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FUNCIONES EXPONENCIAL , LOGARITMICA E INVERSACURSO: CALCULO MATEMATICOALUMNA:CYNTHIA MENDOZA QUISPE

Funcin Exponencial

Se llama funcin exponencial de base a aquella cuya forma genrica es f (x) = axSiendo a un nmero positivo distinto de 1. Por su propia definicin, toda funcin exponencial tiene por dominio de definicin el conjunto de los nmeros reales R.

La funcin exponencial puede considerarse como la inversa de la funcin logartmica, por cuanto se cumple que:

Funcin ExponencialPD: Si la base es 1, entonces la funcin se mantendra constanteFuncin ExponencialPROPIEDADES:Para toda funcin exponencial de la forma f(x) = ax, se cumplen las siguientes propiedades generales:

La funcin aplicada al valor cero es siempre igual a 1: f (0) = a0= 1. La funcin exponencial de 1 es siempre igual a la base: f (1) = a1= a. La funcin exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicacin de dicha funcin aplicada a cada valor por separado. f (x + x?) = ax+x?= axax?= f (x)f (x?). La funcin exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicacin al minuendo dividida por la funcin del sustrayendo: f (x - x?) = ax-x?= ax/ax?= f (x)/f (x?).Ejemplo:Modelo exponencial para la diseminacin de un virus5Una temblor empieza a desatarse en un pequeo pueblo con 10,000 habitantes. Despus de t das, el nmero de personas que ha sucumbido al temblor se modela mediante la funcin:

Contesta:Cuntas personas sucumbidas hay por el temblor. (t = 0)

b) Calcule el nmero de personas muertas despues de un da y depus de cinco das.

c) Grafique la funcin y describa el comportamiento.

Solucin:Ejemplo anterior copywriter6Cuntas personas sucumbidas hay por el temblor. (t = 0).

8 personas personas fallecen.Calcule el nmero de personas fallecidas despus de un da y cinco das. (t = 1, t = 2, t = 5)DasPersonas fallecidas1212545678Solucin:Ejemplo anterior (cont) copywriter7c) Grafique la funcin y describa el comportamiento. Los muertos han aumentado con rapidez y luego se estabiliza cuando estan cerca de 2000 personas. 0123000Interes compuestos copywriter8El inters compuesto se calcula mediante la frmula

donde:A(t) = cantidad despus de t aos

P = principal

r = tasa de inters por ao

n = nmero de veces que el inters se compone por ao

t = nmero de aosEjemploClculo del inters compuesto copywriter9Una suma de $1000 se invierte a una tasa de inters de 12% anualmente para la construccion de una vivienda. Calcule las cantidades en la cuenta despus de tres aos si el inters se compone anualmente, cada medio ao, por trimestre, mensualmente o diario.Solucin:DatosP = 1000

r = 12% = 0.12

t = 3EjemploClculo del inters compuesto copywriter10CapitalizacinnCantidad despus de tres aosAnual1Semianual2Trimestral 4Mensual12Diaria 365

EjemploCalcular el inters compuesto de manera continuaCalcule la cantidad despus de tres aos si se invierten $1000 a una tasa de inters de 12% por ao, capitalizado de forma continua.Solucin: Datos: P = 1000r = 0.12t = 3

copywriter11Seccin 4.11 4, 5 10, 11 14, 25 38, 64 67

Se puede comparar con el ejemplo anterior.Funcin LogartmicaUnafuncin logartmicaes aquella que genricamente se expresa como:f (x) = logaxSiendo a labasede esta funcin, que ha de ser positiva y distinta de 1.

Funcin LogartmicaPROPIEDADES:La funcin logartmica slo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+ ).Las imgenes obtenidas de la aplicacin de una funcin logartmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los nmeros reales, luego el recorrido de esta funcin es R.En el punto x = 1, la funcin logartmica se anula, ya que loga1 = 0, en cualquier base.La funcin logartmica de la base es siempre igual a 1.Finalmente, la funcin logartmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.

Funcin LogartmicaEJEMPLOS DE APLICACIONES: Escalas de intensidad ssmica La intensidad sonora viviendas Clculo del Volumen

EjemploFormas logartmicas y exponenciales copywriter15Forma LogartmicaForma Exponencial

EjemploGraficacin de funciones logartmicas16

Traza la grfica de Solucin:

x3210-1-2-3

SE derrumbo una vivienda en su totalidad y para saber mas informacion es nesezario construir una tabla de valores, se eligen los valores para x como potencias de 2 de modo que pueda hallar con facilidad sus logaritmos.Familia de Funciones Logartmicas copywriter17

EjemploReflexin de grficas de funciones logartmicas copywriter18Bosqueje la grfica de cada funcin.

Solucin: Se comienza con la grfica dey se

refleja en el eje de x para obtener la grfica .

Simetra Grfica de las Funciones InversasUna funcin f(x) y su inversa f -1(x) tienen grficas que son simtricas con respecto a la recta y = x, que es la funcin identidad Funciones InversasRecordemos que: dada una funcin "f(x)" que aplica "A" en "B", se llama funcin inversa f-1(x)" a aquella funcin que aplica "B" en "A" en la cual para todo par ordenado (x; y) que pertenece a "f(x)", existir un par ordenado (y; x) que pertenecer a " f-1(x)".

Otro ejemplo de Funciones Inversas

Una aplicacin de las funciones inversas:hallar la imagen de una funcin

Una aplicacin de las funciones inversas:hallar la imagen de una funcin

MUCHASGRACIAS