2.2. DinDináámica Estructural. mica Estructural. Sistemas de un Grado de Sistemas de un Grado de

Libertad Libertad

Amador Terán Gilmore

2.1 Caracter2.1 Caracteríísticas del sticas del Problema DinProblema Dináámicomico

Dentro del ámbito de la dinámica estructural, el movimiento de una estructura se caracteriza por medio del desplazamiento, velocidad y aceleración que sufre su masa. Estos parámetros de respuesta, así como la descripción analítica de la carga dinámica que actúa sobre dicha masa, constituyen la base a partir de la cual se plantea una ecuación de movimiento. Dicha ecuación se utiliza para predecir y caracterizar el estado de movimiento de la estructura y de las fuerzas internas que se generan en sus componentes estructurales.

udt

udnAceleracio

udtduVelocidad

uentoDesplazami

2

2

&&

&

=

=

2.2 Sistemas de un Grado 2.2 Sistemas de un Grado de Libertadde Libertad

Un sistema de un grado de libertad (S1GL) es el modelo estructural más simple con que se puede modelar una estructura. Toda estructura que pueda modelarse a través de un S1GL debe satisfacer dos tipos de condiciones: A) Físicas y B) De comportamiento.

Una vez que se ha decidido que una estructura puede modelarse a través de un S1GL, es necesario plantear una ecuación de movimiento, cuya solución nos permitirá describir como responde la estructura ante una excitación dinámica dada.

En cuanto a las condiciones físicas, una estructura puede modelarse razonablemente a través de un S1GL si su masa puede idealizarse como concentrada en un solo punto. Además de la masa, un S1GL posee elementos estructurales que aportan rigidez al sistema y unen la masa a una serie de apoyos (soportes), y unamortiguador viscoso que disipa la energía de vibración de la estructura.

M M

M

M

El número de desplazamientos independientes que se requieren para definir la posición desplazada de una estructura en relación a su posición original se conoce como número de grados de libertad.

En cuanto a las condiciones de comportamiento, un sistema de un grado de libertad se caracteriza porque solo se requiere un grado de libertad o desplazamiento independiente para definir la configuración deformada del sistema. En el caso de la dinámica estructural, el grado de libertad esta asociado al desplazamiento, velocidad y aceleración de la masa concentrada.

Considere una estructura que cumple con las condiciones físicas para ser un S1GL, y cuya masa exhibe movimiento traslacional. Dicha estructura puede modelarse como un S1GL si el movimiento de su masa puede describirse en su totalidad al proyectarlo en un eje cartesiano; esto es, cuando el movimiento de la masa este contenido en una línea recta. El grado de libertad asociado a la estructura debe ir orientado en la direcciónen la que se espera se mueva la masa.

u u

En caso de que la masa de la estructura se traslade lo largo y ancho de un plano, el movimiento solo podrá ser caracterizado mediante dos componentes independientes de desplazamiento, una en el sentido X y otra en el sentido Y. En el espacio se requieren tres componentes de desplazamiento: X, Y y Z.

u

v

wDebido a que el movimiento del terreno durante una excitación sísmica se da en el espacio, el movimiento de la masa de una estructura sismorresistente simple también se da en el espacio. Estrictamente hablando, no existen los S1GL en el ámbito de la ingeniería sísmica, ya que una sola componente de desplazamiento no es suficiente para describir el movimiento de una partícula en el espacio.

Durante el diseño sismorresistente, es práctica común despreciar los efectos derivados del movimiento vertical de la masa del sistema estructural. En casos muy particulares, y dependiendo de muchos factores, los efectos de la aceleración vertical del terreno deben contemplarse durante el diseño sismorresistente. Si se desprecia el movimiento vertical de la masa, el movimiento de la masa puede caracterizarse completamente a partir de dos componentes independientes de desplazamiento

u

v

A partir de la consideración de independencia entre los movimientos que se dan en direcciones X y Y, es práctica común modelar de manera independiente el estado de movimiento de la masa en cada una de estas dos direcciones. Para efectos de diseño, se superponen al final los efectos que sobre el sistema estructural tienen los movimientos de la masa en X y en Y. De esta manera, es posible utilizar el concepto de S1GL para el modelado analítico de muchas estructuras simples durante el proceso de diseño sismorresistente.

u

v v

u

= +

En algunos casos, el movimiento de la masa solo puede caracterizarse si se consideran las componentes rotacionales de movimiento. En este caso, hay que contemplar otras componentes independientes de desplazamiento, denotadas giros, que consideran la rotación de la masa. Movimientos en el plano XY requieren la consideración de un giro alrededor del eje Z, mientras que movimientos en el espacio deben contemplar tres componentes independientes de giro alrededor de los ejes X, Y y Z.

θ

Toda estructura simple que pueda modelarse a través de un S1GL puedemodelarse a través del modelo masa-resorte-amortiguador, el cuál es degran utilidad para plantear la ecuación de movimiento de la estructura. Elmodelo masa-resorte-amortiguador esta formado por los siguientescomponentes:

1) Masa. La masa de los diferentes elementos que conforman la estructura simple se modela a partir de una masa concentrada. Esto es, toda la masa de la estructura se ubica en un solo punto. Dicho punto es el punto de referencia a partir del cual se establece el estado de movimiento del S1GL.

