Ecuaciones Exponenciales Quinto

7/23/2019 Ecuaciones Exponenciales Quinto

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COLEGIO Juan Vlez de Crdova - 2015 - Prof. !on"#en$%ue &r$a'(&)E(*)IC&5+ &,OG& /+ 5 - /CI/ EPO/E/CI&L LOG&3)(IC& - EC&CIO/E4

POTENCIACIN:

Ejercicio 1: Transformar cada una de las siguientes expresiones en una sola potenciaa) =+12.4 xx b) =+ 322 8.16 xx

c) = 9.3 x d) =+ xxx 125.25.5 322

e) =+328

4x

x

f) =

x

x

81

27 23

g) =+ 2425 32.416 xxx

1


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Ejercicio 2 !esol"er a) ( ) =5213 b) ( ) =4

335 c) ( )( ) =5

634

#. xx

d) ( ) ( )( ) =56

3423.. xxx e) ( )( ) =

23342.2 f) ( ) =

1$1

2

54

3

ECUACIONES EXPONENCIALES:%on a&uellas ecuaciones &ue contienen la inc'gnita en alg(n exponente.

bser"en algunos e*emplos de c'mo se pueden resol"er

+* 1 1$24 , 8 . 2 x

+* 2 3 x

- 3 2+x

, 3

1$

+* 3x

x

3

42

255

1

.5 =

x2.22 31$ = 3

1$3.33 2 =+ xx ( ) ( ) xx 32421

.2

1

55.5 =

x+= 31$ 22 ( )3

1$31.3 2 =+x xx 6422

1

55 =+

1$ , 3 - x3

1$1$.3 =x

2

1 2x - 4 , 6 x

x , 7 1$3

1$3 =x

2

1- 4 , 6 x - 2 x

3

13 =x x8

2

9=

x , 1 x=16

9

Ejercicio 3 !esol"er las siguientes ecuaciones / comprobar las soluciones obtenidas

a)4

14 =x g) 39 1 =+x m) 422 =+ xx

b) 82 1 =+x 0) 12.4 1 =+xx n)2

333.

2

1=+ xx

c) 273.9 =x i) $3

13.27 2 =+x o) $

25

655 1 =+ +xx

d)x

x

2

3

127

= *) 42.8 =x p)4

922 3 =+ +xx

e) xx 21 42 =+ ) xx 332 93.27 =+ &) $13 13 =x

f) 8132 =x l)16

12 1 =+ x r)

4

19222 13 =++ + xxx

Ejercicio 4:allar x en las siguientes ecuaciones

a) $142.522 =+ xx e) 32$24 31 =+ ++ xx

b) $255.745.3 2 = xx

f) 9$39 21 =+ + xx

c) $377.57.2 12 =+ +xx g) 1446.336 12 =+ xx

2


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d) 82.82.5 212 = + xx 0) 432.34.5 13 = + xx

FUNCIN EXPONENCIAL+s toda funci'n del tipo fx) , . a x +xponente real

oeficiente de la funci'n ase de la funci'n +s un n real $ +s un n real positi"o

onsideremos la funci'n / , 2 x

x 3 2 1 $ 1 2 3

/ , 2 x

nalicemos la funci'n

:ominio Todos los !

;magen ! +

eros >>>>>

rdenada al origen 1?na caracter@stica e"idente de esta cur"a es la rapideA con la &ue crece. ese crecimiento

"ertiginoso se lo llama crecimiento exponenci!.uando x tiende a = la cur"a se aproxima cada "eA mBs al e*e x= pero nunca llega a tocarlo.

Cor eso la recta de ecuaci'n " # $es decir= el e*e x) es su %&ntot 'ori(ont!.

onsideremos a0ora= en un mismo grBfico= las funciones fx) , 2 x = gx) , 3 x = 0x) , 4 x

x 3 2 1 $ 1 2 3

/ , 3 x

x 3 2 1 $ 1 2 3

/ , 4 x

DEuF tienen en com(nG

Tienen :ominio ,>>>

Tienen ;magen >>>>..

