Funciones Cálculo I · 2018. 8. 31. · Microsoft Word - Funciones Cálculo I.docx Created Date:...
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I) DefiniciónDEF.1UnaFUNCIÓNesunaRELACIÓNenlaquetodosloselementosdelconjuntodesalidasolopuedenasociarseconunsoloelementodelconjuntodellegada.
II) Composición
NotaciónyPropiedades Conmutatividad Asociatividad Operacionesalgebráicas
𝐸J→ 𝐹
M→ 𝐺
𝑥𝑦𝑧
𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑔(𝑓(𝑥))
𝑆𝑒𝑎𝑛𝑥 ∈ 𝐸, 𝑧 ∈ 𝐺, ∃𝑦 ∈ 𝐹, ^𝑓(𝑥) = 𝑦𝑔(𝑦) = 𝑧
PROP.1Si ^𝑓𝑔 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 ⇒ 𝑔 ∘ 𝑓𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛
𝑆𝑖𝑓∃𝑦𝑔∃𝑓 ∘ 𝑔∃?
PROP.2Lacomposiciónnoesconmutativa∃𝑓, 𝑔 ∈ 𝐹h,∀𝑥 ∈ 𝐸𝑔 ∘ 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓 ∘ 𝑔(𝑥)
¿ 𝑆𝑖𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑓´ ∘ 𝑔´ ⇒ 𝑔 ∘ 𝑓
= 𝑔´ ∘ 𝑓´?
PROP.3Lacomposiciónesasociativa
𝐸J→ 𝐹
M→ 𝐺
n→ 𝐻
𝑥𝑦𝑧𝑡ℎ ∘ (𝑔 ∘ 𝑓) = (ℎ ∘ 𝑔) ∘ 𝑓
𝑺𝒆𝒂𝒏𝒇𝒚𝒈𝒅𝒐𝒔𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒂𝒔𝒆𝒏𝒖𝒏𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐𝑰 ⊂ ℝ
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
𝑓𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑔𝑛𝑜𝑠𝑒𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎𝑒𝑛𝑒𝑠𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜
𝑓𝑔(𝑥) =
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
III) Inversadeunafunción𝑓Notación𝑓�� Definición Propiedades Prop.Delasimágenesdirectasy
recíprocas
𝑓��𝑒𝑠𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑠𝑖𝑓(𝑥) = 𝑦𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑓��(𝑦) = 𝑓���𝑓(𝑥)� = 𝑥¿Sies𝑓función𝑓��
esfunción?
PROP.1Sea𝑓: 𝐸 → 𝐹función𝑓��𝑠𝑒𝑟á𝑢𝑛𝑎𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛𝑠𝑠𝑖𝑓𝑒𝑠𝑏𝑖𝑦𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛PROP.2Si𝑓esbiyectiva⇒𝑓��esbiyectivaPROP.3Sea𝑓: 𝐸 → 𝐹𝑓𝑏𝑖𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 ⇔∃𝑔 ∈ 𝐸�
^𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑖𝑑h𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑖𝑑�
𝑔 = 𝑓��
FUNCIONES
Definición FormulaciónMatemática Otrasnotaciones
∀(𝑥, 𝑦, 𝑦�) ∈ 𝐸 × 𝐹 × 𝐹
𝑆𝑖 ^ 𝑓(𝑥) = 𝑦
𝑓(𝑥) = 𝑦�
⇒ 𝑦 = 𝑦′
Dominiodef
𝐷J = {𝑥 ∈ 𝐸, ∃𝑦 ∈ 𝐹,𝑦 = 𝑓(𝑥)}
𝑥antecendentede𝑦
Imagendef
𝐼𝑚J = {𝑦 ∈ 𝐹, ∃𝑥 ∈ 𝐸𝑓(𝑥) = 𝑦}
𝑦imagende𝑥
∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓∃! 𝑦 ∈ 𝐹,𝑓(𝑥) = 𝑦
Conjuntodefunciones
𝐹h = ¡𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑑𝑒𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠𝑑𝑒𝐸 → 𝐹
£
Curvarepresentativa𝒞J = ¥(𝑥, 𝑓(𝑥)), 𝑥 ∈ 𝐷𝑓¦
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) Leonhard Euler (1707 -1783) Nicolas Bourbaki 1935