2. Funciones Exponenciales.

Colegio Secundario “ Manuel Ramón González ”

Funciones

Exponenciales

C. S. “M. R. G.”

2020

Autor: Profesor Saúl Enrique Zamaniego - Colegio Secundario “ Manuel Ramón González ”

Año: 2020 Curso: 6° “U” Localidad: San Lorenzo

e-mail: [email protected] Pág. 2

Crecimiento Exponencial

En un lago del sur de la Argentina un grupo de científicos acaba de descubrir una nueva

especie de bacterias que se estaría reproduciendo velozmente de manera tal que podría causar

muchos problemas de enfermedades en los habitantes de esa zona geográfica. Estudios

complementarios recientes revelaron que esta especie se reproduce cada una hora de manera que

cada bacteria se duplica orgánicamente y todo habría empezado con una sola bacteria…

* Completar la siguiente tabla de referencia para saber cuánto crecerá la población de bacterias a

medida que transcurre el tiempo…

Tiempo 0 hs 1 hs 2 hs 3 hs 4 hs 5 hs 6 hs 7 hs 8 hs 9 hs 10 hs

Población de bacterias 1

� Responder cada una de las siguientes preguntas de acuerdo con los valores obtenidos o

estimando algunos de ellos…

a) ¿ Cuántas bacterias habrán a las 10 horas de inicio de la reproducción ?

b) ¿ Cuál sería la población de bacterias luego de un día de haberse iniciado el ciclo reproductivo ?

c) Si los biólogos estiman que con una población de 262144 bacterias correríamos una alta

probabilidad de riesgo … ¿ cuántas horas deberían pasar para que ocurra este peligroso

acontecimiento ?

d) Obtener la expresión o fórmula matemática que permita hallar la cantidad de bacterias en función

del tiempo ( en horas) transcurrido.

e) Realizar un gráfico que represente esta situación planteada.

Resolución :

dejar espacio suficiente para la resolución …

Función Exponencial

DEFINICIÓN: se llama “función exponencial” a una función numérica que presenta la siguiente forma

f : ℝ → ℝ / y = f ( x ) = k . ax

, donde “k” y “a” son dos números reales

denominados “coeficiente” y “base” respectivamente que deben cumplir las siguientes

condiciones…

Los valores “K” y “a” son los parámetros de la función exponencial. Por lo tanto en una función

exponencial definida simbólicamente se reconocen las siguientes componentes o partes:

Dominio de la función Codominio de la función Variable independiente

Nombre de la función f : ℝ → ℝ / y = f ( x ) = k . ax

Variable dependiente Coeficiente Base

≠

≠∧⟩

) 0 de distinto k"" ( 0 k

1 de distinto a"" y 0 que mayor a"" ( 1 a 0 a




Algunos ejemplos de funciones exponenciales son los siguientes:

1) f : ℝ → ℝ / y = f ( x ) = 2x

; entonces k = 1 ; a = 2

2) g : ℝ → ℝ / y = g ( x ) = 3 .

3

1

x ; entonces k = 3 ; a =

3

1

3) h : ℝ → ℝ / y = h ( x ) = –1 .

2

1

x ; entonces k = –1 ; a =

2

1

4) j : ℝ → ℝ / y = j ( x ) = 2

1 . 4

x ; entonces k =

2

1 ; a = 4

Consideraciones Previas Elementales

Antes de iniciar el estudio y análisis propio de las funciones exponenciales vamos a considerar

y repasar algunas cuestiones elementales con respecto a la potenciación en el conjunto de los

números reales…

8 2 . 2 . 2 2 3 ==

( – 2 ) 4

= ( – 2 ) . ( – 2 ) . ( – 2 ) . ( – 2 ) = 16

4 3 −

=

4

1 3 =

4

1 .

4

1 .

4

1 =

64

1

( – 3 ) 3 −

=

−

3

1

3 =

−

3

1 .

−

3

1 .

−

3

1 =

27

1 −

2

5

2 − =

5

2

2 =

5

2 .