H >)

Tienen as@ntota 0oriAontal= &ue es el e*e>>.

DEuF diferencia obser"anG >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>..>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.

onsideremos las funciones fx) , 2 x / tx) ,x

2

1

x 3 2 1 $ 1 2 3

/ , I) x

:ominio>>>>>>..

;magen>>>>>>>

eros>>>>>>>.. rdenada al origen >>>..

s@ntota>>>>>>>>>..

DEuF diferencia obser"anG.......................................................................................................

3


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onsideremos a0ora rx) , 3 . 2 x = sx) , 3 . 2 x

x 3 2 1 $ 1 2 3

/ , 3. 2 x

x 3 2 1 $ 1 2 3

/ , 3.2x

:ominio>>>>>>..

;magen>>>>>>>

eros>>>>>>>..

rdenada al origen >>>..

s@ntota>>>>>>>>>..

DEuF diferencia obser"anG.......................................................................................................>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.

onclusiones

medida &ue la base JcreceK= la cur"a se JcierraK cada "eA mBs

%i a L 1= la cur"a es creciente. %i a M 1= la cur"a es decreciente.

Nas cur"as &ue corresponden a funciones exponenciales de bases rec@procas= son simFtricas

con respecto al e*e /

Nas cur"as &ue corresponden a funciones exponenciales &ue tienen igual base / coeficientes

opuestos= son simFtricas con respecto al e*e x.

Ejercicio ) Oraficar / analiAar las siguientes funciones exponenciales

fx) , 2 . 5 x

gx) , I . 3 x

0x) , 2 . 4 x

*x) , 2 x

x) , P . 3 x

Ejercicio * DCor&uF la base debe ser un n real positi"oG DEuF pasa si a , 1G

E+E,CICIOS -E ,EPASO

1) 13 12 =X ! I) 2) 1684.2 23 = xxx ! 5)

3) 633.53.2 =+ xxx ! $) 4)27

1

3

1.9.3

32

=

xx !

3

16)

5) $2562

423

1

=+

x

x

! 4) 6) 13.39 12 =++ xxx ! 3Q2)

7) $242

1.5

2

1 1

=+

+xx

! 4) 8) $12.32 =+ xx ! 2)

9) 162932 =+ xx ! 2) 1$) 9$93 =+ xx ! 2 )

11) 25$$55 212 = ++ xx ! 2) 12) 2112

44

1

2

1.4 =

xx

! 1Q3)

13) $39 42 = + xx ! 8) 14) 442.3 = xx ! 2)

15)1272.

312.5 21 = + xx ! 1) 16) $3

93 1

52

= ++

x

x

! 2)

17) 5=244 1 =+ xx ! I ) 18)x

x

=5

1.55 ! 2Q3)

4


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LO.A,IT/OS-EFINICIN -E LO.A,IT/O:

Cor e*emplo R log 2 16 , 4 R log 39

1, 2

por&ue 2 4 , 16 ) por&ue 39

12 = )

CASOS PA,TICULA,ES:

=bblog ...........................................

=

Slog bb

>>>>........................

=1logb >>>>>>>>>>... =bblog

>>>>>>>>>...

=

bb

1log >>>>>>>>>>. =b

blog >>>>>>>>>>

Ejercicio 0:alcular

a) log4 64 , b) log381 , c) log 27

13 , d) logI 1 ,

e) log1$1$$$ , f) log =4

12 g) log

=232

1 0) log =128

1

2

1

i) log1$$=$1, *) log =4

2

1 ) log =81

1

3

1 l) log =125

15

m) logaaS , n) log =32

12 ) log

=22

1 o) log1255,

LO.A,IT/OS -ECI/ALES LO.A,IT/OS NATU,ALES:

%i la base del logaritmo es 1$se llama !oritmo ecim!/ se puede escribir logsin indicar la base.

