Examen - física - 1º bachillerato - 16-01-2012

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Recuperación de Física – 1º Bachillerato – 16/01/2012

1. Una partícula se mueve en el plano XY, siendo la ecuación de su movimiento: 𝑟 = 4𝑡! − 1 𝚤 + 𝑡! + 3 Calcula: (1’5ptos)

a) La velocidad instantánea de la partícula. b) El desplazamiento realizado por la partícula en los dos primeros segundos. c) Su velocidad media en esos dos primeros segundos. d) La ecuación de su trayectoria.

a) La velocidad instantánea se calcula derivando la posición respecto del tiempo:

𝒗 𝒕 =𝑑𝑟 𝑡

𝑑𝑡= 𝟖𝒕! + 𝟐𝒕! 𝒎/𝒔

b) Para calcular el desplazamiento a los dos segundos sustituimos primero 𝑡 = 0 𝑠 en la ecuación

de la posición: 𝑟 0𝑠 = 4 · 0! − 1 𝚤 + 0! + 3 𝚥 𝑚 = −𝚤 + 3𝚥 𝑚

Sustituimos 𝑡 = 2𝑠:

𝑟 2𝑠 = 4 · 2! − 1 𝚤 + 2! + 3 𝚥 𝑚 = 15𝚤 + 7𝚥 𝑚 Calculamos el desplazamiento:

∆𝑟 = 𝑟 2𝑠 − 𝑟 0𝑠 = 15+ 1 𝚤 + 7− 3 𝚥 𝑚

∆𝒓 = 𝟏𝟔! + 𝟒! 𝒎

c) Calculamos los valores de la velocidad en 0 𝑠 y 2 s:

𝑣 0𝑠 = 0𝚤 + 0𝚥 𝑚/𝑠 → 𝑣 0𝑠 = 0 𝑚/𝑠

𝑣 2𝑠 = 16𝚤 + 4𝚥 𝑚 → 𝑣 2𝑠 ≈ 272 𝑚 Por lo tanto, la velocidad media será:

𝒗𝒎 =𝑣 0𝑠 + 𝑣 2𝑠

2=0 𝑚/𝑠 + 272 𝑚/𝑠

2 𝑠≈ 𝟖!𝟐 𝒎/𝒔

d) Expresamos 𝑦 𝑥 eliminando el parámetro temporal:

𝑥 = 4𝑡! − 1 → 𝑡! =𝑥 + 14

𝑦 = 𝑡! + 3 → 𝑡! = 𝑦 − 3

Igualando 𝑡!: 𝑥 + 14 = 𝑦 − 3 → 𝑦 =

𝑥 + 14 +

124 → 𝒚 𝒙 = 𝒙+𝟏𝟑𝟒



2. Por un punto A de una carretera pasa un camión con velocidad constante de 45 km/h; 10 s más tarde

pasa por el mismo punto un automóvil. Calcula: (2ptos) a) Si el automóvil pasa con una velocidad de 90 km/h, ¿dónde se encuentra el camión cuando el

coche pasa por A? b) Si el automóvil sale de A (10 segundos después que el camión), ¿con qué aceleración constante

debe salir si quiere alcanzar al camión 15 s después de pasar por A? c) ¿Qué velocidad tiene el coche en el momento de alcanzar al camión?

a) Dado que el camión se mueve con velocidad constante, y como nos piden la posición del mismo

respecto del punto A pasados 10 segundos:

𝑠 = 𝑠! + 𝑣! · 𝑡 = 12!5 𝑚/𝑠 · 10 𝑠

𝒔 = 𝟏𝟐𝟓 𝒎 (𝒅𝒆𝒔𝒅𝒆 𝑨)

b) Utilizamos las ecuaciones de movimiento rectilíneo uniforme para el camión y movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en el caso del automóvil. Si tomamos A como el punto de origen, entonces la posición inicial del camión serán los 125 m calculados en el apartado anterior:

𝑠! = 𝑠!! + 𝑣! · 𝑡 ⟶ 𝑠! = 125 𝑚 + 12!5 𝑚/𝑠 · 15 𝑠 = 312′5 𝑚 𝑠! = 𝑠! + 𝑣!! · 𝑡 +

!!𝑎𝑡! ⟶ 𝑠! = 0 𝑚 + 25!

