientos mximos del terreno 104 5.6 Relacin entre las diferentes componentes 105 5.7 Espectros de algunos sismos 109 5.8 Espectros de Fourier 114 5.9 Programas para el calculo de espectros 116 ii 5. (;nlJiul() 6 SlSTE61l-lS l1TEL1STIC()S I)EUlV GBAl)() DE LIBERT.lU) 6. I G.2 6.3 6A 6.5 6.6 6.7 6.8 Introduccin I 17 Respuesta histererca I 18 6.2.1 Materiales y elementos estructurales elsticos e nelsrcos 1I8 G.2.2 Concreto estructural 123 6.2.3 Acero estructural 128 6.2.-4 Mampostera estructural 131 Modelos matemticos de histresis 13-1: 6.3.1 Generalidades 13-4 6:3.2 Elastoplstico 135 6.3.3 Modelo de Rarnberg-Osgood 139 6.3A Modelos con degradacin de la rigidez 1-43 Conceptos de ductilidad, tenacidad y capacidad de disipacin de energa 148 Respuesta elstica equivalente l inelstica 152 Efecto de la respuesta nelstica en el espectro 154 6.G.1 Sistemas elastoplsticos 1,3-1: Espectro de desplazamientos totales 156 Espectro de aceleraciones mximas 159 6.6.2 Sistemas con rigidez degradante 1GO Principio de las deformaciones iguales 16-4 Programa de computador "RESDIN" para la obtencin de la de la respuesta dinmica elstica e inelstica 169 CCIIJUul() 7 .6J.JJl'DHEl.TOS SIS6HCOS DE DISEO 7.1 Introduccin , 173 7.2 Espectros elsticos de diseo I 7-1: 7.2.1 Espectros promedio de Housner 17-4 7.2.2 Mtodo de Newmark-Hall 176 7.2.3 Mtodo de Newrnark-Blurne-Kapur 0 0 179 7.2A Mtodo de Shibata-Sozen 182 7.2.5 Comparacin de resultados 18-4 7.3 Espectros inelsticos de diseo 187 7.3.1 Introduccin 187 7.3.2 Mtodo de Newmark-Hall 188 7.3.3 Procedimiento de Riddell y Newmark 190 7.3.-1: Procedimiento de Shbata-Sozcn 192 7A Efecto en la forma del espectro de la magnitud distancia, duracin y tipo de suelo en el sitio 1~)-I: 7A.l Efecto de la magnitud y la distancia a la falla 19-1: 7A.2 Efecto de la duracin del sismo 196 7A.3 Efecto de las condiciones geotcnicas locales 197 Procedimiento del ATC-3 198 Procedimiento del Uniform Building Code 199 Procedimiento del NEHRP-94 200 7.5 Estudios de amplificacin de onda 20-1: 7.6 Familias de acelerogramas 208 7.7 Espectros de diseo de los cdigos ssmicos 210 7.7.1 Desarrollo histrico del espectro en los cdigos sismicos 210 7.7.2 Forma del espectro del ATC-:1 211 7.7.3 Forma del espectro de las nuevas normas ssmicas colombianas 2 [{i iii 6. 7.7A Forma del espectro del Cdigo de Ciudad de Mxico de 1993 219 7.7.5 Forma del espectro del Uniform Building Code (UBC-94) 221 7.7.6 Forma del espectro del NEHRP-94 223 7.7.7 Forma del espectro del Eurocdigo-S 225 7.8 Comentarios sobre la seleccin de los movmentos ssmicos de diseo 228 SECCI@N - II - SISTEMAS DINAMICOS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD ClI.j,Uulo S 11TIlODUCCIONAl.l ANALlSlS 1tl-tTI~IClALDE ESTRUC'J.'lI1lAJ...~ 8.1 Definiciones 232 8.1.1 Introduccin 233 8.1.2 Algebra lineal 234 8.1.3 Operaciones con matrices 235 8.1.4 Propiedades y operaciones con vectores 238 8.2 Sistemas de coordenadas y su transformacin 239 8.3 Matriz de rigidez de un elemento de prtico plano 244 8A Principio de contragradiente 252 8.5 Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales 253 8.6 Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura 255 8.7 Apoyos de la estructura 258 8.8 Solucin para fuerzas estticas por el mtodo de rigidez 260 Cl1l,itulo !-) illVAl..llSlt9 J.1lilTillCLU AVil.LVZill~{' 1'" lELE~1El.TOS PINITOS 9. ~ Introduccin 273 9.2 Igualacin de grados de libertad 273 9.3 Condensacin de grados de libertad 278 9.4 Subesrructuracin 281 9.5 Casos especiales 282 ~1.5.1 Articulaciones y liberacin de grados de libertad en los elementos. 282 9.5.2 Nudos rgidos ~86 9.5.3 Deformaciones por cortante 289 9.5A Efecto de la variacin por temperatura 290 9.G Otros tipos de elemento 295 9.6.1 Definiciones 295 9.6.2 Elemento de cercha plana 297 9.6.3 Elemento de cercha espacial 298 9.6.-! Elemento de prtico plano 299 ~J.6.5 Elemento de parrilla 301 9.6.6 Elemento de prtico espacial 302 9.7 Elementos finitos 304 ~).7.1 Introduccin 304 ~l. 7.2 Procedimiento de anlisis utilizando elementos finitos 305 -.:------------------- 7. 9.7.3 Tipos de elementos 306 9.7.-l Formulacin de la matriz de rigidez de] elemento 307 9.7.5 Ejemplo de anlisis utilizando elementos finitos 312 9.7.6 Algunas observaciones sobre el uso de los elementos finitos :1]7 C~ll)Uul()1 (J ECU11ClflNES IIE Ef~UlLI11IU(lllnv111'UCflEN SISTEl'L~~IIl~ l~tl='I(IS Gl=.rWOS DE LIIIEI=.TAD 10.1 Introduccin 321 10.2 Vibracin libre 321 10.3 Ecuaciones de equilibrio para excitacin arbitraria 323 JOA Ecuaciones de equilibrio para excitacin en la base 32"' 1O.,) Ecuacin de Lagrange 326 (;(fIJilulo 11 lIJl~ill""ZA(;ION',l1V1U.lIC.ll DE L-l ES'J'l='VCTIJB.il 11.1 Introduccin 329 11.2 Masa distribuida y masa concentrada 329 11.2.1 Masa distribuida 330 11.2.2 Masa concentrada 333 11.3 Idealizacin de la rigidez 339 11.3.1 Diafragma rgido 3-W 11.3.l(a) Se genera la matriz de ruiidez de cada prtico 34-l 11.3.1(b) Se hacen las vigas inextensibles debido al efecto de diafragma rgido 345 1l.3.1(c) Se ajustan los grados de libertad verticales 346 11.3.l(d) Se condensan los grados de libertad , rotacionales de los nudos 347 11.3.l(e) Transformacin de los grados de libertad del prtico, de un despiazarniento por piso a las tres qrudos de libertad por piso de cada diafragma :H8 11.3.l(f) Ensamblaje de la matriz de rigidez de toda la estructura 351 ] 1.3.1 (g) Se determina la matriz de masa de toda la estructura :3SI ] 1.3.l(h) Ecuaciones de equilibrio dinmico de toda la estructura :3 SI ] 1.3. 1(i) Obtencin de las fuerzas en los elementos una vez se conocen los desplazamientos de los grados de libertad de los diafragmas 353 11.3.1U) Algunas observaciones acerca de la idealizacion de diafragma rgido toda la estructura 35-l 11.3.2 Diafragma flexible 36-l 11.3.3 Diafragmas rgidos unidos por elementos flexibles 372 11.-l Sistemas sin diafragma 373 11.5 Excitacin en varios apoyos 373 11.6 Acople esttico y acople dinmico 380 /' 8. Inic(I estructuren lIjJlI( (n. ,u .u..... " ._.~ Cnl,itulol2 SOLlJCION DE LA BESlUESTA lJI1Vl1l'HCA PARA. SISTE~JASCON tr-UUOS GllAlJOS DE LIBEIITAD 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 Introduccin 385 Solucin modal para el caso no amortiguado 385 Ortogonalidad de los modos naturales 392 Desacoplaje de las ecuaciones de movimiento 394 Vibracin libre con condiciones iniciales 396 Anlisis me'::'dl con amortiguamiento 401 Solucin integrando las ecuaciones de movimiento 404 Cl41,ituW 18 bmTOIJ(JS AT(;~mlUCOSEN EL ANALISIS l'IODAL 13.1 Introduccin 405 13.2 Mtodo directo 405 13.3 Metodo del barrido 406 13.4 Merodo de Iacob 410 13.5 Mtodo de iteracin en un subespacio 419 13.6 Cociente de Rayleigh 420 Cnl,itulo 14 ANALISlS JIOD..L CRONOl-,OGl(;O 14.1 Introduccin 423 1~.2 Vibracin forzada armnica 424 14.3 Vibraciones transitorias 432 14.4 Excitacin en la base 438 14.5 Anlisis modal planar para excitacin en la base 441 14.6 Anlisis modal tridimensional para excitacin en la base de sistemas con diafragma rgido 450 14.7 Anlisis modal para excitacin en la base de sistemas con diafragma flexible 469 14.8 Excitacin en varios apoyos y sistemas sin. diafragma 490 Cnl,itulo 1 s ANIU"ISIS .L"OIJJ.tL ESPECTlfAL 15.1 Introduccin 505 15.2 Formulacin del anlisis modal espectral 505 15.3 Mtodos de combinacin de la respuesta modal 519 ]5.3.1 Generalidades 519 15.3.2 Mtodo de la raz cuadrada de la suma de los cuadrados (RCSC) 519 15.3.3 Mtodo de la combinacin cuadrtica completa (CCC) 528 15.3A Combinacin de componentes horizontales 53] 15.4 Nmero de modos a emplear 547 15.5 El mtodo de la fuerza horizontal equivalente 548 ~-----------------------~ . pi 11 9. -------"'= A la pri,nera lectlu-a de la Dinmica de Garcia He aqu un libro que no sufre de los pecados de sus predecesores; un libro que empieza en el principio y termina en el final sin trazar meandros entre los dos extremos. No est escrito como un catlogo y tampoco pretende incluirlo todo. Significa ms bien un compromiso. La dinmica es una ciencia madura. Entretanto, el diseo ssmico no es ni una ciencia ni ha alcanzado su madurez. La aplicacin de la dinmica a la ingeniera fue forzada inicialmente por la necesidad de entender el comportamiento de las mquinas. En este sentido, la dinmica aplicada contiene todo un arsenal de algoritmos creadores y brillantes introspecciones aplicables a mecanismos bien definidos, excitados por movmientos bien definidos, as mismo cuando no de carcter invariante. Ahora bien, aplicrr la dnrnica a estructuras cuyas caractersticas de rigidez y resistencia no se conocen plenamente y tampoco estn excitadas por movimientos agudamente descritos - antes o incluso despus del evento ssmico - requiere una perspectiva diferente y muy diferentes aptitudes. La tarea que se impuso el autor de preparar un texto referente a las estructuras, es ante todo una de resistir la tentacin de parafrasear los textos consagrados, tales como aquellos escritos por Den Hartog y por .lacobseu-Ayre, antes de acometer el asunto de las estructuras. Decir que el autor de este libro, Luis E. Garca, ha alcanzado la proeza de mantener el objetivo en las estructuras es un dictamen que requiere el concurso de muchos lectores durante un perodo largo del tiempo. Pero es innegable que se las ha ingeniado para trazar un camino recto. Y es a este respecto que el libro representa una rara adicin a la literatura sobre dinmica estructural. Quizs su descripcin correcta sea expresar que es el segundo texto que se mantiene fiel a las estructuras siendo el primero el tomo escrito por Biggs y publicado hace ms de tres dcadas. Ahora, afirmar que el alcance, la certeza y la cohesin del texto de Garca es remnscente del clsico de Biggs es un elogio a ambos tratados. En la misma vena, puede decirse que la "Dinmica Estructural" de Garca es un digno compaero de la "Ingeniera Ssmica" de Sarria. Quin hubiera pensado que Colombia abrira las ms amplias "puertas a la percepcin" de la ingeniera ssmica? El encaminamiento del texto no sorprende puesto que el autor Garca, a la manera de Tiresias en el mito antiguo, ha experimentado ntimamente el mundo desde dos puntos de vista diametralmente opuestos: el acadmico y el pragmtico en su caso. El suma aos de ejemplar profesorado y posee la reputacin de haber pisado la frontera donde se desarrolla el diseo automatizado de estructuras; esto simultneamente con desempearse como socio principal de una muy productiva firma dedicada al diseo estructural. El ha enseado. El ha diseado. El texto muestra las huellas tpicas de las dos experiencias. La erudicin es inmaculada. Las explicaciones son completas; comienzan en la ciencia y culminan en la ingeniera prctica. Es este un libro que pertenece igualmente bien a la mesa de trabajo del estudiante y a la biblioteca del profesional. Se puede aprender de l, as como utilizarlo como referencia