Física 01. 4TO

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Cuarto AoFsica

5

El estudio de las distintas formas que adoptan las

magnitudes derivadas nos obliga a desarrollar un conjunto

de leyes, reglas y propiedades en un campo propiamente

matemtico. Tal estudio se hace bsicamente para

descubrir valores numricos de lo que en adelante

llamaremos dimensiones, los mismos que aparecen

como exponentes de los smbolos de las magnitudesfundamentales.

Por ser este texto de un nivel bsico en Fsica,

diremos como ejemplo que la dimensin del rea es L2,

aunque esto solo sea convencional, para minimizar la

complejidad del anlisis.

Un anlisis correcto de las unidades y/o dimensiones

de las magnitudes fsicas nos permitir:

1ro. Relacionar una magnitud fsica con otras elegidas

como fundamentales.

2do.Establecer el grado de verdad de una frmula.

3ro. Elaborar frmulas empricas para fenmenos de

simple desarrollo.

FRMULAS DIMENSIONALES

Designamos con este nombre a aquellas relaciones

de igualdad mediante las cuales una magnitud derivada

queda expresada en base a las magnitudes fundamentales

de un modo general. As, si xes una magnitud derivada,

se establece que x es la frmula dimensional dex, tal

que:

x L M T I J N a b c d e f g

Aqu debes reflexionar en torno a esto: "Lasfrmulas dimensionales se obtienen a partir de

frmulas matemticas o fsicas".

Longitud L

Masa M

Tiempo T

Si bien es cierto no son las nicas frmulas dimensionalesprincipales, s son las que ms vamos a usar.

a) rea (A):

2

Frmula Matemtica

Frmula Dimensional

A b h L L

A L

A = b . h

. .

Unidad de (A) = m2

b) Volumen (V):

V = A . h

.

Frmula Matemtica

Frmula Dimensional

2

3

V A h L L

V L

Unidad de (V) = m3

c) Velocidad Lineal (v):

dv =

tDistanciaTiempo

Frmula Fsica

[d] L[v]

[t] T

1[v] L T Frmula Dimensional

Unidad de (v) = m . s1

DIMENSIONES

CAPTULO

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d) Aceleracin Lineal (a):

va=

tVelocidadTiempo

Frmula Fsica

1[ v] L T[a] [t] T

2[a] L T Frmula Dimensional

Unidad: m . s2

Problema Desarrollado

1. Si: F = maW = F . d

Donde: F = Fuerza W = trabajom = masa d = distanciaa = aceleracin

Determine:a) La frmula dimensional de F.

b) La frmula dimensional de W.c) La frmula dimensional de:

2E F W

Resolucin:

a) F = maDebemos determinar la frmula dimensionalde F.

F m a

F m a

Sabemos que:

2m M

a LT

Reemplazamos: 2F MLT

b) Debemos ahora determinar la frmuladimensional de W.

W F d

W F d

Se conoce que:

2F MLT

d L

Reemplazando:

2

2 2

W MLT L

W ML T

c) Debemos determinar:

E = F2W

2

2

2

2 2 2 2

2 2 4 2 2

3 4 6

E F W

E F W

E F W

E (MLT ) (ML T )

E M L T M L T

E M L T

Problema por desarrollar

1. Si sabemos que: R = v . d

S = a . m

Donde: v = Velocidad a = aceleracin

d = distancia m = masa

Determine:a) La frmula dimensional de R.

b) La frmula dimensional de S2.

c) La frmula dimensional de:

2

RX

S

Resolucin:

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Cuarto AoFsica

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1. Determine la frmula dimensional de R; si:

R = Fuerza Velocidad

Rpta.: .................................................................

2. Determine la frmula dimensional de S; si:

FuerzaS

Densidad

Rpta.: .................................................................

3. Determine la frmula dimensional de N; si:

N = Trabajo rea

Rpta.: .................................................................

4. Determine la frmula dimensional de Y; si:

Y = Velocidad Volumen

Rpta.: .................................................................

5. Determine la frmula dimensional de W; si:

2

3

(Aceleracin) FuerzaW

(rea)

Rpta.: .................................................................

6. Determine la frmula dimensional de R, si:

3 2

2(Trabajo) (Volumen)

R(rea)

Rpta.: .................................................................

7. Determine la frmula dimensional de Z; si:

Z = (Energa)4(rea)2

Rpta.: .................................................................

8. Determine la frmula dimensional de M; si:

M = (Velocidad)Sec60

(Trabajo)Tg45

Rpta.: .................................................................