!· 15 𝑠 + !

!𝑎 · 15 𝑠 ! = 375 𝑚 + 112!5 𝑠! · 𝑎

La condición para que el automóvil alcance al camión es que coincidan en el mismo punto a la vez ⟹ 𝑠! 15 𝑠 = 𝑠!(15 𝑠):

312!5 𝑚 = 375 𝑚 + 112!5 𝑠! · 𝑎 ⟶ 𝑎 =312!5 𝑚 − 375 𝑚

112!5 𝑠!

𝒂 = −𝟎!𝟓𝟔 𝒎/𝒔𝟐

c) Aplicamos la expresión de la velocidad para un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

𝑣! 𝑡 = 𝑣!! + 𝑎𝑡 Como el tiempo para el cual el automóvil alcanza al camión son 15 s, sustituimos:

𝑣! 15 𝑠 = 25 𝑚/𝑠 − 0!56 𝑚/𝑠! · 15 𝑠

𝒗𝑨 𝟏𝟓 𝒔 = 𝟏𝟔!𝟔 𝒎/𝒔



3. Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con velocidad v = 40 m/s. Cuando se encuentra subiendo y a 50 m de altura, se lanza otro cuerpo con la misma velocidad. Calcula: (2ptos)

a) ¿ Dónde se encuentran? b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el primero? c) ¿Dónde está el segundo cuando el primero está bajando y se encuentra a 50 m de altura?

a) Ambos cuerpos describen un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA). Si empezamos a contar el tiempo en el momento en el que se lanza el segundo cuerpo, tendremos que calcular la velocidad inicial que lleva el primero en ese momento, ya que será su velocidad inicial. Calculamos primero el tiempo que tarda en llegar a esos 50 m:

𝑆 = 𝑆! + 𝑣!𝑡 +12𝑔𝑡

! ⟶ 50 𝑚 = 0 𝑚 + 40 𝑚/𝑠 · 𝑡 − 4!9 𝑚/𝑠! · 𝑡!

𝑡! = 1!54 𝑠 𝑦 𝑡! = 6!62 𝑠

Como nos interesa el tiempo que necesita el cuerpo 1 para llegar a 50 metros por primera vez (a la subida) utilizaremos 𝑡!. Ahora podemos calcular la velocidad que lleva a esa altura:

𝑣! = 𝑣! + 𝑎𝑡! ⟶ 𝑣! = 40 𝑚/𝑠 − 9!8 𝑚/𝑠! · 1!54 𝑠 = 24!9 𝑚/𝑠 Planteamos ahora las condiciones iniciales del problema, para ello llamaremos cuerpo A al que sale primero cuerpo B al que sale después: 𝑆!! = 50 𝑚 𝑣!! = 24!9 𝑚/𝑠

𝑆!! = 0 𝑚 𝑣!! = 40 𝑚/𝑠 Planteamos las ecuaciones de posición y las igualamos, ya que se encontrarán cuando ambos estén a la misma altura:

𝑆! = 𝑆!! + 𝑣!! · 𝑡 +12 · 𝑔 · 𝑡

! = 50 𝑚 + 24!9 𝑚/𝑠 · 𝑡 − 4′9 𝑚/𝑠! · 𝑡!

𝑆! = 𝑆!! + 𝑣!! · 𝑡 +12 · 𝑔 · 𝑡

! = 0 𝑚 + 40 𝑚/𝑠 · 𝑡 − 4′9 𝑚/𝑠! · 𝑡! Simplificando e igualando:

50+ 24!9 · 𝑡 − 4!9 · 𝑡! = 40 · 𝑡 − 4!9 · 𝑡!