fcil para problemas de diseo, y para lograr una mejor compresin de las bases de los procedimientos de anlisis. Quizs el logro fundamental del libro es su Captulo 5 dedicado a los espectros lineales de respuesta, aspecto esencial para entender los problemas del diseo, que el 1 El Profesor Sozen ha dejado saber que el ttulo de este prlogo es un prstamo deliberado ek john Keats en su poema titulado "On Iirst looking ihto Chapmans Horner". l' ii 10. autor no considera nra-dgrutarem explicar hasta en los detalles ms simples. Su paciencia y expertica con la materia tratada son admirables. Se ha dicho que nada grande ha sido logrado sin entusiasmo. Este libro ha sido escrito con entusiasmo. Ha sido escrito con base en la doble experiencia de la clase y de la prctica. Debe perdurar. METE A. SaZEN Profesor de Ingeniera Civil Purdue Unversity Lafayette, Indiana, USA Enero de 1998 ~-_._----------------------- 11. Prlogo Estas notas sobre dinmica estructural, estn enfocadas primordialmente al anlisis y diseo de estructuras, dentro del mbito de ingeniera civil, y con el nfasis principal en las solicitaciones ssmicas. Aunque los principios de la dinmica estructural datan de mucho tiempo atrs, su aplicacin a la ingeniera ssmica se remonta a solo algunas dcadas. El presente trabajo nace como unas notas de clase del curso de pregrado del mismo nombre, el cual se dict por primera vez en el segundo semestre de 1973 en la Universidad de los Andes en Bogot. A travs de los aos se han mantenido dentro del contexto eminentemente prctico que ha tenido el curso. La intencin es que sirva de libro de texto para un curso de un semestre en el tema, aunque el material en algunos apartes es ms extenso de lo que se alcanza a cubrir durante las horas de clase. El tema se ha dividido en dos grandes secciones: una correspondiente a sistemas dinmicos elsticos e inelstcos de un grado de libertad (Captulos 1 a 7) y la segunda correspondiente a sistemas dinmicos de varios grados de libertad (Captulos 8 a 17). En la primera seccin se inicia, Captulo 1, con las Leyes de Newton y los fundamentos de la rigidez, la masa y el amortiguamiento. El Captulo 2 trata los sistemas lineales de un grado de libertad para los casos de vibracin libre, no amortiguada y amortiguada, vibraciones forzadas armnicas, vibraciones transitorias y el tema de excitacin causada por movrnentos en la base del sistema, el cual se emplea directamente en el estudio de estos sistemas ante excitaciones ssmicas. Por ltimo se discute el tema de la transferencia e intercambio de energa en la respuesta dinmica. El Captulo 3 se dedica a los mtodos matemticos y numricos para obtener la respuesta dinmica de sistemas lineales de un grado de libertad. El Captulo ..J: consiste en una breve introduccin a la sismologa y a la evaluacin de la amenaza ssmica. El Captulo 5 trata los espectros elsticos de respuesta de los sismos. El Captulo (j discute los sistemas ineIsticos dinmicos de un grado de libertad. Por ltimo el Captulo 7 trata los movrnentos ssmicos de diseo, sus caractersticas y los procedimientos para obtenerlos. La segunda seccin sobre sistemas de varios grados de libertad, se inicia con una introduccin al anlisis matricial de estructuras (Captulos 8 y 9) con un enfoque directo a su empleo en la dinmica estructural, En el Captulo 10 se plantean las ecuaciones de equilibrio para sistemas dinmicos de varios grados de libertad. El Captulo 11 trata la idealizacin dinmica de la estructura, y los diferentes enfoques y conceptos que deben tenerse en cuenta al idealizar dinmicamente las construcciones. En el Captulo 12 se plantea la solucin de las ecuaciones dinmicas de equilibrio para el caso linealmente elstico. El Captulo 13 resume los mtodos ms empleados en la actualidad para la obtencin de los modos y frecuencia de vibracin de las estructuras. El Captulo 1..J: trata el anlisis cronolgico de la respuesta dinmica de sistemas lineales de varios grados de libertad y el Captulo 15 la solucin espectral de la respuesta de sistemas lineales de varios grados de libertad. Se ha escogido en la presentacin el sistema internacional de medidas (SI), el cual por ser un sistema consistente de unidades, es el ms apropiado para el trabajo en dinmica estructural, adems de ser el sistema de uso obligatorio en las nuevas normas sismo resistentes colombianas. Las referencias se indican por medio de [autor, ao] dentro del texto y el final en la Bibliografa se listan los diferentes trabajos empleados ix ~_.,"--_.:"':"':~-..!..." --~-------------- 12. como referencia en orden alfabtico por apellido del autor, seguido por el ao de publicacin. Los ejemplos se desarrollaron empleando diferentes programas de computador, pero en general estn realizados utilizando hojas electrnicas de clculo, principalmente Excel" de Microsoft", el programa Mathlab" producido por The Math Works Ine. , el programa CAL91, desarrollado por el profesor E. Wilson de la Universidad de California, Berkeley. Adems muchos de los ejemplos se realizaron empleando los programas RESDIN, y ESPECTRO, desarrollados por el autor. El programa CAL91 se puede obtener a travs de NISEE (National Information Servce for Earthquake Engineering - Davis Hall, University of California, Berkeley). Los programas RESDlN y ESPECTRO se pueden obtener en la Asociacin Colombiana de Ingeniera Ssmica (Carrera 20 N 8-1-1-1, Oficina 502, Bogot, Colombia - Telfono 530-0826 - Fax 530-0827), o solicitar por emaiI a: . Para estudiantes, previa presentacin del carnet vigente, el programa CAL91 puede obtenerse gracias a una generosa autorizacin de su creador -- el profesor E. Wilsoo -- al costo de reproduccin del material, en el Departamento de Ingeniera Civil de la Universidad de los Andes en Bogot (Carrera 1a N 18A-lO - Bloque IV - 2 Piso, Apartado Areo -1976 Bogot, Colombia - Telfonos 281-51-18 o 28-1-9911 Ext.2811 y 2812). El autor agradece cualquier observacin o comentario que pueda mejorar el contenido o la presentacin del presente trabajo. Estos comentarios pueden ser enviados al siguiente emai1: -clugarciaauniandes.edu.co>, o al Departamento de Ingeniera Civil de la Universidad de los Andes, Bogot. Luis E. Garca Bogot, Febrero de 19~)8 x ~----------------------- 13. Capitulo 1 Conceptos bsicos de dinnnica 1.1 Introduccin La dinmica, dentro del contexto de la mecaruca, es el estudio de los cuerpos, o conjuntos de partculas, en movimiento. La dinmica se divide en dos campos: la cinemtica, la cual estudia la geometra del movmiento, relacionando el desplazamiento, la velocidad, la aceleracin y el tiempo, sin hacer referencia a las causas del movimiento: y la cintica, la cual estudia la relacin entre las fuerzas que actan sobre un cuerpo, la masa del cuerpo y su movmiento, permitiendo predecir los movtmentos que causan las fuerzas, o determinar las fuerzas necesarias para producir un movimiento dado. Cuando un cuerpo se desplaza de una posicin de equilibno estable, el cuerpo tiende a volver a esta posicin al verse afectado por la accin de fuerzas que tienden a restaolecer la situacin de equilibrio; este puede ser el car., de las fuerzas gravitacionales en UT;. pndulo, o de las fuerzas elsticas impuestas por un resorte en el caso de una masa apoyada en l. En general en el instante que el cuerpo vuelve a su posicin de equilibrio tiene alguna velocidad que lo lleva ms all de esa posicin, presentndose una oscilacin alrededor del punto de equilibrio. Estas oscilaciones en el campo de la mecnica se denominan vibraciones mecnicas. Si el cuerpo se considera como una unidad y se desprecian las deformaciones relativas entre sus diferentes partes se aplican los principios de la dinmica de cuerpos rgidos. Cuando es apropiado tener en cuenta los desplazamientos relativos entre las diferentes partes del cuerpo, se aplican los principios de la dinmica de cuerpos flexibles. La dinmica estructural estudia las vibraciones de cuerpos flexibles, aunque en muchos casos las deformaciones relativas entre algunas partes de la estructura son de un orden de magnitud tan pequeo, que pueden aplicarse los principios de la dinmica de cuerpos rgidos en algunas porciones de la estructura. La dinmica estructural se ha desarrollado ampliamente a partir de la apancion del computador digital. Sus fundamentos se remontan ms de dos siglos y medio atrs, pero puede decirse que el enfoque moderno proviene de las ltimas cuatro dcadas. No sobra advertir que en la actualidad existen numerosos textos de dinmica estructural que cubren con mayor profundidad muchos de los temas tratados aqu, algunos son las referencias [Berg, 1989), [Biggs, 1964], [Boiton, 1994], [Clough y Penzien, 19931, [Chopra, 1980], [Chopra, 1995], [Craig, 1981), [Fertis, 1995], [Humar, 1990], [Hurty y Rubinstein, 1964], [Meirovitch, 19671, [Meirovitch, 1975], [Paz, 1991], iShabana, 19891, [Thomson, 1972], y [Timoshenko, Young y Weaver, 1974J. 14. 2 Leyes de Newton El problema del movimiento y sus causas fue durante siglos uno de los temas centrales de la filosofa. Solo hasta la poca de Galileo y Newton fue posible, gracias a ellos, un gran avance en su entendimiento. Isaac Newton (1642-1727), nacido en Inglaterra en el mismo ao de la muerte de Galileo, fue el arquitecto de lo que actualmente se conoce con el nombre de mecnica clsica. Newton llev a la madurez las ideas de Galileo y de otros que le precedieron. Las conclusiones a que lleg Newton sobre el tema estn resumidas en sus tres leyes, las cuales son el fundamento de la esttica y de la dinmica, tanto de cuerpos rgidos como de cuerpos flexibles: 1a Ley de Newton: "Todo cuerpo permanece en su estado de reposo, o movimiento uniforme rectilneo, a menos que sea obligado a cambiar ese estado debido a la aplicacin de cualquier tipo de fuerzas." Esta primera ley de Newton se conoce tambin con el nombre de Ley de Inercia. Los marcos de referencia sobre los cuales se aplica son conocidos con el nombre de marcos inerciales. Estos marcos de referencia estn fijos con respecto a una estrella distante, o se mueven a velocidad constante con respecto a ella. Es importante anotar tambin que la 1a ley de Newton es vlida tanto para cuerpos sobre los cuales no acta ninguna fuerza, como para aquellos sobre los cuales actan varias fuerzas cuya resultante es nula. 2a Ley de Newton: "La fuerza que acta sobre un cuerpo y causa su movimiento, es igual a la tasa de cambio del momentum del cuerpo. " Dado que el momenturn Q, es igual a la masa del cuerpo por su velocidad, se puede expresar matemticamente como: dx Q=rnv=rn-=mX dt (1-1) donde: Q rn v x momentum del cuerpo masa del cuerpo velocidad del cuerpo desplazamiento del cuerpo o coordenada de localizacin del mismo De acuerdo con la 2a ley de Newton y baio el supuesto de que la masa del cuerpo permanece constante, las fuerzas que actan sobre el cuerpo son iguales a la tasa de cambio del momentum: dQ d dv dx .. F=-=-(rnv)=rn-=rn-=rnx=rna dt dt dt dt (1-2) donde: F a resultante de las fuerzas que actan sobre el cuerpo aceleracin del cuerpo Por lo tanto la 2d ley de Newton puede expresarse tambin como: La resultante de las fuerzas que actan sobre un cuerpo es igual a la masa del cuerpo multiplicada por su aceleracin. 