Ecuaciones exponenciales

Prof. Viviana Lloret

Las ecuaciones exponenciales son aquellas en donde la incógnita figura en el exponente. Veamos algunos ejemplos:

= 27Podemos observar que 27 puede ser expresado como potencia de 3 (27 = 3 3), luego

= 3 3

Como las potencias tienen el mismo resultado y las bases son iguales concluimos que los exponentes necesariamente deben ser iguales, por lo tanto igualamos 2x+4 a 3

2x + 4 = 3Por último despejamos x

2x = 3 – 4x = -1/2

Resolveremos ahora:

= En este caso vemos que también 8 puede ser expresado como potencia de 2, luego

= (Aplicamos en el segundo miembro Potencia de otra Potencia

= Aplicamos distributiva en el exponente del segundo miembro

=Igualamos exponente y despejamos x:

5x – 3 = 3x + 12

5x – 3x = 12 + 3

2x = 15

X = 15/2

A continuación resolveremos:

Como 5 no puede ser expresado como potencia de 2, aplicamos logaritmo (en base 10) en cada miembro:

log Aplicamos, en ambos miembros la propiedad log a n = n. log a

(3x+1) log 2 = (2x + 4). log 5Como log 2=0,3 y log 5= 0,7 nos queda:

(3x+1) . 0,3 = (2x + 4). 0,7 Aplicamos propiedad distributiva:

0,9 x + 0,3 = 1,4 x + 2,8Despejamos x:

0,9 x – 1,4 x = 2,8 -0,3-0,5 x = 2,5X= - 2,5/0,5

X= 5

Resolveremos:=

Como 8, 16 y 4 son potencias de 2 reemplazamos 8 = 2 3 , 16 = 2 4 y 4 = 2 2

= Aplicamos propiedad distributiva

= Aplicamos a n . a m = a n+m y a n : am = a n -m

= Igualamos exponentes:

= Despejamos x

9 x = 4 -6 - 2 – 39x = -7x= -7/9

Resolveremos:

= Como 5, 3, 2, 6 no pueden expresarse como potencias de un mismo número aplicamos logaritmo en ambos miembros, para ello recordemos que:

log (a.c) = log a + log b y log (a : c) = log a - log b )= log ()= log

(3x+2) log 5 + (2x +1) log 3 = (x+1) log 2 – (2x+3) log 6 (3x+2) . 0,7 + (2x +1) 0,5 = (x+1) 0,3 – (2x+3) . 0,8

Aplicamos propiedad distributiva y despejamos x.2,1 x + 1,4 + 1 x + 0,5 = 0,3 x + 0,3 – 1,6 x + 2,42,1 x +1 x - 0,3 x + 1,6 x = 0,3 + 2,4 – 1,4 – 0,5

4,4 x =0,8X = 0,8 / 4,4

X= 2/11

Resolveremos ahora la siguiente ecuación: 36

Sabemos que a n . a m = a n+m es decir que si tenemos a n+m lo podemos reemplazar por a n . a m

Luego = y + = 36

Sacamos factor común (+ ) = 36

. 12 = 36 = 36 : 12

= 3x = 1

Función Exponencial (Repaso)Recordaremos cómo graficar la función f(x)= 2 x – 4En primer lugar trazamos la asíntota por y = -4

Calculamos la raíz (y=0)0= 2 x – 44= 2 x x= 2

Intersección con y (x=0)y = 2 0 – 4y= 1 – 4y= -3

Hacemos una tabla para obtener más valores:

x y

1 -2

3 4

-1 -3,5