2) Resorte: La rigidez que los elementos estructurales de la estructura simple aportan a la masa se modela a partir de un resorte paralelo al grado de libertad asociado S1GL.

3) Amortiguador: La capacidad que tiene la estructura simple para disipar la energía de vibración que almacena se modela a partir de un amortiguador viscoso.

1.50 m 1.50 m

Viga de acero

P(t) = 25 sen 10πt

M

1.50 m 1.50 m

Viga de acero

P(t) = 25 sen 10πt

M= M

K

C

P(t)

Cabe mencionar que el amortiguador no representa un elemento que físicamente se encuentre en la estructura, sino que es un modelo matemático simple que permite modelar la reducción paulatina de movimiento que se observa en las estructuras reales.

2.3 Ecuaci2.3 Ecuacióón de Movimienton de Movimiento

La ecuación de movimiento es en realidad una ecuación de equilibrio dinámico que involucra las fuerzas que se generan en los diferentes componentes de un S1GL (representado por un sistema masa-resorte-amortiguador). En particular, establece dicho equilibrio entre la fuerza dinámica externa, y las fuerzas internas que se generan en el sistema como consecuencia de su movimiento:A) Fuerzas de inercia generadas en la masa; B) Fuerzas viscosas generadas en el amortiguador; y C) Fuerzas de deformación generadas en el resorte.

Las fuerzas internas que se generan en el S1GL masa-resorte-amortiguador dependen de los distintos parámetros de movimiento de la masa, de tal manera que: 1) La fuerza de inercia es proporcional a la aceleración de su masa; 2) La fuerza de amortiguamiento proporcional a la velocidad de la masa; y 3) La fuerza de deformación proporcional al desplazamiento de la masa.

A través de las fuerzas internas, los diferentes parámetros de movimiento, como son el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de la masa entran en la ecuación de movimiento. La solución de esta ecuación permite establecer el desplazamiento, velocidad y aceleración en cada instante de tiempo en función de la carga externa, y a través de los valores de estos tres parámetros, las fuerzas internas que se generan en la masa, amortiguador y resorte.

La fuerza que se genera en el resorte en función del desplazamiento de la masa del sistema masa-resorte-amortiguador es igual a:

fR = k u

Donde fR es la fuerza de deformación que se genera en el resorte, k la rigidez del resorte, y u el desplazamiento de la masa con respecto a su posición inicial. La fórmula que se presenta implica que la posición inicial de la masa esta asociada a la configuración no deformada de la estructura; esto es, que fR es igual a cero antes de que se aplique una fuerza externa o condición inicial de movimiento.

La rigidez del resorte puede definirse como la fuerza que hay que aplicarle para inducirle una deformación unitaria. Esta definición es útil cuando se requiere estimar el valor numérico de k.

La fuerza que se genera en la masa del sistema masa-resorte-amortiguador en función de su aceleración es igual a:

fI = m ü

Donde fI es la fuerza de inercia que se genera en la masa, m el valor de la masa, y ü la aceleración de la masa. Si la masa de la estructura esta inicialmente en reposo, fI es igual a cero antes de que se aplique una fuerza externa o condición inicial de movimiento.

El valor de la masa puede definirse como la fuerza que hay que aplicarle a la misma para inducirle una aceleración unitaria.

La fuerza que se genera en el amortiguador en función de la velocidad de la masa de un sistema masa-resorte-amortiguador es igual a:

fD = c ů

donde fD es la fuerza viscosa que se genera en el amortiguador, c la constante de amortiguamiento del amortiguador, y ů la velocidad de la masa. Si la masa de la estructura esta inicialmente en reposo, fD es igual a cero antes de que se aplique una fuerza externa o condición inicial de movimiento.

La constante del amortiguador puede definirse como la fuerza que hay que aplicarle para inducirle una velocidad unitaria. Esta definición es útil cuando se requiere estimar el valor numérico de c. El modelo presentado aquí para establecer la fuerza que se genera en el amortiguador no se basa en experiencias físicas, sino que a partir de consideraciones empíricas.

Las fuerzas que se generan en un masa-resorte-amortiguador se deben al cambio del estado de movimiento de la masa. Basta medir el desplazamiento, velocidad y aceleración de la masa con respecto a un eje de referencia dado para poder estimar las fuerzas que actúan en el resorte, amortiguador y masa del sistema masa-resorte-amortiguador. En particular, es importante observar que:

1) La fuerza externa se aplica en la masa del sistema;2) Las fuerzas que se generan en el sistema se refieren al movimiento

de la masa;3) Las medidas que caracterizan este movimiento son:

a) Desplazamiento (fuerzas de deformación en el resorte), b) Velocidad (fuerzas viscosas en el amortiguador), yc) Aceleración (fuerzas de inercia en la masa).

Recuerde que las fuerzas internas que se generan en un sistema masa-resorte-amortiguador se oponen al cambio en el estado de movimientoinicial de la masa. En particular las fuerzas:

1) En el resorte se oponen a que la masa cambie su posición inicial; 2) En el amortiguador se oponen a un cambio en la velocidad de la masa; y3) De inercia se oponen a un cambio de aceleración en la masa. En

contraste la fuerza externa promueve un cambio en todos estosparámetros de movimiento.