4 k-o- - - - - - - - - - 15. Es importante anotar que la 1 a 15 s, en la determinacin de la magnitud de ondas de cuerpo, y en estos casos la magnitud as determinada se denomina mB. En los sismos superficiales el sismograma generalmente presenta trenes de ondas d superficie por lo tanto es prctica comn utilizar la amplitud mxima dentro del tren de ondas superficiales. La magnitud calculada de esta manera se llama magnitud de ondas de superficie CM.). Existen correlaciones locales que permiten convertir la magnitud de una escala a la otra, las cuales provienen de aquellos casos en que es posible definir las dos, debido a que se presentan ondas de superficie en el sismograma. En general los valores de ITIb obtenidos para el mismo sismo son menores que los valores de Ms- Existen adems otras definiciones de magnitud, como puede ser ta magnitud de momento ssmico (Mw) la cual se evala utilizando el momento ssmico que se calcula multiplicando la rigidez de la roca por el rea de fallamiento y por el desplazamiento en la falla, lo cual tiene unidades de momento (fuerza por distancia). La energa liberada por el sismo se ha correlacionado con la magnitud por medio de la. siguiente ecuacin: loglO E =4.8 + 105M s (4-1) con la energa E expresada en joules. Esto indica que por cada cambio de una unidad en la magnitud 12. energa liberada aumenta en 101 5 = 32 joules por lo tanto un sismo de magnitud 8 libera aproximadamente 32 veces la energa de un sismo de magnitud 7. Desde el punto de vista de los efectos del sismo en las estructuras, se considera que una magnitud 5 es el lmite inferior de los sismos que causan daos. 70 ------------~--- ~--...__.- - - - - - - - - - 58. f (. ! t t I l I iI I I, I l -r ,>/81110S. S/SIlIOgrlI11lU.'; .tJ aceleroqra 4.5.3 Magnitud de algunos sismos importantes A continuacin se relacionan las caractersticas de algunos sismos importantes en el mundo y en Colombia, para los cuales hay un clculo de la magnitud. Tabla 4-1- Magnitud y vctimas de algunos sismos importantes en el mundo Ao Mes Da Localizacin Magnitud Muertos 1906 Ene 31 Costa Pacfica de Colombia cerca a Tumaco m= 8.9 ~OO 190G Mar 16 Kag, Formosa M,= 7.1 1300 1!.)06 Abr 18 San Francisco, USA. M,=8.2 700 1906 Ago 17 Valparaiso. Chile M,= 8.6 2O000 1908 Die 28 Messna Italia M,= 7.5 120000 1920 Die 16 Kansu, China M,= 8.5 180 000 1922 Nov 11 .xtacama. Per M,=8A 600 1923 Sep J kwanto, Japn M,= 8.2 143000 1927 lay n "Jan Chan. China M,= 8,3 200000 1935 May 30 Quetta. Pakistn M,= 7.5 30000 E)3~) Ene -l Chilln. Chile M,= 7.7 30000 1939 Die 26 Frztncan. Turqua M,= 7.9 30000 19-16 NO 10 Ancash, Per M,= 73 1 -lOO 19-19 go :) .xmbato, Ecuador M,= 6.8 6000 1057 Jul 28 lxico M,= 7.8 S5 19CiO Feb 29 Agadr. Marruecos M,= 5.9 1-4 000 1960 llay 21 Sur de Chile M,= 8.5 5700 196-4 Mar 28 Alaska, US.- M,= 8.6 131 19G~ un 16 Ngata, Japn M,= 7A 36 1965 Mar 28 Valparaiso. Chile M,= 7.5 (-i00 1970 May 31 Per M,= 7.8 66000 1971 Feb ) San Fernando. California. lISA M,= 6.5 65 1972 Die 23 Managua. Nicaragua M,= 6.2 S (lOO 1976 Feb -4 Guatemala M,= 7.9 22 ooo 1976 .fuI 27 Tangshan, China M,= 7.6 2SO000 1977 Mar -4 Vracea, Rumania M,= 7.2 2 000 1980 Nov 23 Sur de Italia M,= 7.2 3000 1985 Mar 3 Valparalso, Chile M,= 7.8 177 1985 Sep 19 llichoacn. Mxico M,= 7.9 9 SOO 1986 Oct 10 San Salvador. El Salvador M,= S.-l 1 000 1987 Mar 6 Ecuador. frontera con Colombia M,= 7.0 ] 000 1988 Die 7 Spitak..Armenia M,= 7.0 250UO 1989 Ocr 17 Loma Prieta. California. USA M,= 7.0 63 ]990 ju 16 l.uzn. Filipinas M,= 7.8 1 7(10 l~)9~ Ju:J. 28 t.ar.clers. California. Si. M,= /.5 1 199-l Ene 17 Northrdge, California. USA M,= 6.8 60 1995 Ene 17 Kobe, Japn M,= 7.2 5000 Tabla 4-2 - Magnitud y profundidad de algunos sismos colombianos Ao Mes Da Localizacin Magnitud Prof, (km) Muertos 1900 Ene 31 Costa Pacfica cerca a Tumaco m = 8.9 !' -lOO 1907 Feb 9 Huila mb= 6.3 60 98 1907 lul 29 Santander mb= 6.0 160 ; 1979 Nov 23 Quindo. Risaralda y Caldas M,=6A 80 :u 1979 Dic 12 Costa Pacifica cerca a Tumaco M,= 7.8 40 500 1983 Mar 31 Popayn ms > 5.5 12 300 1992 Oct 18 Murind. lmite Antoquia Choc M,= 7.2 15 30 199-l [un 6 Pez, lmite Cauca Huila M,=6A < 20 500-1000 1995 Ene 19 Tauramena. Casanare mb= 6.5 15 10 1995 Feb 8 Calima. Valle mb= 6.-4 90 S 71 59. titunica estructural apticada al dise ssmico 1.6 Intensidad del sismo l.6.1 Escala de intensidades de Mercalti modificada (IMM) La intensidad de un sismo es por otro lado una lTledi9JQtalm~ntesubjeti"a de los efectos que.elsismo causa en un lugar determinado, la cual se realiza por medio de observadores, que se desplazan a ~las--aIfereJlfesionas afectadas por el sismo y all asignan la intensidad para cada sitio, de acuerdo con los efectos observados. Por lo tanto no es una medida nica para un sismo, dado que el efecto producido en diferentes lugares por el mismo sismo es distinto y que en la medida que el lugar se encuentre ms alejado de la zona epicentral menores sern los efectos. La escala ms utilizada en el mbito mundial para describirla es la escala de intensidades de Mercalli modificada (IfHf). En esta escala de acuerdo con los efectos en el sitio se asigna la intensidad dentro de valores que van de uno (I-!Hvf) a doce (XII-MM). Es importante tener en cuenta que los periodistas al reportar los sismos tienden a confundir magnitud con intensidad y es muy claro que se trata de dos medidas totalmente diferentes y que se utilizan para describir efectos totalmente distintos. A continuacin se presenta la escala de intensidades de Mercalli modificada: ESCAIA DE IlT"fENSIDADES DE MERCALLI MODIFICADA Tipos de Mampostera 72 Mampostera tipo A . Buen diseo. ejecucin y morteros. Reforzada. especialmente para cargas laterales y amarrada por medio de acero y concreto. Diseada para cargas laterales. Mampostera tipo B - Buena ejecucin y morteros. Reforzada. pero no diseada especialmente para resistir cargas laterales. Mampostera tipo C . Ejec:ucin y morteros ordinarios. Con buenas trabas en las esquinas de los muros. pero ni diseada ni reforzada para resistir cargas laterales. Mampostera tipo D - Materiales dbiles. como adobe. morteros pobres. bajo nivel de calidad de la mano de obra. Dbil para resistir cargas laterales. 1. DescripcinValor de la Intensidad I No es sentido. II Sentido por personas quietas. en pisos altos o favorablemente localizadas. III Sentido dentro de las edificaciones. Objetos colgantes se balancean. Se siente vibracin similar a la del paso de un camin liviano. Es posible estimar la duracin. Puede no ser reconocido como un .emblor. IV Objetos colgantes se balancean. Se siente vibracin similar a la del paso de un camin pesado. o sensacin de que un objeto pesado est sacudiendo las paredes. Los automviles estacionados se balancean. Las ventanas. platos y puertas vibran produciendo sonido. Los vidrios tintinean. La loza colocada en aparadores se golpetea. En el rango superior de IV. las paredes de madera y sus marcos crujen. V Sentido afuera. es posible estimar la direccin. Se despiertan las personas durmiendo. Los lquidos se mueven y algunos se derraman. Objetos pequeos inestables se desplazan o vuelcan. Las puertas se balancean. abren o cierran. Persianas y cuadros se mueven. Los relojes de pndulo se detienen o cambian de ritmo. VI Sentido por todos. Muchos se asustan y corren hacia afuera. Hay dificultad para caminar. Se rompen ventanas. loza y cristal. Objetos y libros se caen de los aparadores. Los cuadros se caen de las paredes. Los muebles se mueven o vuelcan. Paetes dbiles y mampostera tipo D se agrietan. Campanas pequeas taen (iglesias y escuelas). Los rboles y arbustos se mueven visiblemente. o producen ruido. VIl Dificultad para permanecer parado. Es notado por los conductores de vehculos. Objetos colgantes se mecen. Dao a mampostera tipo D, incluyendo grietas. Chimeneas dbiles se rompen en el punto en que sobresalen del tejado. Caida de paetes. ladrillos sueltos. enchapes en piedra. baldosines. cornisas. parapetos no arriostrados y decoraciones arqutectrucas. Algunas grietas en mampostera tipo C. Ondas en los charcos. el agua se enturbia con barro. Pequeos deslizamentos y hundimientos en los taludes de arena o grava. Las campanas grandes taen. Se daan canales de irrigacin de concreto. 60. I 1t 1 I I I l VIII Se afecta la conduccin de vehculos. Daos a mampostera tipo C. con colapso parcial. Algn dao a mampostera tipo B. ningn dao en mampostera tipo A. Cada del estucado y de algunas paredes de mampostera. Desplazamiento y cada de chimeneas. silos en las fbricas. monumentos. torres. tanques elevados. Casas de madera movidas sobre sus cimientos cuando no estn ancladas a ellos. paneles sueltos de las paredes caen hacia afuera. Pilotes de madera en mal estado se parten. Se caen ramas de los rboles. Cambios en el flujo y temperatura de fuentes. aljibes y pozos. Grietas en terrenos hmedos y en taludes inclinados. IX Pnico general. Mampostera tipo D destruida. mampostera tipo C apreciablemente daada. inclusive con colapso total. mampostera tipo B seriamente daada. Dao general a las fundaciones. Casas de madera que no estn ancladas se salen de sus cimientos. y sus marcos se mueven. Daos graves en represas. Rotura de tubos enterrados. Agrietamientos evidentes en el suelo. En zonas aluviales brota arena y barro. aparecen fuentes y se forman crteres de arena. X La gran mayora de las casas de mampostera y madera destruidas. incluyendo sus cimentaciones. Algunas estructuras y puentes de madera bien construidos destruidos. Daos graves a presas. diques y terraplenes. Deslizamientos grandes. El agua se sale en las orillas de canales. ros. lagos. etc. Arena y barro se mueve horizontalmente en las playas y en terreno plano. Los rieles de ferrocarril alcanzan a doblarse algo. XI Los rieles de ferrocarril se doblan totalmente. Tuberas enterradas totalmente fuera de servicio. XII Destruccin casi total. Grandes masas de roca desplazadas Las lneas de visin y nivel distorsionadas durante el movimiento, Se presentan objetos lanzados al aire. Es importante anotar que las prcticas constructivas locales afectan la manera como se asignan las intensidades, por esta razn muchos pases han desarrollado sus propias escalas de intensidad. Otro aspecto est asociado con la influencia que tiene la frecuencia con que ocurran sismos dainos, pues entre ms infrecuentes hay tendencia, por parte de los observadores locales, a asignar intensidades mayores, y entre ms frecuentes, menores. 