Función

Aprendizajes esperados:

• Analizan el comportamiento gráfico y analítico de las funciones potencia, logarítmica y exponencial.

Objetivo:

• Analizar el comportamiento gráfico y analítico de las función Potencia.

f(x) = mx + n

m: pendiente

n : coeficiente de posición

Ejemplo:

En la función: f(x) = 5x + 3

Pendiente (m)= 5

Coeficiente de posición (n)= 3

Indica el punto donde la recta intersecta al eje Y

La línea recta: La recta está representada por:

Repaso de las Funciones

Representación gráfica de: f(x) = 5x + 3

Si x = 0,

f(0) = 3

Si x = 1,

f(1) = 8

Si x = -1,

f(-1) = -2...etc.

⇒

⇒

⇒

f(0) = 5 • (0) + 3

f(1) = 5 • (1) + 3

f(-1) = 5 • (-1) + 3

Gráfica de la función

Si m > 0, entonces la función es creciente.

x

y f(x)

Función Creciente

Ejemplo:

1) f(x) = 2x - 1

Pendiente: 2 > 0 La función es CRECIENTE.

-1 1 2 3

3

1

2

4

y=f(x)

x

Coeficiente de posición: -1

La recta intersecta al eje Y en el punto (0,-1)

⇒

⇒

(0,-1)

f(x)

Si m < 0, entonces la función es decreciente.

x

y

f(x)

Función Decreciente

1 2 3

3

1

2

4

-1 x

y= f(x)

Ejemplo:

1) f(x) = -5x + 4

Pendiente: -5 < 0 La función es DECRECIENTE.

Coeficiente de posición: 4 La recta intersecta al eje Y en el punto (0,4)

⇒

⇒

(0,4)

Siempre el dominio y el recorrido de las funciones de la formaf(x) = mx + n, es el conjunto IR.

Función Constante

Si m = 0, entonces la función es constante y es de la forma:

x

y

f(x)

La representación gráfica de una función constante es una línea recta, paralela al eje x:

f(x) = c Donde c número real

1 2 3

3

1

2

4

-1

y = f(x)

x

f(x) = 3

Pendiente: 0 La función es CONSTANTE.

Ejemplo:

Coeficiente de posición: 3

La recta intersecta al eje Y en el punto (0,3)

⇒

⇒

f(x)

(0,3)

Función Potencia

Ejemplo: Expresar el área de la cara de un cubo y su volumen en términos de la arista; construir una tabla de valores, el gráfico de la función correspondiente y determinar los valores posibles que puede tomar la variable independiente.

arista (a)

Área = a2

Volumen = a3

⇒ A(a) = a2

⇒ V(a) = a3

Es de la forma: f(x) = axn.

Grafico de A(a) = a2

164

93

42

11

00

1-1

4-2

9-3

Y16

X-4

0123456789

10111213141516

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Grafico de V(a) = a3

82

11

00

-1-1

Y-8

X-2

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Función Exponencial

Es de la forma: f(x) = ax con a >0, a ≠ 1 y x Є IR

Definición

Ejemplo1:

f(x) = 2x

f(0) = 20 = 1

f(1) = 21 = 2

f(2) = 22 = 4

f(3) = 23 = 8

f(-1) = 2-1 = 0,5

f(-2) = 2-2 = 0,25…

La gráfica de f(x) = 2x es:

Ejemplo2:

f(x) = (½)x

f(0) = (½)0 = 1

La gráfica de f(x) = (½)x es:

f(1) = (½)1 = ½

f(2) = (½)2 = ¼

f(-1) = (½)-1 = 2

f(-2) = (½)-2 = 4…

Dom (f) = IR

Rec (f) = IR+

Al igual que en la función anterior se tiene que:

Ley de crecimiento y decrecimiento exponencial

a) Si a > 1,

f(x)= ax es creciente en todo IR

x

y a > 1

1

b) Si 0 < a < 1,

f(x)= ax es decreciente en IR

x

y

0 < a < 1

1

Ejemplo:

Determine la función que representa el número de bacterias que hay en una población, después de x horas, si se sabe que inicialmente había 10.000 bacterias, y que la población se triplica cada una hora.

Solución:

Por lo tanto, la función que representa el número de bacterias después de x horas es:

.

Cantidad inicial = 10.000

Después de: 1 hora = 10.000·3 = 10.000·31 = 30.000

2 horas = 10.000·3·3 = 10.000·32 = 90.000

3 horas = 10.000·3·3·3 = 10.000·33 = 270.000...

Después de x horas = 10.000 · 3x

.

f(x)= 10.000 · 3x

Función LogarítmicaDefinición

La inversa de una función exponencial de base a, se llama función logarítmica de base a y se representa por:

.

y = loga(x) ay = x

a) Si a > 1, f(x)= loga(x) es creciente para x >0

x

y

x > 0

(Con a y x, distinto de cero, a ≠ 1).

Rec (f) = IR

Dom (f) = IR+

b) Si 0 < a < 1, f(x)= loga(x) es decreciente para x >0

x

y

x > 0

Dom (f) = IR+

Rec (f) = IR