M

K

C

P(t)fI

fR

fD

La ecuación que establece el equilibrio entre la fuerza externa y las fuerzas internas que se generan en el sistema masa-resorte-amortiguador se conoce como ecuación de movimiento. Dicha ecuación se plantea para un sistema que esta en movimiento, de tal manera que es necesario considerar lo que se conoce como condiciones de equilibrio dinámico (D’Alambert). Para ello, el equilibrio de un sistema en movimiento puede plantearse como el equilibrio del cuerpo si este permaneciese estático, siempre y cuando se incluyan en la ecuación de equilibrio las fuerzas de inercia. Aplicando el principio de D’Alambert para el sistema masa-resorte-amortiguador, se tiene la siguiente ecuación de movimiento:

fI + fD + fR = P(t)

Si se consideran las ecuaciones que relacionan los parámetros de movimiento de la masa con las diferentes fuerzas internas generadas en el sistema, la ecuación de movimiento queda como:

)t(Pkuucum =++ &&&

Ejemplo. Una masa que pesa 500 kilogramos se ancla, por medio de un resorte de rigidez 2000 kg/cm, al extremo de una viga en voladizo. El claro de la viga es de 3 metros. El momento de inercia de la viga es de 50 cm4 y el módulo de elasticidad del acero es 2’000,000 kg/cm2. Se aplica a la masa la carga P(t) mostrada en la figura. Desprecie el peso propio de la viga y considere un amortiguamiento viscoso de 2% (ξ = 0.02). Establezca el grado de libertad asociado al sistema, y establezca la ecuación de movimiento asociado a él.

Viga de acero

P(t) = 25 sen 10

M

P(t) = 25 sen 10πt

M

3.00 m

En este curso se estudiarán diferentes casos para la ecuación de movimientode un sistema de un grado de libertad.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

sismicaexcitacionarbitraria

tsenP0

)t(P o Ω

2.4 Vibraciones Libres2.4 Vibraciones LibresP(tP(t) = 0) = 0

Considere un S1GL que este en reposo hasta un tiempo inicial t0. Se dice que este S1GL oscila libremente a partir de dicho tiempo cuando responde ante el efecto exclusivo de una excitación inicial (desplazamiento y/o velocidad) aplicada en t0. A partir de t0, el sistema no se ve sujeto al efecto de otra excitación externa. Tanto el desplazamiento como velocidad inicial se aplican de manera instantánea al S1GL.

)t(Pkuucum =++ &&&

Si a partir del tiempo cero no hay fuerza externa actuando sobre la masa, el término de la ecuación de movimiento asociado a la fuerza externa es igual a cero. Esto es, P(t) = 0:

0=++ kuucum &&&

Para el caso de oscilaciones libres, P(t) = 0, la solución a la ecuación de movimiento esta dada por:

que para el caso de amortiguamiento cero se simplifica a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++= − tsen

uutuetu d

d

oodo

t ωωξω

ωξω &cos)(

tsenu

tutu oo ω

ωω &+= cos)(

donde las condiciones iniciales de movimiento están dadas por u0 y ů0, que son el desplazamiento inicial y velocidad inicial, respectivamente, a los que se sujeta al S1GL; ω y ωd son la frecuencia natural de vibración y la frecuencia natural amortiguada del S1GL, respectivamente; y ξ, conocido como porcentaje de amortiguamiento crítico, es un parámetro que cuantifica el nivel de amortiguamiento viscoso en la estructura.

Los valores de ω, ωd y ξ pueden estimarse conforme a lo siguiente:

ωξ

ξωω

ω

mcy

mk

d

2

1 2

=

−=

=

El valor de ω es una medida del número de ciclos que un S1GL no amortiguado acomoda por unidad de tiempo durante su respuesta a las condiciones iniciales. El valor de ωd da una medida similar para el caso de un S1GL con amortiguamiento.

La solución a la ecuación de movimiento de vibraciones libres de un S1GL esta planteada en función de funciones periódicas. Debido a la periodicidad de las funciones seno y coseno, el desplazamiento u(t) del sistema oscila entre una serie de máximos y una serie de mínimos. La grafica de u(t) contra t de un S1GL sin amortiguamiento sujeto a oscilaciones libres tiene la siguiente forma:

u(t)

t

T

T

u(t)

t

T

T

El periodo del S1GL, denotado T en la figura, puede definirse como el tiempo que transcurre entre dos máximos o dos mínimos de la curva u(t). Físicamente, T representa el tiempo que transcurre para que el S1GL complete un ciclo de movimiento.

u(t)

t

T

T

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≠

==

02

02

ξωπ

ξωπ

si

siT

d

El valor del periodo puede estimarse conforme a lo siguiente:

Puede demostrarse que el desplazamiento máximo para un S1GLno amortiguado sujeto a vibraciones libres esta dado por:

2o2

omaxuuu ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=ω&

Dinamica S1GL.xls

Ejemplo. Una masa que pesa 500 kilogramos se ancla, por medio de un resorte de rigidez 2000 kg/cm, al extremo de una viga en voladizo. El claro de la viga es de 3 metros. El momento de inercia de la viga es de 50 cm4 y el módulo de elasticidad del acero es 2’000,000 kg/cm2. Desprecie el peso propio de la viga y considere un amortiguamiento viscoso de 2% (ξ = 0.02). Establezca la frecuencia y periodo de vibración del sistema. Estime la variación de la deflexión en el centro del claro de la viga que resulta de darle un desplazamiento inicial hacia abajo de 2 cm.