4.6.2 Mapas de isosistas Una vez se ha determinado la intensidad en diferentes lugares, es posible definir un mapa de isosistas en el cual se dibujan contornos de reas afectadas por la misma intensidad. Rutinariamente estos mapas se evalan con posterioridad a la ocurrencia de sismos importantes. A modo de ejemplo, en la Figura 4-6 se presenta el mapa de isosistas del sismo de Murind, del 18 de Octubre de 1992, el cual tuvo una magnitud Ms = 7.2 Yuna profundidad de 15 km [Martnez, et al., 1994J. GA SAN J SE DEL GU Figura 4-6 - Mapa de isosistas del sismo del 18 de Octubre de 1992 L _ 61. lill1llica estructuren apllcauu (/1 {(I.",.:trv ..".:>"", " L7 Tectnica y sismicidad colombiana 1.7.1 Emplazamiento tectnico El emplazamiento tectnico de Colombia es complejo pues en su territorio convergen la placa de Nazca, la placa Suramericana y la placa Caribe, como se ve en la Figura -1-1. El lmite entre las placas Suramericana y Caribe est an indefinido. La geologa estructural del pas ha sido estudiada con diferentes grados de detalle. En general los sistemas principales de fallamento han sido identificados gracias a estudios mineros y de exploracin petrolera. Adems se han realizado exploraciones geolgicas detalladas para los grandes proyectos hidroelctricos. Tambin existen numerosos trabajos sobre tectnica colombiana realizados por el Ingeominas. 4. 8 10 6 12 -68 LET/e/A -70-72 PERU -74 AR CARI8E z o I -so I i I SAN ANDRES ISu.! j OCEANO I PACIFICO! '--- --L ---'- ..L.... -'- ..L.... _ _=~'=:::_---'--------'-4 f---+--+-------+----+-----+--+--+-----+-+---+------1-2 falla El fallamiento predominante en el pas tiene direccin norte sur, coincidiendo con la direccin de las tres cordilleras. El principal accidente sismorectnco es la zona de subduccion en el Ocano Pacfico. Es causada por el doblamiento de la placa de Nazca f------'------J'-t-+----t'="="r~-_+-----+-----+----+------1 o Figura 4-7 - Principales sistemas de fallamiento en Colombia 74 4.7.2 Sistemas de fallamiento 62. 1 cuando subduce bajo la placa Suramericana. Hay evidencia de su existencia en la costa colombiana del Pacifico desde los 8 de latitud norte hasta un punto al sur de la lnea ecuatorial. Su capacidad de producir sismos extremadamente fuertes ha sido conocida de tiempo atrs. El sismo del 12 de Diciembre de 1979 definitivamente fue producido por ella. Con base en la graficacin de los eventos ssmicos en cortes EV en la zona, es posible establecer que se desarrolla una zona de Benioff(la zona de Benioff es el plano que conforman los hpocentros de estos eventos) con actividad variable y con capacidad de producir sismos hasta profundidades de 120 a 130 km. Adems de la zona de subduccin existen en el territorio nacional un gran nmero de fallas geolgicas ssmcamente activas. En la Figura -1:-7 se muestran los principales sistemas de Iallamento, [Carca, et al., 1996]. 4.7.3 Sismicidad colombiana 1 f t 11 I, El primer evento ssmico en el pas, del cual se tiene registro escrito ocurri en l3GG causando daos graves en las recientemente fundadas ciudades de Popayan y CdU. Existen registros de numerosos sismos histricos desde la colonia y hasta 1922 en que se instal el primer sismgrafo en el pas. Este grupo de sismos del catlogo consiste en 293 eventos. La informacin sobre ellos es de calidad variada, algunos estn muy bien documentados, de otros simplemente se menciona la fecha. En [Ramirez, 1975] se hace una descripcin de ellos. A partir de 1922 se dispone de informacin obtenida instrumentalmente, sobre lo que se denomina sismos instrumentales. Desde 1957 hasta 1992 estuvieron en funcionamiento siete estaciones sismolgicas permanentes en el pas, las cuales fueron operadas por el Instituto Geofsico de los Andes Colombianos, adscrito a la Universidad javeriana de Bogot. A partir de 1993 la R5NC - Red Sismolgica Nacional de Colombia ha sido operada por el Departamento de Geofsica del Ingeominas, existiendo adems el Observatorio Sismolgico del Sur Occidente, operado por la Universidad del Valle en Cali. El sistema de la red sismolgica nacional fue inaugurado en 1993. Actualmente cuenta con veinte estaciones, con capacidad de procesamiento remoto de va satlite. El procesamiento en tiempo real se realiza en la ciudad de Bogot. Hay en operacin en la actualidad ms de ciento cincuenta acelergrafos .autnomos digitales de movimiento fuerte, los cuales cubren la mayora del territorio naconal. Las fechas presentadas en la Tabla -1:-3, son importantes para efectos de la hsrora ssmica del pas: Tabla 4-3 - Fechas importantes en la sismologa colombiana Ao Evento b66 Primer sismo del uue se tiene rezstro escrito 192:! Instalacin de! nrimcr ssmzrafo en el oas 1957 Red sufcentement densa nara ooder calcular profundidad 19!13 Entra en operacin la red sismolgica nacional 75 Durante 1969 Y 1970 se form el primer catlogo de sismos colombianos en la Universidad de los Andes en Bogot bajo la direccin del Profesor Alberto Sarria. En 1979 Interconexin Elctrica S.A., ISA, auspici la formacin de un catlogo ms completo, en el cual se procesaron la gran mayora de los sismogramas existentes. Este trabajo fue realizado por el Profesor Sarria en asocio con el Instituto Geofsico de los Andes. Este catlogo contenia 3886 eventos entre histricos e instrumentales. En 1982 se realiz una nueva actualizacin del catlogo dentro del proyecto SISRA del Centro Regional de Sismologa para Amrica del Sur, CERESIS. Esta actualizacin llev el nmero de eventos procesados a -4 78-4. En 1~)88 Interconexin Elctrica S. A., IS-', realiz una nueva actualizacin, con la cual el nmero de eventos lleg a ;) ,")37. Actualmente este catlogo se ampla da a da con los datos de la red simolgica. t I 1-._------------------ 63. )inmica estructural aplicada al diseno sismico 4.( P .1 ,~ 10 12 BR SIL 10-12-74-16 oo 18-82 '--_ _--L ---L_ _._..l-_ _-----' -L_ _=~=--L---------'-4 5AHANORES 21 o l o _"'UAS_ 'ARCODEOABS6tI 2SAHlA801AN" I------+----j----+-----.,f------j------j ~::~~ 14 'BOCOHO 'SOLNAR 7B~AtlARTA-NOtlrE I-B HGA-$TAMARTA-SUJI o o 1) o o o Figura 4--8- LocalizacIn epicentral de los sismos con M, ~ 4 (1566-1995) Para la elaboracin de los mapas de amenaza ssmica de la nueva versin de la Normas Sismo Resistentes Colombianas, NSR-98, [AIS, 1998], se actualiz nuevamente el catlogo, utilizando informacin de los catlogos anteriores, adems de nuevos datos suministrados por la Red Sismolgica Nacional, el Observatorio Sismolgico del Sur Occidente de la Universidad del Valle, y el Instituto de Geofsica de la Universidad Iaveriana. Contiene 11 088 eventos, [Carca et al., 1996J. A continuacin se dan algunas estadsticas de este catlogo. Tabla 4--4- Caractersticas del catlogo ssmico colombiano Caractersticas N' Sismos Contenido total de eventos (1566-1995) 11088 Sismos no instrumentales (1566-1922) 293 Sismos instrumentales (1922-1995) 10796 Sismos de 1957 a 1995 10 546 Sismos de 1957 a 1995 con M, > 3.00 3255 Sismos de 1957 a 1995 con M, > -LOO 1 18j En la Figura 4-8 se dibujaron los epicentros de todos los sismos con magnitud M, mayor que cuatro del catlogo anterior. Adems se dibujaron los alineamientos de los 32 sistemas de fallamiento principales del pas. Es notorio que los accidentes tectnicos ms importantes del pas, por el nmero de sismos generados, son la Lona de subduccin en la costa del Pacfico, el nido de Bucaramanga, donde se presentan gran 76 64. subduccin en la costa del Pacifico, el nido de Bucaramanga, donde se presenta gran cantidad de sismos en la misma localizacin y a la misma profundidad, la zona del antiguo departamento de Caldas, y el sistema de fallas frontal de la Cordillera Oriental, e! cual recorre todo e! pedemonte de los Llanos Orientales. 4.8 Aceleroqramas 4.8.1 Aceleroqratos de movimiento fuerte Para efectos de ingeniera la informacin producida por los sismogramas tiene poco inters fuera de su utilizacin en estudios de amenaza ssmica, pues permiten definir la localizacin y magnitud de los eventos ssmicos que se incluyen en los catlogos. Por est razn se desarroll otro tipo de instrumentos llamados acelergrafos de movimiento fuerte, como el mostrado en la Figura -!-9(a). Existen diversas clases de ellos. Hay instalados en el mundo una gran cantidad del tipo mostrado en la Figura -!-9(a), el cual registra sobre papel fotogrfico. Recientemente se han popularizado instrumentos que registran digitalmente la seal recibida, como el mostrado en la Figura -!-9(b). r 1 ! 1 1 I (a) Figura 4--9- Aceleryrafos de mcvimiento fuerte (b) l En general el acelergrafo consta de una serie de componentes dentro de los que se cuentan: un disparador que activa el instrumento al detectar que est ocurriendo un movimiento con aceleraciones mayores de un valor determinado o umbral de disparo, un grupo de tres pndulos que pueden oscilar el' dos direcciones horizontales ortogonales y en direccin vertical. un medio de registro de las oscilaciones de los pndulos, ya sea fotogrfico o digital y por ltimo un reloj que marca de una manera precisa el tiempo que transcurre durante el registro de la seal. A diferencia de los sismgrafos, los acelergrafos estn diseados para registrar aceleraciones muy altas. Por esta razn son los instrumentos adecuados para registrar las aceleraciones del terreno durante la ocurrencia de un sismo fuerte. 4.8.2 Registros aceleroqrficos El registro obtenido por el acelergraf'o se denomina aceleroqrama y corresponde a los valores de aceleracin horizontal del terreno medidos en dos direcciones horizontales ortogonales y los valores de la aceleracin vertical. El acelerograma se digitaliza cuando se registra en papel fotogrfico y se corrige para una serie de errores producidos por la misma digitalizacin as como para tener en cuenta el hecho de que se pierde parte de la informacin inicial mientras e! mecanismo de disparo de! acelergraf'o activa su 77 65. Dinmica estructural aplicada al atseno SISrt/U;u funcionamiento. En [Hudson, 1979] correccin. se describen en detalle estos procesos de OAg Temblor del Imperial Va/ley, cal. - Registro "El Centro" - Mayo 18140- Comp. SOOE ~'~"!fI"" """". ...."'..,.... ..., ''''1 r'l' rr~. .~. .(lAg OAg ~ blor de Loma Prieta, cal. - Registro "Corralllos" - Octubre 17189- Comp. N-S Acel. mx. del terreno = 0.348g Acel. mx. del terreno = 0.316g Acel. mx. del terreno = O.~ < s, Acel. mx. dellerreno = 0.363g 0.4g fTemblor de Chle - Regist~.~~i;~j;Mar" - Marzo 3185- Comp. N-S "~!~W~~~~A(fII#o.W.NAP,/'l~P'/'1i'lPtV~I/l{l~of'IirtI,Irv.,""'Il""""~"''fl/''M __""""",-----~---------- .(l.4g _ 4g Temblor de Mlyag~Ken-Old, Japn - Registro "Toho/CUUniverslty, Sendai" - Junio 12/78 - Comp. N-S u. r f:4~f~~i~.(l.4g Ace/. mlX. del terreno =: O.263g AceL mx. del terrenD = U.171g o 4g ( Temblor de Mxico Registro "Sen - secretaria de Transporte" 5ep'~9/85 :om;.E~W r, A. .., l ~~ o~VVV-~VV 4~, T~~W O 5 ro 0 ro _ ~ ~ e G ~ 55 60 65 70 75 ...... 