FUNCIONES EXPONENCIALES

DEFINICIÓN

Se denomina función exponencial a toda aquella función que tenga la forma:

Exponente

Base de la función

Coeficiente de la función

Condiciones

El coeficiente (k) debe ser un

número real NO nulo.

La base (a) debe ser un número

real positivo distinto de 1.

a <1 es decreciente:

a >1 es creciente:

Si la base es:

La ecuación general completa es: y= k.ax +b

Dominio: todos los reales

Asíntota horizontal y=b

k>0 imagen (b, )

K<0 imagen (- ,b)

Si k> 0 a>1 crece

0<a<1 decrece

Si k<0 a>1 crece

0<a<1 decrece

Representación sin grafico

Para recordar:

Representación grafica

• El conjunto imagen de todas las funciones exponenciales es:

(0 ; ).

• Como han podido observar en el grafico, la curva que

representa a la función crece de manera muy rápida. A este

crecimiento se lo denomina “crecimiento exponencial”.

Asíntota

Hay dos funciones de “gran presencia”

que corresponden a las bases:

F(x) = 10x

F(x) = ℮x

Coeficiente:

•Positivo

•Negativo

•Nunca nulo

En este caso se generan

grandes diferencias:

Conjunto Imagen:

a.(0;∞)

b.(-∞;0)

Ordenada al origen:

a.(0;2)

b.(0;-2)

¿Crece o Decrece?

a. Crece

b. Decrece

Conclusiones:

▪ Si el coeficiente es positivo, la función crece. Mientras que si el coeficiente

es negativo, la función decrece.

▪ Las curvas de las funciones que tienen igual base y coeficientes opuestos

son simétricas respecto al eje de las abscisas (eje x).

Donde K:

fg

• Ambas curvas se cortan en el

punto (0,1).

• No cortan el eje de las abscisas.

• El conjunto imagen es (0; ).

Conclusiones:

• Si la base A es mayor a 1, la función es creciente.

• Si la base A es menor a 1, la función es decreciente.

LAS BASES AL SER INVERSAS O RECÍPROCAS, SON SIMÉTRICAS

CON RESPECTO AL EJE DE LAS COORDENADAS (EJE Y).

Variaciones

Variaciones

Las funciones y = ax + b son de tipo

exponencial. Su grafica se obtiene trasladando

la grafica de y = ax en b unidades hacia arriba

si b es positivo, y en b unidades hacia abajo si

es negativo.

Las funciones y = ax + b son también de tipo

exponencial. Su grafica se obtiene trasladando

la grafica de y = ax en b unidades hacia la

izquierda si b es positivo, y b unidades hacia la

derecha si es negativo.

Ejemplo

Hallar la fórmula de una función

Podemos encontrar la fórmula de una

función exponencial conociendo dos

puntos de la curva:

A: (-1;(2/3)) B: (4;162)

Reemplazamos en la formula general de

la función exponencial:

y = k . ax

2/3 = k. a-1 162 = k. a-4

Despejamos “k”

(2/3) : a-1 = k 162 : (a4) = k

Explicación práctica

Igualamos ambas expresiones:

(2/3) . a4 = 162 . (a-1)

Pasaje de término, operamos y despejamos

“a” y encontramos “k”:

(a4): a-1 = 162 : (2/3)

a4-(-1) = 162 : (2/3)

a5 = 162: (2/3)

a5 = 243

a = 5 √243

Entonces la función es:

Explicación práctica

K= 2a = 3

f(x) = 2 . 3x

Aplicaciones de las

funciones exponenciales

Alcohol y conducción de vehículos

Se puede calcular el riesgo de tener un accidente

automovilístico mediante la función:

X = Concentración de alcohol en sangre

K = ConstanteR = Riesgo (en porcentaje)

R = 6ekx

La mitosis o división celularEste proceso obedece a la ley de crecimiento inhibido

Una fórmula que proporciona el número (N) de células en

el cultivo después de transcurrir un tiempo (t) (en las

primeras etapas del crecimiento) es:

Donde k es una constante positiva.Donde N0 es el número inicial de células.

Aplicación

N(t)= N0ekt

Eficiencia de un artefacto

El proceso de declinación de la eficiencia

de un aparato o instrumento puede ser

representado por funciones

exponenciales decrecientes.

Aplicación

Cicatrización de heridas

A0= área original de la herida

A= área de la herida luego de “nº” de días

A= A0e-0.35n

Aplicación

La presión atmosférica de un globo o

aeroplano puede representarse en una

función decreciente.

Aplicación

P = presión atmosférica a

una altura h

H = altura

P0 = presión atmosférica

a nivel del mar

m = masa de las

moléculas de aire

k = constante de

Boltzmann

T = temperatura

G = gravedad

P = P0 . e-mgh/kT

Ejercicios

Bibliografía y Links

•Matemática 1 - Serie Polimodal. Ed.

Santillana

•http://docencia.udea.edu.co/ingeni

eria/calculo/pdf/1_3_3.pdf

(Aplicaciones)

•http://goo.gl/nlu1z (Aplicaciones)

•Apuntes de la carpeta

Vitutor. Funciones exponenciales

Integrantes

Altobelli, Leandro.

Cancinos, José.

González, Gloria.

Hnilitza, Fernanda.

4º 1º Economía - 2013