Viga de acero

M

P(t) = 0

M

3.00 m

2.5 Carga Arm2.5 Carga ArmóónicanicaP(t) = PP(t) = Po o sen(sen(ΩΩt)t)

Recuerde que la ecuación de movimiento de un S1GL se expresa como:

m ü + ců + k u = P(t)

donde m es la masa del S1GL, c el coeficiente asociado al amortiguador y k la rigidez del resorte. P(t) es una carga externa aplicada directamente en la masa.

Considere un S1GL que este en reposo hasta un tiempo inicial to igual a cero. Se dice que este S1GL oscila bajo carga armónica a partir de ese tiempo inicial, cuando se le aplica una carga externa que varia en el tiempo de acuerdo a:

tsenPtP o Ω=)(

donde Po define la amplitud máxima de la carga, y Ω la frecuencia de la excitación. A continuación se muestra de manera cualitativa la variación de P(t) con respecto al tiempo.

P(t)

t

Po

-Po

Ωπ

=2Texc

Ωπ

=2Texc

P(t)

t

Po

-Po

Ωπ2Texc =

Ωπ2Texc =

Si a partir del tiempo cero se considera que actúa una fuerza armónica sobre la masa, entonces la ecuación de movimiento se expresa como:

m ü + c ů + k u = Po sen Ωt

La ecuación de movimiento de un S1GL sujeto a carga armónica tiene una solución homogénea y una solución particular.

( ) ( )222

odd

t

21

)t(senKP)tBsentcosA(e)t(u

ξββ

θΩωωξω

+−

−++= −

Solución homogenea otransitoria Solución particular o forzada

Generalmente, solo la solución particular o respuesta forzada es de interés. Si consideramos que las condiciones iniciales de movimiento de un S1GL son cero, y se considera que la respuesta transitoria de un sistema se desvanece con el tiempo, tenemos que la respuesta forzada de un sistema sujeta a excitaciones armónicas puede expresarse como:

( ) ( )222 21

)()(ξββ

θ

+−

−Ω=

tsenKPtu o

que para el caso de amortiguamiento cero se simplifica a

( )21)()(

β−Ω

=tsen

KPtu o

donde ξ, conocido como coeficiente equivalente de amortiguamiento, es un parámetro que cuantifica el nivel de amortiguamiento viscoso en la estructura; β, igual a Ω/ω, es la relación de frecuencias de la excitación y del S1GL, ω es la frecuencia natural de vibración del S1GL y θ un ángulo de fase que cuantifica el tiempo que transcurre entre la aplicación de la carga y la respuesta del sistema a esta carga.

Además:

ωξ

ω

mcmk

2=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= −2

1

12tanβξβθ

Note que la solución a la ecuación de movimiento esta planteada en función de la función seno, la cual es periódica. Esto implica que la respuesta forzada del sistema oscila entre una serie de máximos y mínimos cuya amplitud máxima esta dada cuando la función seno se maximiza:

( ) ( )222

omax

21

1KPu

ξββ +−=

De manera cualitativa:

u(t)

t

umax

-umax

Ωπ= 2Texc

Ωπ= 2Texc

u(t)

umax

-umax

Ωπ2Texc =

Ωπ2Texc =

t

Note que el tiempo que transcurre entre dos máximos o dos mínimos de u(t) puede estimarse como:

Ωπ2Texc =

Aunque la carga y la respuesta del sistema exhiben una variación similar con respecto al tiempo, normalmente van fuera de fase. De manera cualitativa:

P(t), u(t)

t

Ωπ= 2Texc

Ωπ

=2Texc

Ωθ

=∆t

u(t)

P(t)

Dinamica S1GL.xls Un concepto importante dentro de la dinámica es el de factor de amplificación dinámica (FAD). El FAD es el cociente directo entre el máximo desplazamiento que exhibe un S1GL cuando se le sujeta a unaexcitación dinámica (umax), y el desplazamiento máximo que se produciría en ese S1GL si la excitación dinámica se aplicará de manera estática (uest), esto es, si la excitación se aplicará muy lentamente. Para el caso de una excitación armónica:

( ) ( )( ) ( )222o

222

o

est

max

21

1

KP

21

1KP

uuFAD

ξββ

ξββ

+−=

+−==

El FAD es muy importante, ya que puede demostrarse que la fuerza máxima que se desarrolla en el resorte de un S1GL (que modelan loselementos resistentes de un sistema) durante una excitación sísmica (fsmax), es igual a:

omaxs PFADf ⋅=

En ocasiones el FAD puede tener valores significativamente mayores que uno, lo que implica que aunque P(t) oscile entre valores de Po y –Po, la fuerza que debe resistir el resorte es mucho mayor que Po. En otras ocasiones, FAD adquiere valores mucho menores que uno, de tal manera que aunque P(t) oscile entre valores de Po y –Po, la fuerza que debe resistir el resorte es mucho menor que Po. En resumen, la fuerza P(t) aplicada directamente en la masa puede amplificarse o deamplificarse de manera importante cuando la resiste el resorte.