80 Figura 4-10 - ."celerogramas de algunos sismos importantes En la Figura 4-10 se muestran los acelerogramas de seis sismos importantes, cuya descripcin es la siguiente: El Centro - Corresponde a la componente N-S del registro tomado en El Centro, California, del temblor del Imperial Valley, de Mayo 18 de 1940. Tiene una aceleracin horizontal mxima del :H.8% de la gravedad. Fue por muchos aos el registro acelerogrfico ms fuerte, tomado cerca de la falla que lo caus, de que se dispona en el mundo. Est registrado en un sitio donde hay cerca de 300 m de aluvin denso entre la superficie del suelo y la roca. Castaic - Componente N21E del registro tomado en Castaic Old Ridge Route, del temblor de San Fernando, California, del 9 de Febrero de 1971. Tiene una aceleracin horizontal mxima del 31.6% de la gravedad. Corralitos - Registro tomado en Corralitos, localizado en el Eureka Canyon, del temblor de Loma Prieta, California, del 17 de Octubre de 1989. Tiene una aceleracin horizontal mxima del 62.9% de la gravedad. Via del Mar - Registro tomado en Via del Mar del temblor de Chile de Marzo 3 de 1985. Tiene una aceleracin horizontal mxima del 36.3% de la gravedad. Corresponde e un registro tpico de la zona de subduccin de la costa del Pacfico de Suramrica. Miyagi - Registro tomado en Sendai, Japn, del sismo de Miyagi-Ken-Oki, Japn, del 12 de Junio de 1978. Tiene una aceleracin horizontal mxima del 26.3% de la gravedad. Mxico - Registro tomado en la Secretara de Transporte de la ciudad de Mxico D. F., del temblor de Mxico del 19 de Septiembre de 108:1. El temblor se origin en el Ocano Pacfico cerca al estado de Michoacn, a ms de 400 km de distancia de la Ciudad de 78 66. ,:s 8 ""s::: EV"J cs'Sl:~ ~(:J en un estudio de ~~ '- s:::..l:le "':se al:>. ~'" . ti~ ""E:: amenaza sismica 1:>. "'-l 1~~i7 /""-"" 1 .F " 1"::9 Al/TU [ ~7 .PASTO (~ -1 IIfOCOA ...... Id~V cy ~ "' ' CD .,- I "---~ r--~ 1 Lil'1f1LETlCIA 3 4 5 6 o 2 9 7 8 -5 -80 -79 -78 -77 -76 -75 -74 -73 -72 -71 -4 -3 -2 -80 -79 -78 -77 -76 -75 -74 -73 -72 -71 13 12 11 10 Figura 4-25 - Mapa de valores de Aa El mapa de la Figura 4-25 corresponde a los valores de la aceleracin horizontal mxima del terreno, la cual se ha denominado en las normas sismo resistentes Aa, Y es equivalente al valor de Ate de los sismos de diseo esperados en todo el territorio nacional. Estos valores, de acuerdo con la definicin dada por las normas sismo resistentes, tienen una probabilidad de excedencia de tan solo el 10% en un lapso de 50 aos, lo cual corresponde a un perodo de retorno promedio de 475 aos. No sobra insistir aqu, que estos valores corresponden a aceleraciones en la roca, sin que se haya incluido el efecto local de amplificacin de las ondas causada por el suelo subyacente. 94 82. -80 -79 78 -77 -76 -75 -74 -73 -72 -71 -70 -69 -68 -67 -66 13 13 0.07 0.03 0.04 0.J5 0.06 Ad 0.005 0.01 0.02 lI P~ARREO j 4 5 8 6 7 I 1--- -3 -4 I -5 -69 -68 -67 -66 ~LETIC'A ARAUCA L -5 L.-_--l-_--L_ _L-_--'-_----l_ _.L.-_--L_ _"---_--'-_----l_ _.L.-_-"-_ _L.----.l -80 -79 -78 -77 -76 -75 -74 -73 72 -71 -70 V"""-SANTA MARTAr~ RIOHACHA 11 f---+---+--_+-_-BDARRANOU/LLA..... 1- ,-/ CARTA~ENA( "'!> _V:!oUPAR ~~e51NfELEJO /.. 'la. 9~--+---+--+--/- 't: eMO~,A~ ./ ~ Ir'-'- i ~CUCUTA r-, ~~'I(~ v:BUCARAMAJGA I )~ , ~~EDELlN J ~I~J(PJ I ~ ~I ea~'BDo , / TUNJAe V %V 5 f----~-__+____1~'rh) 1I _MANaALES I / ' 7V~AL / ) rr/ :~~~;~ _~!OTA V VL /BAGUE / ~ VIUAVlCENCIO I ))V_CALI If0V I / PUERTOINIRICf) 3 ~/ J NE/VA/,' / lt:.r--r--- ~-V ~..2 1--_+-fr:/j'V/ _POPAYAIN/ / f3 / _SANJDSEDELGUAVIARE V ......, rJl., PASTO ../-FLDQ1NC/A '-=-V / r ( ~ ! ~ - _ MOCOA / ) / ",rru fJ o ~. -1 -2 -3 -4 r J 1 i I 1 I Figura 4-26 - Mapa de valores de A.i El mapa de la Figura 4-26 corresponde a los valores de la aceleracin horizontal mxima del terreno, Ad equivalente a un valor de Ate que tienen una probabilidad de excedencia de 80% en un lapso de J5 aos, lo cual conduce a un perodo de retorno promedio de 10 aos. Estos movimientos ssmicos se utilizan para verificar el Estado Lmite de Servicio de la estructura. para lo que se ha denominado el Umbral de Dao, o sea el punto a partir del cual puede presentarse dao en los elementos estructurales y no estructurales de la edificacin. 95 83. -.10 Prediccin de sismos La pregunta acerca de s se pueden predecir los sismos se presenta con mucha frecuencia, por esta razn se ha incluido esta Seccin donde se presentan algunos comentarios al respecto. Quien desee profundizar sobre el tema, debe consultar las referencias [Bolt, 1989, 1993a, y 1993bj, [Sarria, 1995a], [Olson, Podesta y Niqq, 19891, Y [Lomnitz, 1994]. Una prediccin ssmica, para que cumpla su cometido, debe indicar cundo, en qu lugar y de qu tamao es el sismo que va a ocurrir. Con respecto a la prediccin en el tiempo, se distingue entre predicciones: a largo plazo, cuando se realiza con aos de anticipacin; de plazo intermedio, cuando se realiza con semanas de anticipacin; y a corto plazo, cuando se hace con horas o das de anticipacin. Desafortunadamente, en el estado del arte actu.al de la ingeniera ssmica, esta pregunta no se puede responder adecuadamente. Dentro de la comunidad cientfica la prediccin ssmica no tiene la mejor de las reputaciones. Existen numerosos casos en los cuales se han pronosticado eventos que no ocurrieron, produciendo graves consecuencias socioeconmicas, [Olson, Podesta y Nigg, 19891. As mismo existen algunos casos especiales en los cuales se han realizado predicciones exitosas, [Lomnitz, 1994]. Desde tiempo ancestral, la humanidad ha tratado de pronosticar la ocurrencia de sismos. Existen numerosos prejuicios populares respecto a que cierto tipo de tiempo, en trminos meteorolgicos, precede la ocurrencia de sismos; o que ciertos cambios en el comportamiento de los animales tambin estn asociados con la ocurrencia de sismos fuertes. A pesar de que hace algunos aos se nvrtieron fondos y tiempo de cientficos serios en la exploracin de este tipo de correlaciones, especialmente en China, los resultados fueron totalmente nconcluyentes y se demostr que la probabilidad de realizar una prediccin seria con base en este tipo de informacin no era mayor que la que se obtenia de hacer predicciones totalmente al azar. En algunos casos, cientficos serios han desarrollado teoras respecto a la correlacin de ciertos hechos con la ocurrencia de sismos fuertes. Dentro de estas han sido populares, tan solo por un corto tiempo: una aparecida en la dcada de 1950, basada en la atraccin gravracional del planeta Urano, otra aparecida a mediados de la dcada de 1970 asignaba la ocurrencia al alineamiento de los planetas del sistema solar, solo pof mencionar algunas de estas teoras, En 1976 das cientficos del USGS (Servicio Geolgico de los Estados Unidos) predijeron que un sismo de magnitud 8.-t ocurrira en la costa peruana en las cercanias de Lima a finales de Julio de 1981. Esta prediccin, se hizo pblica tanto en los Estados Unidos como en el Per, donde fue tomada seriamente, dadas las calificaciones de los cientficos que la realizaron. La fecha indicada pas sin que ocurriera ningn sismo, no obstante hubo graves consecuencias socoeconmcas producidas por el temor de la poblacin a medida que se acercaba la fecha de la prediccin. En [Olson, Podesta y Nigg, 1989] se hace una descripcin detallada de este proceso de prediccin y sus consecuencias. En el ambiente cientfico formal moderno, la prediccin se soporta principalmente en el. estudio de los procesos tectnicos que estn ocurriendo, de los movrnentos de la corteza, de los precursores y rplicas de eventos importantes, de los patrones de energa liberada a travs de sismos, de cambios en los patrones de velocidad de las ondas ssmicas, del aumento del contenido de gas radn en las aguas subterrneas, del cambio en les niveles de los pozos, y otros. Tanto China como Japn, tienen programas formales de prediccin ssmica, y otros pases de manera un poco ms incipiente. En el caso de China, el 4 de Febrero de 1974 se dio el anuncio de un sismo inminente que debera ocurrir en las prximas 24 horas. La ciudad de Haicheng fue evacuada y efectivamente un sismo de gran intensidad ocurri en las horas de la tarde del mismo da. No obstante, en China y otros pases, se han hecho predicciones de sismos que no ocurrieron en realidad y tambin han ocurrido sismos importantes sin que se haya hecho ninguna prediccin al respecto, causando numerosas ictimas. 96 -L 84. Inica eSCrllC1UnU UjJll.2 Obtencin del espectro de respuesta 85. / I f 1 Capitulo 6 SstenUlS tnetaseo de un grado de libertad 6.1 Introduccin El limitar el estudio de la dinmica estructural a sistemas linealmente elsticos reducira su rango de aplicacin enormemente; pues la gran mayora de los materiales estructurales muestran dentro del rango de esfuerzos utilizados en la prctica, en alguna medida, caractersticas inelstcas. Mas an, algunos materiales como el concreto son inelsticos en casi todo el rango til de esfuerzos. Adems, en la respuesta de estructuras sometidas a los efectos de sismos fuertes, muy seguramente stas actuarn ms all del rango elstico: permitiendo que parte de la energa que impone el movimiento ssmico se pierda como energa disipada; reduciendo la energa que se convierte en energa cintica; y disminuyendo las fuerzas inerciales a que se ve sometida la estructura. En principio, en el anlisis de la respuesta dinmica de una estructura, hay necesidad de disponer de una relacin fuerza-desplazamiento que describa lo que ocurre en ia estructura, para cualquier nivel de desplazamiento y a cualquier velocidad de deformacin, durante una serie de solicitaciones alternantes. La formulacin de un modelo matemtico que permita estudiar la respuesta inelstica de sistemas dinmicos, depende fundamentalmente de cmo acta cada material estructural en particular. Un aspecto importante en la capacidad de un material de responder dinmicamente en el rango inelstico est asociado con la ausencia de modos frgiles de falla. Cuando se presenta una falla frgil, se viola la premisa bsica de que el sistema estructural sobreviva la excitacin dinmica. Por esta razn se buscan maneras de disponer y disear los materiales estructurales para que respondan dinmicamente en el rango Inelsrico, sin prdida grave de la resistencia y estabilidad del sistema estructural. Esta particularidad de los materiales de resistir deformaciones en el rango inelstico sin falla, se ha enmarcado dentro de trminos tales como ductilidad y tenacidad. Por lo tanto es deseable que los materiales estructurales se diseen y detallen de tal manera que tengan una ductilidad y tenacidad apropiada, con el fin de que puedan tener respuestas dinmicas inelstcas adecuadas. Desafortunadamente, no existe una manera nica de describir, a diferencia de los sistemas elsticos, el comportamiento inelstico de todos los materiales estructurales. Por esta razn hay modelos matemticos apropiados para cada uno de ellos, y en algunos casos para algunos tipos particulares de elementos estructurales construidos con uno de los materiales. - continuacin se discute, de una manera resumida, el comportamiento en el rango inelstico de varios materiales estructurales, y de elementos construidos con ellos, para poder formular modelos matemticos que lo describan analticamente. Posteriormente, se tratar de una manera ms detallada el comportamiento estructural inelstico del concreto, el acero estructural y la mampostera. respectvamenre. 