5

aes la base del logaritmo / debeser real= positi"o= / distinto de 1

bes el argumento del logaritmo /

debe ser real positi"o


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%i la base es el n(mero ee, 2=718>.)= se denomina !oritmo ntr!o !oritmo neperino/ seescribe ln. %e denomina JneperianoK en 0onor a Uo0n >>>>>>>>. e) ln 2=5 ,>>>>>>>>>>>..b) log 98 ,>>>>>>>>>. f) ln 25 ,>>>>>>>>>>>>

c) log 98$ ,>>>>>>>>> g) ln 25$ ,>>>>>>>>>>>.

d) log 98$$ ,>>>>>>>>. 0) ln 25$$ ,>>>>>>>>>>>

Ejercicio 6:alcular mentalmentea) log 1$ , b) log $=$$1, c) log =3 1$$

d) ln e , e) ln =e f) ln =

e

1

Ejercicio 1$:plicar la definici'n de logaritmo para resol"er las siguientes ecuaciones

a) log 3 x , 4 b) log x=

2

12 c) log 3 x-2) , 2

d) 2 . log4x , 4 e) log122x6) - 3 , 3 f) 3.log 3 xS 8 , 14

P,OPIE-A-ES -E LOS LO.A,IT/OS:

Ejercicio 11:!esol"er aplicando las propiedades de logaritmos

6


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a) log 2 8 . 32) , b) log 3 =

81

9.27 c) log =5464 d) log ( ) =

53

3 81

Ejercicio 12: plicar el cambio de base con"eniente para poder operar con calculadora / resol"era) log 2 18 , b) log 3 1$$ , c) log 2 256 , d) log 3 5 ,

ECUACIONES LO.A,7T/ICASNas ecuaciones logar@tmicas son las &ue tienen la inc'gnita en el argumento de alg(n logaritmo.

Cara resol"erlas= debemos tener presente &ue

%iempre &ue sea posible= con"iene agrupar los logaritmos en uno solo= para lo cual se aplican

las propiedades.

Cara despe*ar una inc'gnita contenida en el argumento= se aplica la definici'n de logaritmo.

%'lo existen logaritmos de n(meros positi"os= por lo cual deben descartarse como soluciones

los "alores &ue no "erifi&uen la ecuaci'n original.

+* 1 log 2 x-1) , 3 +* 2 log 2 x-7) log 2 x-1) , 4 +* 3 2. log 5 x - log 5 8x) , 3

2# , x-1 41

7log

2 =++

x

x

log 5 xS - log 5 8x) , 3

2# 1, x1

72

4

++

=x

x

log 5 xS . 8 x ) , 3

7 , x 2 4 x-1) , x-7 log 5 8 x#) , 3

16 x - 16 , x -7 5# , 8 x#

15 x , 9 8

125

, x#

x , 3Q5 x , 2=5

7


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Ejercicio 13:!esol"er las siguientes ecuaciones

a) 2$ logxS 15 ) , $ b) 2. log 7 x log 7 x-6) , 3.log 7 2

c) log 3 x - log 9 x-1) , I .log 3 x d) 5 235.1$ 12

=

+ xx

e) 3 21=x f) 4 28. 123 =+ xx

Ejercicio 14:!esol"er las siguientes ecuaciones / "erificar los resultados obtenidos

a) log =27x 3 b) log x log 3 , 2

c) log2

1 x-5) , 2 d) log 2 8.x) - log 2 4.xS) , 8

e) log x log 17 , $ f) log 5 x-12) log 5 x-3) , 1

g) log 8 32x) , $ 0) log x8) - log x2) , log 8x)

i) log 3 x , 5 .log 3 2 *) 2. log x , 1 - log x $=9)

) 3. log x log 32 , log

2

xl) log x-1) log x1) , log 2

m) log x2) - logx-3) , log 6 n) log 2 x1) , 6 log 2 3x-1)

o) log 6 x1) , 3 log 6 5x-1)

FUNCIN LO.A,7T/ICA

+s toda funci'n del tipo / , log a x %e leeK logaritmo en base a= de xK) a es la base x es el JrgumentoK