9. Determine la frmula dimensional de Y; si:

Y Impulso Volumen

Rpta.: .................................................................


2 3Z (rea) (Trabajo)

Rpta.: .................................................................

11. Determinar la frmula dimensional de:

PotenciaR

Densidad

Rpta.: .................................................................


Energa LongitudS

Fuerza

Rpta.: .................................................................


Altura SuperficieH

Aceleracin

Rpta.: .................................................................


Q = (rea) (Densidad) (Aceleracin)

Rpta.: .................................................................


4 (rea)Z

(Velocidad)

Rpta.: .................................................................

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16. Determinar la frmula dimensional de Y, si:

Y (rea) (Velocidad)

Rpta.: .................................................................


(Longitud) (Tiempo)(Trabajo)

Rpta.: .................................................................

18. Determinar la frmula dimensional de "I", si:

3 (Tiempo) (Fuerza)I(Velocidad) (Frecuencia)

Rpta.: .................................................................


2(Masa) (Velocidad) (Longitud)E

rea

Rpta.: .................................................................


(Presin) (Volumen)F

Frecuencia

Rpta.: .................................................................


Z = rea Aceleracin

A) L2

T2

B) L3

T1

C) L3 T2 D) L T1

E) L T3

2. Determine la frmula dimensional de U; si:

Trabajo VelocidadU

Caudal Densidad

A) L3 T2 B) L2 T3

C) L3 T2 D) L2 T3

E) L T1

3. Si:

4 2X M L T y

3Z M L T

Determine:

2X Z

A) M3

L6

T4

B) M3

L6

T8

C) M L3

T2

D) M2

L8

T6

E) M3

L8

T6

4. Determine la frmula dimensional de Q; si:

3 2Energa Volumen

QPotencia

A) M2

L10

T3

B) M L5

T2

C) M L5

T4

D) M L3

T2

E) M L6

T6

5. Determine [P]; si:

Impulso DensidadP

Presin Fuerza

A) L2

T3

B) L T3

C) L2

T3

D) L1

T3

E) L T4

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I. ECUACIONES DIMENSIONALES

Son aquellas relaciones de igualdad en dondealgunas magnitudes fsicas son conocidas y otras,o no lo son, o tienen dimensiones desconocidas.Veamos los siguientes ejemplos:

a) L3

M[X] L3

[Y] = L3

MT1

Incgnitas: [X], [Y] (Magnitudes)

b) L4 . T3 .2= LS . Tr .2ru

Incgnitas: r, s, u (Nmeros)

1. Reglas Importantes

1a) Las magnitudes fsicas as como susunidades no cumplen con las leyes deadicin o sustraccin, pero s con lasdems operaciones aritmticas.

L2+L2+L2= L2 ;

LT2LT2=LT2

2a) Todos los nmeros en sus diferentesformas con cantidades adimensionales,y su frmula dimensional es la unidad.

3 1 ; 2 rad 1 ;

Sen 45 1 ; log19 1

Cantidad adimensional:

Es aquella que carece de dimensiones,es decir el exponente de las magnitudesfundamentales en la frmula dimensionales cero (0). De este modo se tiene que lafrmula dimensional de una cantidadadimensional es:

[Cantidad adimensional] = 1

Entre ellas tenemos: los nmeros reales,

las funciones numricas como las

funciones trigonomtricas, logartmicas,

exponenciales,... etc. Asimismo los

ngulos planos y los ngulos slidos

expresados en radianes y estereoradianesrespectivamente, estn en la lista de

cantidades adimensionales.

II . PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD

DIMENSIONAL (FORIER)

Toda ecuacin ser dimensionalmente correcta si

los trminos que componen una adiccin o

sustraccin son de iguales dimensiones, y si en

ambos miembros de la igualdad aparecen las

mismas magnitudes afectadas de los mismos

exponentes.

[A] + [B] = [C] [D] [A] = [B] = [C] = [D]

Este principio resulta ms prctico de aplicar

haciendo de cada operacin de adicin o

sustraccin indicadas se conviertan en una

igualdad, de este modo se mostrar como evidente

que los trminos de cada una de estas operaciones

tienen las mismas dimensiones.

Cuando existan expresiones con magnitudes fsicas

en los exponentes, deber procederse con sumo

cuidado, recordando que el exponente es siempreun nmero, por consiguiente la expresin

exponencial deber ser adimensional en su

totalidad.