5

2 =

25

4

−

3

4

3 − =

−

4

3

3 =

−

4

3 .

−

4

3 .

−

4

3 =

64

27 −

−

3

1

4 − = ( – 3 )

4 = ( – 3 ) . ( – 3 ) . ( – 3 ) . ( – 3 ) = 81

EJEMPLO N° 1:

Considerando a la función exponencial f : ℝ → ℝ / y = f ( x ) = 2x

a) Identificar los parámetros de la misma.

b) Construir la tabla de valores correspondiente

c) Representar gráficamente a dicha función.

Resolución.

a) k = 1 ; a = 2




b)

x y = f ( x ) = 2x

– 4 24 −

=

2

1 4

= 2

1 .

2

1 .

2

1 .

2

1 =

16

1

– 3 23 −

=

2

1 3

= 2

1 .

2

1 .

2

1 =

8

1

– 2 22 −

=

2

1 2

= 2

1 .

2

1 =

4

1

– 1 21 −

=

2

1 1

= 2

1

0 20

= 1

1 21

= 2

2 22

= 2 . 2 = 4

3 23

= 2 . 2 . 2 = 8

4 24

= 2 . 2 . 2 . 2 = 16

c)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

x

y

* OBSERVACIÓN: Como se puede apreciar en el gráfico de este ejemplo, el recorrido de la función

exponencial se acerca mucho al semieje negativo x , pero nunca llega a cortarlo… Se dice entonces

que el semieje negativo x es la asíntota de esta función exponencial.

x 2 ) x ( f y ==

0




Por otra parte se observa que el recorrido de la función exponencial “corta o intercepta” al

EJE Y en y = 1 … Se dice entonces que el punto y = 1 es la ordenada al origen de la función

exponencial y como dato alusivo la ordenada al origen coincide con el valor del coeficiente ( k ) de la

función exponencial.

EJEMPLO N° 2:

Considerando la función exponencial g : ℝ → ℝ / y = g ( x ) = 2

1 − . 2

x




d) Determinar asíntota y ordenada al origen de la función dada.

Resolución.

a) k = ; a =

b)

x y = g ( x ) = 2

1 − . 2

x

– 4

−

2

1 . 2

4 − =

– 3

−

2

1 . 2

3 − =

– 2

−

2

1 . 2

2 − =

– 1

−

2

1 . 2

1 − =

0

−

2

1 . 2

0 =

1

−

2

1 . 2

1 =

2

−

2

1 . 2

2 =

3

−

2

1 . 2

3 =

4

−

2

1 . 2

4 =




c)

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−17

−16

−15

−14

−13

−12

−11

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

x

y

d) La asíntota de la función exponencial es el …………………………………………………… mientras que la

ordenada al origen es el punto y = …….

EJEMPLO N° 3:

Considerando la función exponencial h : ℝ → ℝ / y = h ( x ) = 3 .

3

1x




d) Determinar asíntota y ordenada al origen de la función dada.

Resolución.

a) k = ; a =

x2 .

2

1 ) x ( g y −==




b)

x y = h ( x ) = 3 .

3

1x

– 4 – 3

– 2

– 1

0

1

2

3

4

c)

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

x

y

d) La asíntota de la función exponencial es el …………………………………………………… mientras que la

ordenada al origen es el punto y = …….

x

3

1 . 3 ) x ( h y

==




ACTIVIDADES:

Para cada una de las siguientes funciones exponenciales…

1) m : ℝ → ℝ / y = m ( x ) = 2 . x

2

1

2) t : ℝ → ℝ / y = t ( x ) = – 3 . x

3

1

3) f : ℝ → ℝ / y = f ( x ) = 2

1 . 2

x

4) g : ℝ → ℝ / y = g ( x ) = 3

1 − . 3

x

a) Identificar los parámetros de cada una de ellas.

b) Construir la tabla de valores asociada a cada función.

c) Representarla gráficamente.

d) Determinar la asíntota y la ordenada al origen de cada función.

2. Funciones Exponenciales.

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