FAD

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4

ξ = 0.05ξ = 0.10ξ = 0.20ξ = 0.30ξ = 0.50ξ = 0.80

β

¡La mayoría de nuestrasestructuras andan por aca!

Dinamica S1GL.xls

Significado físico de la solución forzada (para valores de amortiguamientoconsistentes con los observados en nuestras estructuras)

1) Frecuencia del movimiento corresponde a Ω. El sistema no vibra con su propia frecuencia (ωd), sino con la frecuencia de la excitación.

2) Amplitud del movimiento, depende de Ω/ω y de ξ.

- Si β→ 0 (caso estático), los efectos dinámicos son despreciables

- Si β→ ∞, el sistema practicamente no responde a la excitación dinámica (deamplifica el movimiento)

- Si β→ 1, existe una amplificacion importante que depende en mucho del amortiguamiento disponible

( ) ( )est

o

222

omaxp u

KP

0201

1KPu ==

+−=

ξ

( ) ( )0

21

1KPu

222

omaxp =

∞+∞−=

ξ

( ) ( ) ξξ 21

KP

1211

1KPu o

222

omaxp =

+−=

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4

FAD

β

Zona Estática

Zona Amplificación

Zona Deamplificación

ξ = 0.05ξ = 0.10ξ = 0.20ξ = 0.30ξ = 0.50ξ = 0.80

3) Ángulo de fase, depende de β y ξ.

( ) ( ))t(sena

21

)t(senKP)t(u

222

op θΩ

ξββ

θΩ−=

+−

−=

tsenP)t(P o Ω=

Los máximos y mínimos de P(t) y up(t) se presentan con undefasamiento de θ. Se dice que up(t) se defasa θ con respecto a laexcitación. Puede demostrarse que la respuesta se defasa θ/Ω en eleje del tiempo.

4) Fuerzas dominantes dependen del valor de β

Si β→ 0, la respuesta del S1GL esta controlada por su resorte (domina la fuerza por deformación). En este rango de frecuencias, es muy importante aportar resistencia suficiente al resorte.

Si β→ ∞, la respuesta del S1GL esta controlada por la masa (domina la fuerza de inercia). En la gran mayoría de los casos la masa del sistema esta dada.

β→ 1, la respuesta esta controlada por su amortiguador (domina la fuerza de amortiguamiento). En este rango de frecuencias se vuelve muy importante aportar al sistema con una capacidad adecuada de disipación de energía.

( ) ( ) KP

0201

1KPu o

222

omaxp =

+−=

ξ

( ) ( )2

o2

2o

2o

222

omaxp m

PKP

KP

21

1KPu

ΩΩω

βξββ===

+−=

( ) ( ) ωξξ cP

2KP

1211

1KPu oo

222

omaxp ==

+−=

Ejemplo. Una masa que pesa 500 kilogramos se ancla, por medio de un resorte de rigidez 2000 kg/cm, al extremo de una viga en voladizo. El claro de la viga es de 3 metros. El momento de inercia de la viga es de 50 cm4 y el módulo de elasticidad del acero es 2’000,000 kg/cm2. Desprecie el peso propio de la viga y considere un amortiguamiento viscoso de 2% (ξ = 0.02). Estime la variación de la deflexión en el centro del claro de la viga que resulta de aplicar la siguiente carga armónica: P(t) = 25 sen(10t).

Viga de acero

M

P(t) = 0

M

3.00 m

2.6 Respuesta ante Cargas 2.6 Respuesta ante Cargas ArbitrariasArbitrarias

Muchas de las aplicaciones de la dinámica estructural estan asociadas a cargas que no pueden caracterizarse a través de un patrón repetitivo.

P(t)

t

)t(Pkuucum =++ &&&

arbitraria

Existen muchas maneras de obtener u(t) bajo esta circunstancia. Algunas de ellas son analíticas, otras numéricas. En el caso de sistemas que exhiban comportamiento elástico, se puede recurrir a la integral de Duhamel.

[ ] ττωτω

τξω d)t(sene)(pm

1)t(ut

0d

)t(

d∫ −= −−

En este curso se ilustrará el Método de Newmark con aceleración constante. Este método constituye una solución numérica a la ecuación de movimiento de un S1GL (que puede permanecer elástico o no).

Suponga que la aceleración del S1GL (ü) tiene la siguiente dependenciacon respecto a t:

ü(t)

tti ti+1

üi

üi+1

Veamos que sucede en el intervalo de tiempo que va de ti a ti+1.

ü(t)

t

ti ti+1

üi

üi+1

∆tSe define un eje coordenado local para medir el tiempo a partir de ti. El tiempo medido con respecto a este eje de referencia lo denotamos τ.

)uu(21)(u i1i &&&&&& += +τ

τ

Si la aceleración es constante en el intervalo ∆t e igual al promedio de las aceleraciones en ti y ti+1 , entonces:

¿Si conocemos ůi, cuanto vale ůi+1 dado que la aceleración se ha supuestoconstante en el intervalo ∆t?