DIMENSIONES II

CAPTULO

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1. La ecuacin mostrada es dimensionalmentecorrecta:

x Fv my

Donde:

F = Fuerza

v = Velocidad

m = masa

Determine:

a) La frmula dimensional de x.

b) La frmula dimensional de y.

c) La frmula dimensional de x . y

Resolucin:

a)

x Fv my

x Fv my

Sabemos que:

[A + B] = [A] = [B]

2 1

2 3

x Fv my

x Fv x F v

x MLT L T

x ML T

b)

Fv my

F v m yF v M

y ym

2 1LT LTM

2 3y L T

c)

2 3 2 3

2 6

x y x y

ML T L T

x y ML T


1. La ecuacin:

1R Wv . S . a2

Donde:W = Trabajov = Velocidada = aceleracin

Determine:a) La frmula dimensional de R.

b) La frmula dimensional de S.c) La frmula dimensional de:

RS

Resolucin:

1. Si la ecuacin:

P5Q t 4mD 21

W

es dimensionalmente correcta; determine [D] y [P];si:

Q: Caudal ; t: tiempo

m: Masa y W: Energa

Rpta.: .................................................................

2. Si la ecuacin:

FI W

Z

es dimensionalmente correcta; determine [Z]; si:

I: Impulso

F: Fuerza

Rpta.: .................................................................

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3. Si la ecuacin:P V = E d + QW

es dimensionalmente correcta; determine [E] y [W];si:

P: Presin ; V: Volumen

d: Aceleracin y Q: Caudal

Rpta.: .................................................................

4. Si la ecuacin:I = K + mZ

es dimensionalmente correcta; determine [Z]; si:I : Impulsom: Masa

Rpta.: .................................................................

5. Si la ecuacin:P v = K F Z E

es dimensionalmente correcta; determine [K] y [Z];si:

P: Potenciav: VelocidadF: Fuerza yE: Energa

Rpta.: .................................................................

6. Si la ecuacin:

21E K x2

es dimensionalmente correcta; determine [K]; si:E: Energax: Longitud

Rpta.: .................................................................

7. Si la ecuacin:E v = Kt + PA

es dimensionalmente correcta; determine [K] y [A]

siendo:E: Energa ; v: Velocidad

t: Tiempo y P: Presin

Rpta.: .................................................................

8. Si la ecuacin:

FQ V ay

X

es dimensionalmente correcta; determine [X] e [y]si:

Q: Caudal ; V: Volumen

F: Fuerza y a: Aceleracin

Rpta.: .................................................................

9. Si la ecuacin:

W3F 2Kt

t

es dimensionalmente correcta; determine [K]; si:

F: Fuerza

t: Tiempo

Rpta.: .................................................................

10. Si la ecuacin:v = AW sen53

es dimensionalmente correcta, determine [W]; si:

v: Velocidad

A: Longitud

Rpta.: .................................................................

11. Si la expresin dada es dimensionalmente correcta.

Determine: [x] e [y] m = masa

t = tiempo

my + x = mt2

Rpta.: .................................................................

12. Determine el valor de "b" para que la frmula dadasea dimensionalmente correcta.

a 2b a 6 4M T M T

Rpta.: .................................................................

13. Si la siguiente frmula:

kvP

d

es dimensionalmente correcta, determine: [k]; si:

P = Presin

v = Velocidad

d = Distancia

Rpta.: .................................................................

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14. Determine el valor de "x" para que la siguienteecuacin sea dimensionalmente correcta.

2x y y 3 5T J J

Rpta.: .................................................................


a bf kh g

es dimensionalmente correcta, determine los valoresde "a" y "b".

Si:

f = frecuencia

h = altura

g = aceleracin

k = constante adimensional

Rpta.: .................................................................

16. En la siguiente frmula fsica, determine [x].

W = xvd

Donde:

W = (Fuerza) (Longitud)

v = Velocidad

d = Distancia

Rpta.: .................................................................

17. Si la expresin:P = Q

zRySx

es dimensionalmente correcta, determine los valoresde x, y, z.

Rpta.: .................................................................

18. Si la frmula:

t mx d

es dimensionalmente correcta, determine [x], si:

m = masa

d = distancia

t = tiempo

Rpta.: .................................................................

19. Determine la frmula que permite calcular lave loc idad (v ) de prop ag acin de una on datransversal en la cuerda, si esta depende de la fuerzade tensin (F) que soporta la cuerda, su masa (m)y su longitud ().

Rpta.: .................................................................

20. La energa cintica de un cuerpo depende de la masadel cuerpo (m) y de la velocidad (v). Determine lafrmula emprica de la energa cintica.

Rpta.: .................................................................