117 86. Dinmica estructural (IpIC(I(( (ti (lIsellu :>1:>/lU'" 6.2 Respuesta histertica 6.2.1 Materiales y elementos estructurales elsticos e inelsticos Desde el punto de vista tcnico IPopov, 1968], la elasticidad de un material se define como la capacidad de ste de volver a sus dimensiones originales, despus de que se haya retirado una fuerza impuesta, recobrando totalmente la forma que tenia antes de imponer la fuerza. Por lo tanto, el comportamiento elstico implica la ausencia de cualquier deformacin permanente debido a que se haya aplicado y retirado la fuerza. Algunos materiales exhiben una relacin esencialmente lineal entre esfuerzos y deformaciones, como muestra la Figura 6-l(a), y se denominan materiales lineaunente elsticos. Otros materiales muestran alguna curvatura en sus relaciones esfuerzo- deformacin, como se muestra en la Figura 6-1(b); y se denominan materiales no linealmente elsticos. En ambos casos la curva de carga y de descarga es la misma. Un tercer caso es el materia in elstico, en el cual la descarga no ocurre siguiendo la misma trayectoria de la carga y se presenta deformacin permanente, como muestra la Figura G-I{c). I deformacin unitaria deformacin permanente tesfuerzo deformacin unitaria tesfuelZo II deformacin unitaria esfuerzo (a) (b) (c) Figura 6-1 - Material: (a) linealmente elstico, (b) no linealmentt:! elstico, y (e) inelstico Esta distincin entre materiales elsticos e inelsticos es algo ambigua; debido a que prcticamente todos los materiales presentan las dos caractersticas cuando se observan las relaciones esfuerzo-deformacin en todo el rango de esfuerzos posibles, hasta llevarlos a la falla. En general la clasificacin anterior hace referencia al comportamiento del material en el rango inicial de carga, cuando los esfuerzos y las deformaciones son pequeas. r, esfuerzo deformacin unitaria zona de endurecimiento por deformacin I resistencia a la f1uencia I Es' elongacin mXima/: 1 Vdeformacin de f1uencia I , ~ Figura 6-2(a) - Curva esfuerzo-deformacin del acero de refuerzo 118 87. Figura 6-2(b) - Curva esfuerzo-deformacin del concreto no confinado 0.0050.0040.0030.002 E, deformacin unitoria 0.001 ~ mdulo tangente inicial Etan mdulo tangente al 20% de la resistencia mxima 1 - E 1 1 lEc mdulo secante al 45% de la resistencia mxima O.20fc O.45fc t;, esfuerzo El rea bajo la curva esfuerzo-deformacin de cualquier material que se lleva hasta la faiia, es una medida de la capacidad del material para absorber energa por unidad de volumen, y se denomina tenacidad del material (toughness, en ingls). Entre mayor sea el rea bajo la curva, el material tiene mayor tenacidad. Los materiales inelsticos muestran caractersticas especiales cuando la carga no se aumenta monotonicamente hasta la falla. Se entiende por ensayo monotnico aquel en que se carga el material sin que haya inversin en el sentido de las fuerzas aplicadas. En la Figura 6-2(a) se muestra la curva esfuerzo-deformacin para el acero de refuerzo y en la Figura 6-2(b) la del concreto no confinado. All puede verse que el acero es linealmente elstico hasta que llega al punto de fluenca, mientras que el concreto no es propiamente linealmente elstico en ningn momento. En la Figura 6-3, basada en [Popov, 1968], se muestra un material que fue cargado desde O hasta el punto A; luego fue descargado, y tom la rrayectoria AB. Tanto en la parte inicial de la carga como en la descarga, el material tuvo una respuesta esencialmente elstica con el mdulo de elasticidad inicial del material. A pesar de esto, debido a que entr en el rango inelstico antes de llegar al punto A, se presenta una deformacin permanente, Adems, la energa de deformacin que haba acumulado hasta el punto A, no fue liberada totalmente en la descarga; por lo tanto, el material disip la energa correspondiente al rea sombreada, tal como se explic en la Seccin 1.7.4. En el rango Inelstco, slo una parte pequea de la energa absorbida por el material se recupera al descargarlo. En la Figura 6-3 puede observarse que al cargar nuevamente el material a partir del punto B; ste se comporta como un material elstico, hasta que encuentra la curva original en el punto C; y que al seguirlo cargando sigue la curva original. Si en el punto O se retira nuevamente la carga, el material llega al punto E de cero esfuerzo aplicado. Cargndolo nuevamente en el sentido contrario a partir del punto E, desde F el material comienza a comportarse inelsticamente. Vale la pena anotar que el esfuerzo fh en el punto f es menor que el que tuvo al descargarlo, fa, en el punto D. Esto se conoce como efecto de Bauschinqer, quien fue el primero en observarlo, y por esto lleva su nombre. 1l!J 88. IJillll1ll(l l'strllctllra( (lj>IIC(I(L(l (11 lU"Wllv .:>tJ""~v ------------------- deformacin unitaria Figura 6-3 - Efecto de carga y descarga, con inversin del sentido de la fuerza Cuando al material se le imponen una serie de ciclos de carga, descarga, y carga en el sentido opuesto; en los cuales los esfuerzos sobrepasan el lmite elstico del material, se obtiene el comportamiento que se mostr en la Figura 1-8. Este comportamiento se conoce con el nombre de respuesta histertca. Tal como se indic en la Seccin 1.7A, la histeresis es un fenmeno por medio del cual dos, o ms, propiedades fsicas se relacionan de una manera que depende de la historia de su comportamiento previo. Por lo tanto, hace referencia al comportamiento de los materiales estructurales cuando se ven sometidos a deformaciones o esfuerzos alternantes que estn fuera del rango de respuesta lineal, o elstica, ante una solicitacin; ya sea de fuerza o de deformacin impuesta. Una gran parte de la energa que es capaz de disipar el material estructural en el rango nelstco de respuesta se asocia con el rea comprendida dentro de los ciclos de histresis. Desde el punto de vista del elemento estructural construido con un material elstico, o inelstco, es conveniente ver cmo se manifiesta la inelasticidad en comparacin con el elemento construido con un material elstico. Vale la pena, en este momento, repasar el proceso matemtico que se emplea para determinar la lnea elstica, o curva de deflexiones de una barra prismtica, sometida a flexin transversal en su seccin. Con base en la teora matemtica de la elasticidad (Timoshenko y Younq, 1962] es posible demostrar que la siguiente ecuacin diferencial describe la lnea elstica y =f{x) del elemento estructural: 1I i I I (6-1) Donde y corresponde a la deflexin transversal de la lnea elstica, x es la variable que describe la posicin a lo largo del eje longitudinal del elemento, E es el mdulo de elasticidad del material, 1 el momento de inercia de la seccin, y p(x) es la funcin que describe las cargas transversales al eje del elemento. La solucin de esta ecuacin diferencial se obtiene integrando cuatro veces y resolviendo las constantes de integracin por medio de las condiciones de apoyo. La Tabla 6-1 muestra este proceso de una manera esquemtica. La relacin de momento-curvatura (M-cj, mostrada en la etapa (d) de la Tabla 6-1, supone que las deformaciones son linealmente proporcionales a los esfuerzos, a travs de la rigidez, El, de la seccin del elemento. Por lo tanto, la ecuacin es vlida para 120 89. -- elementos cuyo material no llega a esfuerzos que superen el lmite elstico, o sea materiales linealmente elsticos. Tabla 6-1 - De carga a deflexin (a) p(x) p(x) Carga PJIJJJ=Q (b) V(x) =rp(x)dx V(x) Cortante J JIDrrrm.~ (c) M(x) =fV(x)dx M(x) Momento ~ ep(x) (d) q>(x) = M(x) ~Curvatura El 8(x) (e) 9(x) =fq>(x)dx ~'%1illRotacin (f) S(x) =f9(x)dx ~Deflexin Cuando el elemento estructural responde inelsticamente, conociendo t,: rclacin momento curvatura, es posible llegar a determinar las deflexiciD,c,liz, Ido el proceso de integracin, probablemente utilizando tcnicas matemticas algo ms elaboradas. A modo ilustrativo, en la Figura 6-4 se presenta la relacin omento- curvatura (M-$) de la seccin de una viga de concreto reforzado, que S carga monotnicamente a flexin. All es importante anotar, que la seccin se comporta de una manera linealmente elstica hasta el punto en el cual se fisura el concreto en tensin en la parte inferior de la viga. Este punto se denomina punto de agrietamiento, y le corresponden un momento de agrietamiento, Me.. una curvatura de agrietamiento, q>cn y la rigidez hasta este punto se puede describir por medio de EIg, donde Ig es la inercia de la seccin no fsurada. En la medida que se aumenta el momento se incrementa la fisuracin en la parte inferior de la viga; el eje neutro de la seccin sube; y los esfuerzos, tanto en el concreto como en el acero, se incrementan. En el momento en que el acero de refuerzo llega a su resistencia de fluenca fy (vase la Figura 6-2a), hay un cambio en el comportamiento de la seccin, que es consecuencia del cambio en el comportamiento del acero. All es posible definir un momento de fluencia, M y, una curvatura de fluencia, Y, y una rigidez, Ele.. que se denomina rigidez fisurada. Esta rigidez, describe aproximadamente el comportamiento de la seccin entre el punto de fisuracin y el de fluencia. A partir de ese punto hay un aumento en la curvatura de la seccin, sin que se presente un mayor aumento en el momento, presentndose disminucin en la rigidez de la seccin. Esta situacin se mantiene hasta el punto en que se empieza a presentar un aumento de la resistencia del acero debida al fenmeno de endurecimiento por deformacin (stran-hardenng en ingls), all puede definirse una curvatura para endurecimiento por deformacin, q>s' La resistencia a momento se incrementa hasta llegar al punto de mxima resistencia del acero, fu, obtenindose as la mxima resistencia de la seccin, M El momento empieza a disminuir en la medida 121 ..~--_ ............_-------------------~. 