FUNCIONES

MATEMÁTICA 1

La función f: A B es inyectiva (univalente), si a cada

elemento del rango le corresponde un único elemento

en el dominio.

Función inyectiva

a.

b.

c.

n.

m.

p.

q.

A BfE

j

e

m

p

l

o

Forma simbólica:

Si x1, x2 Df : f(x1) = f(x2) x1 = x2

Ejemplos:

Determina que la función f(x) = 5x + 4, es

inyectiva o no.

1.

Dada la función f(x) = x + x2 + 7, x [-3; 3],

demostrar que f es inyectiva.

2.

Función inversa.- Una función f tiene inversa,

solamente cuando es inyectiva (correspondencia de

uno a uno), se representa por f-1 o f *.

Donde:

Df * = Rf

Rf * = Df

f-1(x) = (f(x), x) / xDf

Las gráficas de f y f * son

simétricas respecto de

la recta y = x.

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Una función lineal y = 2x + 3 y su inversa

f(x) = 2x + 3 f*(x) = 0,5(x - 3) y = f(x) = x

Dada la función: f(x) = (1; 3), (2; 5), (4; 7), (6; 9),

(8; 11). Determina la función inversa.

1.

Propiedad fundamental de las funciones inversas

Si f: A B, es una función inyectiva y f*: B A es

la función inversa de f, entonces:

f*(f(x)) = x, x Df

f(f*(x)) = x, x Df *

Dada la función: f(x) = 4x + 5. Graficar: a) f(x) y

b) f-1(x)2.

Halla la inversa de la función: f(x) = 5x – 3, si x

[0; 5],

3.

Función exponencial

f(x) = ax, a > 0 a ≠ 1

Una función exponencial, es de la forma f(x) = ax,

donde a es un número real positivo distinto de 1.

Para toda función exponencial, de la forma y = ax o

f(x) = ax, donde a > 0 a ≠ 1.

El dominio de la función es el conjunto de losnúmeros reales, Df = R.

El rango de la función exponencial: Rf = 0; +

Grafique la función exponencial y = f(x) = 2x,

determine el dominio y rango de la función.

Ejemplos:

1.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Gráfico de la función exponencial f(x) = 2x

Grafique la función exponencial y = f(x) = ( )x,

determine el dominio y rango de la función.2

12.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-2 -1 0 1 2 3 4

Gráfico de la función exponencial f(x) = (1/2)x

Gráfica de las funciones exponenciales

Una suma de S/.1 000 se invierte a una tasa de

interés de 18% al año. Encuentre las cantidades en la

cuenta después de 3 años si el interés se capitaliza

anual, semestral, trimestral y mensualmente.

3.

La población ha crecido de forma exponencial desde

1650. La función exponencial que aproxima mejor la

población mundial dese el 1650 con proyección al

2015 es: f(x) = 0,5.e0,0072t; donde: f(x) es la población

mundial en miles de millones de personas.

Determina aproximadamente la población mundial

para el año 2015.

3.

Funciones logarítmicas

La función logarítmica está definida, como:

Propiedades:

logbN = x N = bx, N > 0, b > 0 b ≠ 1

i) logb1 = 0 ii) logbb = 1

iii) logbAn = n.logbA iv) logbA = logbA

vi) logb( ) = logbN - logbM

v) logb(N.M) = logbN + logbM

n

n1

M

N

vii) logbN =logab

logaNCambio de base

Cambio de logaritmo natural de un

número cualquiera al logaritmo vulgar

viii) ln(N) =log e

log N

Halla ln(100) =

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Gráfico de la función logarítmica f(x) = log2x

Grafique y determina el dominio y rango de la

función f(x) = log2x

1.

2. Grafique y determina el dominio y rango de la

función f(x) = log1/2 x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Gráfico de la función f(x) = (0,5)x

Comparando gráficas de funciones exponenciales y

logarítmicas.

De acuerdo con la definición de logaritmo, podemos

reescribir esta función como y = loga x, que es una ecuación

donde y está despejada. Por consiguiente, y = ax y y = loga x

son funciones inversas, y podemos escribir: si f(x) = ax,

entonces f -1(x) = loga x.

Resuelva: log(27) - log(3) + 2 + loga(a)323

3.

4. Halla el valor de x, si: 2.log(x) + log(64) =

log(x)3

5. Resuelva: 5.log(x) - log(32) = log( )2x

Taller 4

Dada la función: f(x) = 5x + 3. Graficar: a) f(x) y

b) f-1(x)

1.

Graficar la función: f(x) = ln(x) = logex.2.

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 1 2 3 4 5

Gráfico de f(x) = ln(x)

Funciones trigonométricas (F.T.)

F.T = (x; y)RR / y = RT(x)

Se denomina función trigonométrica al conjunto de

pares ordenados (x; y), tal que la primera

componente “x” es la medida de un ángulo

trigonométrico en radianes (número real) y a segunda

componente “y” es el valor de la razón

trigonométrica de x.