1. Si la ecuacin:

P = Q + RD

es dimensionalmente correcta; determine [R]; si:P: Presin

D: Densidad

A) L2

T2

B) L2

T2

C) L T2

D) L T2

E) L T1


E = mvx

es dimensionalmente correcta; determine x; si:E: Energa

m: Masa

v: Velocidad

A) 1 B) 2

C) 3 D) 4

E) 1/2

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d a = cos vn

es dimensionalmente correcta; determine "n";siendo:

d: Longituda: Aceleracin

v: Velocidad

A) 2 B) 2

C) 1 D) 1

E) 3

4. Dada la siguiente frmula:

E2A = SenBx+y C DZ

dimensionalmente correcta; determine: x+y+z;siendo:

A: Fuerza ; B: Masa

C: Longitud ; D: Densidad

E : Tiempo

A) 2 B) 2

C) 1 D) 3

E) 4


m F = a R6Dx

es dimensionalmente correcta; determine "x"; si:

m: Masa ; F: Fuerza

R: Longitud ; D: Densidad

a: Aceleracin

A) 1 B) 2

C) 3 D) 4

E) 5

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VECTORES

Es verdaderamente importante que reconozcas que en la naturaleza algunos fenmenos fsicos requieren algoms que nmeros y unidades fsicas para quedar plenamente explicados. Te preguntars: Qu se puede usar,adems de los nmeros y unidades, para detallar los fenmenos?. La respuesta es el vector, y las magnitudes fsicasque lo necesitan se llaman magnitudes vectoriales, las mismas que tienen en esencia dos caractersticas especiales:

a) Tienen Mdulo y Direccin

Ejemplo: Cuando decimos que un alumno experimenta un desplazamiento de 5m, debemos agregar desde

dnde y hacia dnde. Sin estos datos no podramos imaginar el movimiento.

b) No cumplen con las leyes de la adicin de nmeros reales

Ejemplo: Si decimos que dos personas empujan un mismo cuerpo con fuerzas iguales de 15 newtons, sin indicarla direccin de cada uno, el resultado puede ser variable. As por ejemplo: Si se aplican los dos hacia un mismolado, el resultado ser equivalente a aplicar una fuerza de 30 newtons. Sin embargo, si estas fuerzas se aplicanen una misma recta pero en direcciones opuestas, el resultado sera como no aplicar fuerzas, es decir la resultantees 0 newtons. As pues, la resultante de las fuerzas depende de la orientacin de estas.

5m15N

15N

R=30N

15N 15N

1. VECTORDesignamos con este nombre a aquel elemento matemtico, indicado por un segmento de recta orientado, que

nos permite representar grficamente a una magnitud vectorial. Dado que este texto atiende el aspecto bsicodel curso, diremos que los elementos de un vector son:

a) Direccin

Caracterstica que nos indica de donde hacia a dnde se orienta un vector, lo que viene dada por la lnear e c t a q u e p a s a p o r d i c h o s p u n t o s . E s t a r e c t a q u e d a d e f i n i d a p o r e l n g u l o medido en sentido antihorario.

CAPTULO

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b) Mdulo

Llamado tambin intensidad, viene a ser elvalo r o medida de la magni tud vector ia lrepresentada. Cuando conocemos la escala(e) del dibujo y la longitud (l) del vector, el

mdulo viene dado por:

V l e

Notacin vectorial:

Vector: A B V

Mdulo: A B V V

Notacin General:

V V ........ (= ngulo Direccional)

V V

Lnea deReferencia

Lnea deAccin

Direccin

Mdulo

Cuando dibujamos vectores, elegimos

previamente una escala (e). Por ejemplo

si dibuj am os vector es fuer za en el

cuaderno podemos elegir la siguiente

escala:

10cm 5N

e = 5N/cm

4cm

F

|F|=(4cm)(5N/cm)

|F |= 20 N

2. EXPRESIN CARTESIANA DE UN VECTOR

Sixe y son las componentes rectangulares de un

vector V

, entonces su expresin cartesiana se

denotar como: V

= (x;y), llamado par ordenado..Asimismo puede establecerce la siguiente identidad.

V (x;y) x i y j

Ejemplo: De la figura podemos afirmar que:

A 3i 4 j (3; 4)

B 5i 3 j (5;3)

C 6i 3 j (6; 3)

(5;3)

Y

4 (3;4)

XO

3

BA

C

3j+6i

5 3

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1. Dados los vectores:A ( 3; 2)

B 2i 3j

C 5i 2j

a) Grafique los vectores.

b) Determine: S 2A 3B

c) Determine el mdulo de la resultante de losvectores.