90. -ininica esrrucr ural aplicada al (//seIlOSISIIIIC(J que la resistencia del acero baja, hasta que ste falla a la tensin. All se obtiene la mxima curvatura en la seccin, 0. M $cr -falla ., JI>~ -~" /- ./1 ~~"--"l~ J/}j J;~ " ' ,.),...,. ' ~,.,- T g, independientemente de la resistencia del sistema Fy ; el desplazamiento mximo inelstico Um, tendera a ser igual al del espectro elstico de desplazamientos, confirmando el principio de desplazamientos iguales. De la discusin anterior sobre la respuesta de sistemas nelsticos, basada en los trabajos de Newmark, es evidente que en la zona del espectro sensitiva a los desplazamientos, o sea la zona de perodos largos, los desplazamientos totales que se obtienen en la respuesta nelstica, son aproximadamente iguales a los que tendra un sistema elstico con la misma rigidez y sometido al mismo acelerograma, En la Figura 6-56, se indica esta caracterstica, la cual se ha denominado tradcionalmente como el principio de las deformaciones iguales [Park y Paulay, 1975], [Paulay y Priestley, 1992]. Este aspecto tiene implicaciones muy importantes en diseo ssmico, dado que una de las verificaciones que deben realizarse consiste en comprobar que las deformaciones de la estructura no sean excesivas, y dado que la estructura en general se sale del rango elstico de respuesta ante la ocurrencia de los movrnentos ssmicos de diseo, estas deformaciones se deben estimar en el rango inelstico de la manera ms precisa posible. Por otro lado si el dao, a elementos estructurales y no estructurales, est asociado con las deformaciones inelsticas que se tengan, la rigidez inicial del sistema y su degradacin son parmetros muy importantes en el buen comportamiento de la estructura {Qi y Moehle, 1991]. 133. Otro aspecto muy importante encontrado en estos estudios consisti en identificar que bajo ciertas condiciones del perodo de la estructura y su ressrenca en la base, para perodos iniciales del sistema T < Tg, tambin las deformaciones inelsticas se mantenan iguales o menores que las elsticas. La condicin anterior fue formulada por Shimazaki y Sozen de la siguiente manera para sistemas estructurales cuya respuesta histertica es similar a la de elementos de concreto reforzado: Shimazaki y Sozen explican cualitativamente este fenmeno indicando que la energa que entra al sistema se mantiene constante cuando el sistema tiene un perodo de vibracin inicial mayor que Tg, pues la degradacin de la rigidez alarga este perodo y entonces no se presenta un aumento en la energa que entra al sistema y no la hay suficiente para producir un aumento de la deformacin inelstica. Por otro lado, si el sistema tiene un perodo de vibracin T < Tg, un aumento en el perodo del sistema causado por la degradacin de rigidez, conduce a un aumento de la energa que entra al sistema y entonces se presenta una deformacin inelstica mxima mayor que la mxima elstica. I I RD:::;1.0 es vlida s: RR+RT~ 1.0 donde: (Relacin de desplazamientos) (Relacin de resistencias) (Relacin de perodos) (6-41) (G-42) (6-43) (G-45) I En las relaciones anteriores, T es el perodo inicial del sistema calculado utilizando secciones no fisuradas, Tg es el perodo caracterstico del acelerograma, Fy es la resistencia a la fluencia del sistema y Fe es la respuesta elstica, en trminos de fuerza en el elemento estructural, que se obtendra del espectro de desplazamientos con un amortiguamiento ~ = 2%, para un perodo de vbracon efectivo (Ter = T ..,J2), calculado utilizando unas secciones fisuradas con una rigidez igual a la mitad de la de las secciones no fisuradas. Aunque las expresiones anteriores son una gran ayuda en la determinacin de los desplazamientos inelsticos, su aplicacin es limitada pues no cubre estructuras con perodos cortos o cuya resistencia F, sea baja. Esta situacin fue estudiada posteriormente por Qi y Moehle [Qi y Moehle, 19911, quienes encontraron que en la respuesta inelstca, para periodos del sistema, T, menores que Tg, en esa regin del espectro era aplicable la siguiente relacin entre desplazamientos elsticos, Ue, y desplazamientos inelsticos, 11m: donde: u =u . (~)1.6"m e T J: 165 (6-46) 134. 'IJlLlllUCU (:'~';( I ({Ll UI III ul'" ('-.HU." .H ........." _.~ y F, es la resistencia a la fluencia del elemento estructural del sistema, m es su masa, y Ate es la aceleracin mxima del terreno del registro acelerogrfico. Posteriormente Lepage [Lepage, 1996], demostr que era posible aplicar un procedimiento general que es vlido en todos los casos, aun cuando no se cumple la ecuacin (6-42). Este procedimiento est sustentado en investgaciones analticas, experimentales y en la respuesta de estructuras instrumentadas ante sismos reales. De acuerdo con esta investigacin el mximo desplazamiento nelstco para estructuras con rigidez degradante se puede determinar por medio de: I(6-49) (G-48) (6-47) F o.gT u = a ~.T ro (21t)2 ef F T=-_Y- m A la cual es vlida si se cumple la siguiente relacin: En las ecuaciones anteriores: 11m mximo desplazamiento obtenido en la respuesta Fa coeficiente de amplificacin de la aceleracin en un espectro de aceleraciones (un valor de 3.75 es representativo para sistemas con un coeficiente de amortiguamiento, ~, de 2% del crtico) g aceleracin de la gravedad a. mxima aceleracin del terreno del acelerograma, expresada como una fraccin de la gravedad (a. =Arefg) Tg perodo caracterstico del movimiento ssmico, puede definirse como el perodo en el cual termina la regin de aceleraciones constantes Ter perodo efectivo de vibracin de la estructura, el cual puede calcularse como el perodo de la estructura con secciones fisuradas con una rigidez igual a la mitad de la rigidez de las secciones no fisuradas (Ter=T .>12) C, coeficiente de resistencia en la base (C, =F/W) RT relacin de periodos (RT =TerITg) De esta manera es posible encontrar el desplazamiento mximo para cualquier sistema inelstico con rigidez degradante, con base siempre en un anlisis elstico. La validacin de las relaciones anteriores se realiz [Lepage, 1996] empleando procedimientos analticos para sistemas de uno y varios grados de libertad, elsticos e nelsncos, utilizando movmientos ssmicos con diferentes perodos caractersticos, como se muestra en la Tabla 6-3, y diferentes caractersticas inelsticas, incluyendo relaciones de resistencia, RR, con valores que variaron entre el 6% y el 100%. Los resultados analticos fueron confrontados con ensayos experimentales realizados previamente en mesa vibratoria, los cuales incluyeron 22 ensayos diferentes de sistemas de un grado de libertad cuya respuesta estaba dentro de la zona de aceleraciones aproximadamente constantes (perodos cortos). La media de las relaciones entre los desplazamientos medidos experimentalmente y los estimados analticamente utilizando el procedimiento fueron de 0.72 con una desviacin estndar deO.n. lf;(i 135. Tabla 6-3 - Registros empleados por Lepage Sismo Fecha Registro Compon. Ate Duracin Tg (g) (s) (s)Feb 09,1971 Castaic N21E 0.32 30 0.35 1 Ene01,1994 Tarzana NS 0.99 30 0.44 Mar 03,1985 L1olleo N10E 0.71 75 0.50 Ma 18,1940 El Centro NS 0.35 45 0.55 Ene 17,1995 Kobe NS 0.83 30 0.70 Ju121,1952 Taft N21E 0.16 45 0.72 Abr 13,1949 Seattle S02W 0.07 65 0.89 Jun 12, 1978 Sendai NS 0.26 40 0.95 Ju121,1952 Santa Barbara S48E 0.13 60 1.03 Ma 16,1968 Hachinohe EW 0.19 35 1.14 Para verificar la aplicabilidad de la metodologa a sistemas de varios grados de libertad, se realizaron estudios analticos de estructuras con diferentes alturas y caractersticas, sometidas a movmientos ssmicos de diferentes intensidades y contenidos frecuenciales, para un total de 120 casos. Adems se utilizaron los resultados experimentales de 87 ensayos de estructuras a escala en mesa vibratoria, con alturas entre 3 y 10 pisos, representativas de diferentes sistemas estructurales, incluyendo prticos, prticos combinados con muros, muros acoplados, prticos donde las vigas plastifican primero que las columnas, y prticos donde las columnas plastifican primero que las vigas. Para estos casos la media de las relaciones entre los desplazamientos medidos experimentalmente y los estimados analticamente utilizando el procedimiento fueron d~ 0.80 con una desviacin estndar de 0.13. Por ltimo la metodologa fue confrontada con las mediciones obtenidas en un edificio de 9 pisos localizado en la ciudad de Los Angeles, California, USA, del cual se tienen registros durante los sismos de San Fernando de 1971, de Whittier de 1987 y de Northrdge de 1994. Con respecto a la obtencin del valor de Tg, Shimazaki y Sozen, y Lepage, utilizan un procedimiento algo diferente al empleado por O y Moehle, pero ambos conducen a resultados similares. Ambos procedimientos estn basados en el empleo de espectros de energa. El espectro de energa est relacionado con la mxima energa que le introduce al sistema el sismo, expresada como una velocidad equivalente, dada por: v = J2'EE eq m (6- 50) donde EE est dada por la Ecuacin (2-95), que se reproduce aqu por conveniencia: t EE = -mfXo ' u-dt o (6-51 ) La energa debida a la excitacin, EE, es igual al valor maximo de la suma, evaluada hasta un tiempo t, de la energa cintica, de la energa disipada y de la energa de deformacin. La velocidad equivalente, Veq, corresponde a la mxima velocidad que puede tener el sistema si no se disipara energa a travs del amortiguamiento VISCOSO. Shimazaki y Sozen obtuvieron Tg al dibujar un espectro de la energa suministrada por el sismo en papel tripartita, y tomando el valor mximo, como muestra la. Figura 6-57. Qi Y Moehle lo obtuvieron tambin de un espectro de energa, pero tomndolo como el primer pico significativo del espectro de respuesta de energa, como muestra la Figura 6-58. Como puede verse los dos procedimientos conducen prcticamente a los mismos "alores. En arribos grficos mostrados los espectros de energa se obtuvieron con un amortiguamiento S= 10%. 167 136. lin/nnica estructural apliccuic: (11 diseo SSlIllCO 0.001 0.01 10 Energa JE/m 0.1 (mis) 0.01 r"r "'. r-- h"-...... 600 mIs) 5a7% c. suelo blando (vs < 600 mIs) 7 a 10% 178 I 147. Ejemplo 7-1 se desea o~ltevLer eL espectro de disePLo. para sistevvLas con liVL cogicieltte de m'l'wrtig/.tVLmiento crtico. ~, deL 5%. en 1m Lagar en eL CltuL se ILa estilnado qlte Lu mrixivna aceLeracin deL terreno (Ate) rJLUU Los 111.Ovlnie/1.los ssvnicos de disePLo es de 0.3g. La vlt~lna veLocidad del terreno (Vte) es de 0.20 vn/s 1j eL mriximo despLuzamiel1.to deL terreno (DIe) es de 0.30m. Se desea 11Jt nvel de prokla~JiLidad de 11,0 exceder Las ordenadas esnecnutes deL 84.1 %. EltLa Figara 7-5 se ILal1. dilJlijado en et r1apeL tripartita Los l1tovimientos Inrixivnos deL terre11,0. pura di~Jlijar eL espectro de disePLo en La zona de aceLeracimte~; constuates el valor de Sa se O~Jtl.elte de mltLtipLicur 0.3 g x 2.71 = 0.81 g. Para La zona de veLocidades coastaates eL valor de S, se olJtie/te de )lw,LtipLicar 0.2 mis x 2.30 = 0.46 mis !:j para La Zm1.&1 de despLuzmnieltLos constantes eL valor de Sd se obttene de mltirlLicur 0.3 in x 2.01 = 0.60 m. Elt La zona de rwrodos cortos eL espectro de disei'W se ivLicia con La aceLeracil1. deL terreno Iw.sta 11Jt perodo de 0.03 s (freCltenclA. de 33 HZ) lj IA.LL cmnienzu LIA. tmmid/1. a LIA. zona de aceLemcimtes COltstm'Ltes con La CltaL evnpata a Itn t'Jerodo de 0.125 s (freClte/teia de 8 Hz). 