ů(t)

tůi

ůi+1

Dada una aceleración constante,la velocidad tiene una variaciónlineal.

t)uu(21uu

)uu(21u)(u

i1ii1i

i1ii

∆

ττ

&&&&&&

&&&&&&

++=

++=

++

+tetancons)(u =τ&&

ti ti+1

∆t

τ

Con base en que la aceleración es constante y que la velocidad es linealdentro del intervalo ∆t, es posible llegar a las siguientes dos ecuaciones:

iii2i u2ut

4ut4u &&&&& −+=

∆∆

∆∆

iii u2ut

2u && −= ∆∆

∆

La ecuación de movimiento para t = ti puede expresarse como:

i

i+1

iiii pkuucum =++ &&&

Mientras que para t = ti+1, tenemos:

1i1i1i1i pkuucum ++++ =++ &&&

Para cualquier instante contenido en el intervalo que va de ti a ti+1 , esnecesario plantear una ecuación de movimiento incremental:

i1ii1ii1ii1i pp)uu(k)uu(c)uu(m −=−+−+− ++++ &&&&&&

iiii pukucum ∆=∆+∆+∆ &&&

iii2i u2ut

4ut4u &&&&& −+=

∆∆

∆∆ iii uu

tu && 22

−∆∆

=∆

Para el intervalo i, se tiene una ecuación de movimiento y tres variables.

Dado que se conoce la historia de carga, ∆pi es conocido. Gracias a la suposición de aceleracion constante en el intervalo de interés, se cuenta con dos ecuaciones extras (una en términos de aceleración y otra en terminos de velocidad), de tal manera que junto con la ecuación de movimiento del intervalo se dispone de tres ecuaciones para establecer tres incógnitas.

A partir de sustituir las dos ecuaciones extras en la ecuación de movimiento se obtiene lo siguiente:

iiii2 um2uc2tm4puk

tc2

tm4

&&& +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++

∆∆∆

∆∆

Rigidez efectiva fuerza efectiva=K~ =iP~∆

K~p~u

p~uK~

ii

ii

∆∆

∆∆

=

=

Y los incrementos de velocidad y aceleración en el intervalo puedenestimarse como:

Resolviendo para el incremento de desplazamiento:

iii2i u2ut

4ut4u &&&&& −+=

∆∆

∆∆

iii u2ut

2u && −= ∆∆

∆

u(t)

tüo, ůo, uo

K~p~u o

o∆∆ = ü1, ů1, u1

ü2, ů2, u2

ü3, ů3, u3

Cualitativamente el esquema funciona conforme a lo siguiente:

Kpu ~~

11

∆=∆

Kpu ~~

22

∆=∆

1.0 Cálculos Iniciales

1.1Calcule la aceleración para t=0. La velocidad y desplazamiento iniciales son conocidos

1.2 Seleccione el intervalo de tiempo ∆t

1.3 Calcule las siguientes constantes:

)kuucP(m1u oooo −−= &&&

m2byc2tm4a =+=∆

2.0 Cálculos para el i-ésimo intervalo de tiempo

2.1 Calcule el incremento de fuerza efectiva:

2.2 Determine la rigidez tangente ki

2.3 Calcule la rigidez efectiva:

2.4 Resuelva para el incremento de desplazamiento:

2.5 Calcule la velocidad incremental:

2.6 Determine el desplazamiento y velocidad al final del intervalo:

2.7 Corrija el error que se introduce al usar ksec en lugar de ktan, esto es, determine la fuerza resistente y calcule la aceleracion al final del intervalo de tiempo:

iiii ubuapP~ &&& ++= ∆∆

i2i ktc2

tm4K~ ++=

∆∆

i

ii K~

p~u ∆∆ =

iii u2ut

2u && −= ∆∆

∆

iii

iiiiii

uuulinealnocasoelenquenoteuuuuuu

&&&&&&

&&&

∆+≠∆+=∆+=

+

++

1

11

,,

m)f(ucpu 1is1i1i

1i+++

++−

=&

&&

3.0 Repetición para el próximo intervalo de tiempo.

Sustituya i+1 por i y repita los pasos 2.1 al 2.7 para el siguiente intervalode tiempo.

2.7 Respuesta ante 2.7 Respuesta ante Excitaciones SExcitaciones Síísmicassmicas

ug u

ut

Considere un marco sujeto adeformación lateral en el quepueda despreciarse la deformaciónaxial de viga y columnas.

El desplazamiento lateral total delsistema (de la masa) es igual a:

gt

gt

gt

uuu

uuu

uuu

&&&&&&

&&&

+=

+=

+=

donde u es el desplazamiento de la masa relativo a la base y ug el desplazamiento del terreno.

¿Como afecta lo anterior la ecuación de movimiento?

Primero note que no hay carga externa aplicada en la masa: P(t) = 0

fI + fD + fR = 0

En cuanto a las fuerzas que se generan en el S1GL, note que ugrepresenta un movimiento de cuerpo rígido de la estructura, y que u es la porción del desplazamiento total que induce deformación en los elementos resistentes (resorte y amortiguador).