+s un n real positi"o +s un n real positi"o

:efinici'n de Nogaritmo

log ab , c V a c , b +* log 2 8 , 3 por&ue 2# , 8

J+ncontrar el logaritmo de un n es encontrar el exponente al &ue se debe ele"ar la base= paraobtener el argumentoK

+* log 2 8 , 3 por&ue 2# , 8 Q log 3 9 , 2 por&ue 3S , 9

bser"aciones

+l logaritmo= en cual&uier base= de un n negati"o no existe

+l logaritmo= en cual&uier base= de $= no existe

+l logaritmo= en cual&uier base= de 1= es $

+l logaritmo mas usado es el de base 1$= / no colocamos la base cuando lo escribimos. +s el

(nico logaritmo &ue puede realiAarse con calculadora. +* log 1$$ , 2 "erificalo)

8


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onsideremos la funci'n / , log 2 x

x W I 1 2 4 8

/ , log x

:ominio ! +

;magen !

eros orta al e*e x en 1H$)

rdenada al origen no tiene

s@ntota Xertical x , $ es decir el e*e /)

DEuF obser"as con respecto a la funci'n exponencial / , 2 x G...............................................

>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.

onsideremos= en un mismo grBfico= las siguientes funciones

x P I 1 2 3 4 5

/ , log x

/ , log x

/ , log x

/ , log x

aracter@sticas comunes

:ominio >>..

;magen >>>.

ortan el e*e x en el punto >H>.)

>>>> &ue es el e*e>>>.

DEuF diferencias obser"BsG.....................................................................................................

>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.

onsideremos a0ora las siguientes funciones logar@tmicas

x P I 1 2 3 4 5

/ , log x

/ , log x2)

/ , log x-1)

;magen>>>>>>>>>>>>>>>..

eros>>>>>>>>>>>>>>>>. rdenada al origen>>>>>>>>>>>

:ominio>>>>>>>>>>>>>>>

s@ntota>>>>>>>>>>>>>>....

onclusiones

Na Yunci'n Nogar@tmica es la in"ersa de la Yunci'n +xponencial

%i a L 1= la funci'n es creciente. %i a M 1= la funci'n es decreciente.

%i las bases son rec@procas= los grBficos son simFtricos con respecto al e*e x.

%i sumamos o restamos un n al argumento= la cur"a se desplaAa en forma 0oriAontal

Ejercicio 1) Oraficar / analiAar las siguientes funciones logar@tmicas fx) , log x gx) , log x3) 0x) , log x-2)

9


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+U+!;;% :+ !+C%

1) ln xS - ln2

5=x ! e) 2) log 5 x log125 25 x) , $ ! 5)

3) log 2 x log 8 x , 1 ! 8 ) 4) log 25 xS 2 log 5 x , 8$ !

5

1)

5) logx-1) , log 1$ - log x8) ! 9) 6) log 36 - log 6 , 3 ! 6)

7) 2. log x , 1 - log x $=9) ! 9 / 1) 8)5 213 =X ! $=476)

9) 3. log x log 32 , log xQ2) ! 4) 1$) log x-1) log x1) , log 2 ! 3)

11) 2)23log

log=

xx

! 1 / 4Q9 ) 12) 21 =xe ! 1=693)

13) log 12 2x 6) - 3 , 3 ! 7Q2) 14) 3 .log 3 xS 8 , 14 ! 3)

15) 4 log xS x - 4 ) , 3 ! 3 / 2) 16) log 3 xS4) - 2 12 4 = ! 5 )

17) x , S5=1.3=1 43 ! 1=458) 18) 1$ 715 =x

19) log 3 x - log 7log 39 =+ xx ! 9) 2$) ln x1) - ln x-3) , ln xS-5) ! 4)

21) log 4 x - 3.log 4 x , 2 ! 2) 22) log 3 - log 6 log 2 , 2 ! 3)

23) ln x ln x - ln xS , I ! 1=221) 24) log 8log#log 24

2

1 =+ xx

25) logx-3) - log2x1) , log 2.xS-4) ! 11Q5)

1$

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