Prof. Isaías Correa M. 2012

Objetivo : A partir del conocimiento de la definición y

propiedades de los logaritmos, serás capaz de:

Resolver ecuaciones exponenciales. Resolver ecuaciones logarítmicas

ECUACIONES EXPONENCIALESA una ecuación en la que la incógnita aparece en

un exponente se la llama ecuación exponencial.

   Ejemplos: Resolver

53-x = 125

Observemos que 53-x = 53 , entonces 3 - x = 3 , luego x = 0

ECUACIONES EXPONENCIALES CON LOGARITMOS Y ECUACIONES LOGARITMICAS Ya hemos resuelto ecuaciones exponenciales del tipo 53-x = 53

sin la necesidad de ocupar logaritmos. Ahora resolveremos ecuaciones más complejas utilizando las propiedades de logaritmos.

   Ejemplo: Hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones

exponenciales:  a) 101-x = 30 / log Aplicamos logaritmos, porque no es posible igualar las bases y

nos queda: log 101-x = log 30 Enseguida desarrollamos… (1-x)log 10 = log 30 

log 10 – x log 10 = log (10* 3)

- x log 10 = log 10 + log 3 – log 10

despejamos x - x = pero log 10 =1 , por lo tanto - x = log 3 / *-1

x = - log 3 o x= log  

log3log10

13

Veamos otro ejemplo b) 3x . 52x = 4 Aplicando logaritmos a ambos miembros de la

igualdad, obtenemos:  log ( 3x . 52x ) = log 4 logaritmo de un

producto. log 3x + log 52x = log 4 logaritmo de una

potencia

x log 3 + 2 x log 5 = log 4 x( log 3 + 2log 5) = log factorizamos por x x = y despejamos

x = = = Cambio de base

22

2log 2log3 2log5

2

2

log2log3 log5

2

2

log2log(3 5 ) 754log

Analicemos este caso: c) 32x - 4 . 3x+1 = -27 acá no podemos aplicar logaritmos, porque hay una resta.

(3x)2 - 4 . 3 . 3x + 27= 0 ¡¡Debemos hacer un arreglo!!  Si z = 3x y reemplazamos en la ecuación, obtenemos z2 - 12 z + 27 = 0 ( incógnitas auxiliares )

  Al resolver la ecuación, las raíces de ella son: z1 = 9 , z2 = 3 . Por lo tanto 3x = 9 3x = 32 x = 2 y 3x = 3 x = 1 

d) Otro caso parecido: 25x + 5x = 20 (5x)2 + 5x = 20 hacemos el

arreglo Si z = 5x z2 + z – 20 = 0

Las raíces de la ecuación cuadrática: z1 = 4 , z2 = -5 .  luego 5x = 4 como no podemos

igualar bases log 5x = log 4 aplicamos

logaritmos

x log 5 = log 4 x = x =

log 4log5 5log 4

Ecuaciones LogarítmicasDefinición: Es aquella en que la incógnita se

encuentra en el argumento (número del logaritmo).

Ejemplo:

Obs: Para resolver este tipo de ecuaciones debemos “eliminar los logaritmos” y luego resolver como una ecuación cualquiera.

En el ejemplo sería:

8 + 1 =3x 9 = 3x x=3

2log (3 1) 3x

32 3 1x

Nota: Cada vez que resolvamos una ecuación logarítmica, debemos verificar si el o los valores son solución de la ecuación.

Ejemplo 2) 3log (x+1) – 2log (y – 2)= 1 *3

Sist. De Ec. 5log(x+1) + 3log (y – 2)= 27 *2

9log (x+1) – 6log(y – 2)=3 10log (x+1) + 6log(y – 2)=54 19log(x+1) = 57 log(x+1) = log(x+1)= 3

5719

Luego aplicamos la definición de logaritmos, para despejar x:

1000=x + 1 x=999Para despejar el valor de “y”, reemplazamos el

valor de log(x + 1) en cualquiera de las ecuaciones del

sistema.Por ejemplo: 5log(x+1) + 3log (y – 2)= 27 5* 3 + 3log(y – 2)= 27 15 + 3log(y – 2)= 27 3log(y – 2) = 27 – 15 3log(y – 2) = 12 log (y – 2)= log(y – 2)= 4

310 1x

123

Luego, aplicando definición despejamos el valor de “y”

10000= y – 2 y= 10002

Finalmente al verificar los valores (x e y) en el sistema, nos damos cuenta que ambos satisfacen al sistema.

Por lo tanto, las soluciones son: x=999 y=10002

410 2y