505 100.01 I 0.05 0.50.03 S 0.125 s Periodo T (s) 0.01 0.001 0'005~". 10 0.05 Velocidad 0.1 (mis) 0.5 5 Figura 7-5 - Ejemplo 7-1 - Espectro elstico de diseo de Newmark-Hall para Ate = 0.3 g, Vte = 0.2 mis y D = 0.3 m para amortiguamiento, ~, de 5% y probabilidad de 84.1% 7.2.3 Mtodo de Newmurk-Blume-Kapur A comienzos de la dcada de 1970, la Comisin de Energa Atmica de Estados Unidos, contrat una serie de estudios para la definicin de espectros de diseo ssmico de plantas nucleares. Como resultado de estos estudios, en la referencia [Newmark, Blume y Kapur, 1973] se present una metodologa para obtencin de espectros elsticos de diseo. El estudio inicial se realiz independientemente por parte de ]. A. Blume y N. 11. Newmark. En esta fase se emplearon -12 y 33 acelerograrnas respectivamente. La forma del espectro en ambos casos fue determinada estadsticamente utilizando 17.9 148. distribuciones log-normales, Con base en estos estudios preliminares se desarroll como definitiva la metodologa que se presenta a continuacin. Los espectros se definieron para tres niveles de probabilidad de no excedencia en sus ordenadas: media (50%), media ms una desviacin estndar (8-+'1%) y meda ms dos desviaciones estndar (97.7%). El estudio defini cuatro perodos de control: el perodo A, que define el punto a partir de la cual se inicia la amplificacin de la aceleracin con respecto a la aceleracin mxima del terreno, Ate, se fijo en T = 0.03 s (f = 33 Hz); el perodo B, marca el final de la transicin entre la aceleracin del terreno, Ale, y el valor amplificado de la aceleracin, fue fijado en T = 0.11 s (f = 9 Hz); el perodo C marca el punto de transicin entre la zona de amplificacin de la aceleracin y la de amplificacin de la velocidad, fue fijado en T = 0.4 s (f = 2.5 Hz); por ltimo, el perodo D define el punto de transicin entre la zona de amplificacin de velocidades y la zona de amplificacin de desplazamientos, y fue fijado en T =-LO s (f =0.25 Hz). Para cada uno de los perodos A, B Y C se fijaron coeficientes de amplificacin que afectan la aceleracin mxima del terreno, Ale, y que dependen del coeficiente de amortiguamiento crtico. Para el perodo de control D, se prescribe un coeficiente de amplificacin de desplazamiento, tambin en funcin del amortiguamiento, el cual afecta el desplazamiento mximo del terreno, Dte. El desplazamiento mximo del terreno, Die, se estima en funcin de la aceleracin mxima del terreno, Ale, por medio de la siguiente relacin: f I (7-8) En la Figura 7-6 se muestran los coeficientes de amplificacin para cada uno de los perodos de control, en funcin del coeficiente de amortiguamiento crtico, ~, a que se desee producir el espectro. Los coeficientes de amplificacin definen un espectro cuyas ordenadas espectrales tienen una probabilidad de no ser excedidas del 8-1.1% (media ms una desviacn estndar). Todos amplifican con respecto a la aceleracin mxima del terreno, Ale, excepto el correspondiente al perodo de control D, que amplifica con respecto al desplazamiento mximo del terreno, Die' 10 "-' ' "__ l __' '1 [. , A D ~ I~ I ' ' ' ' 1~ .5 4 3 ~ 2 (%) 0.5 004 0.3 o 2 3 4 5 6 7 a.,coeficiente de amplificacin Figura 7-6 - Coeficientes de amplificacin para los perodos de control A, a, C y D Las ecuaciones que describen estos coeficientes de amplificacin, para un nivel de probabilidad del 8-1.1% (media ms una desviacin estndar), son las siguientes, las cuales son validas para valores del amortiguamiento menores o iguales al 10%: ISO 149. El espectro se construye dibujando, primero, en papel espectral tripartita las lneas correspondientes a la aceleracin mxima del terreno, Ate, Y al desplazamiento mximo del terreno, Die, de los movimientos ssmicos de diseo. Estos valores provienen en general de un estudio de amenaza ssmica, como el presentado en la Seccin 4-9 [Carca et al., 1984 y 1996]. Luego, para un valor del coeficiente de amortiguamiento, ~, dado se buscan en la Figura 7-6 los valores de los coeficientes de amplificacin correspondientes a los perodos de control A, B, e y D. Luego en cada uno de estos perodos de control se colocan punto al valor amplificado de la aceleracin, excepto para el perodo D, donde se amplifica el desplazamiento. A partir del perodo D el espectro presenta un desplazamiento constante. Luego se unen estos puntos amplificados y las lneas que se obtienen definen el espectro. aTA = 1.0 a TB = 4.25 -1.0210(1;%) aTe = 5.1- 1.22410(~%) a Tn = 2.85- 0.510(1;%) TA = 0.03 S TB=O.lls Te = 0.4 S TD = 4 S (7-9) (7-10) (7-11) (7-12) Los autores hacen la salvedad de que para lugares donde haya una gran preponderancia a amplificaciones para las componentes del terreno con perodos mayores de O.S s, los espectros deben ajustarse apropiadamente. Este caso se presenta generalmente con situaciones donde haya suelos blandos. Para el espectro vertical sugieren tomar 2/3 del espectro de efectos horizontales, hasta el perodo de control C. En este punto el espectro vertical debe prolongarse hacia la derecha hasta que toque la lnea del espectro de efectos horizontales que une los perodos de control e y D, Ya partir de este punto los dos espectros son iguales. Ejemplo 7-2 Se ctesevL okltE'ner eL espectro cte ctise1 pGW~ LeA.s f1tiSVVLeA.S coVLcticiOf1eS cteL ejemrJI.o 71 rJero alwra por eL l1ttocta ete Newmark BL'tf1-te !j KarJlu. Los Jar~l1-tetros relevantes son: ~ o- 5%, ti Ale = 0.3g. EL valor cte Los ctespLlAZavltieVLtos m6lximos cteL terreno. Die = 0.91 .0.3 = 0.273 m. Para IHt eA.f11OrtigtieA.lltievLto ctel 5%. Los valores cte Los coejicie/ttes cte ampLifimcilt. Lectos cte LeA. Figlua 7-6 son. aTA =1.0, a TB =2., aTe =3.t. !j a Tn =2.0. Por Lo tanto LeA.s orcteVLeA.ctas espectrates evt ceA.cta 1.0(,/10 cte Los rJero(;Los cte control son: Perocto A- S, = 1.0 O.3g = O.3g Peracto B- Sa =2.6' 0.3g =0.78g Perocto e-sa = J.10.3g = O.93g Perocto O - Sd = 2.00.273 m = 0.55 m E/t La FigareA. 7-7 se heA.n ctikJl-ijacto en el peA.pel tripartitu Los vltovil1tiefttos m6lxivVLos cteL terreno. Ate !j Dte. Laega se LocaLizarOft Los p,.u1Jas correspOltC'LieVLtes lA. cacta -LItO cte os rJeroctos ete control. lj por t'tLtil11O se lutieroVL estos rJlHttos para okltelter el espectro. 181 150. 10 5 0.5 Velocidad 0.1 (mis) 0.05 0.01 0.005 0.001 0.01 I 0.05 o.~ A B 10 5 e Periodo T (s) 10 50 lento II II Figura 7-7 - Ejemplo 7-2 - Espectro elstico de diseo de Newmark-Blume-Kapur para Ale = 0.3 S con amortiguamiento, 1;, de 5% y probabilidad de no excedencia de 84.1% 7.2.4 Mtodo de Shtbata-Sozen En la referencia Shibata y Sozen (Shibata y Sozen, 1976] presentan una metodologa para el diseo de estructuras de concreto reforzado ante acciones ssmicas. A pesar que los autores indican que el propsito de la metodologa no es presentar un espectro de diseo, dentro de la investigacln que condujo a la validacin del mtodo se utilizaron tres tipos de espectro que fueron calculados de los siguientes temblores normalizados para una aceleracin mxima del terreno Ate de 0.5 g: Tabla 7-4 Acelerogramas utilizados para plantear el espectro de Shibata-Sozen No. Acelerograma Ate(g) 1 El Centro, CA, 1940, Comoonente NS 0.31 2 El Centro, CA, 1940, Componente EV'1 0.22 3 Taft, CA, 1952, Componente N21E 0.18 4 Taft, CA, 1952, Componente S69E 0.16 5 Managua, Nicaragua, 1972, Comp. EW 0.38 6 ManaQua,Nicaraqua, 1972, Comp. NS 0.38 7 San Fernando, CA, 1971,8344 Orlon, Comp. NS 0.26 8 San Fernando CA, 1971, Castaic, corno. N21E 0.32 Los autores encontraron que los seis primeros registros se pueden describir por medio de un mismo espectro, mientras que los otros dos requieren descripciones diferentes. Adems se supone que la aceleracin de diseo, leda del espectro de aceleraciones, para cualquier coeficiente de amortiguamiento crtico S, puede relacionarse con el valor del espectro de respuesta para un coeficiente de amortiguamiento crtico de 2% (1; = 0.(2), utilizando: 182 151. (7-13) La compatibilidad del espectro suavizado de diseo con los espectros que le sirvieron de base es mejor para coeficientes de amortiguamiento crtico ~ de 10% que para ~ de 2% debido a que valores dentro del rango cercano a 10% son tpicos para estructuras de concreto reforzado para las cuales se dispuso la metodologa. En la Figura 7-8 se muestra el espectro suavizado de diseo para ~ de 2%. Este espectro es compatibl~ con movimientos ssmicos del tipo de los seis primeros de la tabla anterior. El espectro consta de tres zonas: para perodos cortos el espectro es directamente proporcional a la aceleracin mxima del terreno, luego viene una zona de amplificacin constante, y por ltimo hay una zona en que la amplificacin es proporcional al inverso del perodo. ,.1 igualar los valores de amplificacin de las zonas contiguas, se determina que la zona de amplificacin constante est entre perodos de 0.15 y 0.4 s. 25 Ate T1 s, (g) t i I I I 0.15 s O. s 3.75 Ate Para ~ =2% Perodo T (s) Figura 7-8 - Espectro elstico suavizado de diseo de 5hibata-Sozen para amortiguamiento, ;, de 2% Ejemp!o 7-3 Se deseUobteller eL espectro de disio pum Lus I1"Lislnus cOItciicioVLes de Los ejempLos 7-1 IJ 7-2 pero uhom por eL I'1ttodo de shil''JULu-Sozen Los rurcil1tetros retevaates SOlt:~, = 5%, IJ Al, =0,3g. Prl'1tero se o~ltieJten Luconstante cte prorJOrciOltClLLictuct pum 14,/t UfltOrtgltUlnieltto~, = 5%: Por Lo tunto Lus orde/tudus deL esuectro pum 1mumortigltcuniento ~ ~ 5% SO/t eqf.vuLelttes uL 72.7% cte Lus deL espectro COlt~ = 2%. EIt Lu FigItm 7-9 se hu di!:Jl4jetcto eL espectro petYl/t lUtOS fltOvimielttos deL terreno con Ate = 0.3g IJ pum ~ = 2%, IJ ~ = 5%, 188 152. En la Figura 7-10 se comparan los espectros obtenidos en los ejemplos 7-1 a 7-3. 5.0 50 4.0 5 10 3.0 Perodo T (s) 2.0 0.05 0.1 1.0 0.01 0.001 0.5 0.05 184 10 5 0.01 0.005 Figura 7-9 - Ejemplo 7-3 - Espectro elstico suavizado de diseo de Shibata-Sozen para Ate = 0.3g, 1;=2% Y 1;=5 % n ~~ __ ~=2% . E. = 5% ."< ~r-... ~ ~--I I 0.0 0.0 Velocidad 0.1 (mis) 1.2 1.0 0.8 Sa 0.6 (g) 0.4 0.2 0.5 Perodo T (s) Figura 7-10 - Espectro elstico de diseo por diferentes mtodos, Ate= 0.3 g, V" =0.2 mis y D = 0.3 m para amortiguamiento, 1;, de 5% y probabilidad de 84.1% 7.2.5 Comparacin de resultados 153. Al dibujar en escala aritmtica el espectro de aceleraciones de diseo de los tres ejemplo, se obtiene la Figura 7-11. 10 9 8 7 6 s. 5 (m/s') 4 3 2 II '.r: Newm rk-Blun e-Kapu v / - :>nI ara-:>o en I ~ Newma k-Hall I )/ / / '/' I I .) 760 mIs Perfiles de suelos muy densos o roca blanda, de cualquier espesor que 760 rn/s Vs > 360 mIs cumpla con el criterio de velocidad de e la onda de cortante Perfiles de suelos muy densos o roca - blanda, de cualquier espesor que N >50, o cumpla con cualquiera de Josdos Su> 100 kPa (z1 kgf/cm2 ) criterios I Perfiles de suelos rigidos de cualquier 360 m/s Vs > 180 mIsespesor que cumpla con el criteri