Función seno

f(x) = (x; y)RR / y = sen(x), x R

O simplemente:

y = f(x) = sen x, xR

Dsen x = R

Rsen x = -1; 1

f(x) = (x; y)RR / y = cos(x), x R

O simplemente:

y = f(x) = cos x, xR

Dcos x = R

Rcos x = -1; 1

Función coseno

f(x) = (x; y)RR / y = tan(x), x ≠ (2k + 1)(/2), kZ

O simplemente:

y = f(x) = tan x

Dtan x = R - (2k + 1)(/2), kZ

Rtan x = R

Función tangente

Método práctico para el trazado de gráficas

y = f(x) + k

1. Desplazamiento vertical

La gráfica se desplaza hacia arriba

si k > 0

La gráfica se desplaza hacia abajo

si k < 0

Ejemplos:

a) Si f(x) = x2 – 2x, graficar y = f(x) + 3

b) Si f(x) = sen x, graficar y = f(x) + 2

c) Si f(x) = cos x, graficar y = f(x) - 3

y = f(x - k)

2. Desplazamiento horizontal

La gráfica se desplaza

hacia la derecha si k > 0

La gráfica se desplaza

hacia la izquierda si k < 0

Ejemplos:

a) Si f(x) = x2 – 2x, graficar y = f(x - 2)

b) Si f(x) = x2 – 2x, graficar y = f(x + 3)

c) Si f(x) = sen x, graficar y = f(x - /4)

d) Si f(x) = sen x, graficar y = f(x + /2)

y = - f(x)

3. Reflejo vertical

Ejemplos:

a) Graficar: f(x) = sen x, y f(x) = -sen x

b) Graficar: f(x) = x2 – 2x, y y = -f(x)

y = f(-x)

4. Reflejo horizontal

Ejemplos:

a) Graficar: f(x) = (2/3)x - 3, y y = f(-x)

b) Graficar: f(x) = sen x, y f(x) = sen (- x)

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

Gráfica de sen x y sen (-x)

sen x sen (-x)

y = af(x)

Si 0 < a < 1 la gráfica se

comprime “a” veces.

Si a > 1 la gráfica se

dilata “a” veces.

Ejemplos:

a) Graficar: f(x) = (0,5)sen x

b) Graficar: f(x) = 2.sen x

5. Dilatación o compresión vertical

y = f(ax)

Si 0 < a < 1 la gráfica se

dilata con el factor 1/a.

Si a > 1 la gráfica se

comprime con el factor 1/a.

6. Dilatación o compresión horizontal

Ejemplos:

a) Si f(x) = x2 – 2x, graficar y = f(2x)

b) Si f(x) = cos x, graficar y = f(0,5x)

y = f(x) = A F.T. (Bx + C) + D

Periodo de las funciones compuestas

de la forma:

Caso 1:

f(x) = A sen (Bx + C) + D, ó

f(x) = A cos (Bx + C) + D

Periodo:B

2T =

Ejemplos: Determine el periodo de:

a) f(x) = 1 – 3.sen (2x + /4)

b) f(x) = 2 + 5.cos (/6 - 3x)

Caso 2:

f(x) = A sec (Bx + C) + D, ó

f(x) = A csc (Bx + C) + D

Periodo:B

2T =

Ejemplos: Determine el periodo de:

a) f(x) = sec (/3 - x)

b) f(x) = 6 + 2.cos (2x/3 - /2)

Caso 3:

f(x) = A tan (Bx + C) + D, ó

f(x) = A cot (Bx + C) + D

Periodo:B

T =

Ejemplos: Determine el periodo de:

a) f(x) = 1 - tan (/8 - 2x)

b) f(x) = 3.cot (3x/4 - /3)

Líneas

trigonométricas

E(1; tg )

Q(ctg ; 1)

P(cos ; sen )

Líneas

trigonométricas

C(sec ; 0)

D(0; csc )

Resumen de las características de las funciones trigonométricas

Ejercicios

1. Determine el dominio de la función:

h(x) = cot x + sen x

2. Calcule el dominio de la función:

f(x) =cos x

sen x + 7

3. Calcule el dominio de:

f(x) =sen x - 2

sen x

4. Si el rango de la función:

f(x) = a.cos x + b; Rf -1; 3

Calcule el valor de la expresión

M = 2a - b

5. Determine el dominio de la función:

F = (x; y) / y = 2sen x – 1 + sen x;

0 x 2

6. Calcula el rango de la función:

f(x) = (1 + sen x) (3 + sen x)

7. Calcula el rango de la función f, cuya regla de

correspondencia es:

f(x) = 4sen2 x + 4sen x

8. Calcular el máxima valor de: sen + cos

9. Calcular el máxima valor de: R = 2sen - 3cos

10. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada:

11. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada:

12. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada:

13. La función: y = f(x) - 4.cos (2x + /3) - 3;

es igual a -1 cuando x es igual a:

a) /6 b) /4 c) 2/3 d) e) 2

1. Calcula el rango de la función f, si:

f(x) = cos2 x + 2cos x; x 0; /2

2. Graficar: f(x) = 1 + (0,5) sen (2x - /4

Taller