50 = 15!1 · 𝑡 → 𝑡 =5015!1 = 3!3 𝑠

Sustituyendo el valor del tiempo en una de las ecuaciones obtenemos la altura:

𝑆! = 40 𝑚/𝑠 · 3!3 𝑠 − 4′9 𝑚/𝑠! · 3!3 𝑠 ! → 𝑺𝑨 = 𝑺𝑩 = 𝟕𝟖′𝟔𝟒 𝒎



b) Derivamos la expresión de la posición del primer cuerpo e igualamos a cero, ya que su velocidad

será nula cuando alcance la altura máxima. Calculamos de esta manera el tiempo que tardará el alcanzar dicha altura:

𝑣! = 𝑣!! + 𝑔 · 𝑡!"# = 24!9 𝑚/𝑠 − 9′8 𝑚/𝑠! · 𝑡!"# = 0 𝑚/𝑠

𝑡!"# =24!9 𝑚/𝑠9!8 𝑚/𝑠! = 2!54 𝑠

Para calcular la altura máxima sustituimos en la ecuación de la posición el tiempo hallado:

𝑆!"# = 𝑆!! + 𝑣!! · 𝑡!"# +12𝑔 · 𝑡!"#

! = 50 𝑚 + 24!9 𝑚/𝑠 · 2′54 𝑠 − 4′9 𝑚/𝑠! · 2!54 𝑠 !

𝑺𝒎𝒂𝒙 = 𝟖𝟏!𝟔𝟑 𝒎

c) Calculamos el tiempo que tarda el primero en llegar a 50 m a la bajada:

𝑆! = 𝑆!! + 𝑣!! · 𝑡 +12 · 𝑔 · 𝑡

! ⟶ 50 𝑚 = 50 𝑚 + 24′9 𝑚/𝑠 · 𝑡 − 4′9 𝑚/𝑠! · 𝑡!

4!9 · 𝑡! = 24!9 · 𝑡 → 𝑡! = 0 𝑠

𝑡! = 5′08 𝑠

El primer tiempo no es válido para nuestro problema, tomamos la segunda solución ya que es el tiempo que tarda en volver (bajando) a dicha posición. Sustituimos en la ecuación del segundo cuerpo:

𝑆! = 𝑆!! + 𝑣!! · 𝑡! +12 · 𝑔 · 𝑡!

! = 0 𝑚 + 40 𝑚/𝑠 · 5′08 𝑠 − 4′9 𝑚/𝑠! · 5′08 𝑠 !

𝑺𝑩 = 𝟕𝟔!𝟕𝟓 𝒎



4. Desde un campanario de 15 m de altura lanzamos hacia arriba un petardo la noche de San Juan con

una velocidad inicial de 30 m/s y con un ángulo con la horizontal de 60º. Calcular: (2ptos) a) El alcance (distancia horizontal en el suelo). b) La velocidad a la que cae el petardo. c) La altura máxima a la que llega.

a) Primero planteamos las condiciones iniciales, para ello tendremos que calcular las componentes de la velocidad inicial:

𝑥! = 0 𝑚 𝑦! = 15 𝑚 𝑣!! = 𝑣! · cos𝛼 = 30 𝑚/𝑠 · cos 60° = 15 𝑚/𝑠 𝑣!! = 𝑣! · sin𝛼 = 30 𝑚/𝑠 · sin 60° = 15 3 𝑚/𝑠

Para calcular el alcance horizontal tendremos en cuenta que la condición que se cumple cuando el petardo vuelve al suelo la altura es cero 𝑦 𝑥!"# = 0 𝑚. Aplicamos la expresión de la posición para la componente vertical y así calculamos el tiempo que tardará el petardo en llegar al suelo.

𝑦 𝑥!"# = 𝑦! + 𝑣!! · 𝑡!"#$% +12𝑔 · 𝑡!"#$%

!

