2.8 Funcion Inversa, Logaritmica y Trigonometrica Inversa
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CALCULO DIFERENCIAL UNIDAD 2 FUNCIONES 2.8 Función inversa. Función logarítmica. Funciones trigonométricas inversa.
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CALCULO DIFERENCIAL
UNIDAD 2 FUNCIONES
2.8 Función inversa. Función logarítmica.
Funciones trigonométricas inversa.
FUNCIÓN INVERSA
Se llama
función inversa O
reciproca de f a otra función f−1
que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.
FUNCIÓN INVERSA
Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.
Podemos observar que:
El dominio de f−1 es el recorrido de f.
El recorrido de f−1 es el dominio de f.
FUNCIÓN INVERSA
Si dos funciones son inversas, su función composición es la función identidad.
f o f -1 = f -1 o f = x
(f(f-1(x)) = (f-1(f(x)) = x
FUNCIÓN INVERSA
Las gráficas de:
f y f -1
son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
FUNCIÓN INVERSA
Ejemplos de estas:
FUNCIÓN INVERSA
Hay que distinguir entre:
la función inversa, f−1(x),
y
la inversa de una función.
FUNCIÓN INVERSA
Cálculo de la función inversa
1.- Se escribe la ecuación de la función con x e y.
2.- Se despeja la variable x en función de la variable y.
3.-Se intercambian las variables.
FUNCIÓN INVERSA
Ejemplo 01: Calcular la f-1 (x) de:
2
3f
f"por x"" la
x""por y"" lascambian se
2
3
323232
3211
32
1
32
1-1-
x
xx
xy
yx
yyxyxxyxyxy
xxyx
xy
x
xxf
FUNCIÓN INVERSA
Comprobación: Como ahora sabemos que:
Vamos a comprobar el resultado para x = 2
2
3f
1
32 1-
x
xxy
x
xxf
25
107f7
1
72 1- yf
FUNCIÓN INVERSA
Ejemplo 02: Calcular la f-1 (x) de:
y obtener la gráfica de ambas funciones.
23 xxg
31-
3
3
3
3
3
2g
2
2
2
2
2
xx
yx
yx
xy
xy
xxg
FUNCIÓN INVERSA
Comprobación: Como sabemos que xxffxff 11
xxg
xxg
xxg
xgg
xxg
3
3
333
1
3
2
222
222
?
2
xxg
xxg
xxg
xgg
xxg
2
2
222
?
2
31
3 331
3 331
1
31
FUNCIÓN INVERSA
Calcular la f-1 (x) de:
y comprobar su resultado.
1
4
23)
13
2)12) 2
xx
xfc
xxfbxxfa
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Como la exponencial, la función
logarítmica se utiliza con asiduidad en
los cálculos y desarrollos de las
matemáticas, las ciencias naturales y
las ciencias sociales.
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Entre otros fines, se usa ampliamente
para «comprimir» la escala de medida de
magnitudes cuyo crecimiento, demasiado
rápido, dificulta su representación visual
o la sistematización del fenómeno que
representa.
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Definición de función logarítmica
Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como:
f(x) == logax
siendo “a” la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, dado que:
xabx ba log
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Verificamos las ecuación anterior:
xabx ba log
0.3999999.2 e
1.0986123ln3ln)
5.12499999.1210
096910.15.12log5.12 log)
0.499999.310
602059.00.4log0.4 log)
1.098612
1.096910
10
0.602059
10
ec
b
a
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Propiedades:
1234 log8 log4
8 log
log log log)2
5328 log4 log84 log
log log log)1
2
2
aa
aaa
aa
aaa
yxy
x
yxyx
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Propiedades:
4
33
4
18 log
4
18 log
log1
log)4
12348 log48 log
log log)3
24
2
24
2
xn
x
xnx
an
a
an
a
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Propiedades:
Logaritmos decimales (base 10):
Logaritmos neperianos (base e):
2
211
2 log
4 log4 log
log
log log)5
4
42
a
xx
b
ba
)( log x
xLóxln
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA
Son necesarias para calcular los ángulos de un triangulo a partir de la medición de sus lados.
Aparecen con frecuencia en la solución de ecuaciones diferenciales.
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA
Ninguna de las 6 funciones trigonométricas básicas tienen inversas, debido a que son funciones periódicas y, por lo tanto, no son inyectivas, pero restringiendo los dominios se puede hallar la inversa.
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA
La función y = Sen(x) no es una función uno a uno (inyectiva) en su dominio natural, porque cualquier recta horizontal corta la gráfica en más de un punto.
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA
La función seno es creciente e inyectiva en el intervalo:
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA
Si la función
Entonces, la inversa se anota
o también se anota
xSeny
xarcseny
ydondeySenxxseny 01
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA
No debemos confundir:
Su gráfica es:
xSenyconxseny
11
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA
Función Coseno
1,1-
codominio El
1,1-
recorrido El
crecientey
inyectiva es
0,
intervalo elEn
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA
Si la función
Entonces, la inversa se anota
o también se anota
xCosy
xy arccos
ydondeyCosxxy 0cos 1
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA
No debemos confundir:
xCosyconxy
1cos 1