Las fuerzas en el resorte y amortiguador dependen de la deformación de la estructura:

fR = ku fD = ců

Por otro lado, el movimiento de cuerpo rígido de una masa genera fuerzas de inercia en ella:

fI = m(ü + üg)

Por tanto, la ecuación de movimiento puede plantearse como:

fI + fD + fR = 0

m(ü + üg) + ců + ku = 0

mü + ců + ku = -müg(t)

puede interpretarse como una carga externa p(t) aplicada en la masa

Interpretación:

üg (t)

Nuestros acelerografos registran aceleración del terreno

≈Base fija

)t(um)t(p g&&−=

2.8 Concepto y uso de 2.8 Concepto y uso de EspectrosEspectros

Para llevar a cabo un diseño sísmico, resulta impráctico resolver la ecuación de movimiento mediante una integración numérica.

En esta sección se discute como se ha resuelto el problema del análisissísmico de un S1GL desde un punto de vista práctico

Caso Elástico

Los aparatos de medición de movimientos del terreno registran dicho movimiento como una secuencia de aceleraciones. Esta secuencia, denotada acelerograma, se caracteriza por su variación en el tiempo.

Considere el caso del acelerograma registrado en la dirección N-S de el Centro, California (sitio de suelo firme) en 1940.

üg(t) t (seg)

Suponga que resulta de interés caracterizar de manera numérica este acelerograma de tal manera que sea posible estimar, de manera rápida y razonable, las acciones de diseño en un S1GL.

Mediante el Método de Newmark (o cualquier otro), es posible estimar la respuesta de un S1GL con T y ξ dados ante el movimiento Centro NS 1940.

k

m

ξ = 0.02T = 0.5 seg

Para un S1GL con T = 0.5 seg y ξ = 0.02, y que permanezca elástico, el movimiento Centro NS 1940 demanda un desplazamiento máximo de 2.67”. Note que este sería el caso de cualquier S1GL con estas propiedades dinámicas, independientemente de su masa y rigidez.

u (pulg)

t (seg)

k

m

ξ = 0.02

seg5.0km2T == π seg5.0

k2m22T == π

)(tumkuucum g&&&&& −=++

)(2 tumkuumum g&&&&& −=++ ωξ )(22)2(22 tumkuumum g&&&&& −=++ ωξ

Note que mientras dos S1GL sujetos a sismo tengan el mismo periodo (aunque el valor de absoluto de su masa y rigidez cambien), su ecuación de movimiento será la misma. Puede decirse que la historia u(t) contra tmostrada en la lámina anterior aplica a cualquier S1GL con T=0.5 seg y ξ = 0.02 sujeto al Centro NS 1940. Lo mismo puede decirse del valor máximo de desplazamiento asociado a dicha historia umax.

2k

2m

ξ = 0.02

¿Cómo puede diseñarse, bajo este contexto, la resistencia lateral requerida por un S1GL?

Una manera de hacer esto consiste en definir una carga lateral equivalente que produzca en el S1GL la misma deformación que la excitación sísmica induce en él.

umaxfsmax = kumax

k

m

En un segundo paso se procede a llevar a cabo un análisis estructural del S1GL bajo los efectos de la carga lateral equivalente. Se obtienen asílos elementos mecánicos que definen la resistencia de diseño de los elementos estructurales.

fsmax

Note que a diferencia del desplazamiento, la fuerza que se genera en el S1GL no solo depende del periodo y amortiguamiento, sino del valor de su masa y rigidez (fsmax = kumax).

Axiales, cortantes,momentos.

¿Cómo usamos este conocimiento con fines de diseño? La historia u(t)contra t y el valor de umax de todos los S1GL elásticos con el mismo valor de T y ξ serán igual. Puede entonces plantearse, para un valor dado de ξ, el análisis de varios S1GL con diferente valor de T, y resumir el valor de umaxcorrespondiente a todos ellos en una gráfica de acuerdo a lo siguiente:

El Centro 1940 NS

T = 0.5 segξ = 0.02

El Centro 1940 NS

T = 1.0 segξ = 0.02

El Centro 1940 NS

T = 2.0 segξ = 0.02

Espectro de desplazamientospara ξ de 0.02

u (pulg)

t (seg) umax (pulg)

T (seg)

Note que es posible obtener espectros para otros valores de ξ.

Con fines de diseño se procede conforme a lo siguiente:

umax

T (seg)

1. Se estima el valor de Ty ξ asociado al S1GL

*maxu

*maxkuf =

2. Se entra con el valorde T al espectro elástico

3. Se determina el desplazamientomáximo en función de T

4. Se estima la fuerza lateralequivalente

5. Se lleva a cabo un análisis estructural con la fuerza lateral equivalente

Aunque el procedimientoanterior es válido, tienela gran desventaja de querequiere la determinación de k para estimar f.

Desde un punto de vista práctico, es mas fácil estimar el peso (o la masa) de una estructura que su rigidez. Por ello, se plantean espectros de aceleración conforme a lo siguiente.

maxmaxmaxmaxs ug

Wumkuf &&&& ===

Se plantea la fuerza sísmica en términos de inercia, es decir, en

términos de la masa o peso del sistema

max2

max

maxmax

uu

umKu

ω=

=

&&

&&

Note que si conocemos T, y por tanto ω, es posible estimar la aceleración máxima del sistema a partir del desplazamiento máximo.

