Clase 6 Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas · Clase 6 Ecuaciones exponenciales y...

Clase 6

Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas

Instituto de Ciencias Basicas

Facultad de Ingenierıa

Universidad Diego Portales

Marzo, 2014


Funcion exponencial

Recuerde que el grafico de f(x) = ax, con a > 0 esta dado por

f(x) = ax con a > 1 f(x) = ax, con 0 < a < 1.

1

2

3

4

5

1 2 3−1−2−3

y = ax

1

2

3

4

5

1 2 3−1−2−3

y = ax

Observacion

La funcion exponencial es una funcion inyectiva, esto es,

ax = ay ⇐⇒ x = y


Problemas resueltos

Problema 1: Resuelva la ecuacion

3x2−5 = 81 .


Problemas resueltos


3x2−5 = 81 .

Solucion:

3x2−5 = 81

3x2−5 = 34

x2 − 5 = 4

x2 = 9

x = ±3,

por tanto, la solucion es x = ±3.


Problemas resueltos


3x√b2x+3 = 1 ,

indicando las restricciones de b.


Problemas resueltos


3x√b2x+3 = 1 ,

indicando las restricciones de b.

Solucion:

3x√b2x+3 = 1

3x√b2x+3 = b0 , con b 6= 0

b2x+33x = b0

2x+ 3

3x= 0 .

Si x 6= 0, entonces 2x+ 3 = 0, o bien, x = −3/2.


Problemas resueltos


2x · 5x+1 =0, 5

10−8


Problemas resueltos


2x · 5x+1 =0, 5

10−8

Solucion:

2x · 5x · 5 =1

2· 108

10x =108

10

10x = 107

x = 7,

por tanto, x = 7.


Problemas resueltos


3x + 3x+1 + 3x+2 = 39

usando la variable auxiliar u = 3x.


Problemas resueltos


3x + 3x+1 + 3x+2 = 39

usando la variable auxiliar u = 3x.

Solucion:

Por propiedades de potencias,

3x + 3 · 3x + 32 · 3x = 39 .

Sea u = 3x, entonces,

u+ 3u+ 9u = 39

13u = 39

u = 3,

volviendo a la variable original, tenemos 3x = 3, de donde x = 1.


Problemas resueltos

Problema 5: Resuelva la ecuacion(

19

)7x−1 · 318x+21

272x+1= 1


Problemas resueltos


19

)7x−1 · 318x+21

272x+1= 1

Solucion:

(

3−2)7x−1 · 318x+21 =

(

33)2x+1

3−14x+2 · 318x+21 = 36x+3

4x+ 23 = 6x+ 3

−2x = −20

x = 10.


Problemas resueltos


19

)7x−1 · 318x+21

272x+1= 1

Solucion:

(

3−2)7x−1 · 318x+21 =

(

33)2x+1

3−14x+2 · 318x+21 = 36x+3

4x+ 23 = 6x+ 3

−2x = −20

x = 10.

Observacion

¿ Que sucede si se utiliza 30 = 1 inicialmente ?.


Problemas resueltos


10x · 5x+6 = 2


Problemas resueltos


10x · 5x+6 = 2

Solucion:

2x · 5x · 5x+6 = 2

52x+6 = 21−x,

aplicando logaritmo en base 10 a la igualdad, tenemos:

(2x+ 6) log 5 = (1− x) log 2

2x log 5 + 6 log 5 = log 2− x log 2

x(2 log 5 + log 2) = log 2− 6 log 5

x =log 2− 6 log 5

2 log 5 + log 2


Grafico de la funcion logaritmo

Recuerde que el grafico de f(x) = log x esta dado por:

1

2

−1

−2

1 2−1−2

y = log(x)


Grafico de la funcion logaritmo

Recuerde que el grafico de f(x) = log x esta dado por:

1

2

−1

−2

1 2−1−2

y = log(x)

Observacion

La funcion logaritmo en base a es una funcion inyectiva, esto es,

loga(x) = log

a(y) ⇐⇒ x = y


Problemas resueltos


log

(

x− 3

x− 1

)

= −1


Problemas resueltos


log

(

x− 3

x− 1

)

= −1

Solucion: Para x ∈ (−∞, 1) ∪ (3,∞)

log

(

x− 3

x− 1

)

= −1 log 10

x− 3

x− 1= 10−1

10(x− 3) = x− 1

10x− 30 = x− 1

9x = 29

x =29

9


Problemas resueltos


log

(

x− 3

x− 1

)

= −1

Solucion: Para x ∈ (−∞, 1) ∪ (3,∞)

log

(

x− 3

x− 1

)

= −1 log 10

x− 3

x− 1= 10−1

10(x− 3) = x− 1

10x− 30 = x− 1

9x = 29

x =29

9

Observacion

Compruebe que x =29

9es la solucion de la ecuacion original.


Problemas resueltos


log(x2 − 1)− log(x+ 1) = 2


Problemas resueltos


log(x2 − 1)− log(x+ 1) = 2

Solucion: Para x > 1,

log

(

x2 − 1

x+ 1

)

= 2 log 10

x2 − 1

x+ 1= 102

x2 − 1 = 100x+ 100

x2 − 100x− 101 = 0

(x− 101)(x+ 1) = 0,

de aquı, x = −1 o x = 101.


Sobre del ejercicio anterior

Observacion

Al reemplazar los valores obtenidos de x, tenemos que x = 101 es unasolucion, mientras que x = −1 no lo es.


Problemas resueltos

Problema 3: Resolver la ecuacion

log(x+ 4) = log 12− log x


Problemas resueltos


log(x+ 4) = log 12− log x

Solucion: Para x > 0,

log(x+ 4) = log

(

12

x

)

x+ 4 =12

x

x2 + 4x− 12 = 0

(x+ 6)(x− 2) = 0,

de aquı, x = −6 o x = 2.Compruebe si estos valores son efectivamente soluciones del problemaoriginal.


Problemas resueltos


2 loga

√x+ 2− 3 log

a

3√x+ log

ax = 1 ,

suponiendo que x es mayor que cero e indicando las restricciones de a paraque x sea una solucion valida.


Problemas resueltos


2 loga

√x+ 2− 3 log

a

3√x+ log

ax = 1 ,

suponiendo que x es mayor que cero e indicando las restricciones de a paraque x sea una solucion valida.

Solucion:

loga

(√x+ 2

)2 − loga( 3√x)3 + log

ax = 1

loga(x+ 2) = log

aa

x+ 2 = a

x = a− 2 .

Para que x sea solucion, a debe ser mayor que dos.


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