Resolucin:

a)

x

y

B

A C

b) S 2A 3B

S 2( 3i 2j) 3(2i 3j)

S 6i

4j 6i 9j

S 5j

c) R A B C

R 3i 2j 2i 3j 5i 2jR 4i j


1. Dados los vectores:

A (2; 8)

B 3i 8j

C 4i 3j

a) Grafique los vectores.

b) Determine el mdulo de la resultante de losvectores.

c) Determine el mdulo de:

S 3A B 2C

Resolucin:

1. Determine el mdulo y la direccin de los vectoresindicados; si cada lado de la cuadricula es de 4u.

C

DB

A

Rpta.: .................................................................

2. Determine el mdulo y la direccin de los vectoresindicados; si cada lado de la cuadrcula es de 1u.

C

BA

Rpta.: .................................................................

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17

3. Si cada lado de la cuadrcula mostrada es de 1u;complete el siguiente cuadro:

C

D

B

A

A

B

C

D

Mdul

oDir

eccin

Rpta.: .................................................................

4. Exprese los siguientes vectores en forma cartesiana.

CD

B

A

1u

1u

Rpta.: .................................................................

5. Exprese los siguientes vectores en forma cartesiana.

CD

BA1u

1u

Rpta.: .................................................................

6. Si los orgenes de los vectores coinciden con el ori-

gen de coordenadas; grafique: A 2i 3j ; B 3i 4 j

C 3i 5 j ; D 6i 8 j

Rpta.: .................................................................

7. Dados:

A 3i 4 j y

B 5i 2j

Determine el vector resultante R

y su mdulo..

Rpta.: .................................................................

8. Se dan:

A 5i 2j y

B 7i 3j


y su mdulo..

Rpta.: .................................................................

9. Se dan:

A 5i 4 j y

B 8i 8 j


y su mdulo..

Rpta.: .................................................................

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18

10. Si:

A mi nj y

B 4i 5j

Determine: m y n siendo 8i 12j , su resultante.

Rpta.: .................................................................

11. Si:

A 7i 3j y

B 8i 9j

Determine:

S 2A B

Rpta.: .................................................................

12. Se tiene:

A 12i 3j

B 7i 2j

Determine el mdulo de la resultante.

Rpta.: .................................................................

13. Del grfico, determine:

C 6A 4B

B

A

Si cada cuadrcula es de 1u.

Rpta.: .................................................................

14. Del grfico, determine:

S 5B 2A

B

A

1u

1u

Rpta.: .................................................................

15. Si la resultante de A y B

es igual a 14i 8 j .

Determine A

.

Si: B 8i 4 j

Rpta.: .................................................................

16. Determinar el mdulo y la direccin de los vectoresindicados, si cada lado de la cuadrcula es de 1u.

C

BA

Rpta.: .................................................................

17. Grafique:

A 5i 6j D 7i 2j

B 3i 6j E 10i 2j

Si sus orgenes coinciden con el origen de

coordenadas.

Rpta.: .................................................................

18. Si la resultante de A y B

es 16i 4 j , y

A ai bj

B 7i 6j

Determine: a + b.

Rpta.: .................................................................

19. Si:

A 17i pj

B qi 8j

Determine p+q si la resultante de A y B

es i 6 j .

Rpta.: .................................................................

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20. Determine el mdulo de la resultante si cada ladode la cuadrcula mide b de lado.

B

C

A

b

b

Rpta.: .................................................................

1. Del grfico; indique la veracidad (V) o falsedad (F)de las siguientes proposiciones:

C B

A

1u1u

A 3i 3j

( )

B 5u

( )

B C 6i 2j

( )

A) VVF B) VVV C) FFV

D) FVF E) FVV

2. Del grfico en el problema anterior, indique laveracidad (V) o falsedad (F) en:

A B 5i 2j

( )

A 135 ( )

A C i 5 j

( )

A) FVF B) VVF C) FFV

D) FVV E) VFV

3. Siendo:

A 5i 3j y

B 3i j

Determine el mdulo de su resultante.

A) 6 B) 5 6 C) 4 5

D) 6 5 E) 8 10

4. Siendo:

A mi 8 j y

B 4i nj

Determine m y n; si su resultante es: 6i 2j .

A) 2;6 B) 2;6 C) 2;6

D) 2;6 E) 3;5

5. Del grfico determine: C 5A 3B

.

B

A

1u

1u

A) 2 i 2 4 j B) 2i 24 j

C) 2 i 24 j D) 2i 24 j

E) 2i 12j

Física 01. 4TO

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