Es posible plantear un espectro de resistencia conforme a lo siguiente:

T(seg)

umax

(cm)ω

(1/seg)ω2umax = ümax

(cm/seg2)ümax/g

0.5 6.81 157.91 1075.36 1.101.0 15.16 39.48 598.5 0.612.0 18.97 9.87 187.23 0.19

Al graficar, para un valor dado de ξ, los valores de ümax/g para diferentesvalores de T, se establece lo que se conoce como espectro de pseudo-aceleración (o resistencia).

Zona Estática

Zona Amplificación

Zona Deamplificación

ümax/g

T (seg)

Con fines de diseño, un espectro de pseudo-aceleración se utiliza conforme a lo siguiente:

ümax/g

T (seg)

1. Se estima el valor de Ty ξ asociado al S1GL

gu*

max&&

guWf

*max&&

=

2. Se entra con el valorde T al espectro elástico

3. Se determina la pseudo-aceleración de diseño

4. Se estima la fuerza lateralequivalente

5. Se lleva a cabo elanálisis estructural.Se estiman desplazamientos yelementos mecánicos

umax

Es importante mencionar que el espectro de pseudo-aceleración de diseño debe establecerse a partir de una familia de acelerogramas queen conjunto representan la excitación sísmica de diseño. A partir de considerar la aleatoriedad e incertidumbre en la definiciónde la excitación sísmica de diseño, pueden plantearse un espectro elástico de diseño, que en términos generales corresponde a una envolvente estadística de los espectros correspondientes a los diferentes acelerogramas.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 1 2 3 4T (seg)

Sa

Zona estática

Zona Amplificación

Zona DeamplificaciónDomina dezplazamiento(resistencia del resorte)

Domina velocidad(disipación de energía

en el amortiguador)

Domina aceleración(masa del sistema)

Los espectros de diseño se simplifican para poder ser utilizados:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4T (seg)

Sa µ = 1µ = 2µ = 3µ = 4

a) MediaT (seg)

Sa

b) Media + σ

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4T (seg)

Sa µ = 1µ = 2µ = 3µ = 4

a) MediaT (seg)

Sa

b) Media + σ

Nuestras estructuras de ocupación estándar se diseñan bajo el entendimiento de que pueden exhibir comportamiento plástico de importancia durante sismos severos. Una grafica típica de fuerza contra desplazamiento lateral de una estructura sujeta a un estado de deformación lateral monótonamente creciente tiene la siguienteforma:

u

fy

uy

f

umax

Es común idealizar la curva fuerza-desplazamiento mediante un modelo bilineal (elastoplástico perfecto).

fy es la resistencia de fluencia;uy el desplazamiento de fluencia;y umax el desplazamiento máximo

y

max

uu

=µDefinimos la ductilidad como una medidacuantitativa de la demanda de deformaciónplástica en la estructura

En términos generales, mientras menor sea la resistencia mayor será la demanda de ductilidad.

u (pulg)

t (seg)

Es posible establecer conforme a esto espectros de resistencia para sistemas que exhiben comportamiento plástico (µ > 1). Un espectro de resistencia para ductilidad máxima µmax resume, para cualquier S1GL, la resistencia requerida para controlar su demanda máxima de ductilidad dentro del umbral dado por el valor de µmax. Note que es necesario especificar el valor de ξ asociado al espectro, y que para valores dados de T y ξ, la resistencia de diseño se reduce conforme se incrementa el valor de µmax.

Suelo Firme Suelo Firme

Suelo Blando Suelo Muy Blando

ümax/g

T (seg)

1. Se estima el valor de T, ξ y µmaxasociados al S1GL. El valor deµmax se establece en función deldetallado por utilizarse.

gu*

max

guWf

*max&&

=

2. Se entra con el valor de T al espectrono lineal correspondiente a µmax

3. Se determina la pseudo-aceleraciónde diseño

4. Se estima la fuerza lateralequivalente

uy

*** umax = uy µmax

5. Se lleva a cabo análisis estructural. Se estiman desplazamientos***

y elementos mecánicos

Con fines de diseño, un espectro de pseudo-aceleración no lineal seutiliza conforme a lo siguiente:

µ = µmax

µ = 1

Con fines normativos, normalmente se define el espectro elástico depseudo-aceleración, y se prescriben factores de reducción de resistenciapara establecer el espectro de diseño de resistencia. Mientras que losespectros suelen establecerse para un ξ de 0.05, los factores de reducciónsuelen plantearse en función de la ductilidad máxima que se considerapuede acomodar la estructura durante la excitación sísmica de diseño.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 1 2 3 4

Sa /g

T (seg)

µ = 1

µ = 2

µ = 4

R = f(µ)

Los valores asignados al factor de reduccion de resistencia dependedel tipo de suelo donde se desplanta la estructura.

Suelo Firme Suelo Muy Blando

R R

u

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 1 2 3 4

Sa /g

T (seg)

µ = 1

µ = 2

µ = 4

R = f(µ)

Ejemplo. Una torre de agua con peso de 250 toneladas se ve sujeta a una excitación sísmica cuya intensidad se caracteriza por medio del espectro mostrado. Estime la rigidez lateral que se requiere para controlar el desplazamiento lateral de la torre dentro del umbral de 25 cm4 si se acepta que esta es capaz de desarrollar un ductilidad de 2. Estime la fuerza lateral para el cual hay que diseñar la torre.