0 = 15 𝑚 + 15 3 𝑚/𝑠 · 𝑡!"#$% − 4!9 𝑚/𝑠! · 𝑡!"#$%! ⟶ 𝑡! = −0!53 𝑠

𝑡! = 5!83 𝑠

Tomamos el tiempo positivo como resultado y lo sustituimos en la ecuación de la posición para la componente horizontal:

𝑥!"# = 𝑥 𝑡!"#$% = 𝑥! + 𝑣!" · 𝑡!"#$% = 0 𝑚 + 15 𝑚/𝑠 · 5!83 𝑠

𝒙𝒎𝒂𝒙 = 𝟖𝟕!𝟒𝟓 𝒎

b) Para calcular la velocidad a la que cae el petardo tendremos que tener en cuenta las componentes vertical y horizontal. La componente horizontal de la velocidad es constante y ya la conocemos. Tenemos que calcular la componente vertical. Sustituimos el tiempo de vuelo en la expresión de la velocidad:

𝑣! 𝑡!"#$% = 𝑣!! + 𝑔 · 𝑡!"#$% = 15 3 𝑚/𝑠 − 9!8 𝑚/𝑠! · 5!83 𝑠 = −31′15 𝑚/𝑠

Por lo tanto, la velocidad será:

𝑣 𝑡!"#$% = 15𝚤 − 31′15𝚥 𝑚/𝑠

Y el módulo de la velocidad valdrá:

𝒗 𝒕𝒗𝒖𝒆𝒍𝒐 = 152 + 31′152 = 𝟑𝟒!𝟓𝟕 𝒎/𝒔



c) Para calcular la altura máxima tendremos en cuenta que, cuando el cuerpo alcanza dicha altura, su componente vertical de la velocidad se anula:

𝑣!!"# = 𝑣!! + 𝑔 · 𝑡!"# ⟶ 0 = 15 3 𝑚/𝑠 − 9!8 𝑚/𝑠! · 𝑡!"#

𝑡!"# =15 3 𝑚/𝑠9!8 𝑚/𝑠! = 2!65 𝑠

Sustituyendo el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima en la ecuación de la componente vertical de la posición obtendremos dicha altura:

𝑦!"# = 𝑦! + 𝑣!! · 𝑡!"# +12𝑔 · 𝑡!"#

!

𝑦!"# = 15 𝑚 + 15 3 𝑚/𝑠 · 2!65 𝑠 − 4!9 𝑚/𝑠! · 2!65 𝑠 !

𝒚𝒎𝒂𝒙 = 𝟒𝟗!𝟒𝟒 𝒎

5. Un avión vuela horizontalmente con velocidad vA = 900 km/h a una altura de 2000 m, suelta un paquete de alimentos que debe caer en un barco que se está moviendo con la velocidad de vB = 40 km/h y en la misma dirección y sentido que el avión. Determinar: (2’5ptos)

a) ¿Qué tiempo tarda el paquete en llegar al barco? b) ¿Qué distancia recorre el barco desde el lanzamiento hasta el impacto?

a) Estamos ante un problema de tiro horizontal. Planteamos las condiciones iniciales lo primero:

𝑥! = 0 𝑚 𝑦! = 2000 𝑚 𝑣!! = 𝑣! · cos𝛼 = 250 𝑚/𝑠 · cos 0° = 250 𝑚/𝑠 𝑣!! = 𝑣! · sin𝛼 = 250 𝑚/𝑠 · sin 0° = 0 𝑚/𝑠

El tiempo que tarda en llegar el paquete al barco es el tiempo de vuelo del mismo. Lo calculamos con la expresión de la componente vertical de la posición, teniendo el cuanta que, cuando el paquete llegue al barco la altura será cero:

𝑦 𝑥!"# = 𝑦! + 𝑣!! · 𝑡!"#$% +12𝑔 · 𝑡!"#$%

!

0 𝑚 = 2000 𝑚 − 4!9 𝑚/𝑠! · 𝑡!"#$%! ⟶ 𝑡!"#$! =2000 𝑚4!9 𝑚/𝑠!

𝒕𝒗𝒖𝒆𝒍𝒐 = 𝟐𝟎!𝟐 𝒔

b) Dado que el barco realiza un movimiento uniforme:

𝑠 = 𝑠! + 𝑣 · 𝑡!"#$% =1009 𝑚/𝑠 · 20′2 𝑠

𝒔 = 𝟐𝟒𝟒!𝟒𝟒 𝒎

Examen - física - 1º bachillerato - 16-01-2012

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